비연관 대수

대수 구조 → 고리 이론 링 이론
기본 개념 반지. • 서브링 • 이상적 • 비율 링 • 소수점 이상 • 분수의 총 고리 • 링 제품 • 연상 대수의 자유곱 • 대수의 텐서 곱 링 동형사상 • 커널 • 내부 자기동형성 • 프로베니우스 내형성 대수 구조 • 모듈 • 연관 대수 • 등급 링 • 인볼루티브 링 • 링의 카테고리 • 초기 $링{\displaystyle \mathbb{}}$Z ${\displaystyle \mathbb${$Z}$ • 단자 $링{\displaystyle \mathrm{}}$ 0 $=$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$1 {\$displaystyle$ 0=\$mathbb {Z} _{1}}$ 관련 구조 • 필드 • 유한 필드 • 비연관 링 • 리 링 • 조던 링 • 세미닝 • 세미필드
가환 대수 교환환 • 통합 도메인 • 통합 폐쇄 도메인 • GCD 도메인 • 고유한 인수 분해 영역 • 주요 이상 영역 • 유클리드 도메인 • 필드 • 유한 필드 • 컴포지션 링 • 다항식 링 • 정식 파워 시리즈 링 대수적 수론 • 대수적 수 필드 • 정수의 고리 • 대수적 독립성 • 초월수 이론 • 초월도 p-adic 수 이론과 소수점 • 직접 한계/역 한계 • $제로링{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 1$(\$ • 정수 $모듈$로 Zn${\displaystyle }$/ ${\displaystyle p^{}}$ n$$ { $displaystyle \mathbb {Z}$ /$p^{n}\mathbb {Z} }$ • Prüfer $p-ring{\displaystyle \mathbb{}}$Z ( ${\$ ) ( \ $displaystyle$ \$mathbb$ { Z } ( $p^$ { \ infty$}$ ) } • Base-p 원 $링{\displaystyle \mathbb{}}$T ${\display\mathbb$ {T$}$} • Base-p $정수{\displaystyle \mathbb{}}$Z {\$displaystyle \mathbb {Z} }$ • $p-adic$은${\displaystyle }$Z [${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle /}$ $]{ displaystyle \mathbb {Z} [1/$p]} • Base-p 실수$R{\displaystyle \mathbb{}}$ {\style $\mathbb {R} 표시}$ • p-adic $정수{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$p \$style \mathbb {Z} _{p}$ • p-adic $숫자{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${$style $\mathbb {Q}_{p}$ 표시 • p-adic $솔레노이드{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$p \$style \mathbb {T}$ _${p}$ 대수기하학 • 아핀 품종
비가환 대수 비가환환 • 분할 링 • 반잠수 링 • 심플링 • 정류자 비가환 대수 기하학 자유 대수 클리포드 대수 • 기하학 대수 연산자 대수
v t

비연관대수^[1](또는 분포대수)는 이항 곱셈 연산이 연관성이 없는 것으로 가정되는 장에 걸친 대수이다.즉, 대수 구조 A는 K 위의 벡터 공간이고 연관성이 있을 수도 있고 없을 수도 있는 K-이항 곱셈 연산 A × A → A를 갖춘다면 K 위의 비연관 대수이다.예를 들어, 리 대수, 조던 대수, 팔각형, 교차곱 연산을 갖춘 3차원 유클리드 공간을 들 수 있다.곱셈이 연관성이 있다고 가정하지 않기 때문에 괄호를 사용하여 곱셈 순서를 나타낼 필요가 있습니다.예를 들어 식(ab)(cd), (a(bc)d 및 a(b(cd))는 모두 다른 답변을 얻을 수 있습니다.

이 비관련성을 사용하는 것은 연관성이 상정되지 않는 것을 의미하지만 연관성이 허용되지 않는 것은 아닙니다.즉, "비연관성"은 "비연관성"을 의미하며, "비연관성"은 "비연관성"을 의미합니다.

대수는 대수의 모든 x에 대해 ex = x = xe인 항등원소 e를 갖는 경우 단수 또는 단수이다.예를 들어, 8진수는 단수이지만, 리 대수는 절대 그렇지 않습니다.

