다선형

추상 대수학 및 다중선 대수학에서 필드 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ 위에$$ 있는 벡터 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 다중선 형태는 지도다.

${\displaystyle f\colon V^{k}\to K}$

그것은 각각의 k-변수에 있어서 개별적으로 K-선형이다.^[1]보다 일반적으로는 모듈에서 정류 링을 통해 다중 선 형태를 정의할 수 있다.그러나 이 글의 나머지 부분은 유한차원 벡터 공간에서의 다선형 형태만을 고려할 것이다.

A multilinear k-form on ${\displaystyle V}$ over ${\displaystyle \mathbf {R} }$ is called a (covariant) k-tensor, and the vector space of such forms is usually denoted ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}$ or ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{k}(V)}$.^[2]

텐서 제품

Given a k-tensor ${\displaystyle f\in {\mathcal {T}}^{k}(V)}$ and an ℓ-tensor ${\displaystyle g\in {\mathcal {T}}^{\ell }(V)}$, a product ${\displaystyle f\otimes g\in {\mathcal {T}}^{k+\ell }(V)}$, known as the tensor product, can be defined by the property

${\displaystyle(f_{1},\ldots,v_{k},v_{k+1},\ldots,v_{k+\ell }}=f(v_{k+1},\ldots,v_{k}g(v_{k+1}, v_{k+\ell }),},},},},},}$

모든 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {\ell }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v_{1},\ldots, v_{k+\ell }\in V}$에 대해 $.$다선형 형태의 텐서형 제품은 동일하지 않지만, 이선형이고 연관성이 있다.

${\displaystyle f\otimes (ag_{1}+bg_{2})=a(f\otimes g_{1})+b(f\otimes g_{2})}$, ${\displaystyle (af_{1}+bf_{2})\otimes g=a(f_{1}\otimes g)+b(f_{2}\otimes g),}$

그리고

$(f\displaystyle (f\otimes g)\time h=f\otimes (g\oth)}$

If ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$ forms a basis for an n-dimensional vector space ${\displaystyle V}$ and ${\displaystyle (\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{n})}$ is the corresponding dual basis for the dual space ${\displaystyle V^{*}={\mathcal$${T}}^{1}(V)}$, then the products ${\displaystyle \phi ^{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \phi ^{i_{k}}}$, with ${\displaystyle 1\leq i_{1},\ldots ,i_{k}\leq n}$ form a basis for ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}$. Consequently, ${\displaystyle {\mathcal{T}}^k(}$${\displaystyle V}$) ${\displaystyle {\mathcal {T}^{k}(V)}$의 차원성 $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ n$^{k}}$이(가) 있음$.$

예

이선형식

${\displaystyle k}$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle k=2$}$$, $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \times }$ V${\displaystyle }$→ K ${\displaystyle f:$$V\time V\to$ K$}$을(를) 이선형이라고 한다$$.(대칭) 이선형의 친숙하고 중요한 예는 벡터의 표준 내측 제품(점 제품)이다.

교번 다선형

다행형식의 중요한 종류는 교번 다행형식이며, 이 형태는 다음과^[3] 같은 추가적인 특성을 가지고 있다.

${\displaystyle f(x_{\ldma(1)},\ldots ,x_{\ldots,\ldots ,x_{k}},\ldots ,x_{k},}$

여기서 $\sigma {\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$→ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ k ${\$은 순열이며 ${\displaystyle \mathrm{sgn}}$ ${\displaystyle }$ $)$ {\$displaysty \operatorname$ {sgn$}(이상$인 경우$$-1)은 기호를 나타낸다.As a consequence, alternating multilinear forms are antisymmetric with respect to swapping of any two arguments (i.e., ${\displaystyle \sigma (p)=q,\sigma (q)=p}$ and ${\displaystyle \sigma (i)=i,1\leq i\leq k,i\neq p,q}$):

