대수적 결합론

Algebraic combinatorics
학술지는 대수학 콤비네이터학(저널)을 참조한다.
Fano matroid, Fano 평면에서 파생된. 매트로이드는 대수적 결합학에서 연구된 많은 분야 중 하나이다.

대수학 콤비네이터학은 추상 대수학, 특히 집단 이론과 대표 이론의 방법을 다양한 조합 문맥에 채택하고 반대로 대수학 문제에 콤비네이터 기법을 적용하는 수학 영역이다.

역사

"알지브라질 결합술"이라는 용어는 1970년대 후반에 도입되었다.[1] 1990년대 초반이나 중반에 걸쳐 대수적 결합에 관심 있는 전형적인 조합물들은 대칭을 많이 인정하거나(관련 체계, 강하게 규칙적인 그래프, 집단행동이 있는 포지션) 풍부한 대수적 구조를 가지고 있었으며, 표현 이론적 기원을 자주 가지고 있었다(대칭적 함수, Young tableaux). 이 기간은 1991년에 도입된 AMS 수학 과목 분류의 05E 대수 조합 영역에 반영된다.

범위

대수적 결합학은 결합법과 대수적 방법의 상호작용이 특히 강하고 중요한 수학 영역으로 보다 광범위하게 보여지게 되었다. 따라서 결합 주제가 자연에서 열거되거나 매트로이드, 폴리토페, 부분 순서 집합 또는 유한 기하학을 포함할 수 있다. 대수학 쪽에서는 집단과 대표이론 외에 격자 이론과 정류 대수학이 일반적이다.

중요한 주제

대칭 함수

주요기사 : 대칭함수의 링

대칭함수의 링은 n이 무한대로 가듯이 n자형에서 대칭 다항식의 링의 특정 한계다. 이 링은 대칭 다항식 사이의 관계를 n개의 인디테마네이트 수와는 독립적으로 표현할 수 있는 보편적 구조(그러나 그 요소는 다항식도 기능도 아니다)의 역할을 한다. 무엇보다도 이 반지는 대칭 집단의 대표이론에 중요한 역할을 한다.

연결 체계

주요 기사: 연결 방식

연결 체계는 특정 호환성 조건을 만족하는 이진 관계의 모음입니다. 연결 체계는 조합 설계와 코딩 이론과 같은 많은 주제에 대한 통일된 접근방식을 제공한다.[2][3] 대수학에서는 연관 체계가 집단을 일반화하고, 연관 체계의 이론은 집단의 선형표현의 성격 이론을 일반화한다.[4][5][6]

매우 정규 그래프

주요 기사: 매우 정규 그래프

매우 정규적인 그래프는 다음과 같이 정의된다. G = (V,E)를 v 정점과 도 k를 갖는 정규 그래프로 한다. G는 다음과 같은 정수와 μ가 있으면 강하게 규칙적이라고 한다.

  • 각각의 인접한 두 꼭지점에는 공통적인 이웃이 있다.
  • 두 개의 비인접 정점마다 μ의 공통 이웃이 있다.

이런 종류의 그래프는 때때로 srg(v, k, λ, μ)라고 한다.

일부 저자들은 정의를 사소한 것으로 만족시키는 그래프, 즉 하나 이상의 동일한 크기의 완전한 그래프의 분리된 결합인 그래프와 [7][8]그 보완점인 투란 그래프를 제외한다.

젊은 탁보

주요 기사: 영 탁아

A Young tableau (pl.: tableaux)는 표현 이론과 슈베르트 미적분학에 유용한 조합물이다. 대칭 및 일반 선형 그룹의 그룹 표현을 설명하고 그 특성을 연구할 수 있는 편리한 방법을 제공한다. 어린 탁자는 1900년 케임브리지 대학의 수학자인 알프레드 영에 의해 소개되었다. 그 후 1903년 게오르크 프로베니우스(Georg Frobenius)에 의해 대칭군 연구에 적용되었다. 그들의 이론은 Percy MacMahon, W. V. D를 포함한 많은 수학자들에 의해 더욱 발전되었다. 호지, 지 드 B 로빈슨, 지안 카를로 로타, 알랭 라스콕스, 마르셀 폴 슈첸베르거, 리처드 P. 스탠리.