A의 비연관 대수 구조는 K 벡터 공간으로서 A의 K-내형 대수의 하위 대수인 다른 연관 대수들과 연관시킴으로써 연구될 수 있다.그러한 두 가지는 유도 대수와 (관련) 포섭 대수이며, 후자는 어떤 의미에서 "A를 포함하는 가장 작은 연관 대수"이다.

보다 일반적으로, 일부 저자는 교환환 R: R-이항 ^[2]곱셈 연산을 갖춘 R-모듈에 대한 비연관 대수의 개념을 고려한다.어떤 구조가 연관성(예를 들어 임의의 R-대수)을 제외하고 모든 링 공리에 준거하는 경우 자연스럽게 $(\$ -대수이므로$$ 일부 저자는 $비관련성{\displaystyle \mathbb{}}$ Z$(\$ -대수를$$ 비관련성 링이라고 부릅니다.

대수 구조
그룹라이크 그룹. 세미그룹 / 모노이드 랙 앤 쿼들 준군 및 루프 아벨 군 마그마 리 그룹 군론
반지 같은 울리다 Rng 세미링 니어링 교환환 통합 도메인 들판 분할링 리 링 링 이론
격자 모양 격자 반격자 보완 격자 총주문량 헤이팅 대수 부울 대수 격자 지도 격자 이론
모듈형 모듈 연산자가 있는 그룹 벡터 공간 선형 대수
대수적 대수학 어소시에이티브 비관련성 구성 대수 리 대수 등급부 바이알게브라 홉프 대수
v t

동일성을 만족시키는 대수

2개의 이진 연산을 가지며 다른 제약이 없는 링 같은 구조는 연구하기에는 너무 일반적인 광범위한 클래스이다.이러한 이유로, 가장 잘 알려진 종류의 비연관 대수는 곱셈을 다소 단순화하는 동일성 또는 특성을 만족시킨다.여기에는 다음과 같은 것이 포함됩니다.

일반 속성

x, y 및 z는 필드 K 위의 대수 A의 임의의 요소를 나타냅니다.0이 아닌 양의 정수에 대한 파워는 작성자에 따라 x xx 및 x xxxx^n[3](오른쪽 파워) 또는ⁿ⁺¹ x xxxx^n[4][5](왼쪽 파워) 중 하나로¹ⁿ⁺¹ 재귀적으로 정의됩니다.

• 유니탈: ex = x = xe가 되는 요소 e가 존재합니다. 이 경우 x e e를⁰ 정의할 수 있습니다.
• 연관성: (xy)z = x(yz).
• 교환: xy = yx.
• 반교환:^[6] xy = -yx.
• 야코비 항등식:^[6][7] (xy)z + (yz)x + (zx)y = 0 또는 x(yz) + y(zx) + z(xy) = 0. 저자에 따라 다릅니다.
• Jordan ^[8][9]identity: 작성자에² 따라 (xy)x² = x(yx) 또는² (xy)x = x²(yx)입니다.
• 대안:^[10][11][12] (xx)y = x(xy)(왼쪽 대안) 및 (yx)x = y(xx)(오른쪽 대안)
• 유연성:^[13][14] (xy)x = x(yx).
• n 2 2와 관련된 n번째 거듭제곱: 모든^n−kk 정수 k에 대해 xx = x이므로ⁿ 0 < k < n이 됩니다.
  • 세² 번째 전원 연결: xx = xx².
  • 네³ 번째 전력 관련: xx = xx²² = xx³ (아래의 네 번째 전력 교환과 함께 표시됨)
• 멱함수 연관성:^{[4][5][15][16][3]} 모든 요소에 의해 생성된 하위 대수는 연관성입니다. 즉, n번째의 멱함수 연관성은 모든 n † 2에 해당합니다.
• 모든 정수 k에 대해 n제곱 2의^n−kk n제곱 가환: xx = xx이므로^kn−k 0 < k < n이 됩니다.
  • 세² 번째 거듭제곱 교환: xx = xx².
  • 네³ 번째 전력 교환: xx = xx³ (위의 네 번째 전력 어소시에이션을 사용할 경우)
• 멱함수 가환율: 모든 원소에 의해 생성된 서브대수는 가환율, 즉 n번째 가환율이다.
• 지수 n ≤ 2의 n개의 원소의 곱은 어떤 연관성에서도 사라지지만, xx_n…x = 0의 일부₁₂ n-1 원소에 대해서는 사라지지 않으며, 특정 연관성에 대해 yy₁₂…y_n−1 ≤ 0의 n-1 원소가 존재한다.
• 지수 n 2 2의 N: 검정력 관련성과ⁿ x = 0이며 y 0 0이 되도록ⁿ⁻¹ y 요소가 존재합니다.