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{p},\ldots ,x_{q},\ldots,x_{k}}=-f(x_{1},\ldots,x_{p},\ldots,x_{k}).}$

With the additional hypothesis that the characteristic of the field ${\displaystyle K}$ is not 2, setting ${\displaystyle x_{p}=x_{q}=x}$ implies as a corollary that ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x,\ldots ,x,\ldots ,x_{k})=0}$; that is, the form has a value두 개의 주장이 같을 때마다 0의 값이 된다.그러나 일부 저자는^[4] 이 마지막 조건을 교대형식의 정의 속성으로 사용한다는 점에 유의한다.이 정의는 섹션의 시작 부분에 주어진 속성을 의미하지만 위에서 ${\displaystyle \mathrm{언급}}$한 바와 같이 역방향 함축은 ${\displaystyle \mathrm{char}}$char${\displaystyle }$( K${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2$이(가) 있을 때만 유지된다.

An alternating multilinear k-form on ${\displaystyle V}$ over ${\displaystyle \mathbf {R} }$ is called a multicovector of degree k or k-covector, and the vector space of such alternating forms, a subspace of ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}$, is generally denoted ${\displaystyl$E{{A\mathcal}}^ᆭ(V)}, 또는, V의 동형kth 외부 권력에 대한 표기법을 사용하여({\displaystyle V^{*}}(V의 이중 공간{V\displaystyle}),⋀ kV∗{\textstyle\bigwedge ^{km그리고 4.9초 만}V^{*}}.[5] 있다는 점을(R에 나머지 변수 1-forms{\displaystyle \mathbf{R}}) 있선형 functionals 하찮게.알ternating, 즉 A ${\displaystyle 1{}^{}}$(V${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle T^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( V${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ {\$mathcal {A}^{1}(V)={\mathcal{T}}}}{1}(V)=V$ 관례상 0-폼은 스칼라로 정의된다.${\displaystyle {\mathcal{A}}^{}}$ ${\displaystyle 0^{\mathrm{}}V}$ ${\displaystyle )}$= T ${\displaystyle 0^{\mathrm{}}V}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle R\mathbf{}}$ ${\$}^{0$}(V)={\mathcal{T}^{0}(V)=\mathbf {R$

열 벡터의 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$$\times n}$ 인수$$ 함수로 간주되는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ n$}$ 행렬에$$ 대한 결정 요인은 교대 다중선 형태의 중요한 예다.

외부 제품

다선형 교차형의 텐서 생산물은 일반적으로 더 이상 교대하지 않는다.However, by summing over all permutations of the tensor product, taking into account the parity of each term, the exterior product (${\displaystyle \wedge }$, also known as the wedge product) of multicovectors can be defined, so that if ${\displaystyle f\in {\mathcal {A}}^{k}(V)}$ and ${\displaystyle g\in {\mathcal{A}}^{\ell }(V)}$${\displaystyle g\in {\mathcal {A}^{\\ell }(V$ $다음{\displaystyle }$ f ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$+ ${\displaystyle {\ell }^{}}$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle f\wedge g\in {\A}^{k+\ell(V)}$:

${\displaystyle (f\f\property g)(v_{1},\ldots, v_{k+\ell }={\frac {1}{k!\ell !}}\sum _{\sigma \in S_{k+\ell }}(\operatorname {sgn}(\sigma ))f(v_{\sigma (1)},\ldots ,v_{\sigma (k)})g(v_{\sigma (k+1)},\ldots ,v_{\sigma (k+\ell )}),}$

여기서 합계는 $k{\displaystyle }$+ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle k+\ell}$ 요소$$, $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$+ ${\displaystyle {\ell }_{}}$ ${\$에 대한 모든 순열 집합을 인수한다$.$The exterior product is bilinear, associative, and graded-alternating: if ${\displaystyle f\in {\mathcal {A}}^{k}(V)}$ and ${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}^{\ell }(V)}$ then ${\displaystyle f\wedge g=(-1)^{k\ell }g\wedge f}$.

