비트 벡터

수학에서 Witt 벡터는 교환반지의 원소들의 무한 시퀀스다.에른스트 비트(Ernst Witt)는 비트 벡터 W(${\displaystyle {}_{}}$p$){\displaystyle$ W$(\mathb {F} _{p}})$의 링이 $유한$한 순서 p의 p ${\displaystyp p}$ -adic$$ 정수의 링이 되도록 비트 벡터 세트에 링 구조를 넣는 방법을 보여주었다.이들의 첨가 및 승법 구조는 표준 p-adic 정수의 덧셈과 곱셈 공식처럼 동작하지 않는 무한 반복 공식의 집합에 의존하기 때문에 첫눈에 비직관성이 높은 구조를 가지고^[1] 있다.Witt 벡터의 주요 아이디어는^[1] 표준 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -adic$$ 확장을 사용하는 대신

${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots }$

$Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 요소를 나타내기 위해$,$ 대신 Teichmuller 문자를 사용하여 확장을 고려할 수 있다.

${\displaystyle \omega :\mathb {F} _{p}^{*}\to \mathb {Z} _{p}^{*}}}}}}}}$

which sends each element in the solution set of ${\displaystyle x^{p-1}-1}$ in ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ to an element in the solution set of ${\displaystyle x^{p-1}-1}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. That is, we expand out elements in ${\dis$${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ F${\displaystyle }$p {\$displaystyle \$$pd \$pd $\mathb{F} _{p}}}$에서 확실한 원소가 아닌 통합의 뿌리로 플레이스타일$$ $\mathb{$p}. 그런 다음 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyp p}$ -adic$$ 정수를 무한의 합으로 표현할 수 있다$.$

${\displaystyle \omega(a)=\omega(a_{0})+\omega(a_{1}p+\omega(a_{2})p^{2}+\cdots }}}$

위트 벡터(Witt vector)를 주는

${\displaystyle(\omega(a_{0}),\omega(a_{1}),\omega(a_{2}),\ldots )}}$

그러면 위트 벡터의 비경쟁적 첨가물 및 곱셈 구조는 이 $지도$를 사용하여 $\Omega {\displaystyle }$ {\$displaystyle W(\mathb {F} _{p})$과 같은 첨가물 및 곱셈 구조를 부여함으로써 얻어진 것으로서, Ω ${\displaystyle \omega}$이(${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$)는 조합형 링 형태주의를 유도한다$$.

역사

19세기에 에른스트 에두아르트 쿠메르는 페르마의 마지막 정리에 관한 연구의 일환으로 필드의 주기적 확장을 연구하였다.이것은 현재 쿠메르 이론으로 알려진 주제로 이어졌다.k를 통일의 원시 n번째 근원을 포함하는 밭이 되게 하라.쿠메르 이론은 k의 도 n 순환장 확장 K를 분류한다.Such fields are in bijection with order n cyclic groups ${\displaystyle \Delta \subseteq k^{\times }/(k^{\times })^{n}}$, where ${\displaystyle \Delta }$ corresponds to ${\displaystyle K=k({\sqrt[{n}]{$$\Delta$ $\}\}\}.$

그러나 k가 특성 p를 가지고 있다고 가정해 보자.k의 학위 p연장, 즉 보다 일반적으로 학위ⁿ p연장을 연구하는 문제는 표면적으로 금메르 이론과 유사해 보일 수 있다.그러나 이런 상황에서 k는 단결의 원시적인 p번째 뿌리를 포함할 수 없다.If x is a pth root of unity in k, then it satisfies ${\displaystyle x^{p}=1}$. But consider the expression ${\displaystyle (x-1)^{p}=0}$. By expanding using binomial coefficients we see that the operation of raising to the pth power, known here as the Frobenius homomorphism, introduces the factor p to ev첫 번째와 마지막을 제외한 에리 계수, 그래서 modulo p 이 방정식들은 같다.따라서 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x=1$ 따라서 쿠머 이론은 그 특성에 의해 등급이 구분되는 확장에 결코 적용할 수 없다.

