유한 링

보다 구체적으로 추상적인 대수학에서 유한반지는 원소의 수가 유한한 고리다.모든 유한장은 유한 고리의 예로서, 모든 유한 고리의 첨가 부분은 아벨 유한 집단의 예지만, 그 자체로 유한 고리의 개념은 보다 최근의 역사를 가지고 있다.

비록 고리는 집단보다 더 많은 구조를 가지고 있지만, 유한집단의 이론보다 유한집단의 이론이 더 간단하다.예를 들어, 유한 단순 집단의 분류는 20세기 수학의 중요한 발전 중 하나였으며, 그 증거는 수천 페이지에 이른다.한편, 한정된 단순 링은 한정된 순서 $M_{n}(\mathbb {F} _{q})$ 의 분야에 걸쳐 $($ 아래 기술된 웨더번 이론의 결과로) $M_{n}(\mathbb {F} _{q})$ 행렬의 $M_{n}(\mathbb {F} _{q})$ 링 $M_{n}(\mathbb {F} _{q})$ (F $M_{n}(\mathbb {F} _{q})$ q $){\displaystyle$ M_{n}(\mathb ${$ F} $_{q})$ 에 대해 1907년부터 이형성이라는 것이 알려져 있다.

m 원소가 있는 링의 수는 m 자연 숫자에 대해 OEIS: A027623의 온라인 정수 시퀀스 백과사전 아래에 나열되어 있다.

유한장

유한장 이론은 아마도 대수 기하학, 갈루아 이론, 수 이론과 밀접하게 연관되어 있기 때문에 유한 고리 이론의 가장 중요한 측면일 것이다.이론의 중요하지만 상당히 오래된 측면은 유한한 분야의 분류(Jacobson 1985, 페이지 287)

유한장의 원소의 순서나 수는 p와ⁿ 같으며, 여기서 p는 필드의 특성이라고 하는 소수, n은 양의 정수다.
모든 소수 p와 양의 정수 n에 대해, pⁿ 원소를 가진 유한한 장이 존재한다.
순서가 같은 유한한 두 장은 모두 이형이다.

이러한 분류에도 불구하고, 유한 분야는 여전히 연구 활동 영역으로, 가장 작은 원시 뿌리의 크기에 관한 최근의 결과 및 개방적인 문제(숫자 이론)를 포함한다.

유한 필드 F는 F에 걸쳐 n차원 벡터 공간을 구축하는 데 사용될 수 있다.F의 원소가 있는 n × n 행렬의 매트릭스 링 A는 갈루아 기하학에서 사용되며, 투영 선형 그룹은 A의 승수 그룹 역할을 한다.

웨더번 이론

웨더번의 작은 정리는 어떤 유한한 분할 고리가 반드시 일치해야 한다고 주장한다.

유한 고리 R의 모든 0이 아닌 원소 r이 승법 역수를 갖는 경우, R은 역법(따라서 유한장)이다.

Nathan Jacobson은 후에 반지의 동시성을 보장하는 또 다른 조건을 발견했는데, 만약 R의 모든 원소 r에 r = r과 같은 정수 n > 1이 존재한다면, R은 일치한다.^[1]반지의 동시성을 보장하는 더 일반적인 조건도 알려져 있다.^[2]

그러나 웨더번(Wedderburn)에 의한 또 다른 정리는 그 결과 유한 단순 고리의 이론이 자연에서 비교적 간단하다는 것을 증명하는 결과를 가지고 있다.좀 더 구체적으로 말하면, 유한 단순 링은 유한 순서 q에 걸쳐 n이 매트릭스에 의해 n이 $M_n(\mathbb{F}_q)$ 되는 링 $M_{n}(\mathbb {F} _{q})$ $M_{n}(\mathbb {F} _{q})$ $M_{n}(\mathbb {F} _{q})$ $M_{n}(\mathbb {F} _{q})$ ) ${\displaystyle M_{n}(\mathb {F} _{q})$ 과 이형성이다.이는 1905년과 1907년에 제정된 조셉 웨더번(Joseph Wedderburn)의 두 가지 정리(그 중 하나가 웨더번(Wedderburn)의 작은 정리)에서 비롯된다.

열거

(경고: 이 절의 열거에는 반드시 rng라고 하는 곱셈적 정체성을 가지지 않는 링이 포함된다.)1964년 데이비드 싱마스터는 미국 수학 월간지에 다음과 같은 문제를 제안했다: "(1) 분야가 아닌 정체성을 가진 가장 작은 비종교 반지의 순서는 무엇인가?이런 최소한의 주문으로 그런 반지 두 개를 찾아라.더 있나?(2) 순서 4의 고리는 몇 개인가?"디엠 블룸은 2페이지 분량의 증거에서^[3] 순서 4의 고리가 11개 있는데, 이 중 4개는 승수 정체성을 갖고 있다는 사실을 확인할 수 있다.실제로 4소반지는 주제의 복잡성을 소개한다.순환 그룹 C₄ 위에 3개의 링이 있고 클라인 4개의 그룹 위에 8개의 링이 있다.그레고리 드레스덴의 강의 노트에는 차별적 도구(nilents, 0divisors, idempotents, identempotents, left and identity)가 흥미롭게 전시되어 있다.^[4]

