부울 링

수학에서 부울 링 R은 R에서 모든 x에 대해 x² = x를 나타내는 고리, 즉 공증분 원소로만 구성된 링이다.^[1][2][3]예를 들어 정수모듈로2의 링이 있다.

모든 부울 링은 부울 대수학(Boolean 대수학)을 낳는데, 그 중 링 곱셈은 접속사 또는 충족에 해당하며, 링은 배타적 분리 또는 대칭적 차이에 추가된다(Sublination ∨^[4]을 구성하지 않음).부울 링은 부울 대수학의 창시자인 조지 부울의 이름을 따서 명명되었다.

공증

부울 링과 알헤브라의 표기법에는 적어도 네 가지 서로 다르고 양립할 수 없는 계통이 있다.

• 정류 대수에서 표준 표기법은 x와 y의 링 합에 x + y = (x ∧ ¬ y) ∨ ( ( x ∧ y)를 사용하고, xy = x ∧ y를 그들의 제품에 사용한다.
• 논리학에서 일반적인 표기법은 미팅(링 제품과 동일)에 x ∧ y를 사용하고 조인에는 x ∨ y를 사용하는 것으로, (바로 위에 주어진) x + y + xy로 링 표기법 측면에서 주어진다.
• 집합 이론과 논리에서는 만남에 x · y를, 조인 x ∨ y에 x + y를 사용하는 것도 일반적이다.이러한 +의 사용은 링 이론에서의 사용과는 다르다.
• 드물게 +의 애매함을 피하기 위해 제품에 xy를, 링섬에 x ⊕ y를 사용하는 것이 관례다.

역사적으로 '부울 링'이라는 용어는 '아이덴티티가 없을 가능성이 있는 부울 링'이라는 뜻으로 사용되었고, '부울 대수'는 정체성이 있는 부울 링이라는 의미로 사용되어 왔다.그 정체성의 존재는 반지를 두 원소의 영역에 걸쳐 대수학으로 간주하기 위해 필요하다. 그렇지 않으면 부울 링에 두 원소의 영역에 (단일) 고리 동형성이 있을 수 없다. (이는 측정 이론에서 "링"과 "알지브라"라는 용어의 옛 용어와 같다.)^[a]

예

부울 링의 한 예는 어떤 세트 X의 파워 세트인데, 여기서 링의 덧셈은 대칭 차이, 곱셈은 교차점이다.또 다른 예로서 X의 모든 유한 부분 집합 또는 공동 마무리 부분 집합도 고려할 수 있으며, 대칭적 차이와 교차로도 운영으로 간주한다.더 일반적으로 이러한 작업에서는 모든 세트 필드가 부울 링이다.스톤 표현 정리법에 의해 모든 부울 링은 세트 한 벌에 이형성(이러한 수술로 링으로 처리됨)된다.

부울알헤브라와 관계

부울 대수에서 조인 연산 ∨은 종종 덧셈적으로 쓰여지기 때문에, 이 맥락에서 배타적 또는 또는 배타적으로 종종 사용되는 기호인 ⊕에 의한 링 덧셈을 나타내는 것이 타당하다.

부울 링 R이 주어지면 R에서 x와 y를 정의할 수 있다.

x ∧ y = xy,

x ∨ y = x ⊕ y ⊕ xy,

¬x = 1⊕ x.

그러면 이러한 연산은 부울 대수에서 만남, 결합 및 보완에 대한 모든 공리를 만족시킨다.따라서 모든 부울 링은 부울 대수가 된다.마찬가지로 모든 부울 대수는 다음과 같이 부울 링이 된다.

xy = x ∧ y,

x ⊕ y = (x ∨ y) ∧(x ∧ y).

부울 링을 이런 식으로 부울 대수로 번역한 다음 부울 대수를 링으로 번역하면 그 결과가 원래의 링이다.비슷한 결과는 부울대수로 시작한다.

두 부울 링 사이의 지도는 해당 부울 알헤브라의 동형인 경우에만 링 동형이다.더욱이 부울 링의 서브셋은 부울 대수의 주문 이상(프라임 순서 이상, 최대 주문 이상)인 경우에만 링 이상(프라임 링 이상, 최대 링 이상)이다.부울 링 모듈로의 지수 링 이상적인 링은 해당 부울 대수 모듈로의 인자 대수치에 해당 순서 이상에 해당한다.