특성이 도를 나누는 경우를 이제 아르틴-슈레이어 이론이라고 부르는데, 첫 번째 진보는 아르틴과 슈레이어에 의해 이루어졌기 때문이다.그들의 초기의 동기는 아르틴-슈레이어 정리였는데, 이 정리에서는 진짜 폐쇄된 분야를 절대 갈루아 집단이 순서 2를 갖는 것으로 특징짓는다.^[2]이것은 그들에게 어떤 다른 분야들이 유한한 절대 갈루아 집단을 가지고 있는지 물어보도록 영감을 주었다.그들은 다른 그러한 분야가 존재하지 않는다는 것을 증명하는 가운데 특성 p의 필드 k의 p 확장이 아르틴-슈레이어 다항식의 필드를 분할하는 것과 같다는 것을 증명했다.이는 x ${\displaystyle p^{}}$- ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle a}$. ${\displaystyle x^{p}-x-a$ 형식의 정의에 의한 것이다$.$$}$ 구성을 반복하면서$$ p급² 연장을 기술했다.아브라함 아드리안 알베르트는 이 아이디어를 사용하여ⁿ p 학위 연장을 묘사했다.각각의 반복은 필드 확장이 정상인지 확인하기 위해 복잡한 대수적 조건을 수반했다.^[3]

Schmid는^[4] 더 일반화 되어 있지 않은 주기적 알헤브라를 p도로ⁿ 일반화했다.그 과정에서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -adic$$ 정수 추가와 관련된 특정 다항식이 나타났다.위트는 이 다항식들을 장악했다.그것들을 체계적으로 사용함으로써, 그는 도 p장ⁿ 확장과 주기적인 알헤브라의 단순하고 통일된 구조를 줄 수 있었다.구체적으로 그는 현재 n-트래핑 p-일반 Witt 벡터의 링인 W_n(k)라고 불리는 반지를 소개했다.이 반지는 지수로 k를 가지고 있으며, F 연산자와 함께 나오는데, F 연산자는 k를 타고 프로베니우스 연산자로 줄어들기 때문에 프로베니우스 연산자로 불린다.Witt는 Artin-Schreier 다항식들의 도 p 아날로그가ⁿ

${\displaystyle F(x)-x-a,}$

$여기$서 ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n{}_{}}$( k${\displaystyle }$) ${\displaystyle a\in W_{n}(k$ Kummer 이론과 유추를 완료하려면 $\wp {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle$ $\wp }$을(를${\displaystyle )}$ 연산자 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mapsto }$ F$(x)-x.$로 정의하십시오$.$$$ Then the degree pⁿ extensions of k are in bijective correspondence with cyclic subgroups ${\displaystyle \Delta \subseteq W_{n}(k)/\wp (W_{n}(k))}$ of order pⁿ, where ${\displaystyle \Delta }$ corresponds to the field ${\displaystyle k(\wp ^{-1}(\Delta ))}$.

동기

Any ${\displaystyle p}$-adic integer (an element of ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, not to be confused with ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\mathbb {F} _{p}}$) can be written as a power series ${\displaystyle a_{0}+a_{1}p^{1}+$$a_{2}p^{2}+\cdots }$, where the ${\displaystyle a_{i}}$ are usually taken from the integer interval ${\displaystyle [0,p-1]=\{0,1,2,\ldots ,p-1\}}$. It is hard to provide an algebraic expression for addition and multiplication using this representation, as one faces the problem of carry숫자 사이에 끼임그러나 ${\displaystyle {대표}_{}}$ 계수 $a{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle p}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle a_{i}\in [0,p-1]}$을(를) 취하면 여러$$ 선택 중 하나일 뿐이며, 헨젤 자신($p{\displaystyle }$ ${\displaystyp p}$ -adic$$ number의 작성자)은 대표로서 분야에서의 통합의 뿌리를 제시했다.These representatives are therefore the number ${\displaystyle 0}$ together with the ${\displaystyle (p-1)^{\text{th}}}$ roots of unity; that is, the solutions of ${\displaystyle x^{p}-x=0}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, so that ${\displaystyle$$a_{i}=a_{i}^{p$이러한 선택은 자연스럽게 Z ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ $\mathb$${Z$$} _{$$p}$의 링 확장으로 확장되며$,$ 잔류$$ 필드는 $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle p^{}}$ = p ${\$$}$로 확장된다$.$ $실제로{\displaystyle }$ 이러한 필드(r의 분율 $필드$)이다.헨젤의 선택에 동기를 부여한 것.Now the representatives are the ${\displaystyle q}$ solutions in the field to ${\displaystyle x^{q}-x=0}$. Call the field ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(\eta )}$, with ${\displaystyle \eta }$ an appropriate primitive ${\displaystyle (q-1)^{\text{th}}}$ root of unity($Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 초과)$$$대표자$는 0 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$q ${\displaystyle q}$ -${\displaystyle }$2 ${\displaystyle 0$$}$과 $then{\displaystyle {}^{}}$ i {\$displaystyle$ 0\$leq$ i$\leq q-2}$에 대해 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle$ $\$$leq$ q-}{i$}}$이다$.$ 이들 대표자는 복수 집합을 구성하므로 캐릭터로 생각할 수 있다.헨젤의 작품들 이후 약 30년이 지난 후, 테이크뮐러는 이러한 인물들을 연구했는데, 지금은 그의 이름이 새겨져 있으며, 이로 인해 그는 잔여 분야라는 관점에서 전 분야의 구조를 특성화하게 되었다.These Teichmüller representatives can be identified with the elements of the finite field ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ of order ${\displaystyle q}$ by taking residues modulo ${\displaystyle p}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(\eta )}$, and elements of ${\displaystyl$$e \mathbb {F} _{q}^{\times }}$ are taken to their representatives by the Teichmüller character ${\displaystyle \omega :\mathbb {F} _{q}^{\times }\to \mathbb {Z} _{p}(\eta )^{\times }}$. This operation identifies the set of integers in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(\eta )}$ wi$\Omega {\displaystyle ({}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$) 원소의 무한 시퀀스${\displaystyle }${${\displaystyle 0}$}${\displaystyle \omega(\mathb {F} _{q}^{\times }}\cup \{0$

