요르단 대수

추상대수학에서 요르단 대수학은 곱셈이 다음과 같은 공리를 만족하는 분야에 대한 비관련 대수학이다.

$xy=yx$ $xy=yx$ = $xy=yx$ $xy=yx$ ${\displaystyle xy=yx}($ 명령법)
$(xy)(xx)=x(y(xx))$ $(xy)(xx)=x(y(xx))$ $(xy)(xx)=x(y(xx))$ ) $(xy)(xx)=x(y(xx))$ ( $(xy)(xx)=x(y(xx))$ $(xy)(xx)=x(y(xx))$ ) $(xy)(xx)=x(y(xx))$ = $(xy)(xx)=x(y(xx))$ ( $(xy)(xx)=x(y(xx))$ $(xy)(xx)=x(y(xx))$ ) $(xy)(xx)=x(y(xx))$ 조던 아이덴티티).

요르단 대수에서 두 원소 x와 y의 산물도 x y y로 표시되며, 특히 관련 연관 대수 산물과의 혼동을 피하기 위해 더욱 그러하다.

공리는 요르단 대수학(Jordan 대수학)이 전력 관련이라는 것을 암시하는데^[1], $x^{n}=x\cdots x$ 는 x $x^{n}=x\cdots x$ = x $x^{n}=x\cdots x$ ⋯ $x^{n}=x\cdots x$ $x^{n}=x\cdots x$ 가 우리가 이 표현을 괄시하는 방식과 무관하다는 $x^{n}=x\cdots x$ 것을 의미한다.또한 모든 양의 정수 m과 n에 대해 $x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)$ $x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)$ m $x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)$ ( $x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)$ $x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)$ $x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)$ ) $x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)$ = $x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)$ $x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)$ ( $x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)$ $x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)$ $x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)$ ) ${\displaystyle x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y$ )}}을 암시한다^[1] $.$ 따라서, 우리는 요르단 대수학을 역교역적, 전력 관련 대수라고 동등하게 정의할 수 있다. 즉, $어떤$ 요소 x $x$ 에 대해 $x$ 파워 $x^{n}$ $x^{n}$ ${\$ 의 $x^{n}$ 곱셈 연산을 모든 통근으로 정의할 수 있다.

요르단 알헤브라는 파스쿠알 요르단(1933년)에 의해 양자역학에서 관측 가능한 대수학의 개념을 공식화하기 위해 처음 도입되었다.원래는 "r-숫자 체계"라고 불렸으나, 일반 요르단 알헤브라의 체계적 연구를 시작한 아브라함 아드리안 알버트(1946)에 의해 "조단 알헤브라스"로 개칭되었다.

특수 요르단 알헤브라스

연관 대수 A(특성 2가 아님)를 주어진다면, 동일한 기저 부가 벡터 공간을 사용하여 요르단 대수 A를⁺ 구성할 수 있다.연관 대수학은 만약 그것이 일치한다면 그리고 단지 일치한다면 조던 대수라는 것을 먼저 주목하라.만약 그것이 상호작용이 아니라면, 우리는 그것을 상호작용으로 만들기 위해 A에 새로운 곱셈을 정의할 수 있고, 실제로 그것을 요르단 대수학으로 만들 수 있다.새로운 곱셈 x ∘ y는 Jordan 제품이다.

x\property y={\frac {xy+yx}{2}.

이것은 요르단 대수학 A를⁺ 정의하는데, 우리는 요르단 알헤브라를 요르단 알헤브라의 하위 알헤브라, 특별한 요르단 알헤브라스라고 부른다.다른 모든 요르단 알헤브라는 예외적인 요르단 알헤브라스라고 불린다.셜쇼프-콘 정리는 발전기가 두 개인 요르단 대수학이라면 어떤 것이든 특별하다고 명시하고 있다.^[2]이와 관련, 맥도날드의 정리에서는 세 변수의 어떤 다항식, 즉 변수들 중 하나에 도 1을 가지고 있고, 모든 특별한 요르단 대수학에서 소멸되는 다항식은 모든 요르단 대수학에서 소멸한다고 기술하고 있다.^[3]

에르미타인 요르단 알헤브라스

만약 (A, ))가 비자발 σ과 연관 대수라면, σ(x)=x와 σ(y)=y가 그 뒤를 따른다.

