닐포텐트

수학에서, 링 R의 원소 x는 지수(또는 때로는 도)라고 불리는 어떤 양의 정수 n이 x = 0인 경우에ⁿ nilpotent라고 불린다.

이 용어는 벤자민 페어스가 알헤브라의 분류에 관한 그의 연구의 맥락에서 도입되었다.^[1]

예

• 이 정의는 특히 사각 행렬에 적용할 수 있다.행렬

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$

A³ = 0이기 때문에 nilpotent. 자세한 내용은 nilpotent 행렬을 참조하십시오.

• 인자 링 Z/9Z에서, 3은² 0 모듈로 9와 일치하기 때문에 3의 등가 등급은 0이다.
• 링 R에서 두 원소 a, b는 ab = 0을 만족한다고 가정한다.그러면 c = ba 원소는 c² = (ba)² = b(ab)a = 0으로 nilpotent가 된다.행렬(a, b의 경우):

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\0&1\end{pmatrix},\;;;;;;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$

여기서 AB = 0, BA = B.

• 정의에 따르면, nilsemigroup의 어떤 요소도 nilpotent이다.

특성.

nilpotent 요소는 단위가 될 수 없다(단 하나의 원소가 0 = 1인 사소한 링 {0}은 제외).모든 영점 원소는 영점 원소다.

필드의 항목이 있는 n-by-n 행렬 A는 그 특성 다항식이 t인ⁿ 경우에만 영점이다.

x가 nilpotent인 경우, 1 - x는 단위인데, xⁿ = 0이 수반되기 때문이다.

${\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}=1-x^{n}=1.}$

보다 일반적으로 단위 원소와 영점 원소의 합은 통근 시 단위다.

정류 링

정류 링 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 nilpotent 원소는 이상적인 $N{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을 형성한다$.$ 이는 이항 정리의 결과물이다.이 이상은 반지의 영선적이다.Every nilpotent element ${\displaystyle x}$ in a commutative ring is contained in every prime ideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ of that ring, since ${\displaystyle x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}}$. So ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ is contained in the intersection of all prime ideals.

x ${\displaystyle x}$이(가) nilpotent가 아닌$$ 경우 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$: $s{\displaystyle }$= {${\displaystyle 1}$,${\displaystyle x,}$ x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle }$. . . . ${\displaystyle .\}}${\$displaysty S=\{1$,x$,x^{2},$ . .\와 같이}}∩ S)∅{\displaystyle{\mathfrak{p}}\cap S=\emptyset}.[2]모든 0이 아니가환환이 S− 1R{\displaystyle S^{)}R}. 그 총리 이상 정확하게는 지역화된 반지 해당한다의 주된 이상 p{\displaystyle{\mathfrak{p}}}R{R\displaystyle}p와 0이 아닌 반지를 끼워줄. 를 m차축 이상(primal imide, prime)은 모든 비-nilpotent $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$은(는) 어떤 최상 이상에 포함되어 있지$$ 않다.따라서 $N{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(^[3]는) 모든 주요 이상과 정확히 교차하는$$ 것이다.

제이콥슨 급진적이고 단순한 모듈의 소멸과 유사한 특성은 nilradical에 대해 이용할 수 있다: 링 R의 영점 요소는 링 R의 내부 모든 통합 영역(즉, 프라임 이상 I에 대한 R/I 형식)을 소멸시키는 요소들이다.이것은 영적 관념이 모든 주요 이상들의 교차점이라는 사실에서 비롯된다.

리 대수에서 닐포텐트 원소

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) Lie 대수학으로 삼는다.$그러면{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\$의 원소가 $[{\displaystyle g}$, ${\displaystyle g}$]$${\$displaystyle$[{\$mathfrak {g},{\mathfrak {g}}}$에 있고 광고$$ ⁡${\displaystyle x}$ ${\displaysty \operatorname$ {$ad}x}$이 nilpotent 변환인 경우$$$$ nilpotent라고 한다.리 대수에서 조던 분해도 참조한다.

물리학의 잠재력

유한한 치수 공간의 모든 사다리 연산자는 영점이다.이들은 생성 및 소멸 연산자를 나타내며, 예를 ${\displaystyle 들어\mathrm{}}$ Pauli 매트릭스 and ±${\displaystyle {}_{}}$= (${\displaystyle {\sigma }_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$± i ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$)${\displaystyle }$/ 2 ${\displaystyle \sigma _{\pm }=(\sigma _{x$}\pm i$\sigma _{y}/2$}$$$.$

Q² = 0을 만족하는 피연산자 Q는 영점이다.페르미오닉 필드의 경로 적분 표현을 허용하는 그래스만 번호는 정사각형이 사라지기 때문에 영점이다.BRST 전하가 물리학의 중요한 예다.

선형 연산자가 연관 대수학 및 따라서 링을 형성하므로, 이것은 초기 정의의 특별한 경우다.^[4][5]보다 일반적으로 위의 정의에 비추어 볼 때, 연산자 Q는 Qⁿ = 0(영점 함수)과 같은 n ∈ N이 있으면 영점이다.따라서 선형 지도는 어떤 기준으로 영점 행렬을 갖는 경우 영점이다.이에 대한 또 다른 예는 외부 파생상품(n = 2와 동일)이다.둘 다 초대칭 이론과 모스 이론을 통해서도 연결되어 있는데,^[6] 이는 에드워드 위튼이 유명 기사에서 보여주듯이 말이다.^[7]

원천이 없는 평면파의 전자기장은 물리적 공간의 대수적 관점에서 표현될 때 영점이다.^[8]좀 더 일반적으로 이론 도출에 사용되는 미세한 긍정성의 기법은 영일전트나 닐스퀘어 인피니티멀을 사용하며, 부분적으로는 매끄러운 최소 분석이다.

대수적 영감미료

2차원 이중 번호는 영점 공간을 포함한다.Other algebras and numbers that contain nilpotent spaces include split-quaternions (coquaternions), split-octonions, biquaternions ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} }$, and complex octonions ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {O} }$.

참고 항목

• idempotent 원소(링 이론)
• 전지전능
• 환원반지
• 닐 이상

참조