요르단 정상 형태

선형대수학에서 요르단 정규형식^[1] 또는 JCF라고도 하는 요르단 정규형식은 어떤 기초에 관해서 유한차원 벡터공간에 선형 연산자를 나타내는 요르단 행렬이라고 불리는 특정한 형태의 상위 삼각형 행렬이다.^[2] 이러한 행렬은 0이 아닌 각 비대각선 입력이 1과 같으며, 주 대각선 바로 위(초대각선 위)이며, 대각선 입력이 왼쪽과 아래에 동일하다.

V를 필드 K 위에 있는 벡터 공간이 되게 하라. 그 다음 행렬의 모든 고유값이 K에 있는 경우에만 행렬이 필요한 형태를 갖는 기준이 존재하거나 연산자의 특성 다항식이 K에 대한 선형 인자로 분할되는 경우에만 동등하게 존재한다. 이 조건은 K가 대수적으로 닫힌 경우(예를 들어 복잡한 숫자의 필드인 경우) 항상 충족된다. 정상 형태의 대각선 입력은 (운영자의) 고유값이며, 각 고유값이 발생하는 횟수를 고유값의 대수적 다중성이라고 한다.^[3][4][5]

만약 연산자가 원래 정사각형 행렬 M에 의해 주어진다면, 그 조던의 정상 형태는 M의 조던 정상 형태라고도 불린다. 계수 필드를 행렬의 모든 고유값을 포함하는 것으로 확장하는 경우 모든 정사각형 행렬은 요르단 정규 형태를 가진다. 이름에도 불구하고, 주어진 M에 대한 정상적인 형태는 완전히 독특한 것은 아니며, 요르단 블록으로 형성된 블록 대각 행렬로서 순서가 고정되지 않고, 동일한 고유값을 위해 블록을 함께 그룹화하는 것이 관습적이지만, 고유값들 사이에서는 순서가 부과되지 않으며, 라떼가 있어도, 주어진 고유값을 위한 블록들 사이에서는 주문이 부과되지 않는다.예를 들어, r은 약하게 크기를 줄임으로써 주문될 수 있다.^[3][4][5]

요르단-체발리 분해는 운영자가 요르단의 정상적인 형태를 취하는 기준에 관해서 특히 간단하다. 대각선이 가능한 행렬(예: 일반 행렬)의 대각선 형태는 요르단 정규 형태의 특별한 경우다.^[6][7][8]

요르단 정상형식은 1870년 처음 요르단 분해 정리를 기술한 카밀 요르단의 이름을 따서 명명되었다.^[9]

개요

표기법

일부 교과서는 대각선 아래, 즉 대각선 바로 아래에 초대각선 대신 대각선 아래쪽에 있다. 고유값은 여전히 주 대각선에 있다.^[10][11]

동기

n × n 행렬 A는 Eigenspaces 치수의 합이 n인 경우에만 대각선으로 할 수 있다. 또는 동등하게, A가 선형적으로 독립적인 고유 벡터를 가지고 있지 않은 경우에만. 모든 행렬이 대각선이 가능한 것은 아니며, 대각선이 가능하지 않은 행렬을 불량 행렬이라고 한다. 다음 행렬을 고려하십시오.

${\displaystyle A=\왼쪽[{\begin{array}{*{20}{r}}}}{r}5&4&2&1\\[2pt]0&1&-1&-1\\\[2pt]-1&3&0\[2pt]1&1&1&2\end{array}\오른쪽].}$

A의 고유값은 다수를 포함하여 λ = 1, 2, 4, 4이다. 고유값 4에 해당하는 eigenspace의 치수는 1(2가 아니라)이므로 A는 대각선이 가능하지 않다. 그러나 J = PAP와⁻¹ 같은 반전성 행렬 P가 있다.

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\[2pt]0&0&4&1\[2pt]0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

행렬 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle$J}은$($는) 거의 대각선이다. 이것이 요르단 정상 A형이다. 아래 예제는 계산 세부사항을 기입한다.

복잡한 행렬

일반적으로 사각형 복합 행렬 A는 블록 대각 행렬과 유사하다.

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{1}>&\\\\\\\\\ddots &\\\\\\\\\\\\\\&J_{p}\end{bmatrix}}}}}}}$

여기서 각 블럭 J는_i 폼의 제곱 행렬이다.

${\displaystyle J_{i}={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&#1&\\\\\\\\\\\\\n\ddots >\&\&#&#&#&lambda _{bmatrix}.}$

따라서 PAP⁻¹ = J의 0이 아닌 항목만 대각선 및 초대각선에 있도록 PAP = J와 같은 변위 행렬 P가 존재한다. J는 요르단 정상형 A라고 불린다. 각각의 J는_i A의 요르단 블록이라고 불린다. 주어진 요르단 블록에서 초대각선의 모든 진입은 1이다.

이 결과를 가정하면 다음과 같은 성질을 추론할 수 있다.

