컴포지션 링

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수학에서 (Adler 1962년)에 도입된 구성 링은 교호환(R, 0, +, -, ·)이며, ID 1이 없는 경우(비유니탈 링 참조), 연산(Operative ring)과 함께 사용할 수 있다.

$R\displaystyle \circle :R\time R\오른쪽 화살표 R}$

예를 $들어{\displaystyle ,}$ f ,${\displaystyle g}$ , ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f,g,h\in R}$에 대해, 하나가

1. ${\displaystyle (f+g)\display h=(f\pair h)+(g\pair h)}$
2. ${\displaystyle (f\cdot g)\disp h=(f\cdot h)\cdot(g\cdot h)}$
3. $(f\displaystyle (f\property g)\f=f\pair (g\pair h).}$

It is not generally the case that ${\displaystyle f\circ g=g\circ f}$, nor is it generally the case that ${\displaystyle f\circ (g+h)}$ (or ${\displaystyle f\circ (g\cdot h)}$) has any algebraic relationship to ${\displaystyle f\circ g}$ and ${\displaystyle f\circ h}$$$.

예

새로운 것을 소개하지 않고 정류 링 R을 컴포지션 링으로 만드는 몇 가지 방법이 있다.null

• 구성은 모든 f,g에 대해$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ g${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f\circule g=0}$로 정의할 수 있다.결과적인 작곡 링은 다소 흥미가 없다.
• 구성은 모든 f,g에 대해$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ g${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circle g=f}$로 정의할 수 있다.이것이 상수함수에 대한 구성 규칙이다.
• R이 부울 링인 경우, 곱셈은 모든 f,g에 $대해$ f${\displaystyle }$: g${\displaystyle }$= f ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\circle g=fg}$의 구성으로 두 배가 될 수 있다.

보다 흥미로운 예는 R로 구성된 다른 링의 구성을 정의함으로써 형성될 수 있다.null

• 다항 링 R[X]은 (${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$ g${\displaystyle }$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= g ( ${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle (f\circle$ g$)(x)=f(g(x)}}$ 모든 $f{\displaystyle }$, g ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R}${\$displaystyle f,g\in R}$에 대한$$ 합성 링이다$.$
• 공식 파워 시리즈 링 R[X]도 대체 연산을 가지지만, 대체되는 시리즈 g가 0의 상수 항을 갖는 경우에만 정의된다(만약 그렇지 않다면 결과의 상수 항은 임의 계수가 있는 무한 시리즈에 의해 주어진다).따라서 상수계수가 0인 파워 시리즈에 의해 형성된 R[X]의 부분집합은 다항식(다항식)과 동일한 대체 규칙에 의해 주어진 구성으로 구성 링으로 만들 수 있다.0이 아닌 상수 시리즈가 없기 때문에 이 합성 링에는 승수 단위가 없다.
• R이 통합 도메인인 경우, 합리적인 함수의 필드 R(X)도 다항식으로부터 파생된 대체 연산을 가지고 있다: X의 분수 g₁/g를₂ 도 n의 다항식으로 대체하면 g $분모{\displaystyle {}_{}^{}}$ g ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$와 함께 합리적인 함수를 제공하며, 분수로 대체하는 것은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\f_{1}:{f_{2}}:\properties g={\frac {f_{1}\properties g}{f_{2}\properties g}}.}$

단, 공식 파워 시리즈에 대해서는 오른쪽 피연산자 g가 ${\displaystyle \mathrm{상수}}$일 때 구성을 항상 정의할 수 없다. 분모 f ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ g ${\displaystyle f_{2}\circg}$가 주어지는 공식에서 구성이 동일한 0이 되어서는$$ 안 된다.따라서 잘 정의된 구성 연산을 가지려면 R(X)의 서브링으로 제한해야 한다. 적절한 서브링은 분자가 0의 상수 항을 가지지만 분모는 0이 아닌 상수 항을 갖는 합리적인 함수에 의해 주어진다.다시 말하지만 이 구성 링은 승법 단위가 없다; 만약 R이 필드라면, 그것은 사실상 공식 파워 시리즈 예제의 서브링이다.

• 점적 덧셈과 곱셈에 따라 R에서 R까지의 모든 함수 집합과 함수 구성에 의해 주어지는$$ $\circ {\displaystyle }$ ${\디스플레이$ 스타일 $\circle$}이(가) 조합 링이다.이러한 개념이 이치에 맞는 경우 링에서 그 자체로 연속적이고 매끄러운 홀모픽 또는 다항식 함수의 링과 같은 이 사상의 수많은 변형이 있다.

구체적인 예를 들어, $정수$에서 그 자체로 다항식 맵의 링으로 간주되는${\displaystyle 링}$Z [ x ] {\$displaystyle${\mathb {$Z}$}[x$]}$을(를) 예로 들어보자.고리 내형성

${\displaystyle F:{\mathb {Z} }[x]\오른쪽 화살표 {\mathb {Z} }[x]}$

$z{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle {\mathb {Z}}[x]}$은(는) 변수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$에 따른 영상에 의해 결정되며$$, 이 값은 다음과 같다$.$

${\displaystyle f=F(x)}$

and this image ${\displaystyle f}$ can be any element of ${\displaystyle {\mathbb {Z} }[x]}$. Therefore, one may consider the elements ${\displaystyle f\in {\mathbb {Z} }[x]}$ as endomorphisms and assign ${\displaystyle \circ :{\mathbb {Z} }[x]\times$$$따라서 ${\mathb {Z} {}[x]\오른쪽$ 화살표 ${\mathb {Z} }[x$$Z{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle {\mathb {Z}} }[x]}$이(가) 위의 공리를 만족하는지$$ 쉽게 검증한다.예를 들어, 사람은

${\displaystyle (x^{2}+3x+5)\cHB(x-2)=(x-2)^{2}+3(x-2)+5=x^{2}-x+3.}$

이 예는 R이 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$과(와) 같은 R[X]의 예와 다항 함수에 의해 형성된$$ 모든 함수 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$→ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$ style $\mathb {Z} \to \mathb {Z}$의 하위링에 대해서도 이형이다.null

참고 항목

• 구성 연산자
• 다항식 분해
• 칼레만 행렬

참조

• Adler, Irving (1962), "Composition rings", Duke Mathematical Journal, 29 (4): 607–623, doi:10.1215/S0012-7094-62-02961-7, ISSN 0012-7094, MR 0142573