Given a basis ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$ for ${\displaystyle V}$ and dual basis ${\displaystyle (\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{n})}$ for ${\displaystyle V^{*}={\mathcal {A}}^{1}(V)}$, the exterior products ${\displaystyle {\varphi }^{i_1}\wedge \cdots \wedge {\varphi }^{i_{}}}$K{\displaystyle\phi ^{i_{1}}\wedge \cdots, 나는 1개체 1≤와 나는≤ n{\displaystyle 1\leq i_{1}< k, \cdots <, i_{k}\leq n}형태 Ak({\displaystyle{{A\mathcal}}^ᆱ(V)을 위한 기초}. 따라서, Ak의 차원수({\displaystyle{{A\mathcal}}^ᆳ(V)\phi ^{i_{k}}}⋯<>\wedge.}n-에치수 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은$($는) ($\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}$ $\frac{k}{}$)$$= n$\frac{}{}$!$\frac{}{}$( n$\frac{}{}$- $\frac{k}{}$)$\frac{}{}$! $\frac{k}{}$! ${\$이다$.$

미분형식

미분형(美分形)은 고전적 의미에서의 미분처럼 여러 면에서 작용하는 접선 공간과 다선형(多線形) 형태를 통해 형성된 수학적 물체다.개념적으로 그리고 계산적으로 유용하지만, 미적분학의 역사 초기에 개발된 극소량의 잘못된 개념에 기초한다.차이점 형태는 이 오랜 사상을 현대화하기 위한 수학적으로 엄격하고 정확한 체계를 제공한다.미분형(differential forms)은 곡선, 표면, 고차원 아날로그(differential multiplaces)에 통합될 수 있는 변환 특성을 가지고 있기 때문에 다변량 미적분(분석)과 미분형 기하학에서 특히 유용하다.한 가지 광범위한 적용은 스톡스의 정리에 대한 현대적인 진술로, 미적분학의 기본 정리를 더 높은 차원으로 포괄적으로 일반화하는 것이다.

아래의 시놉시스는 주로 스피바크(1965년)^[6]와 투(2011년)에 바탕을 두고 있다.^[3]

차동 k-폼의 정의와 1-폼의 구축

To define differential forms on open subsets ${\displaystyle U\subset \mathbf {R} ^{n}}$, we first need the notion of the tangent space of ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$at ${\displaystyle p}$, usually denoted ${\displaystyle T_{p}\mathbf {R} ^{n}}$ or ${\disp$$레이스타일 \mathbf {R} _{p}^{n$The vector space ${\displaystyle \mathbf {R} _{p}^{n}}$ can be defined most conveniently as the set of elements ${\displaystyle v_{p}}$ (${\displaystyle v\in \mathbf {R} ^{n}}$, with ${\displaystyle p\in \mathbf {R} ^{n}}$ fixed) with vector addition and scalar multiplication은 각각 $v{\displaystyle {}_{}{p}_{}}$ + ${\displaystyle w_{}:=}$ (${\displaystyle v}$ ${\displaystyle +{}_{}w}$ ) ${\displaystyle p_{}}${\$displaystyle v_{p}+w_{p}=(v+w)_{p}}}$와${\displaystyle ((v_{}}$p )${\displaystyle :=}$ (${\displaystyle v_{}}$ p ) p ${\$ v$)_{p}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$에 의해 각각 정의된다$.$Moreover, if ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ is the standard basis for ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$, then ${\displaystyle ((e_{1})_{p},\ldots ,(e_{n})_{p})}$ is the analogous standard basis for ${\displaystyle \math$$bf {R} _{p}^{n$ 즉, 각 접선 공간 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$는 $단순히{\displaystyle }$ p {\$displaystyle p$ 지점에 있는 ${\displaystyle {}^{}}$ $n{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\$$displaysty \matbf {R}$^{n}{$n}{$n}}}}}}}}}{n}}}}}}}}{$$n}}}}}}}}}}}}}의 복사본으로 간주할 수 있다$$.The collection (disjoint union) of tangent spaces of ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ at all ${\displaystyle p\in \mathbf {R} ^{n}}$ is known as the tangent bundle of ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ and is usually denoted ${\textstyle T\m$$athbf {R} ^{n}:=\bigcup _{p\in \mathbf {R} ^{n}}\mathbf {R} _{p}^{n}}$. While the definition given here provides a simple description of the tangent space of ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$, there are other, more sophisticated constructions that are better suited for defining the tangent spaces of smooth manifolds in general (s자세한 내용은 접선 공간에 대한 기사를 참조하십시오.