• J의 고유값인 승수를 세는 것은 대각선 항목이다.
• 고유값 λ이_i 주어지면 그 기하학적 다중성은 Ker(A - λI_i )의 치수인데, 여기서 나는 정체 행렬이며, matrix에_i 해당하는 요르단 블록의 수이다.^[12]
• 고유값 λ에_i 해당하는 모든 요르단 블록의 크기를 합한 것은 그 대수적 곱이다.^[12]
• A는 A의 모든 고유값 λ에 대해 기하학적 승수와 대수적 승수가 일치할 경우에만 대각선이 가능하다. 특히 이 경우 요르단 블록은 1×1 행렬, 즉 스칼라이다.
• λ에 해당하는 요르단 블록은 λI + N 형식이며, 여기서 N은_ij N = Δ로_i,j−1 정의되는 영분산 행렬(여기서 Δ는 Kronecker 델타)이다. N의 nilpensity는 f(A)를 계산할 때 이용할 수 있으며 여기서 f는 복합 분석함수다. 예를 들어, 원칙적으로 요르단 양식은 지수 exp(A)에 대해 폐쇄형 형식을 제공할 수 있다.
• 최소 j의 크기 λ에 해당하는 요르단 블록 수는 딤 커(A - λI)^j - 딤 커(A - λI)이다.^j−1 따라서 j 크기의 요르단 블록 수는 다음과 같다.

  ${\displaystyle 2\dim \cambda _{i}I)^{j}-\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j+1}-\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j-11}$

• 고유값 λ을_i 부여하면 최소 다항식에서의 다중성은 가장 큰 요르단 블록의 크기다.

예

이전 섹션의 예제에서$$ 매트릭스 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 고려하십시오. 요르단 정규 형식은 다음과 같은 유사성 변환을 통해 얻는다.

${\displaystyle P^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle A}$= ${\displaystyle J;}$ ${\displaystyle P^{-1}AP=J;},$ 즉$$ ${\displaystyle A}$= P ${\displaystyle J.}$ ${\displaystyle AP=PJ.}$

$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$에 열 벡터 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}${\$displaystyle p_{i$${\displaystyle }i{\displaystyle }$ = ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle \dots ,4}$ ${\displaystyle$ i$=1,\ldots,4}$을$($를) 두십시오.

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&2p_{2}&4p_{3}&p_{3}+4p_{4}}\end{bmatrix}}.}$

우리는 그것을 안다.

${\displaystyle (A-1I)p_{1}=0}$

${\displaystyle (A-2I)p_{2}=0}$

${\displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$

${\displaystyle (A-4I)p_{4}=p_{3}.}$

For ${\displaystyle i=1,2,3}$ we have ${\displaystyle p_{i}\in \operatorname {Ker} (A-\lambda _{i}I)}$, that is, ${\displaystyle p_{i}}$ is an eigenvector of ${\displaystyle A}$ corresponding to the eigenvalue ${\displaystyle \lambda _{i}}$. For ${\displaystyle i=}$${\displaystyle 4}$ $[\displaystyle i=4$ 양쪽을${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$- ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle I}$)$${\$displaystyle (A-4I)}$으로 곱한 값

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=(A-4I)p_{3}.}$

그러나${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$- ${\displaystyle 4}$ I${\displaystyle }$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (A-4I)p_{3}=0$ 그래서

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=0.}$

따라서 p ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{Ker}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$- ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \mathrm{I}{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$. ${\displaystyle p_{4}\in \operatorname {Ker}(A-4I)^{2}.}$

$p{\displaystyle {}_{}}$ ${\$와 같은 벡터를 A의 일반화된 고유 벡터라고 한다$$.

예제: 정규 양식 가져오기

이 예는 주어진 행렬의 요르단 정규 형식을 계산하는 방법을 보여준다.

행렬 고려

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}5&4&2&1\\0&1&1-1&-1-1\\1&3&0\\1&1&1&2\end{bmatrix}}}}}$

기사의 첫머리에 언급된 것.

A의 특징적인 다항식은

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\lambda )&=\det(\lambda I-A)\\&=\lambda ^{4}-11\lambda ^{3}+42\lambda ^{2}-64\lambda +32\\&=(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -4)^{2}.\,\end{aligned}}}$

이는 고유값이 대수적 다수에 따라 1, 2, 4, 4라는 것을 보여준다. 고유값 1에 해당하는 eigenspace는 Av = λ v 등식을 풀면 알 수 있다. 열 벡터 v = (-1, 1, 0, 0)^T로 스팬된다. 마찬가지로 고유값 2에 해당하는 eigenspace는 w = (1, -1, 0, 1)로 확장된다.^T 마지막으로 고유값 4에 해당하는 아이겐스페이스도 1차원(이것은 이중 아이겐값임에도 불구하고)이며 x = (1, 0, -1, 1)로 스팬된다.^T 따라서 세 가지 고유값 각각에 대한 기하학적 다중성(즉, 주어진 고유값의 아이겐스페이스의 치수)은 1이다. 따라서 4에 해당하는 2개의 고유값은 단일 요르단 블록에 해당하며, 요르단 정규 형태인 행렬 A는 직접 합이다.