그러한 대표자들을 대상으로 덧셈과 곱셈을 위한 표현은 폐쇄적인 형태로 쓰여질 수 있다.We now have the following problem (stated for the simplest case: ${\displaystyle q=p}$): given two infinite sequences of elements of ${\displaystyle \omega (\mathbb {F} _{p}^{\times })\cup \{0\},}$ describe their sum and product as ${\displaystyle p}$-adic integers explicitly.이 문제는 위트가 위트 벡터를 사용하여 해결했다.

자세한 동기부여 스케치

우리는 Witt $벡터$ 구조로 자연스럽게 일반화되는 구조를 $사용$하여 $유한장{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$p = Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle p\mathbb{}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\$$\mathb {Z}$$\$displaystyle \mathb {F}$_{p$} _{p$}=\mathb {Z} }$에서 $p{\displaystyle }$$$$${\$mathb {Z}$의 링을 도출한다.

The ring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ of ${\displaystyle p}$-adic integers can be understood as the projective limit of ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} .}$ Specifically, it consists of the sequences ${\displaystyle (n_{0},n_{1},\ldots )}$ with $$${\displaystyle n_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i+1}\mathbb {Z} ,}$ such that ${\displaystyle n_{j}\equiv n_{i}{\bmod {p}}^{i+1}}$ for ${\displaystyle j\geq i.}$ That is, each successive element of the sequence is equal to the previous elements modulo a lowerp의 힘; $이것$은 Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle p{}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}\mathbb{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{Z}}^{}}$→ ${\displaystyle Z{}^{}}$ /${\displaystyle {}^{}\mathbb{}}$ i${\displaystyle Z^{}}$ . ${\displaystyle \mathb {Z} /p^{i+1}\mathb {Z} \to \mathb {Z} /p^{i}\mathb {Z}}}$의 역한계값이다$.$

$Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 요소를 p ${\displaystyle p}$에서 (공식) 파워 시리즈로 확장할 수 있다$$.

${\displaystyle a_{0}+a_{1}p^{1}+a_{2}p^{2}+\cdots ,}$

where ${\displaystyle a_{i}}$ are usually taken from the integer interval ${\displaystyle [0,p-1]=\{0,1,\ldots ,p-1\}.}$ Of course, this power series usually will not converge in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ using the standard metric on the reals, but it will converge in ${\displaystyle {}_{}}$$p{\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle p}$ -adic$$ 메트릭이 있는 Z p , {\$displaystyle \mathb {Z} _{p}}.$우리는 그러한 파워 시리즈에 대한 링 작동을 정의하는 방법을 스케치할 것이다.

${\displaystyle +}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$을(를) $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ c$\}($$으$)로 표시하도록 허용하면 다음 정의를 추가하여 고려할 수 있다.