A differential k-form on ${\displaystyle U\subset \mathbf {R} ^{n}}$ is defined as a function ${\displaystyle \omega }$ that assigns to every ${\displaystyle p\in U}$ a k-covector on the tangent space of ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$at ${\displaystyle p}$, usually denoted ${\displaystyle {\omega }_{}}$${\displaystyle \omega _{p:$$=\omega(p)\in {\mathcal {A}^{k}(\mathbf {R} _{p}^{n$ 간단히 말해서 차동 k-폼은 k-코벡터 필드다.The space of k-forms on ${\displaystyle U}$ is usually denoted ${\displaystyle \Omega ^{k}(U)}$; thus if ${\displaystyle \omega }$ is a differential k-form, we write ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(U)}$. By convention, a continuous function on ${\displaystyle U}$ is a dif원주 0 형식: $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle U}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \Omega }$ 0${\displaystyle {}^{}}$( U${\displaystyle }$) ${\displaystyle f\in C^{0}(U)=\Oomega ^{0}(U)}$.

우리는 먼저 0형식으로부터 미분 1형식을 만들고 그 기본적 특성들 중 일부를 추론한다.아래 논의를 단순화하기 위해 매끄러운 기능(${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$∞ ${\$ $\})$으로 구성된 매끄러운 미분형만을 고려할 것이다.$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle R\mathbf{}}$ ${\$을(를) 매끄러운 함수가 되게$$ 한다.We define the 1-form ${\displaystyle df}$ on ${\displaystyle U}$ for ${\displaystyle p\in U}$ and ${\displaystyle v_{p}\in \mathbf {R} _{p}^{n}}$ by ${\displaystyle (df)_{p}(v_{p}):$$=Df _{p}(v)}$ $,$ 여기서 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ : ${\displaystyle R\mathbf{}{}^{}}$→ R ${\$ $\$$mathbf$$${$R$$}}}}}}$은$($총 파생상품이 $선형$ 변환이라는 것을 상기)의 총 $파생상품$이다$.$Of particular interest are the projection maps (also known as coordinate functions) ${\displaystyle \pi ^{i}:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} }$, defined by ${\displaystyle x\mapsto x^{i}}$, where ${\displaystyle x^{i}}$ is the ith standard coordinate of ${\displays$$tyle$ x$\in \mathbf {R} ^{n$The 1-forms ${\displaystyle d\pi ^{i}}$ are known as the basic 1-forms; they are conventionally denoted ${\displaystyle dx^{i}}$. If the standard coordinates of ${\displaystyle v_{p}\in \mathbf {R} _{p}^{n}}$ are ${\displaystyle (v^{1},\ldots ,v^{n})}$,then application of the definition of ${\displaystyle df}$ yields ${\displaystyle dx_{p}^{i}(v_{p})=v^{i}}$, so that ${\displaystyle dx_{p}^{i}((e_{j})_{p})=\delta _{j}^{i}}$, where ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ is the크로네커 ^[7]델타Thus, as the dual of the standard basis for ${\displaystyle \mathbf {R} _{p}^{n}}$, ${\displaystyle (dx_{p}^{1},\ldots ,dx_{p}^{n})}$ forms a basis for ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{1}(\mathbf {R} _{p}^{n})=(\mathbf {R} _$${p}^{n})^{*}}$. As a consequence, if ${\displaystyle \omega }$ is a 1-form on ${\displaystyle U}$, then ${\displaystyle \omega }$ can be written as ${\textstyle \sum a_{i}\,dx^{i}}$ for smooth functions ${\displaystyle a_{i}:$$U\to \mathbf {R}$$}$ 더 나아가 전체 차이에 대한 고전적 식과 $일치$하는 d ${\displaystyle f}${\$displaystyle df}$에 대한 식을 도출할 수 있다.