${\displaystyle J=J_{1}(1)\oplus J_{1}(2)\oplus J_{2}(4)={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\0&0&0&0&#0&0&#0&#0&0&#0&#4\end{bmatrix}}.}$

3개의 조던 체인이 있다. 두 개의 길이는 각각 고유값 1과 2에 해당하는 {v}과 {w}이다. 고유값 4에 해당하는 길이 2의 체인이 하나 있다. 이 체인을 찾으려면

${\displaystyle \ker {(A-4I)}^{2}=\operatorname {span}\,\왼쪽\{\\\\\\{\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix},{begin{bmatrix}1\0\\\\\\\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}오른쪽\}}}}}}}}}$

여기서 나는 4 × 4 아이덴티티 매트릭스다. A - 4I의 커널에 없는 위 스팬(예: y = (1,0,0,0))에서 벡터를 선택한다.^T 자, (A - 4I)y = x, (A - 4I)x = 0이므로 {y, x}은 고유값 4에 해당하는 길이 2의 체인이다.

PAP⁻¹ = J와 같은 전환 매트릭스 P는 다음과 같이 이들 벡터를 서로 옆에 놓아 형성한다.

${\displaystyle P=\left[{\begin{array}{c c}v&x&y\end{array}\right]={\begin{bmatrix}-1&1&1&1\\1&1&0&0&0&#0&#0&1&#1&#0&#0&#&#&###{bmatrix}.}$

계산에 따르면 PAP⁻¹ = J 등식이 실제로 유지된다.

${\displaystyle P^{-1}AP={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1\0&0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

체인 벡터가 나타나는 순서, 즉 v, w, {x, y}의 순서를 함께 바꾸었다면 요르단 블록은 서로 교환될 것이다. 그러나 요르단 형식은 요르단 형식과 동일하다.

일반화된 고유 벡터

고유값 λ을 부여하면 해당 요르단 블록은 요르단 체인을 형성한다. 체인의 발전기, 즉 납 벡터 p는_r 일반화된 고유 벡터로서 (A - 0 I)^rp_r = 0이며 여기서 r은 요르단 블록의 크기다. 벡터 p₁ = (A - λ I)^r−1p는_r λ에 해당하는 고유 벡터다. 일반적으로 p는_i A - λ I 아래의 p의_i−1 프리이미지로서 납 벡터는 (A - λ I)에 의해 곱셈을 통해 체인을 생성한다.^[13][2]

따라서 모든 정사각형 행렬 A를 요르단 정상 형태로 넣을 수 있다는 진술은 A의 고유 벡터와 일반화된 고유 벡터로만 구성된 근거가 존재한다는 주장과 동등하다.

A 교정쇄

우리는 복잡하게 값을 매긴 A 행렬이 요르단 정상 형태로 배치될 수 있다는 것을 유도로 증명한다.^{[citation needed]} 1 × 1 사건은 사소한 것이다. A를 n × n 행렬이 되게 하라. A의 고유값 λ을 취한다. 란(A - λ I)이 가리키는 A - λ I의 범위는 A의 불변 서브공간이다. 또한 λ은 A의 고유값이기 때문에 Ran(A - λ I)의 치수는 n보다 엄격히 적다. 렛 A'는 귀납 가설에 의해 A to Ran(A - λ I)의 제한을 나타내며, 이 근거에 관해서 표현된 A'가 요르단 정상 형태인 근거 {p₁, …, p_r}가 존재한다.

다음으로 커널, 즉 아공간 Ker(A - λ I)를 고려한다. 만약

${\displaystyle \mathrm {Ran}(A-\lambda I)\cap \mathrm {Ker}(A-\lambda I)=\{0\}}$

원하는 결과는 순위-배열도 정리에서 바로 따라온다. (예를 들어 A가 에르미트인 경우)

그렇지 않으면

${\displaystyle Q=\mathrm {Ran}(A-\lambda I)\cap \mathrm {Ker}(A-\lambda I)\neq \{0\}}$

Q의 치수를 s ≤ r로 한다. Q의 각 벡터는 고유값 λ에 해당하는 A'의 고유 벡터다. 따라서 요르단 형식 A'는 선형 독립 고유 벡터에 해당하는 요르단 체인을 포함해야 한다. 따라서 기본 {p_1r−s+1, ..., p_r}에는 요르단 정규 형태인 A'에서 이러한 요르단 체인의 리드 벡터인 s 벡터(예: {p, ..., p_r} 우리는 이러한 납 벡터의 프리이미지를 취함으로써 "사슬을 확장"할 수 있다. (이것은 논쟁의 핵심 단계다. 일반적으로 일반화된 고유 벡터는 Ran(A - in I)에 거짓말을 할 필요가 없다.) q를_i 그렇게 하자.

${\displaystyle \;(A-\lambda I)q_{i}=p_{i}{\mbox{{}{{}}{}}}{}}}}}}{}i=r-s+1,\ldots,r.}$

{p_i}_{i=r−s+1, ..., r}이(가) 선형 독립적이므로 q의_i 비종교 선형 조합이 Ker(A - can I)에 있을 수 없다는 것은 분명하다. 또한, q의_i 비종교적 선형 결합은 Ran(A - i I)에 있을 수 없으며, 이는 각 p가_i 요르단 체인의 납 벡터라는 귀납 가설과 모순되기 때문이다. A - λ I 아래의 선형 독립 집합 {p_i}의 사전 이미지인 집합 {q_i}도 선형 독립적이다.

마지막으로 투영 범위가 {z₁, ..., z_t}인 선형 독립 세트를 선택할 수 있다.