유한 링에서 비고정성의 발생은 (Eldrige 1968) harv 오류에 설명되었다: 대상 없음: CITREFEldige1968 (도움말)은 두 가지 이론으로 설명되었다.1을 가진 유한 링의 오더 m이 입방체 없는 인자화를 가지고 있다면, 그것은 상쇄적이다.그리고 만약 1을 가진 비확정 유한 고리가 프라임 큐브 순서를 가지고 있다면, 그 링은 프라임의 갈루아 들판 위에 있는 위쪽 삼각형 2 × 2 매트릭스 링에 이형성이다.프라임의 입방체 질서의 고리에 대한 연구는 (Raghavendran 1969)와 (Gilmer & Mott 1973)에서 더욱 발전되었다.다음으로 플로어와 웨센바우어(1975)는 프라임 케이스의 큐브를 개선했다.이형동체 수업에 대한 확정적인 연구는 (안티프킨 & 엘리자로프 1982년) p > 2의 경우, 수업의 수가 3p + 50이라는 것을 증명하는 것과 함께 나왔다.

로버트 발리외와^[5] 스콜자와 같은 유한한 고리들의 주제에 앞서 언급된 것들이 있다.^[6]

다음은 주어진 순서의 유한 고리 수(단일성을 반드시 갖는 것은 아님)에 대해 알려진 몇 가지 사실이다(공급 p와 q는 구별되는 소수 주수를 나타낸다).

순서가 p인 두 개의 유한 고리가 있다.
순서 pq의 4개의 유한 고리가 있다.
순서 p의² 11개의 유한 고리가 있다.
순서 pq의² 22개의 유한 고리가 있다.
순서 8의 유한 고리는 52개다.
순서 p³, p > 2의 3p + 50 유한 고리가 있다.

원소가 n개인 링의 수는 (0) = 1)이다.

1, 1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 390, 2, 22, 2, 22, 4, 4, 2, 104, 11, 4, 59, 22, 2, 8, 2, >18590, 4, 4, 4, 121, 2, 4, 4, 104, 2, 8, 2, 22, 22, 4, 2, 780, 11, 22, ... (sequence A027623 in the OEIS)

참고 항목

Galois 링, $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ / p $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ ${\$ 및 유한 $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ 필드
링 위의 투사선 § 유한 링 위

메모들

^ 제이콥슨 1945
^ Pinter-Lucke, J. (May 2007), "Commutativity conditions for rings: 1950–2005", Expositiones Mathematicae, 25 (2): 165–174, doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001
^ Singmaster, David; Bloom, D. M. (October 1964), "E1648", American Mathematical Monthly, 71 (8): 918–920, doi:10.2307/2312421, JSTOR 2312421
^ Dresden, Gregory (2005), Rings with four elements, archived from the original on 2010-08-02, retrieved 2009-07-28
^ Ballieu, Robert (1947), "Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif", Ann. Soc. Sci. Bruxelles, Série I, 61: 222–7, MR 0022841, Zbl 0031.10802
^ 스콜자(1935), 수학 리뷰에서 어빙 카플란스키의 발리외 리뷰를 참조하십시오.

참조

Dresden, Gregory (2005), Small Rings, archived from the original on 2017-05-01 13명의 학생과 교수의 연구 보고서추상대수학(Math 322)의 워싱턴&리대수학과의 실러.
Eldridge, K. E. (May 1968), "Orders for Finite Noncommutative Rings with Unity", American Mathematical Monthly, 75 (5): 512–4, doi:10.2307/2314716, JSTOR 2314716
Raghavendran, R. (1969), "Finite associative rings", Compositio Mathematica, 21 (2): 195–229, Zbl 0179.33602
Gilmer, Robert; Mott, Joe (1973), "Associative rings of order p3", Proceedings of the Japan Academy, 49 (10): 795–9, doi:10.3792/pja/1195519146
Antipkin, V. G.; Elizarov, V. P. (1982), "Rings of order p³", Siberian Mathematical Journal, 23 (4): 457–464, doi:10.1007/BF00968650, S2CID 121484642
McDonald, Bernard A. (1974), Finite Rings with Identity, Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-6161-5, Zbl 0294.16012
Bini, G; Flamini, F (2002), Finite commutative rings and their applications, Kluwer, ISBN 978-1-4020-7039-6, Zbl 1095.13032
Saniga, Metod; Planat, Michel; Kibler, Maurice R.; Pracna, Petr (2007), "A classification of the projective lines over small rings", Chaos, Solitons & Fractals, 33 (4): 1095–1102, arXiv:math/0605301, Bibcode:2007CSF....33.1095S, doi:10.1016/j.chaos.2007.01.008, MR 2318902, S2CID 8973277

외부 링크

유한 정류 링의 분류

[1] 제이콥슨 1945

[2] Pinter-Lucke, J. (May 2007), "Commutativity conditions for rings: 1950–2005", Expositiones Mathematicae, 25 (2): 165–174, doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001

[3] Singmaster, David; Bloom, D. M. (October 1964), "E1648", American Mathematical Monthly, 71 (8): 918–920, doi:10.2307/2312421, JSTOR 2312421

[4] Dresden, Gregory (2005), Rings with four elements, archived from the original on 2010-08-02, retrieved 2009-07-28

[5] Ballieu, Robert (1947), "Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif", Ann. Soc. Sci. Bruxelles, Série I, 61: 222–7, MR 0022841, Zbl 0031.10802

[6] 스콜자(1935), 수학 리뷰에서 어빙 카플란스키의 발리외 리뷰를 참조하십시오.

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