\displaystyle \sigma(xy+yx)=xy+yx.}

따라서 비자발(은둔자 원소라고도 함)에 의해 고정된 모든 원소의 집합은 A의⁺ 아등분자를 형성하는데, 이것은 때때로 H(A,1938)로 표기되기도 한다.

예

1. 곱셈이 있는 자화자찬 리얼, 콤플렉스, 쿼터니온 행렬의 집합

{\displaystyle(xy+yx)/2}

요르단 특기 대수학을 편성하다

2. 팔괘에 걸쳐서 3×3 자가 성직 행렬의 세트, 다시 곱셈을 한다.

{\displaystyle(xy+yx)/2,}

27차원, 예외적인 요르단 대수학이다(옥톤은 연관성이 없기 때문에 예외적이다).이것은 알버트 대수학의 첫 번째 예였다.그것의 자동화 그룹은 예외적인 Lie 그룹₄ F이다.복잡한 숫자에 걸쳐서 이것은 이소모르피즘에 이르는 유일한 예외적인 요르단 대수기 때문에,^[4] 종종 "예외적인 요르단 대수기"라고 일컬어진다.실제 수치로는 요르단 알헤브라의 3가지 이형성 등급이 있다.^[4]

파생 및 구조 대수

요르단 대수 A의 파생은 D(xy) = D(x)y+xD(y)와 같은 A의 내형성 D이다.파생어는 리 대수 데르(A)를 형성한다.요르단 정체성은 x와 y가 A의 요소라면, z를 x(yz)-y(xz)로 보내는 내형성이 파생이라는 것을 암시한다.따라서 A와 데르(A)의 직접 합은 A, str(A)의 구조 대수라고 불리는 리 대수학으로 만들 수 있다.

간단한 예는 에르미타인 요르단 알헤브라스 H(A,1911)에 의해 제공된다.이 경우 σ(x)=-x를 가진 A의 어떤 원소 x는 파생을 정의한다.많은 중요한 예에서 H(A,1973)의 구조 대수학은 A이다.

파생과 구조 알헤브라는 또한 티츠가 프로이트헨탈 마법 광장을 건설하는 것의 일부를 형성한다.

정식으로 진짜 요르단 알헤브라스

실수에 대한 A(아마도 비연관적) 대수학은 각각 개별적으로 소멸할 경우에만 n 제곱의 합이 소멸할 수 있는 속성을 만족한다면 정식으로 실재한다고 한다.1932년, 요르단은 양자 시스템의 관측 가능성의 대수학은 공식적으로는 실제 대수학으로서 상쇄적(xy = yx)과 권력 연관적(연관법칙은 x만을 포함하는 제품에 대해 유지되므로 어떤 원소 x의 힘도 명료하게 정의되지 않아야 한다)을 말하며 양자 이론을 공리화하려고 시도했다.그는 그러한 대수학이 모두 요르단 대수라는 것을 증명했다.

모든 요르단 대수학이 공식적으로 진짜인 것은 아니지만, 요르단, 폰 노이만&위그너(1934)는 유한차원적 정식 실제 요르단 알헤브라를 분류했는데, 유클리드 요르단 알헤브라스라고도 불린다.모든 공식적인 실제 요르단 대수학은 소위 단순한 것의 직접적인 합으로 쓰여질 수 있는데, 그것은 그 자체가 비종교적인 방식으로 직접 합이 아니다.유한한 차원에서는, 요르단 알헤브라는 4개의 무한가족으로 구성되며, 예외적인 경우는 다음과 같다.

위와 같이 n×n 자칭 실제 행렬의 요르단 대수.
위와 같이 n×n 자기 적응 복합 행렬의 요르단 대수.
요르단 대수학. n×n 자가 적응 quaternionic 행렬.상기와 같이
R과ⁿ 관계에서 자유롭게 생성되는 요르단 대수학
$x^{2}=\langle x,x\angle$

R의 일반적인 내부 제품을ⁿ 사용하여 우측을 정의한다.이것을 때때로 스핀인자 또는 클리포드 유형의 요르단 대수라고 부른다.

위와 같이 요르단 대수 3×3 자기 적응형 옥토니언 행렬(알베르트 대수라고 하는 예외적인 요르단 대수).