${\displaystyle \;\mathrm {Ker}(A-\lambda I)/Q.}$

건설별로 보면, 3세트 {p₁, ..., p_r}, {q_{r−s +1}, ..., q_r}, {z₁, ..., z_t}의 조합은 선형적으로 독립되어 있다. 조합의 각 벡터는 A의 고유 벡터 또는 일반화된 고유 벡터 중 하나이다. 마지막으로 순위-nullity 정리로는 조합의 카디널리티가 n이다. 즉, A의 고유 벡터와 일반화된 고유 벡터로 구성된 근거를 찾았는데, 이는 A가 요르단 정상 형태로 투입될 수 있음을 보여준다.

유니크함

주어진 매트릭스 A의 요르단 정상 형태가 요르단 블록의 순서에 따라 독특하다는 것을 알 수 있다.

고유값의 대수적, 기하학적 승수를 아는 것만으로는 요르단 정규 형태 A를 결정하기에 충분하지 않다. 고유값 λ의 대수적 다중성 m(()이 알려져 있다고 가정하면, 열강의 순위(A - λ I)를 분석하여 요르단 형태의 구조를 확인할 수 있다.^m(λ) 이를 확인하려면 n × n 행렬 A에 고유값 λ이 하나만 있다고 가정하십시오. so m(λ) = n. 다음과 같은 최소 정수₁ k

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}=0}$

요르단 A형에서 가장 큰 요르단 블록의 크기(이 숫자 k는₁ λ의 지수라고도 한다. 다음 섹션의 토론을 참조하십시오.) 의 계급

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-1}$

K₁ 크기의 요르단 블록 수입니다. 마찬가지로 의 순위도

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-2}}$

k 크기의₁ 요르단 블록과 k-1₁ 크기의 요르단 블록의 두 배다. 일반적인 경우는 비슷하다.

이것은 요르단 양식의 독특함을 보여주는 데 사용될 수 있다. J와₁ J를₂ 조던의 정상적인 A의 두 형태가 되게 하라. 그 다음₁ J와₂ J는 유사하고 고유값의 대수적 승수를 포함하여 동일한 스펙트럼을 갖는다. 앞 단락에서 설명한 절차를 사용하여 이러한 행렬의 구조를 결정할 수 있다. 매트릭스의 순위는 유사성 변환에 의해 보존되기 때문에 J와₁ J의₂ 요르단 블록 사이에 편차가 있다. 이것은 그 진술의 독특한 부분을 증명한다.

실제 행렬

만약 A가 진짜 매트릭스라면, 그것의 조던 형태는 여전히 비현실적일 수 있다. 위에서 설명한 것처럼 복잡한 고유값과 1을 초대각선으로 나타내지 않고 PAP⁻¹ = J가 실제 블록 대각 행렬인 실제 반전 매트릭스 P가 존재하며 각 블록이 실제 요르단 블록이다.^[14] A real Jordan block is either identical to a complex Jordan block (if the corresponding eigenvalue ${\displaystyle \lambda _{i}}$ is real), or is a block matrix itself, consisting of 2×2 blocks (for non-real eigenvalue ${\displaystyle \lambda _{i}=a_{i}+ib_{i}}$ with given algebraic multiplicity) o형식에 의하다

${\displaystyle C_{i}={\begin{bmatrix}a_{i}&-b_{i}\b_{i}\nd{bmatrix}}}}}$

복잡한 평면에서$$ 곱셈을 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ _${i}$로 설명한다. 초대각 블록은 2×2 아이덴티티 매트릭스로, 따라서 이 표현에서 매트릭스 치수는 복잡한 요르단 형태보다 크다. 완전한 진짜 요르단 블록은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle J_{i}={\begin{bmatrix}C_{i}&I&\\\&C_{i}&\dots &&\&\dots &I\&C_\nd{bmatrix}.}$

이 진짜 요르단 형태는 복잡한 요르단 형태의 결과물이다. 실제 행렬의 경우 비현실 고유 벡터와 일반화된 고유 벡터는 항상 복잡한 결합 쌍을 형성하도록 선택할 수 있다. 실제와 가상의 부분(벡터와 그것의 결합의 선형 결합)을 취하면서, 매트릭스는 새로운 기초에 관하여 이러한 형태를 가진다.

필드에 항목이 있는 행렬

Jordan 감소는 입력 내용이 필드 K에 있는 모든 제곱 행렬 M으로 확장될 수 있다. 결과는 모든 M을 합 D + N으로 작성할 수 있다고 명시한다. 여기서 D는 반실행, N은 영일포텐트, DN = ND이다. 이것을 요르단-체발리 분해라고 한다. K가 M의 고유값을 포함할 때마다, 특히 K가 대수적으로 닫힐 때 정상 형태를 요르단 블록의 직접 합으로 명시적으로 표현할 수 있다.

K가 복잡한 숫자일 때와 마찬가지로 1 ≤ k m m에 대한 (M - λI)^k의 커널의 치수를 알면 M의 요르단 형식을 결정할 수 있다. 우리는 V에 대한 x의 작용을 M의 적용으로 간주하고 K-선형으로 확장함으로써 기본 벡터 공간 V를 K[x]-module로 볼 수 있다. 그 다음 다항식(x - λ)^k은 M의 기초 구분자이며, 요르단 정규 형태는 기초 구분자와 관련된 블록 측면에서 M을 나타내는 것과 관련이 있다.

