GCD 도메인

수학에서 GCD 도메인은 어떤 두 원소라도 가장 큰 공통분할자(GCD)를 갖는 속성을 가진 통합 영역 R이다. 즉, 주어진 두 원소에 의해 생성되는 이상을 포함하는 고유한 최소 주 이상형이 있다. 동등하게, R의 어떤 두 요소도 최소 공통 배수(LCM)를 가진다.^[1]

GCD 도메인은 비노메트리안 설정으로 고유 인자화 도메인(UFD)을 일반화한다. 주요 이상(특히 노메트리안인 경우)에서 상승 체인 조건을 만족하는 GCD 도메인인 경우에만 통합 도메인이 UFD이다.

GCD 도메인은 다음 클래스 포함 체인에 나타난다.

rngs ⊃ rings ⊃ commutative ring ⊃ 적분 도메인 ⊃ 통합적으로 폐쇄된 도메인 ⊃ GCD 도메인 ⊃ 고유 인자화 도메인 ⊃ 주요 이상 도메인 ⊃ 유클리드 도메인 ⊃ 필드 ⊃ 대수적으로 폐쇄된 필드 fields.

특성.

GCD 영역의 모든 되돌릴 수 없는 요소는 최상이다. GCD 도메인은 통합적으로 닫히고, 0이 아닌 모든 요소는 원시적이다.^[2] 즉, 모든 GCD 도메인은 슈레이어 도메인이다.

모든 요소 쌍 x, GCD 도메인 R의 y, x와 y의 GCD d와 x와 y의 LCM m을 dm = xy 또는 다르게 선택할 수 있으며, x와 y가 0이 아닌 원소이고 d가 x와 y의 GCD d라면 x/d는 x와 y의 LCM이고, 그 반대의 경우 x와 y의 LCM이다. GCD와 LCM의 운영은 지수 R/~를 분배 격자로 만들고 여기서 "~"는 관련 요소로서의 동등성 관계를 나타낸다. GCD의 존재와 LCM의 존재 사이의 동등성은 전체 격자에서 유사한 결과의 상관관계가 아니며, 이는 지수 R/~가 GCD 영역 R의 완전한 격자가 될 필요는 없기 때문이다.^{[citation needed]}

R이 GCD 도메인이라면 다항 링 R[X₁,...,X_n]도 GCD 도메인이다.^[3]

R은 그것의 주요 이상들의 유한한 교차점이 주된 것인 경우에만 GCD 영역이다. ${\displaystyle \mathrm{특히}}$ (${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cap }$( ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( c${\displaystyle }$) ${\displaystyle (a)\cap (b)=(c$ 여기서 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$은 ${\displaystyle a}$ 및$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$의 LCM이다$.$

GCD 도메인의 X에서 다항식의 경우, 모든 계수의 GCD로 내용을 정의할 수 있다. 그 다음 다항식 제품의 내용은 GCD 도메인에서 유효한 가우스의 보조정리기로 표현된 내용물의 산물이다.

예

• 고유한 요인화 도메인은 GCD 도메인이다. GCD 도메인들 중에서, 고유한 요소화 영역은 정확히 원자 영역인 영역들이다. (즉, 수정 불가능한 요소로 최소한 하나의 요소화가 0이 아닌 어떤 장치에 대해서도 존재한다는 것을 의미한다.)
• 베즈아웃 도메인(즉, 정확하게 생성된 모든 이상이 주체가 되는 일체형 도메인)은 GCD 도메인이다. 주요 이상 도메인(모든 이상이 주 도메인인 경우)과는 달리, 베즈아웃 도메인은 고유한 요인화 도메인이 될 필요가 없다. 예를 들어, 전체 기능의 링은 비원자적 베즈아웃 도메인이며, 다른 많은 예가 있다. 통합 도메인은 Bézout 도메인인 경우에만 Prüfer GCD 도메인이다.^[4]
• 최대 공약수 도메인의 아닌 독특한 인수 분해 도메인(이후non-atomic은)도 베주 도메인(이후 X와 0이 아닌non-invertible 요소가 R의 1을 포함하지 않았지만 1 그래도 최대 공약수 X을 이상적인 생성한다)만약 R은non-atomic 최대 공약수 도메인, 그때 R[X]은 한 예가 있다;더 일반적으로 어떤 반지라도 R[X1,...,Xn]이 prop.다음.정말넥타이를 매다
• 정류형 단면 링 $R{\displaystyle }$[${\displaystyle X;}$ S ${\displaystyle ]}$ ${\$$displaystyle$$R[X$;S$]}$은(는) GCD 도메인이고, $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은(는) 비틀림 없는 취소형 GCD-세미그룹이라면 GCD 도메인이다$$. A GCD-semigroup is a semigroup with the additional property that for any ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ in the semigroup ${\displaystyle S}$, there exists a ${\displaystyle c}$ such that ${\displaystyle (a+S)\cap (b+S)=c+S}$. 특히 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 아벨 그룹이라면, R${\displaystyle }$[ $X{\displaystyle ;}$ ${\displaystyle G}$]$${\$displaystyle$$$R$[X;G]}$은(^[5]는) GCD 도메인이고$$, $G{\displaystyle }$${\$$displaysty$ G$}$은(는) 비틀림 없는 도메인이다.
• 링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$[${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{d}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\d$ style $\mathb {Z}[{\sqrt{-d}}}}}$은(는) 모든 사각형이 없는 정수에 대한 GCD 도메인이 아니다$$$({\daystyle$ d$\geq$ 3$\}).$^[6]

참조