${\displaystyle {\displaysty}c_{0}&\equiv a_{0}+b_{0}}&&{\bmod {p}}\\c_{0}+c_{1}p&\equiv (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})p&&{\bmod {p}}^{2}\\c_{0}+c_{1}p+c_{2}p^{2}&\equiv (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})p+(a_{2}+b_{2})p^{2}&&{\bmod {p}}^{3}\end{aligned}}}$

그리고 곱셈에 대해서도 비슷한 정의를 내릴 수 있었다.그러나 새 계수가 허용된 집합${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ p${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1]}$ . ${\displaystyle [0,p-1]$에 있지 않기 때문에 이 공식은 폐쇄식이 아니다.$}$

F의_p 원소를 Witt 벡터 W(F_p) 링의 원소로 표시

닫힌 공식을 산출하는$$ p {\displaystyle $\mathb$ {Z$} _{p}}$ 보다 나은 계수 하위 집합이 있으며, Teichmuller 대표자는 $({\displaystyle p}$-${\displaystyle {}^{}1}$) ${\displaystyle {\text{th}}^{}}$ ${\$과 함께 0이다.그들은$$ 명시적으로 계산될 수 있다 (원래 계수 대표자$[{\displaystyle 0,}$ p${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle[0,p-1$는 헨젤 ${\displaystyle {\mathrm{리프팅}}^{}}$을 ${\displaystyle \mathrm{통해}}$x p${\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$- 1 =$$[\$displaystyle$ x$^{p-1}-1=0}$의 루트로 뉴턴의 $p{\displaystyle }$ ${\displaystystylease p}$ -adic$$ 버전이다.For example, in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5},}$ to calculate the representative of ${\displaystyle 2,}$ one starts by finding the unique solution of ${\displaystyle x^{4}-1=0}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} /25\mathbb {Z} }$ with ${\displaystyle x\equi$$v 2{\bmod {5}}}$; one gets ${\displaystyle 7.}$ Repeat this in ${\displaystyle \mathbb {Z} /125\mathbb {Z} ,}$ with the conditions ${\displaystyle x^{4}-1=0}$ and ${\displaystyle x\equiv 7{\bmod {2}}5}$ gives ${\displaystyle 57,}$ and so on; the resulting Tei$\Omega {\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$)으로 표시된 2 {\$displaystyle 2}$의$$뮐러 대표가 $시퀀스$ 입니다$.$

${\displaystyle \omega(2)=(2,7,57,\ldots )\in W(\mathb {F} _{5})$

The existence of a lift in each step is guaranteed by the greatest common divisor ${\displaystyle (x^{p-1}-1,(p-1)x^{p-2})=1}$ in every ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$

이 알고리즘은 모든 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[ ${\displaystyle 0,}$ p${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle j\in [0,p-1$에 대해 0 =$$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle a_{0}=j}$을(를) 가진 Teichmuller 대표가 정확히 한 명 있다는 것을 보여준다$.$ $\Omega {\displaystyle (j}$ )${\displaystyle }$. ${\displaystyley \omega(j).$$}$ Indeed, this defines the Teichmüller character ${\displaystyle \omega :\mathbb {F} _{p}^{*}\to \mathbb {Z} _{p}^{*}}$ satisfying ${\displaystyle m\circ \omega =\mathrm {id} _{\mathbb {F} _{p}}}$ if we denote ${\$$displaystyle m:\mathb {Z} \mathb {Z} _{p}/p\mathb {Z} _{p}\cong \mathb {F} _{p}.$$}$ $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$은(는) 합계가 대표적일 필요가 없으므로 첨가물이 아니라는 점에 유의하십시오$$.Despite this, if ${\displaystyle \omega (k)=\omega (i)+\omega (j){\bmod {p}}}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$ then ${\displaystyle i+j=k}$ in ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}.$$}$