속성 간의 관계

모든 특성 K의 경우:

• 연관성은 대안을 암시합니다.
• 왼쪽, 오른쪽, 오른쪽, 유연한 세 가지 속성 중 두 가지는 세 번째 속성을 의미합니다.
  • 따라서 대안은 유연성을 의미합니다.
• 대안은 요르단의 정체성을 ^[17][a]암시합니다.
• 교환은 유연성을 의미합니다.
• 반교합은 유연성을 의미합니다.
• 대안은 힘의 ^[a]연관성을 암시합니다.
• 유연성이란 제3의 전력 관련성을 의미합니다.
• 두 번째 전력 어소시에이션과 두 번째 전력 어소시에이션은 항상 참입니다.
• 세 번째 전력 어소시에이션과 세 번째 전력 어소시에이션은 동일합니다.
• n번째 전력 연관성은 n번째 전력 교환을 의미합니다.
• 지수 2의 N은 반치환을 의미합니다.
• 인덱스 2의 0은 요르단 ID를 나타냅니다.
• 지수 3의 효력은 자코비 동일성을 의미합니다.
• 지수 n의 nilpotent는 지수 N이 2 µ N µ n인 0을 의미한다.
• 인덱스 n의 unital과 nero는 호환되지 않습니다.

K g GF (2) 또는 dim(A) 3 3의 경우:

• 조던의 동일성과 가환성은 힘의 ^{[18][19][20][citation needed]}연관성을 나타냅니다.

char(K)가 2 이하인 경우:

• 오른쪽 대안은 힘의 ^{[21][22][23][24]}연관성을 의미합니다.
  • 마찬가지로 왼쪽 대안은 검정력 관련성을 의미합니다.
• 유니탈과 요르단의 정체성은 유연성을 ^[25]의미한다.
• 조던의 정체성과 유연성은 힘의 ^[26]연관성을 의미합니다.
• 가환성과 반치환성은 지수 2의 0을 의미한다.
• 반교섭은 지수 2의 0을 의미합니다.
• unital과 anticommutative는 호환되지 않습니다.

char(K)가 3 이하인 경우:

• Unital ID와 Jacobi ID가 호환되지 않습니다.

char(K)가 {2,3,5}인 경우:

• 가환 및 x⁴ = xx²²(제4의 전력 관련성을 정의하는 두 개의 ID 중 하나)는 모두 전력 ^[27]관련성을 의미합니다.

char(K) = 0인 경우:

• 세 번째 전력 어소시에이션과⁴²² x = xx(4번째 전력 어소시에이션을 정의하는 두 개의 아이덴티티 중 하나)는 모두 전력 ^[28]어소시에이션을 의미합니다.

char(K) = 2인 경우:

• 가환과 반교합은 동일하다.

어소시에이터

${\displaystyle A}$ 위의 연관성은 K-멀티라인${\displaystyle }$맵 [ ${\displaystyle ,,}$], ${\displaystyle ]]}$ :${\displaystyle }$A × ${\displaystyle A\to }$ \ $displaystyle$[ \ $cdot$, \ $cdot$ , \ $cdot ]$ :$A$에 의해 주어지는$A의 곱셈 A×A$

[x,y,z] = (xy)z - x(yz).

A$(\displaystyle$ A$)$의 비연관성 정도를 측정하여 A가 만족할 수 있는 정체성을 쉽게 표현할 수 있습니다.

x, y, z는 대수의 임의의 요소를 나타냅니다.