요르단 정상형식의 증빙은 일반적으로 주요 이상영역 위에 정밀하게 생성된 모듈에 대한 구조정리 K[x]에 대한 적용으로서 수행되며, 그 중 코롤러리다.

결과들

요르단 정규 형태가 본질적으로 제곱 행렬에 대한 분류 결과라는 것을 알 수 있으며, 이와 같이 선형 대수에서 나온 몇 가지 중요한 결과를 그 결과로 볼 수 있다.

스펙트럼 매핑 정리

요르단 정규 형태를 사용하여 직접 계산은 다항식 기능 미적분학에 대한 스펙트럼 매핑 정리를 제공한다. A를 고유값 λ₁, ..., λ을_n 가진 n × n 행렬로 하고, 그 다음, 어떤 다항 p에 대해서도 p(A₁)는 고유값 p((), ..., p(λ_n)를 가진다.

특성 다항식

A의 특성 다항식은 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\lambda }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle det}$ (${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I}$- A )${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I-A)}}$이다$.$ 유사한 행렬은 동일한 특성 다항식을 가지고 있다. Therefore, ${\textstyle p_{A}(\lambda )=p_{J}(\lambda )=\prod _{i}(\lambda -\lambda _{i})^{m_{i}}}$, where ${\displaystyle \lambda _{i}}$ is the ith root of ${\textstyle p_{J}}$ and ${\displaystyle m_{i}}$ is its multiplicity, because 이것은 분명히 요르단 형식 A의 특징적인 다항식이다.

케일리-해밀턴 정리

The Cayley–Hamilton theorem asserts that every matrix A satisfies its characteristic equation: if p is the characteristic polynomial of A, then ${\displaystyle p_{A}(A)=0}$. This can be shown via direct calculation in the Jordan form, since if ${\displaystyle \lambda _{i}}$ is an eigenvalue of multiplicity ${\displaystyle }$${\displaystyle m}$, then its Jordan block ${\displaystyle J_{i}}$ clearly satisfies ${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$. As the diagonal blocks do not affect each other, the ith diagonal block of ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}$$}}$ is ${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$; hence ${\textstyle p_{A}(A)=\prod _{i}(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$.

Jordan 양식은 예를 들어, p의 분할 영역 위에 매트릭스의 베이스 필드를 확장하는 필드 위에 존재한다고 가정할 수 있다. 이 필드 확장자는 어떤 방식으로도 매트릭스 p(A)를 변경하지 않는다.

최소 다항식

정사각형 행렬 A의 최소 다항식 P는 P(A) = 0과 같은 최소도 m의 고유한 단항식이다. 또는 주어진 A를 소멸시키는 다항식 집합은 복잡한 계수를 갖는 다항식의 주요 이상 영역인 C[x]에서 이상 I를 형성한다. I를 생성하는 모닉 원소는 정확히 P이다.

λ₁, ..., λ을_q A의 뚜렷한 고유값으로 하고, s는_i to에_i 해당하는 가장 큰 요르단 블록의 크기가 되게 하라. 요르단 정상 형태에서 볼 때 A의 최소 다항식이 degrees를 가지고 있다는 것은 분명하다._i

요르단 정상 형태가 최소 다항식을 결정하지만, 그 반대는 사실이 아니다. 이것은 기본적인 분열자들의 개념으로 이어진다. 정사각형 행렬 A의 기본 구분자는 요르단 블록의 특징적인 다항식이다. 최소 다항식 m의 인자는 구별되는 고유값에 해당하는 가장 큰 수준의 기본 분점이다.

기본 칸막이의 정도는 해당 요르단 블록의 크기, 따라서 해당 불변 서브 공간의 치수다. 모든 기본 분할자가 선형인 경우 A는 대각선이 가능하다.

불변 아공간 분해

n × n 행렬 A의 요르단 형식은 블록 대각선이며, 따라서 N 차원 유클리드 공간을 A의 불변 서브스페이스로 분해한다. 모든 Jordan 블록 J는_i 불변 서브 스페이스_i X에 해당한다. 상징적으로, 우리는

${\displaystyle \mathb {C}^{n}=\bigoplus _{i=1}^{k}X_{i}}}}}$

여기서 각 X는_i 해당 요르단 체인의 범위, k는 요르단 체인의 수입니다.

또한 요르단 양식을 통해 약간 다른 분해물을 얻을 수 있다. 고유값 λ을_i 주어, 가장 큰 해당 요르단 블록 s의_i 크기를 λ의_i 지수라고 하며 ν(λ_i)로 나타낸다(따라서 최소 다항식의 정도는 모든 지수의 합이다). 하위_i 공간 Y 정의 기준

${\displaystyle Y_{i}=\operatorname {Ker}(\lambda _{i-A)^{\nu(\lambda _{i}).}$

이렇게 하면 분해된다.