${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}D_{i}f\;dx^{i}={\partial f \oper \partial x^{1}:{1}\x^{1}+\cdots +{partial f \partial x^{n}},dx^{n}.}$

[표기법 해설:이 글에서는 다중점자와 다중점자가 각각 낮은 지수와 높은 지수로 작성되는 텐서 미적분학과 미분 기하학의 관례를 따른다.차등형식은 다중접속기장이기 때문에 이를 지수화하기 위해 상위지수를 채용한다.^[3]그 반대의 법칙은 상, 하의 지수로 각각 쓰여진 다중점자와 다중점자의 구성요소에 적용된다.For instance, we represent the standard coordinates of vector ${\displaystyle v\in \mathbf {R} ^{n}}$ as ${\displaystyle (v^{1},\ldots ,v^{n})}$, so that ${\textstyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}}$ in terms of the standard basis ${\displaystyle (e_1,\dots ,e_n}$$){\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n$ 또한 식의 분모에 나타나는 위첨자$(\partial \frac{\mathrm{}}{}$f $\frac{f}{}$ $\frac{\mathrm{}}{}$ x $\frac{i^{}}{}$ ${\$partial x$^\{$$i}}}}})$는 이 협약에서 하위 지수로 취급된다.이러한 방식으로 지수를 적용하고 해석할 때, 표식의 각 용어에서 낮은 지수 수를 뺀 상위 지수 수는 합계와 동일한 부호에 걸쳐 보존된다. 이는 유용한 니모닉 장치의 역할을 하며 수동 계산 중에 발생한 오류를 정확히 파악하는 데 도움이 되는 특징이다.]

차동 k-폼에 대한 기본 작동

외부 제품${\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge }$)과 외부 파생 모델(${\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$)은 차등 형태에 대한 두 가지 기본적인 작업이다.k-form과 ℓ-폼의 외부 제품은${\displaystyle }$(${\displaystyle k}$+ ${\displaystyle \ell }$) ${\displaystyle (k+\ell )}$ -form인$$ 반면, k-폼의 외부 파생상품은${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{k}}$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle (k+1$) -form이다$$.따라서 두 운영 모두 낮은 수준의 운영과 높은 수준의 차등 형식을 생성한다.

The exterior product ${\displaystyle \wedge :\Omega ^{k}(U)\times \Omega ^{\ell }(U)\to \Omega ^{k+\ell }(U)}$ of differential forms is a special case of the exterior product of multicovectors in general (see above).일반적으로 외관제품의 경우 그렇듯이 차동형태의 외관제품은 이라인(bilinar), 연상(connective), 등급(graded-alternating)이다.

More concretely, if ${\displaystyle \omega =a_{i_{1}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$ and ${\displaystyle \eta =a_{j_{1}\ldots i_{\ell }}dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{\ell }$$\}\}\},$ 그러면

${\displaystyle \omega \wedge \eta =a_{i_{1}\ldots i_{k}}a_{j_{1}\ldots j_{\ell }}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\wedge dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{\ell }}.}$

또한 모든 지수 집합${\displaystyle }${${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 1 …${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {\alpha }_{}}$ m ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{\alpha _{1}\ldots,\alpha$_{$m}\}}}$에 대해$,$

${\displaystyle dx^{\alpha _{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{p}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{q}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{m}}=-dx^{\alpha _{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{q}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{p}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{m}}.}$