• 연관성: [x,y,z] = 0.
• 대안: [x,x,y] = 0(왼쪽 대안) 및 [y,x,x] = 0(오른쪽 대안)입니다.
  • 이것은 임의의 두 항을 허용하면 부호가 바뀐다는 것을 의미한다: [x,y,y] =[x,y,x] =[y,x,z]; 역수는 char(K) ) 2일 때만 유지된다.
• 유연성: [x,y,x] = 0.
  • 이것은 극단 항을 허용하면 부호 [x,y,z] = [-z,y,x]가 바뀐다는 것을 의미하며, 역수는 char(K) 2 2일 때만 유지된다.
• Jordan ^[29]identity: [x²,y,x] = 0 또는 [x,y,x²] = 0입니다.
• 세 번째 거듭제곱 관계: [x,x,x] = 0.

핵은 다른 ^[30]모든 원소와 관련된 일련의 요소입니다. 즉, A의 n은 다음과 같습니다.

[n,A,A] = [A,n,A] = [A,A,n] = {0}.

핵은 A의 연상 서브링입니다.

중심

A의 중심은 A의 모든 것을 통근하고 관련짓는 요소 집합입니다. 즉, A의 교차점입니다.

$\displaystyle C(A)=\{n\in A\nr=rn,\forall rin A,\}$

핵과 함께요.C(A) 요소의 경우 [${\displaystyle n,A,}$ ${\displaystyle A],}$ [${\displaystyle A}$, ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle A],}$ [${\displaystyle A,}$ $],$ [n], [A,$n$ [A, $A,$n], [A, A, n], [$A,$ A$,$ n], [A$$,$A$, n$]$의 2개의$세트([n$$,$ A, A, n])로${\displaystyle \mathrm{충분}}$합니다${\displaystyle .}$

예

• 벡터 교차곱에 의해 주어지는 곱셈을 갖는 유클리드 공간³ R은 반교호작용적이고 연관성이 없는 대수의 한 예이다.교차곱은 또한 야코비 항등식을 만족시킨다.
• 리 대수는 반치환성과 야코비 항등식을 만족시키는 대수이다.
• 미분 가능한 다양체의 벡터장 대수(K가 R 또는 복소수 C인 경우) 또는 대수 다양체(일반 K의 경우)
• 조던 대수는 교환법칙과 조던 ^[9]항등식을 만족시키는 대수이다.
• 모든 연관대수는 정류자를 Lie 괄호로 사용함으로써 Lie 대수를 발생시킨다.사실 모든 리 대수는 이 방법으로 구성될 수 있거나 그렇게 구성된 리 대수의 하위 대수이다.
• 2 이외의 특성의 장에 걸친 모든 연관대수는 새로운 곱셈 x*y = (xy+yx)/2를 정의함으로써 조던 대수를 발생시킨다.리 대수의 경우와 대조적으로, 모든 조던 대수가 이런 식으로 구성될 수 있는 것은 아니다.할 수 있는 것은 특별하다고 불립니다.
• 대체 대수는 대체 특성을 만족시키는 대수이다.대체 대수의 가장 중요한 예는 8진수(실수에 대한 대수)와 다른 분야에 대한 8진수의 일반화이다.모든 연상 대수는 대안이다.동형사상까지, 유일한 유한 차원 실재 대안인 분할 대수(아래 참조)는 실재, 복소, 사분위수 및 팔분위수이다.
• 힘-연관 대수는 힘-연관 대수를 만족시키는 대수입니다예로는 모든 연관대수, 모든 대체대수, GF(2) 이외의 분야에 걸친 요르단 대수(이전 섹션 참조) 및 진정제가 포함된다.
• R 위의 쌍곡선 사분위 대수는 특수 상대성 이론을 위해 민코프스키 공간을 채택하기 전의 실험 대수였다.

더 많은 대수학 클래스:

• 채점 대수학.여기에는 주어진 벡터 공간에 걸친 텐서 대수, 대칭 대수, 외부 대수 등 다선형 대수에 대한 관심 대수가 대부분 포함된다.그레이드 대수는 필터링된 대수로 일반화될 수 있다.
• 나눗셈 대수는 곱셈 역수가 존재한다.실수의 영역에 걸친 유한 차원 대체 분할 대수가 분류되었다.이들은 실수(차원 1), 복소수(차원 2), 사분수(차원 4), 팔분수(차원 8)입니다.4분의 1과 8분의 1은 가환성이 없다.이 대수들 중에서 8진수를 제외하고 모두 연관성이 있다.
• 2차 대수는 지면장의 일부 요소 r과 s에 대해 xx = re + sx를 요구하고 대수에 대해서는 e 단위를 요구한다.예로는 모든 유한 차원 대체 대수와 실제 2x2 행렬의 대수가 포함된다.동형사상까지, 0의 제수가 없는 유일한 대안인 2차 실수 대수는 실수, 복소수, 사분수, 팔분수이다.
• 케일리-딕슨 대수(여기서 K는 R이다)는 다음과 같이 시작한다.
  • C(가환 대수 및 연관 대수)
  • 4원수 H(연관 대수)
  • 8진수(대체 대수)
  • 카이리-딕슨 대수의 무한 수열(힘-연관 대수)과 진정제, 그리고 무한 수열.
• 초복소수 대수는 모두 유한 차원 단일 R-대수이므로 케일리-딕슨 대수와 더 많은 대수를 포함한다.
• 포아송 대수는 기하학적 양자화에서 고려된다.그들은 두 곱셈을 가지고 있고, 다른 방식으로 교환 대수와 리 대수로 변합니다.
• 유전대수는 수리유전학에서 사용되는 비연관대수이다.
• 트리플 시스템

특성.

고리 이론이나 연상 대수에 친숙한 특성이 몇 가지 있는데, 비 연상 대수에 대해서는 항상 사실이 아니다.연관 사례와 달리 (양측) 곱셈 역이 있는 원소는 0 제수가 될 수도 있습니다.예를 들어, 세디온의 0이 아닌 모든 원소는 양면 역수를 가지지만, 그들 중 일부는 0 제수이기도 합니다.

자유 비연관 대수

필드 K 위의 집합 X 위의 자유 비연관 대수는 X 유지 괄호 요소의 모든 비연관 단수, 유한 형식 곱으로 구성된 기초 대수로 정의된다.단량체 u, v의 곱은 그냥 (u)(v)이다.빈 곱을 ^[31]단항식으로 하면 대수는 단항식이 된다.

Kurosh는 자유 비연관대수의 모든 부분대수가 ^[32]자유롭다는 것을 증명했다.

연관 대수

필드 K 위의 대수 A는 특히 K벡터 공간이며, 따라서 A의 K-선형 벡터 공간 내형성의 연관 대수_K End(A)를 고려할 수 있다.우리는 End(A)의_K 두 하위 대수, 파생 대수 및 (관련) 포락 대수에 대한 A의 대수 구조에 연관시킬 수 있다.

유도 대수

A의 파생은 속성을 가진 맵 D입니다.

$\displaystyle D(x\cdot y)=D(x)\cdot y+x\cdot D(y)\ .}$

A의 유도체는 끝(A)에서_K 부분 공간_K Der(A)를 형성한다.두 개의 유도체의 정류자는 다시 도함수이므로, 리 괄호는 Der(A)에게_K 리 ^[33]대수의 구조를 제공한다.

포락대수

대수 ^[34]A의 각 요소 a에는 선형 맵 L과 R이 부착되어 있습니다.

$(\displaystyle L(a):x\mapsto ax;\R(a):x\mapsto xa\ .}$

A의 연관포함대수 또는 곱셈대수는 좌우 선형 ^[29][35]지도에 의해 생성된 연관대수이다.A의 중심은 내형 대수_K End(A)에서 포락 대수의 중심이다.대수는 그 중심이 ^[16]항등식의 K-스칼라 배수들로 구성되어 있다면 중심이다.

비연관 대수에 의해 충족되는 가능한 동일성 중 일부는 선형 ^[36]지도의 관점에서 쉽게 표현될 수 있다.

• 가환율: 각 L(a)은 대응하는 R(a)과 같다.
• 연관성: 임의의 L이 임의의 R과 통신한다.
• 유연성: 모든 L(a)은 대응하는 R(a)과 일치한다.
• 조던: 모든 L(a)은 R(a²)와 일치한다.
• 대안: 오른쪽에 대해 모든 L(²a) = L(a²) 및 이와 유사합니다.

2차 표현 Q는 다음과 ^[37]같이 정의됩니다.