이러한 가능성들 중에서, 지금까지 자연은 n×n 복합 매트릭스만을 관측 가능성의 알헤브라로 사용하는 것으로 보인다.그러나 스핀 인자는 특수상대성이론에서 역할을 하며, 공식적으로 진짜 요르단 알헤브라는 모두 투영 기하학과 관련이 있다.

페이르스 분해

만약 e가 요르단 대수 A (e² = e)에 있는 idempotent이고 R이 e에 의한 곱셈의 연산이라면, 그러면

R(2R − 1)(R − 1) = 0

그래서 R의 유일한 고유값은 0, 1/2, 1. 만일 요르단 대수 A가 2가 아닌 특성 영역에 걸쳐 유한한 차원이라면, 이는 3개의 아이겐스페이스 중 A = A₀(e) ⊕ A_1/2₁(e)의 직접적인 합계임을 암시한다.이 분해는 요르단, 폰 노이만&위그너(1934)에 의해 완전히 진짜 요르단 알헤브라를 위해 처음 고려되었다.나중에 알버트(1947)에 의해 완전히 일반화 되어 연구되었고, idempotent e에 상대적인 A의 Peirce 분해라고 불렀다.^[5]

일반화

무한차원 요르단 알헤브라스

1979년, 에핌 젤마노프는 요르단 알헤브라를 무한 차원 단순(그리고 주요 비감소)으로 분류했다.그들은 에르미트어 또는 클리포드형이다.특히 요르단 알헤브라는 유일하게 차원이 27개인 유한차원 알베르트 알헤브라스다.

요르단 운영자 알헤브라스

오퍼레이터 알헤브라의 이론은 요르단 오퍼레이터 알헤브라를 포함하도록 확장되었다.

C*알게브라의 상대방은 JB알게브라스인데, 유한차원으로 유클리드 요르단알게브라스라고 한다.실제 요르단 대수학의 표준은 완전해야 하며 공리를 만족시켜야 한다.

\a\b\\leq \\cdot \b\,\\\,\,\^{2}\\\\\\\\\\\\\\\\\\^{2}\\^{2}+b^{2}\lq \^{2}\}\lq \{2}}}}}}}

이 공리들은 요르단 대수학이 공식적으로 실제라는 것을 보증하기 때문에, 만약 항들의 제곱합이 0이라면, 그 항들은 0이어야 한다.JB알제브라의 복합체는 조던 C*알제브라스 또는 JB*알제브라스라고 불린다.그것들은 경계 대칭 영역에 대한 코허의 요르단 대수학 처리를 무한대로 확장하기 위해 복잡한 기하학에서 광범위하게 사용되어 왔다.모든 JB 알헤브라는 한정된 차원 그대로 힐버트 공간의 자기 적응 연산자의 요르단 알헤브라로서 실현될 수 있는 것은 아니다.예외적인 앨버트 대수학은 일반적인 방해물이다.

폰 노이만 알헤브라의 요르단 대수 아날로그는 JBW 알헤브라가 연주한다.이들은 바나흐 공간으로서 바나흐 공간의 이중 공간인 JB 알제브라임이 밝혀졌다.폰 노이만 알헤브라의 구조 이론의 대부분은 JBW 알헤브라스에게 전해질 수 있다.특히 중심이 R로 축소된 JBW 요인은 폰 노이만 알헤브라의 관점에서 완전히 이해된다.예외적인 Albert 대수학과는 별도로, 모든 JWB 인자는 약한 운영자 위상에서 닫힌 힐버트 공간의 자기 적응 연산자의 조던 알헤브라스로서 실현될 수 있다.이 중에서 스핀 인자는 실제 힐버트 공간에서 매우 간단하게 구성될 수 있다.다른 모든 JWB 인자는 폰 노이만 인자의 자기 적응형 부분 또는 폰 노이만 인자의 기간 2 *-항-항-항-항-항-항-항-항-항-항-항-하위형인자에 따른 고정점 하위점이다.^[6]

요르단 반지

요르단 고리는 요르단 알헤브라를 일반화한 것으로, 요르단 고리는 밭이 아닌 일반 고리 위에 있어야만 한다.또는 요르단 고리를 요르단 정체성을 존중하는 상호 연관성이 없는 고리로 정의할 수 있다.

