주문 반지

추상 대수학에서 순서 링은 (대개 역행) R이고, R에서 모든 a, b, c에 대해 총 순서 ≤이다.^[1]

• 만약 a b b이면, a + c b b + c.
• 0 ≤ a와 0 ≤ b일 경우 0 ≤ ab.

예

순서반지는 산술적으로 보아 친숙하다.예로는 정수, 이성, 실수를 들 수 있다. ^[2](사실상 순서가 정해진 분야의 이성 및 실재)대조적으로 복잡한 숫자들은 원소 1과 i 사이에 고유의 순서 관계가 없기 때문에 순서 링이나 필드를 형성하지 않는다.

양원소

실수와 유사하게, 우리는 순서가 정해진 링 R의 요소 c를 0 < c는 양수, c < 0. 0은 양수도 음수도 아닌 것으로 간주되는 경우 음수라고 부른다.

순서가 지정된 링 R의 양성 요소 집합은 종종 R로₊ 표시된다.일부 분야에서 선호하는 대안 표기법은 비음성 요소 집합에는 R을₊, 양성 요소 집합에는 R을₊₊ 사용하는 것이다.

절대값

${\displaystyle a}$이(가) 순서가 지정된 링 R의$$ ${\displaystyle 요소}$인${\displaystyle }$경우 {\$displaystyle a}$으로$$표시된 {\$displaystyle$a$\}$의 절대값이 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle a :={\package{case}a,&{\mbox{if }0\leq a,\\-a,&{\mbox{mbox}},\end{case}}}}}$

여기서 -${\displaystyle -a}$은(는) ${\displaystyle a}$의 가법 역이며 0은 가법 ID 요소다.

이산 순서 링

이산순서의 링 또는 이산순서의 링은 0과 1 사이에 원소가 없는 순서의 링이다.정수는 분리된 순서 고리지만, 합리적인 숫자는 그렇지 않다.

기본 속성

모든 a, b, c에 대해 R:

• 만약 ≤ b와 0 ≤ c이면, ac ≤ bc.^[3]이 속성은 위 정의에서 두 번째 속성 대신 순서가 정해진 링을 정의하는 데 사용되기도 한다.
• ab = b.^[4]
• 사소하지 않은 주문 반지는 무한하다.^[5]
• 정확히 다음 중 하나가 참이다: a는 양수, -a는 양수 또는 a = 0이다.^[6]이 속성은 순서가 정해진 고리가 아벨리안, 추가와 관련하여 선형적으로 순서가 정해진 집단이라는 사실에서 따온 것이다.
• 순서가 정해진 고리에서는 어떤 부정적인 요소도 정사각형이 아니다.^[7]그 이유는 만약 0 0과 a = b², 그 다음에 b ≠ 0과 a = (-b)²가 양이면, b 또는 -b가 양이면, a는 음이 아니어야 하기 때문이다.

참고 항목

• 순서필드
• 순서군
• 순서 위상 벡터 공간
• 순서가 지정된 벡터 공간 – 부분 순서의 벡터 공간
• 부분 주문된 링 – 호환 가능한 부분 주문의 링
• 부분적으로 정렬된 공간 – 부분적으로 정렬된 위상학적 공간
• 리에즈 공간 – 부분적으로 정렬된 벡터 공간, 격자로 정렬된 공간
• 벡터 격자

메모들

아래 목록은 IsarMathLib 프로젝트에 의해 공식적으로 확인된 이론에 대한 참조를 포함한다.