매트로이드

주요기사 : 매트로이드

매트로이드(matroid)는 벡터 공간에서 선형 독립성의 개념을 포착하고 일반화하는 구조다. 매트로이드를 정의하는 많은 동등한 방법이 있는데, 독립 세트, 베이스, 회로, 폐쇄 세트 또는 플랫, 폐쇄 연산자 및 순위 함수에 있어 가장 중요한 존재다.

마트로이드 이론은 선형대수학과 그래프 이론의 용어로부터 광범위하게 차용되는데, 이는 주로 이러한 분야에서 중심적인 중요성에 대한 다양한 개념의 추상화 때문이다. 매트로이드는 기하학, 위상, 조합 최적화, 네트워크 이론 및 코딩 이론에서 응용 프로그램을 발견했다.[9][10]

유한 기하학

주요 기사: 유한 기하학

유한 기하학은 점의 수가 한정되어 있는 어떤 기하학적 시스템이다. 친숙한 유클리드 기하학은 유한하지 않다. 유클리드 선은 무한히 많은 점을 포함하고 있기 때문이다. 화소가 점으로 간주되는 컴퓨터 화면에 표시되는 그래픽에 기초한 기하학은 유한 기하학일 것이다. 유한 기하학이라고 할 수 있는 시스템도 많지만, 그 규칙성과 단순성 때문에 유한한 투사적 공간과 부속적 공간에 대한 관심이 대부분이다. 그 밖에 유의미한 형태의 유한 기하학으로는 벤츠 평면이라고 하는 일반형의 예인 유한 뫼비우스 또는 역행면과 라구에르 평면이 있으며, 그 고차원적인 아날로그가 더 높은 유한 역행 기하학과 같은 것이다.

유한 기하학은 유한장 위의 벡터 공간에서 시작하여 선형 대수학을 통해 구성할 수 있다. 그렇게 구성된 아핀과 투사 평면을 갈루아 기하학이라고 한다. 유한 기하학도 순전히 자명하게 정의할 수 있다. 치수 3 이상의 어떤 유한 투사 공간은 유한장(즉, 유한장 위에 벡터 공간의 투사화)에 대한 이소모르픽이기 때문에 대부분의 일반적인 유한 기하학은 갈루아 기하학이다. 그러나 차원 2는 갈루아 기하학, 즉 데스투게스 이외의 평면들에 이형화되지 않는 아편과 투영면을 가지고 있다. 유사한 결과가 다른 종류의 유한 기하학에도 적용된다.

참고 항목

참조

  1. ^ 에이치 반나이 의 대수학 콤비네이터학
  2. ^ 반나이&이토 1984
  3. ^ 고실로1993번길
  4. ^ 베일리 2004, 페이지 387 (
  5. ^ 지스창 2005b
  6. ^ 지스창 2005a
  7. ^ "Brouwer, Andries E; Haemers, Willem H. Spectra of Graphs. p. 101" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2012-03-16. Retrieved 2014-10-10.
  8. ^ Godsil, Chris; Royle, Gordon. 대수 그래프 이론. Springer-Verlag New York, 2001, 페이지 218.
  9. ^ Neel, David L.; Neudauer, Nancy Ann (2009). "Matroids you have known" (PDF). Mathematics Magazine. 82 (1): 26–41. doi:10.4169/193009809x469020. Retrieved 4 October 2014.
  10. ^ Kashyap, Navin; Soljanin, Emina; Vontobel, Pascal. "Applications of Matroid Theory and Combinatorial Optimization to Information and Coding Theory" (PDF). www.birs.ca. Retrieved 4 October 2014.

추가 읽기

외부 링크