${\displaystyle Q(a):x\mapsto 2a\cdot (a\cdot x)-(a\cdot a)\cdot x\}$

또는 동등하게

${\displaystyle Q(a)=2L^{2}(a)-L(a^{2})\ .}$

보편적 포락 대수에 대한 기사는 포락 대수의 표준 구조와 그것들을 위한 PBW형 정리에 대해 설명한다.리 대수의 경우, 그러한 포섭 대수는 보편적 성질을 가지며, 일반적으로 비연관 대수의 경우에는 그렇지 않다.가장 잘 알려진 예는 아마도 알버트 대수, 조던 대수학을 위한 포섭 대수의 정규 구조에 의해 둘러싸이지 않는 예외적인 조던 대수이다.

「 」를 참조해 주세요.

• 대수 목록
• 비연관 대수를 발생시키는 치환성 비연관 마그마

인용문

메모들

레퍼런스

• Albert, A. Adrian (2003) [1939]. Structure of algebras. American Mathematical Society Colloquium Publ. Vol. 24 (Corrected reprint of the revised 1961 ed.). New York: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1024-3. Zbl 0023.19901.
• Albert, A. Adrian (1948a). "Power-associative rings". Transactions of the American Mathematical Society. 64: 552–593. doi:10.2307/1990399. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990399. MR 0027750. Zbl 0033.15402.
• Albert, A. Adrian (1948b). "On right alternative algebras". Annals of Mathematics. 50: 318–328. doi:10.2307/1969457. JSTOR 1969457.
• Bremner, Murray; Murakami, Lúcia; Shestakov, Ivan (2013) [2006]. "Chapter 86: Nonassociative Algebras" (PDF). In Hogben, Leslie (ed.). Handbook of Linear Algebra (2nd ed.). CRC Press. ISBN 978-1-498-78560-0.
• Herstein, I. N., ed. (2011) [1965]. Some Aspects of Ring Theory: Lectures given at a Summer School of the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.) held in Varenna (Como), Italy, August 23-31, 1965. C.I.M.E. Summer Schools. Vol. 37 (reprint ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-6421-1036-3.
• Jacobson, Nathan (1968). Structure and representations of Jordan algebras. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. XXXIX. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-821-84640-7. MR 0251099.
• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998). The book of involutions. Colloquium Publications. Vol. 44. With a preface by J. Tits. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0904-0. Zbl 0955.16001.
• Koecher, Max (1999). Krieg, Aloys; Walcher, Sebastian (eds.). The Minnesota notes on Jordan algebras and their applications. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1710. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-66360-6. Zbl 1072.17513.
• Kokoris, Louis A. (1955). "Power-associative rings of characteristic two". Proceedings of the American Mathematical Society. American Mathematical Society. 6 (5): 705–710. doi:10.2307/2032920.
• Kurosh, A.G. (1947). "Non-associative algebras and free products of algebras". Mat. Sbornik. 20 (62). MR 0020986. Zbl 0041.16803.
• McCrimmon, Kevin (2004). A taste of Jordan algebras. Universitext. Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/b97489. ISBN 978-0-387-95447-9. MR 2014924. Zbl 1044.17001. Errata.
• Mikheev, I.M. (1976). "Right nilpotency in right alternative rings". Siberian Mathematical Journal. 17 (1): 178–180. doi:10.1007/BF00969304.
• Okubo, Susumu (2005) [1995]. Introduction to Octonion and Other Non-Associative Algebras in Physics. Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics. Vol. 2. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511524479. ISBN 0-521-01792-0. Zbl 0841.17001.
• Rosenfeld, Boris (1997). Geometry of Lie groups. Mathematics and its Applications. Vol. 393. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4390-5. Zbl 0867.53002.
• Rowen, Louis Halle (2008). Graduate Algebra: Noncommutative View. Graduate studies in mathematics. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-8408-5.
• Schafer, Richard D. (1995) [1966]. An Introduction to Nonassociative Algebras. Dover. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601.
• Zhevlakov, Konstantin A.; Slin'ko, Arkadii M.; Shestakov, Ivan P.; Shirshov, Anatoly I. (1982) [1978]. Rings that are nearly associative. Translated by Smith, Harry F. ISBN 0-12-779850-1.