부울 링의 속성

모든 부울 링 R은 R의 모든 x에 대해 x ⊕ x = 0을 만족한다. 왜냐하면 우리는 알고 있기 때문이다.

x ⊕ x = (x ⊕ x)² = x²² ⊕ x ⊕ x²² = x = x = x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

그리고 (R,92)는 아벨 그룹이기 때문에 이 방정식의 양쪽에서 x ⊕ x를 뺄 수 있는데, x ⊕ x = 0을 준다.유사한 증거는 모든 부울 링이 서로 일치한다는 것을 보여준다.

x ⊕ y = (x ⊕ y)² = x² ⊕ xy xy ⊕ y = x ⊕ xy ⊕ y y² y x

그리고 이 값은 xy = yx = 0이며, xy = yx(위의 첫 번째 속성 사용)를 의미한다.

속성 x x x = 0은 모든 부울 링이 정확히 한 가지 방법으로 두 원소가 있는 필드 F에₂ 대한 연관 대수임을 보여준다.특히 모든 유한 부울 링은 카디널리티로서 2의 힘을 가지고 있다.F에₂ 대한 모든 결합 대수학이 부울 링은 아니다: 예를 들어 다항식 링 F[X₂]를 고려하라.

어떤 이상적인 부울 링 R modulo의 지수 링 R/I 나는 다시 부울 링이다.마찬가지로 부울 링의 모든 하위 링은 부울 링이다.

로컬리제이션의 모든 요소가 idempotent이기 때문에 $세트{\displaystyle }$ S ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S\subseteq R}$에 의한 부울 링 R의 모든 ${\displaystyle {}^{}}$ R $S{\displaystyle }$ -${\displaystyle 1^{}}$ ${\$는 부울 링이다$$.

부울 링 R의 인용부 $Q{\displaystyle }$(${\displaystyle R}$) ${\displaystyle Q(R)}($우투미와 람베크의 의미)의 최대 링은 부울 링으로, 모든 부분적 내형성은 특이점이기 때문이다.^[5]

부울 링 R의 모든 주요 이상 P는 최대값이다: 몫 링 R/P는 통합 영역이며 부울 링이기도 하기 때문에 P의 최대성을 보여주는 필드 F와₂ 이형성이 있다.최대 이상은 항상 프라임이기 때문에, 부울 링에서는 프라임 이상과 최대 이상이 일치한다.

부울 링의 모든 미세 생성 이상은 주체가 된다(실제, (x,y) = (x + y + xy).게다가, 모든 요소들이 특유한 요소들이기 때문에, 부울 링은 정류적인 폰 노이만 정규 링이고 따라서 절대적으로 평평하며, 이것은 그것들 위의 모든 모듈들이 평평하다는 것을 의미한다.

통일

부울 링에서의 통일은 해독이 가능하며,^[6] 즉, 부울 링에 대한 임의 방정식을 해결하기 위한 알고리즘이 존재한다.미세하게 생성된 자유 부울 링의 통일과 매칭은 모두 NP-완전이며, 정밀하게 제시된 부울 링의 NP-경전이다.^[7](실제로 부울링의 모든 통일문제 f(X) = g(X)는 일치문제 f(X) + g(X) = 0으로 다시 쓸 수 있으므로, 그 문제들은 동등하다.)

부울 링의 통일은 모든 해석되지 않은 함수 기호가 다른 방법으로 무효하고 미세한 경우(즉, 부울 링의 서명에 발생하지 않는 함수 기호가 모두 상수일 경우 가장 일반적인 단일자가 존재하며, 그렇지 않으면 최소 전체 단일자 집합이 유한한 경우) 단일하다.^[8]

참고 항목

• 링섬정상형

메모들

참조

추가 읽기

• Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I. G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-01984-1
• Herstein, I. N. (1975), Topics In Algebra (2nd ed.), John Wiley & Sons
• McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra (Revised ed.), Allyn and Bacon, LCCN 68015225
• Ryabukhin, Yu. M. (2001) [1994], "Boolean ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

외부 링크

• 존 암스트롱, 부울 링스