요르단 슈퍼걸브라스

Jordan superalgebras were introduced by Kac, Kantor and Kaplansky; these are $\mathbb {Z} /2$ -graded algebras $J_{0}\oplus J_{1}$ where $J_{0}$ is a Jordan algebra and $J_{1}$ has a "Lie-like" product with values in $J_{0}$ $J_{0}$ 0 ${\$ ^[7]

$\mathbb {Z} /2$ Z $\mathbb {Z} /2$ / $\mathbb {Z} /2$ ${\displaystyle \mathb {Z} /$ 2 $}$ -graded $\mathbb {Z} /2$ connection $A_{0}\oplus A_{1}$ A $A_{0}\oplus A_{1}$ $A_{0}\oplus A_{1}$ A 1 {\ $displaystyle A_{0$ }\ $oplus$ A_ ${1$ }{1 $}}}$ 등급이 매겨진 조던 가새와 관련하여 요르단 슈퍼골라가 $A_{0}\oplus A_{1}$ 됨

\{x_{i}\}=x_{i}y_{j}+(-1)^{ij}y_{j}x_{i}\.

특성 0의 대수적으로 닫힌 분야 위에 있는 요르단 단순 슈퍼걸브라는 Kac(1977년)에 의해 분류되었다.이들 중에는 몇 개의 가족과 일부 예외적인 알헤브라가 포함되어 있는데, 특히 $K_{3}$ $K_{3}$ 3 ${\$ K $K_{10}$ ${\$ 등이 있다 $K_{10}$

J 구조체

J-구조의 개념은 스프링거(1973) 에 의해 도입되어, 선형 대수학 그룹과 공리를 이용한 요르단 알헤브라의 이론을 발전시켜 요르단 역전을 기본적 연산으로, 화아의 정체성을 기본적 관계로 삼았다.2와 같지 않은 특성에서 J-구조 이론은 요르단 알헤브라의 이론과 본질적으로 동일하다.

2차 요르단 알헤브라스

2차 요르단 알헤브라는 케빈 맥크림몬(1966)이 도입한 (선형) 요르단 알헤브라를 일반화한 것이다.선형 요르단 대수학의 2차적 표현에 대한 근본적인 정체성은 임의적 특성 분야에 걸쳐 2차 요르단 대수학을 정의하기 위한 공리로 사용된다.특징과는 무관하게 유한차원 단순 2차원의 요르단 알헤브라에 대한 균일한 설명이 있다: 2차원의 요르단 알헤브라의 이론은 선형 요르단 알헤브라의 이론으로 축소된다.

참고 항목

메모들

^ ^a ^b Jacobson 1968, 페이지 35–36, 구체적으로 (56)와 정리 8 전에 언급한다.
^ 맥크림몬 2004, 페이지 100
^ 맥크림몬 2004 페이지 99
^ ^a ^b Springer & Veldkamp 2000, §5.8, 페이지 153
^ 맥크림몬 2004, 페이지 99 et seq, 235 et seq
^
참조:
^ 매크림몬 2004 페이지 9-10

참조

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Albert, A. Adrian (1947), "A structure theory for Jordan algebras", Annals of Mathematics, Second Series, 48 (3): 546–567, doi:10.2307/1969128, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969128, MR 0021546
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추가 읽기

Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998), The book of involutions, Colloquium Publications, vol. 44, With a preface by J. Tits, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0904-0, Zbl 0955.16001

외부 링크

플래닛매트릭스 요르단 대수
플래닛매트릭스의 요르단-바나흐 및 요르단-리 알헤브라스

[Jacobson68p35-1] Jacobson 1968, 페이지 35–36, 구체적으로 (56)와 정리 8 전에 언급한다.

[mcc100-2] 맥크림몬 2004, 페이지 100

[mcc99-3] 맥크림몬 2004 페이지 99

[Springer00-4] Springer & Veldkamp 2000, §5.8, 페이지 153

[5] 맥크림몬 2004, 페이지 99 et seq, 235 et seq

[6] 참조:
한체올슨 & 스토머 1984

업마이어 1985년

업마이어 1987

패러 앤 코라니 1994

[7] 한체올슨 & 스토머 1984

[8] 업마이어 1985년

[9] 업마이어 1987

[10] 패러 앤 코라니 1994

[7] 매크림몬 2004 페이지 9-10

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