${\displaystyle \mathb {C}^{n}=\bigoplus _{i=1}^{l}Y_{i}}$

여기서 l는 A의 고유값의 수입니다. 직관적으로 동일한 고유값에 해당하는 요르단 블록 불변성 하위공간을 합친다. 극단적인 경우 A가 ID 매트릭스의 배수인 경우 k = n 및 l = 1이 있다.

Y와_i 다른 모든 Y_j(j ≠ i )에 대한 투영을 λ에서_i A의 스펙트럼 투영이라고 하며, 보통 P(λ_i ; A)로 나타낸다. 스펙트럼 투영은 P(λ_i; A) P(λ_j; A) = i ≠ j일 경우 0이라는 점에서 상호 직교한다. 또한 그들은 A로 통근하고 그들의 합계는 정체성 매트릭스다. Jordan 매트릭스 J의 모든 λ을_i 1로 교체하고 다른 모든 항목을 0으로 설정하면 P(λ_i; J)가 되며, 더욱이⁻¹ U J U가 A = U J U와⁻¹ 같은 유사성 변환이라면 P(λ_i; A) = U P(λ_i; J) U(λ; J)가⁻¹ 된다. 그들은 한정된 차원에 국한되지 않는다. 컴팩트 연산자에 적용하려면 아래를 참조하고, 보다 일반적인 논의를 위해서는 홀로모픽 기능 미적분학을 참조하십시오.

두 분해물을 비교해 보면, 일반적으로 l ≤ k라는 것을 알 수 있다. A가 정상일 때 첫 번째 분해에서 서브 스페이스 X는_i 1차원이며 상호 직교한다. 이것이 정상 연산자의 스펙트럼 정리다. 두 번째 분해는 바나흐 공간의 일반 콤팩트 연산자들에게 더 쉽게 일반화된다.

여기서 지수의 일부 속성인 ν(λ)을 주목해 보는 것이 흥미로울 수 있다. 보다 일반적으로 복합수 λ의 경우, 그 지수는 다음과 같이 최소 음수가 아닌 정수 ((λ)로 정의할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {Ker}(\lambda -A)^{\nu(\lambda )}=\operatorname {Ker}(\lambda -A)^{m},\;\all m\geq \nu(\lambda).}$

따라서 ν(λ) > 0은 λ이 A의 고유치인 경우에만 해당된다. 유한차원 사례에서 ν(λ) ≤의 대수적 다중성 ≤.

평면(평면) 정상 형태

요르단 형식은 정상 행렬이 주변 행렬 공간에서 낮은 고정도의 대수적 다양성을 구성하도록 결합까지 정상적인 행렬 형식을 찾는 데 사용된다.

일반적으로 조던 정상 형태 또는 합리적인 표준 형태에 대한 행렬 결합 클래스의 대표 세트는 주변 행렬 공간에 선형 또는 부착 하위 공간을 구성하지 않는다.

블라디미르 아놀드가 문제를^[15] 제기했다. 매트릭스 결합 클래스의 대표자 집합이 아핀 선형 서브 스페이스(평면)의 조합인 필드 위에서 표준 형식의 매트릭스를 찾는다. 즉, 매트릭스 결합 클래스 세트를 초기 매트릭스 집합으로 주입하여 다시 매핑하여, 이 임베딩 이미지(모든 일반 매트릭스 집합)가 가능한 가장 낮은 정도를 갖도록 한다. 즉, 매트릭스 결합 클래스는 이동된 것이다.

그것은 Peteris Daugulis에 의해 대수학적으로 폐쇄된 들판에서 해결되었다.^[16] 매트릭스의 고유하게 정의된 평면 정규 형태의 구조는 요르단 정규 형태를 고려하는 것으로 시작한다.

행렬 함수

요르단 체인의 반복은 보다 추상적인 환경으로의 다양한 확장에 동기를 부여한다. 유한 행렬의 경우 매트릭스 함수를 얻는다. 이는 아래에 설명된 바와 같이 콤팩트 연산자와 홀모픽 함수 미적분학까지 확장될 수 있다.

조던 정상 형태는 매트릭스 함수의 계산에 가장 편리하다(컴퓨터 계산에 최선의 선택은 아닐 수도 있다). f(z)를 복잡한 논쟁의 분석적 함수가 되게 하라. 고유값이 λ인 n×n Jordan 블록 J에 이 기능을 적용하면 상위 삼각 행렬이 생성된다.

${\displaystyle f(J)={\begin{bmatrix}f(\lambda )&(\lambda )&{\tfrac {f"(\lambda )}{2}}&\cdots &{\tf^{(n-1)(\lambda )}{{n-1)!}}}\\0&f(\lambda )&f'(\\da )&\cdots &{\\tfrac {f^{(n-2)}{(\\da )}{(n-2)!}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\\vdots \\0&0&f(\\da )&f'(\0da )\0&0&f(\lambda )\end{bmatrix},},}$

결과 행렬의 k번째 초대각선 $원소$가 ${\displaystyle \frac{}{{}^{}}}$(${\displaystyle \frac{{}^{}k}{}}$ ) (${\displaystyle \frac{{}^{})}{}}$ ) k${\displaystyle \frac{}{}}$! ${\${\$tfrac {f^{$f^}($k)(\htda )}{k!$$\}\}\}.$ 일반 요르단 정규 형태 행렬의 경우 위의 표현을 각 요르단 블록에 적용해야 한다.