Z의_p 원소를 Witt 벡터 W(F_p) 링의 원소로 표시

$\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$이$($가) 제공한 이 일대일 대응 때문에, Teichmüler 대표로부터 계수를 얻어$$ $p{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle p}$의 파워$$ 시리즈로서 $모든{\displaystyle }$ p ${\$$displaystyp p}$ -adic 정수를 확장할 수 있다.다음과 같이 명시적 알고리즘을 제공할 수 있다.Write the Teichmüller representative as ${\displaystyle \omega (t_{0})=t_{0}+t_{1}p^{1}+t_{2}p^{2}+\cdots .}$ Then, if one has some arbitrary ${\displaystyle p}$-adic integer of the form ${\displaystyle x=x_{0}$$+x_{1}p^{1}+x_{2}p^{2}+\cdots ,}$ one takes the difference ${\displaystyle x-\omega (x_{0})=x'_{1}p^{1}+x'_{2}p^{2}+\cdots ,}$ leaving a value divisible by ${\displaystyle p}$. Hence, ${\displaystyle x-\omega (x_{0})=0{\bmod {p}}}$.그런 다음 프로세스가 반복되어${\displaystyle }\Omega {\displaystyle }$(${\displaystyle {x1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega(x'_{1}p})$를 뺀 후 이와 같이 진행한다.이것은 일련의 결말을 낳는다.

${\displaystyle {\p}x&\equiv \omega(x_{0})&#\bmod {p}\\x&\equiv \equiv \equiv \equiv \omega(x_{0})+\omega(x'_{1})p&#{p}^{2}\&#\cdcodots \end{liged}}}}}}}}}}}}}}$

하도록

${\displaystyle x\equiv \sum _{j=0}^{i}\omega({\bar {x}_{j}p^{j}}{j}}{\bmod{p}^{i+1}}}}$

그리고 > ${\displaystyle i'>i}$는 다음을 암시한다.

${\displaystyle \sum \sum \{j=0}^{j}p^{j}}\equiv \sum _{j=0}^{j}\bar {x}p^{j}}{j}p^{\bmod}{p}^{i+1}:{i+1}}}}}}$

을 위해

${\displaystyle {\x}_{i}=m\left({\frac {x-\sum _{j=0}^{j-1}오메가({\bar {{x}_{j}p^{j}}}}{p^{i}}}}\오른쪽).}$

따라서 우리는 p의 x모듈로 파워의 각 잔여물에 대한 파워 시리즈를 가지고 있지만$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$p${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$} ${\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}}$이 아닌 Teichmüller 대표에 계수를 가지고 있다$.$ 분명히 알 수 있다.

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infit }\omega({\bar {x}_{j}p^{j}}=x,}$

그 이후

${\displaystyle p^{i+1}\mid x-\sum _{j=0}^{i}\omega({\bar {{x}_{j}p^{j}}}}}}}}}}}}$

$모든{\displaystyle }$ $i{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle i}$에 대해 i →${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle$ i$\to \inft ,}$ 따라서$$ p {\$displaystyp}$ -adic$$ 메트릭과 관련하여 차이가 0을 나타내는 경향이 있다.결과 계수는 일반적으로 첫 번째 계수를 제외하고$$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ modulo$$ ${\displaystyle p^{}}$ $i{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ p$^{i}}$와 다르다.

일반 정의에 동기를 부여하는 Witt 벡터 링에 있는 요소의 추가 특성

Teichmuller 계수는 $\Omega {\displaystyle ({\stackrel{"}{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{}^{}}$) ${\displaystyle p^{}}$= ${\displaystyle \Omega ({\stackrel{"}{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \omega({\bar{x}_{i})$의 주요 추가 속성을 가진다.$^{p}=\omega({\bar{x}_{i}),$${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ p${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,p-1]}$의 숫자에 대해 누락됨$.$이것은 다음과 같이 덧셈을 기술하는 데 사용할 수 있다.Teichmüller 문자는 첨가물이 아니기 때문에, ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}{}_{}}$= 0${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle {}_{}}$ p ${\displaystyle$ \$mathb {Z}$ _${$$p}$에는 해당되지 않는다$$$.$ 그러나 $F{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystymathb {F}$에 들어 있다$.$특히.

${\displaystyle c_{0}^{p}^{p}\equiv(a_{0}+b_{0})^{p}{p}{\bmod{p}^{p}}}}$

따라서

${\displaystyle c_{0}-a_{0}-b_{0}\equiv (a_{0}+b_{0})^{p}-a_{0}-b_{0}\equiv {\binom {p}{1}}a_{0}^{p-1}b_{0}+\cdots +{\binom {p}{p-1}}a_{0}b_{0}^{p-1}{\bmod {p}}^{2}.}$

이항계수$({\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{p}{}}$ i${\displaystyle }$)$${\$displaystyle${\$binom {p}{i}}}$은(는) p$${\$displaystyle p}$에 의해 분할되므로$$ 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle c_{1}\equiv a_{1}+b_{1}-a_{0}^{p-1}b_{0}-{\frac {p-1}{2}}a_{0}^{p-2}b_{0}^{2}-\cdots -a_{0}b_{0}^{p-1}{\bmod {p}}.}$

이것은 리프트에 의해$$ $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\$1}를 완전히 결정한다.더구나 합치모듈로 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$은(는) 단순한 첨가물 구조를 정의하는 기본 목적을 만족하는$$ $F{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle \mathb {F} _{p}}}$에서 실제로 계산을 수행할 수 있음을 나타낸다$$.