If ${\displaystyle I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}}$, ${\displaystyle J=\{j_{1},\ldots ,j_{\ell }\}}$, and ${\displaystyle I\cap J=\emptyset }$, then the indices of ${\displaystyle \omega \wedge \eta }$ can be arranged in ascending order by a (finite) sequ그러한 교환을 하다Since ${\displaystyle dx^{\alpha }\wedge dx^{\alpha }=0}$, ${\displaystyle I\cap J\neq \emptyset }$ implies that ${\displaystyle \omega \wedge \eta =0}$. Finally, as a consequence of bilinearity, if ${\displaystyle \omega }$ and ${\displaystyle \eta }$ are the sums of 몇 가지 용어, 그들의 외부 제품은 이러한 각 용어에 대한 분배성을 준수한다.

The collection of the exterior products of basic 1-forms ${\displaystyle \{dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$ constitutes a basis for the space of differential k-forms.따라서 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$(${\displaystyle U}$) ${\displaystyle \omega \in \Oomega ^{k}(U)}$ 형식으로 쓸 수 있다$$.

${\displaystyle \omega =\sum _{i_{k}a_{1}{1}\ldots i_{k}\,dx^{i_{1}}\cdots \cdots \cdots \dx^{x^{i_{k},\qquad*}}$

여기서 ${\displaystyle {i{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$… ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$: ${\displaystyle U}$→ ${\displaystyle R\mathbf{}}$ ${\$$U\to \mathbf {R}은($는) 부드러운 함수다$$.각 지수 세트${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,}$i ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{i_{$1},\$ldots, i_${k$}\}\}}}$을(를) 오름차순으로 배치하면$$ (*) $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle\omega}$의 표준 프레젠테이션이라고 한다$.$

이전 섹션에서 1-form $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle df}$은(는) 0-form(연속 함수) f ${\displaystyle f}$의 외부 파생 모델을 취함으로써 정의되었다$.$ 이제 외부 파생 연산자 $d{\displaystyle }$ :${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$(${\displaystyle U}$ ${\displaystyle )}$→ ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ k${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle U}$) ${\displaystystyle d:$$\Oomega ^{k}(U)\to \Oomega ^{k+1}(U$$)}$ ${\displaystyle \mathrm{k}}$) 1 ${\displaystyle k\geq$ 1$\}.$ k-form $\Omega {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$$\omega}$의 표준 프레젠테이션이 (*) $제공$되면 (k$$${\displaystyle }$+${\displaystyle 1}$) ${\displaystydogue}$에 의해 정의된다$$.

${\displaystyle d\omega :=\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}da_{1}\ldots i_{{k}}\ldots i_{k}\ldots i_\{k}\cdots \cdx^{i_{k}}}}}}}}}}$

모든 부드러운 형태를 유지하는$$ $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$의 속성은 모든 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$의 두 번째 외부 파생상품이 동일하게 사라지는$$ 것이다. $d{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle d(d}$ ${\displaystyle \Omega }$) ${\dyplaysty d^{2}\d(d\omega )\equiv$ 0$\}.$$이$는 d ${\displaystyle d}$의 정의와$$ C $2{\displaystyle {}^{}}$ ${\$개$$ 함수의 혼합 2차 부분파생상품의 동일성에서 직접 확인할 수 있다(자세한 내용은 닫히고 정확한 양식에 관한 기사 참조).

체인에 대한 스톡스의 정리 및 미분형 통합

매개변수화된 도메인에 대해 미분형태를 통합하기 위해서는 우선 미분형식의 풀백 개념을 도입할 필요가 있다.대략적으로 말하면, 차동형식이 통합되었을 때, 풀백을 적용하면 좌표 변화를 정확하게 설명하는 방식으로 풀백을 변환한다.

