제로링

대수 구조 → 고리 이론 링 이론
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비가환 대수 비가환환 • 분할 링 • 반잠수 링 • 심플링 • 정류자 비가환 대수 기하학 자유 대수 클리포드 대수 • 기하학 대수 연산자 대수
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수학의 한 분야인 링 이론에서 제로^{[1][2][3][4][5]} 링 또는 사소한 링은 하나의 원소로 이루어진 (동형사상까지) 유일한 링이다. (흔히 "제로 링"이라는 용어는 제곱 제로, 즉 xy = 모든 x와 y에 대해 0인 rng을 가리키기 위해 사용된다.)이 문서에서는 원 엘리먼트링을 언급하고 있습니다).

링의 카테고리에서 제로 링은 단말 오브젝트이며 정수Z의 링은 초기 오브젝트입니다.

정의.

0 링은 0 + 0 = 0 및 0 · 0 = 0으로 정의된 연산 + 및 ·의 1소수 집합 {0}으로 구성됩니다.

특성.

• 제로 링은 가법 항등식 0과 곱셈 항등식 1이 ^[6][7]일치하는 고유 링입니다(증명: 링 R에서 1 = 0이면 R의 모든 r에 대해 r = 1r = 0r = 0입니다).마지막 평등의 증거는 여기에서 찾을 수 있습니다.)
• 제로 링은 교환적입니다.
• 제로링의 요소 0은 단위이며, 그 자체의 곱셈역으로서 기능합니다.
• 제로 링의 단위 그룹은 Trivial 그룹 {0}입니다.
• 제로 링의 요소 0은 제로 제수가 아닙니다.
• 제로 링의 유일한 이상은 제로 아이디얼 {0}이며, 단위 아이디얼이기도 하며 링 전체와 동일합니다.이 이상은 최대도 아니고 소수도 아니다.
• 제로 링은 일반적으로 필드에서 제외되지만, 경우에 따라서는 Trivial 필드라고도 불립니다.그것을 제외하는 것은 그것의 제로 아이디얼이 최대가 아니라는 사실과 일치한다.(수학자들이 "하나의 요소를 가진 장"을 언급할 때, 그들은 존재하지 않는 물체를 가리키며, 만약 그것이 존재한다면 그 물체에 대한 계획의 범주가 될 범주를 정의하는 것을 의도한다.)
• 제로링은 일반적으로 통합 ^[8]도메인에서 제외됩니다.제로링이 도메인으로 간주되는지 여부는 관례에 따라 다르지만 도메인이 아니라고 간주하는 것에는 두 가지 이점이 있습니다.첫째, 이는 도메인이 0만이 제로 제수인 링이라는 정의와 일치합니다(특히 0은 제로 제수여야 하며 제로 링에서는 실패합니다).둘째, 이와 같이 정의 정수 n에 대해 링 Z/nZ는 n이 프라임이지만 1이 프라임이 아닌 경우에만 도메인이다.
• 각 링 A에 대해서, A로부터 제로 링에 이르기까지, 일의의 링 동형이 존재한다.따라서 제로링은 ^[9]링 카테고리의 단말 객체입니다.
• A가 0이 아닌 링일 경우 제로 링에서A로의 링 동형성은 없습니다.특히 제로링은 제로링 이외의 ^[10]서브링이 아닙니다.
• 제로 링은 특성 1의 고유 링입니다.
• 제로 링의 유일한 모듈은 제로 모듈입니다.임의의 기수 א에 대해 랭크 for가 없다.
• 제로링은 로컬링이 아닙니다.그러나 그것은 반음정 반지이다.
• 제로 링은 아르티니아와 노에테리안입니다.
• 제로링의 스펙트럼은 빈 ^[11]방식입니다.
• 제로 링의 크럴 치수는 -θ입니다.
• 제로링은 반단순하지만 간단하지는 않다.
• 제로 링은 어떤 필드에서도 중심 단순 대수가 아닙니다.
• 제로 링의 합계 몫 링은 그 자체입니다.

구성

• 모든 고리 A 및 A의 이상 I의 경우, 내가 단위 이상일 경우에만 몫 A/I가 영 고리이다.
• 가환링 A 및 A의 곱셈세트 S에 대해 S가 0을 포함하는 경우에만 현지화⁻¹ SA가 제로 링이 됩니다.
• A가 임의의 링일 경우 A 위의 0 × 0 행렬의 링₀ M(A)이 제로 링입니다.
• 빈 링 집합의 직접적인 산물은 제로 링입니다.
• Trivial 그룹의 내형성 링은 제로 링입니다.
• 빈 토폴로지 공간상의 연속 실수치 함수의 링은 제로 링입니다.

메모들

레퍼런스

• 마이클 아틴, 대수학, 프렌티스 홀, 1991년
• Siegfried Bosch, 대수기하학과 교환대수, Springer, 2012.
• M. F. Atiyah와 I. G. 맥도날드, Adison-Wesley, 1969.
• N. Bourbaki, 대수 I, 1-3장
• 로빈 하트손, 스프링거 대수기하학 1977년
• T. Y. Lam, 고전 링 이론 연습, 스프링어, 2003.
• Springer, 대수학 제3판, Serge Lang, 2002.