다음 예는 전원 함수 f(z)=z에ⁿ 대한 응용 프로그램을 보여준다.

${\displaystyle{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&, 1&, 0&, 0&, 0\\0&, \lambda _{1}&, 1&, 0&, 0\\0&, 0&, \lambda _{1}&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, \lambda _{2}&, 1\\0&, 0&, 0&, 0&, \lambda _{2}\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}^{n}&,{\tbinom{n}{1}}\lambda _{1}^{n-1}&,{\tbinom{n}{2}}\lambda _{1}^{n-2}&a.Mp, 0&, 0\\0&, \lambda _{1}^{n}&,{\tbinom{n}{1}}\lambda _{1}^{n-1}&, 0&, 0\\0&, 0&, \lambda _{1}^{n}&, 0&, 0\.\0&0&\bmtda _{2}^{n}&#{n}{n1}}\{n1}\n1}\{2}^{n-1}\0&0&0&#0&#da _{2}^{n}\end{bmatrix},},}$

여기서 이항 계수는$$($\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}$ k$$)$$=$\underset{}{\overset{}{}}\frac{}{}$ i$\underset{}{\overset{}{}}$= 1 $\frac{\mathrm{k}}{}$ n$\frac{}{}$+ 1$\frac{}{}$- $\frac{}{}$ ${\$로 정의된다$.$ 정수 n의 경우 계수의 표준 정의로 감소한다. 음수 n의 경우 ID$(\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}$ - $\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}$)${}^{}$=${}^{}$( -$1^{}$ )${}^{}$ ($\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}$ +$\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}$ - $\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}$k )$${\$textstyle${\$binom {-n}{k}}=\왼쪽(-1\오른쪽)$$^{k}{\binom {n+k-1}{k}}}$을(를) 사용할 수 있다$$.

소형 연산자

Banach 공간의 소형 운영자가 요르단 정규 형태와 유사한 결과를 보유한다. 컴팩트 연산자 T의 스펙트럼에 있는 모든 점 x가 고유값이기 때문에 컴팩트 연산자로 제한된다. 유일한 예외는 x가 스펙트럼의 한계점인 경우다. 일반적으로 경계 연산자에 대해서는 그렇지 않다. 이러한 일반화에 대해 어느 정도 알기 위해 우선 기능분석 언어로 요르단 분해를 재구성한다.

홀로모르픽 함수 미적분학

X를 바나흐 공간으로 하고, L(X)을 X의 경계 연산자로 하고, σ(T)는 T ∈ L(X)의 스펙트럼을 나타낸다. 홀로모르프 함수 미적분은 다음과 같이 정의된다.

경계 연산자 T를 고정하십시오. σ(T)을 포함하는 일부 오픈 세트 G에서 홀모픽인 복합 기능의 패밀리 홀(T)을 고려한다. γ = {γ_i}이(가) σ(T)이 γ의 내부에 있는 것과 같은 요르단 곡선의 유한 집합이 되도록 하자, 우리는 다음과 같이 f(T)를 정의한다.

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}\int _{\Gamma }f(z)(z-T)^{-1}dz.}$

오픈 세트 G는 f에 따라 달라질 수 있으므로 연결할 필요가 없다. 적분은 스칼라 케이스에서와 같이 리만 합계의 한계로 정의된다. 연속 f에 대해서는 적분이 이치에 맞지만, 고전적 함수 이론(예: Cauchy 적분 공식)에서 기계를 적용하기 위해 홀로모르픽 함수로 제한한다. σ(T)이 γ의 내부에 있다는 가정은 f(T)가 잘 정의되도록 하며, γ의 선택에 따라 달라지지 않는다. 기능적 미적분은 Hol(T)에서 L(X)까지의 지도 φ이다.

$[\displaystyle \;\Phi(f)=f(T)]}$

우리는 이 기능적 미적분학의 다음과 같은 성질을 요구할 것이다.

1. φ은 다항 함수 미적분을 확장한다.
2. 스펙트럼 매핑 정리는 다음과 같다: σ(f(T) = f(t) = f(t).
3. Ⅱ는 대수적 동형성이다.

유한차원의 경우

유한차원 사례에서 σ(T) = {λ_i}은(는) 복합 평면에서 유한 이산형 집합이다. e는_i λ의_i 일부 개방된 이웃에 1이고 다른 곳에 0인 함수가 되게 하라. 기능적 미적분학의 속성 3에 의해, 연산자

${\displaystyle e_{i}(T)}$

투영법이야 더구나 ν을_i λ의_i 지수로 삼자.

${\displaystyle f(z)=(z-\boda _{i}^{\nu _{i}}.}$

스펙트럼 매핑 정리는 우리에게

${\displaystyle f(T)e_{i}(T)=(T-\lambda _{i}^{\nu _{i}e_{i}(T)}}$

스펙트럼 {0}. 속성 1로는 f(T)를 조던 형태로 직접 계산할 수 있으며, 검사해 보면 연산자 f(T)e_i(T)가 영행렬임을 알 수 있다.

속성 3으로 f(T) e_i(T) = e_i(T) f(T)를 나타낸다. 그래서_i e(T)는 정확하게 서브 스페이스에 투영되는 것이다.