Given a differentiable function ${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{m}}$ and k-form ${\displaystyle \eta \in \Omega ^{k}(\mathbf {R} ^{m})}$, we call ${\displaystyle f^{*}\eta \in \Omega ^{k}(\mathbf {R} ^{n})}$ the pullback of $$${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta }$ $by$ f ${\displaystyle f}($으$$)로 정의하고 다음과 같은 k-폼으로 정의한다.

${\displaystyle(f^{*}\eta )_{p}(v_{1p},\ldots ,v_{kp}):=\eta _{f(p)}(f_{*}(v_{1p}),\ldots,f_{*}(v_{kp}),}$

for ${\displaystyle v_{1p},\ldots ,v_{kp}\in \mathbf {R} _{p}^{n}}$, where ${\displaystyle f_{*}:\mathbf {R} _{p}^{n}\to \mathbf {R} _{f(p)}^{m}}$ is the map ${\displaystyle v_{p}\mapsto (Df _{p}(v))$$_{f(p$

If ${\displaystyle \omega =f\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$ is an n-form on ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ (i.e., ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n}(\mathbf {R} ^{n})}$), we define its integral over the unit n-cell as the iterated Riemann integral o$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$\}:$

${\displaystyle \int _{[0,1]^{n}\int_{[0,1]^{n}f\,dx^{1}\cdots \cdots \cdots \cdx^{n}:=\int _{0}^{1}\cdots \int \int _{0}^{1}f\,dx^{1}\cdots dx^{n}.}$

다음으로, 우리는 n-큐브라고 알려진$$$\subset \mathbf{R}{m}}, 다른$ 함수 $c에 의해$ 매개된 통합의 도메인을 고려한다${\displaystyle {}^{}}$$c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$을$($를) 통해${\displaystyle {\Omega }^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ n ${\displaystyle (A}$ ) {\$displaystyle$\omega \in $\Oomega ^{n$}(A$)}$의 적분을 정의하려면$,$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에서 n-cell 단위로 "pull back"하십시오.

${\displaystyle \int _{c}\omega :=\int _{[0,1]^{n}c^{*}\omega .}$

보다 일반적인 도메인에 걸쳐 통합하기 위해 n-chain $C$= $\underset{}{}$ $\underset{}{}{}_{}$ $i_{}$ ${}_{}{}_{}$ ${\$ C$=\sum _{i}n_{i}c_{i}}}}$을(를) n-cube의 공식 합으로$$ 정의하고 설정한다.

${\displaystyle \int _{C}\omega :=\sum _{i}n_{i}\int _{c_{i}\omega .}$

An appropriate definition of the ${\displaystyle (n-1)}$-chain ${\displaystyle \partial C}$, known as the boundary of ${\displaystyle C}$,^[8] allows us to state the celebrated Stokes' theorem (Stokes–Cartan theorem) for chains in a subset of ${\displaystyle \mathbf {R} ^{m}}$:

$\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$이(가) a인 경우 반들반들하게 하다 ${\displaystyle(n-1)}$-개방형 $집합{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$r ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 양식 $및{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C}$ 매끈매끈하다 ${\displaystyle n}$-chain in $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$ 그 다음 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \Omega }$=${\displaystyle {}_{}}$_ ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ =$_{C}d\omega =\int _{\partial$ C$}\omega$ $\}.$

보다 정교한 기계(예: 세균과 파생)를 사용하여 부드러운 다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ M$}$의 접선$$ 공간 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ M ${\displaystyle T_{p}M}$을(를) 정의할 수 있다($$${\displaystyle {}^{}}$ m ${\$Analogously, a differential form ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$ on a general smooth manifold is a map ${\displaystyle \omega :p\in M\mapsto \omega _{p}\in {\mathcal {A}}^{k}(T_{p}M)}$. Stokes' theorem can be further generalized to arbitrary smooth manifolds-경계 및 특정 "경계" 도메인(자세한 내용은 Stokes의 정리 관련 기사 참조).

참고 항목

• 이린린 지도
• 외부 대수
• 동종 다항식
• 다중선 지도

참조