${\displaystyle \operatorname {Ran} e_{i}(T)=\mathrm {Ker}(T-\lambda _{i}^{\nu _{i}).}$

관계

${\displaystyle \sum _{i}e_{i}=1}$

함축적으로 말하다

${\displaystyle \mathb{C} ^{n}=\bigoplus _{i}\opername {Ran} e_{i}(T)=\bigoplus _{i}\mathrm {Ker}(T-\lambda _{i}^{\nu _{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 지수 i는 T의 고유값을 통과한다. 이것은 불변 아공간 분해다.

${\displaystyle \mathb {C}^{n}=\bigoplus _{i}Y_{i}}$

전항의 각 e_i(T)는 λ에_i 해당하는 요르단 체인과 j span i에 해당하는_j 요르단 체인에 의해 확장되는 하위 공간에 투영되는 것이다. 즉 e_i(T) = P(P)이다_i. 연산자 e_i(T)에 대한 이러한 명시적 식별은 행렬에 대한 명시적 형태의 홀로모르픽 함수 미적분을 제공한다.

모든 f ∈ 홀(T)에 대해,

${\displaystyle f(T)=\sum _{\lambda _{i}\in \sigma(T)}\sum _{k=0}^{k=nu_{i1}{f^{f^{(k)}}}}{k!}}}}}}(T-\lambda_{i})^{k}e_{i}(T).}$

f(T)의 표현은 유한한 합계라는 점에 주목하십시오. 왜냐하면 λ의_i 각 동네에서는 λ을_i 중심으로 f의 테일러 시리즈 확장을 선택했기 때문이다.

연산자의 극

T를 경계 연산자 λ(T)의 고립 지점이 되게 한다(위에서 설명한 바와 같이 T가 콤팩트할 때는 한계점 0을 제외하고 스펙트럼의 모든 지점이 격리된 지점이 된다).

λ 지점은 분해함수 R이_T 정의한 경우 오더 ν을 가진 연산자 T의 극이라고 한다.

${\displaystyle R_{T}(\lambda )=(\lambda -T)^{-1}$

λ에 주문 폴이 있다.

우리는 유한차원 사례에서 고유값의 순서가 그 지수와 일치한다는 것을 보여줄 것이다. 그 결과는 소형 사업자에게도 유효하다.

오픈 디스크 B_ε(λ)와 σ(T)의 교차점이 {λ}이(가) 되도록 반경이 충분히 작은 고유값 λ 중심의 환상 영역 A를 고려한다. 분해함수 R은_T A에서 홀로모르픽이다. R은_T 고전 함수 이론에서 결과를 확장하여 A:에 Laurent 시리즈를 표현한다.

${\displaystyle R_{T}(z)=\sum _{-\infit }^{\infit }a_{m}(\lambda -z)^{m}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle a_{-m}=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}(\lambda -z)^{m-1}(z-T)^{-1}dz}$ and C is a small circle centered at λ.

기능적 미적분학에 대한 이전의 논의에 의해,

${\displaystyle a_{-m}=-(\lambda -T)^{m-1}e_{\lambda }(T)}$ where ${\displaystyle e_{\lambda }}$ is 1 on ${\displaystyle B_{\epsilon }(\lambda )}$ and 0 elsewhere.

그러나 우리는 가장 작은 양의 정수 m을 보여 주었다.

${\displaystyle a_{}}$- ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a_{-m}\neq 0}$ 및${\displaystyle {\mathrm{a<img\; alt="a\_\{-m\}\; \backslash neq\; 0"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/b8d593aba29071d362f3853e5309bbbfe8d8586d"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:8.444ex;\; height:2.676ex;"\; papago-attr-id="326">}}_{}}$= 0${\displaystyle \mathrm{}0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a_{-l}=0\;\\all \l\geq m}$

정확히 λ, ν(λ)의 지수다. 즉, 함수_T R은 λ에서 순서 ν(λ)의 폴을 가지고 있다.

수치해석

행렬 A가 여러 고유값을 가지거나 여러 고유값을 갖는 행렬에 가까우면 요르단 정규 형태는 섭동에 매우 민감하다. 예를 들어 행렬을 고려하십시오.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1\\\varepsilon &1\end{bmatrix}.}$

ε = 0이면 요르단 정규 형태는 단순하다.

${\displaystyle {\bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}.}$

단, ε 0의 경우, 요르단 정상 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle {\bmatrix}1+{\\sqrt {\varepsilon }{}&0\\0&1-{\sqrt {\bmatrix}}.}$

이 잘못된 조건화는 요르단 정상 형태에 대한 강력한 수치 알고리즘을 개발하기 매우 어렵게 만든다. 그 결과는 두 고유값이 동일하다고 간주되는지에 따라 결정적으로 달라지기 때문이다. 이 때문에 수치해석에서는 요르단 정상 형태를 피한다. 안정적인 슈르 분해나^[17] 가성분석이^[18] 더 좋은 대안이 된다.

참고 항목

• 표준적 기준
• 표준형식
• 프로베니우스 정상형
• 요르단 행렬
• 요르단-체발리 분해
• 행렬 분해
• 모달 행렬
• Weyr 표준형식

메모들

참조