$c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}: 이 단계는$$ 이미 매우 번거롭다.쓰다

${\displaystyle c_{1}=c_{1}^{p}\equiv \left(a_{1}+b_{1}-a_{0}^{p-1}b_{0}-{\frac {p-1}{2}}a_{0}^{p-2}b_{0}^{2}-\cdots -a_{0}b_{0}^{p-1}\right)^{p}{\bmod {p}}.}$

$c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle c_{0}}$과 마찬가지로 하나의$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ th의$$ 전력으로는 충분하지 않음: 반드시 취해야 함

${\displaystyle c_{0}=c_{0}^{p^{2}}\equiv (a_{0}+b_{0}}^{p^{2}}).}$

However, ${\displaystyle {\binom {p^{2}}{i}}}$ is not in general divisible by ${\displaystyle p^{2},}$ but it is divisible when ${\displaystyle i=pd,}$ in which case ${\displaystyle a^{i}b^{p^{2}-i}=a^{d}b^{p-d}}$ combined with simila$c{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 r 모노미알이 $p{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle p^{2$}}의 배수를 만든다$$$.$

이 단계에서는 실제로 양식을 추가하여 작업하고 있는 것이 확실해진다.

${\displaystyle {\displaysty}c_{0}&\equiv a_{0}+b_{0}}&{\bmod{p}\\c_{0}^{p}+c_{1}p&\equiv a_{0}^{p}+a_{1}p+b_{0}^}^{p}+b_{1}p&{\pmod{p}^{2}\\c_{0}^{p^{2}}+c_{1}}^{p}p+c_{2}p^{2}p^{2}}&\equiv a_{0}^{p^{2}}+a_{1}^{p}p+a_{2}p^{2}p^{2}+b_{0}^{p^{2}}+b_{1}^{p}p+b_{2}p^{2}p^{2}}&#{\bmod{p}^{3}\end{aigned}}}}}}$

이것은 위트 벡터의 정의에 동기를 부여한다.

위트 링의 건설

가환 반지 R)(소수에 비해 p{\displaystyle p})에 A비트 vector[5]p.이 가장 적절한 번호를 각인시키다 시퀀스:R의 요소들의(X 0, X1, X2.){\displaystyle(X_{0}일 경우 ,X_{1},X_{2},\ldots)}{R\displaystyle}. 나는{\displaystyl은 비트 polynomials W정의합니다.eW$_{i}}$ by$$

1. ${\displaystyle W_{0}=X_{0}}}$
2. ${\displaystyle W_{1}=X_{0}^{p}+pX_{1}}$
3. ${\displaystyle W_{2}=X_{0}^{p^{2}}+pX_{1}^{p}+p^{2}X_{2}}:$

그리고 일반적으로

${\displaystyle W_{n}=\sum _{i=0}^{n^{n^{n}X_{i}^{p^{n-i}}}.}$

$W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$는 위트 벡터$X$ 0,$$X ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle \dots )}$의${\displaystyle }$유령 성분으로 불리며$,$ 일반적으로$$ X ($n{\displaystyle {}^{}}$ ) . {\$displaystyle$ $X^{$$1}, X_{2},\ldots$ )로 $표시되며,$ 일반적으로$$X${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle n^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle$ X^{{$n}.$$$유령 성분은 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ - 시퀀스 모듈의$$ 대체 좌표계라고 생각할 수 있다.

Witt 벡터 $W{\displaystyle }$( ${\displaystyle R}$) ${\displaystyle W(R)}($Prime $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에 상대적$)$의 링은 유령 성분의 성분 첨가 및 곱셈으로 정의된다.즉, 어떤 교환 링 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ 위에 있는 Witt 벡터 세트를 다음과 같은 링으로 만드는$$ 독특한 방법이 있다.

1. 합계 및 곱은 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에 종속되지 않는 적분 계수를 가진 다항식 에 의해 주어진다$.$
2. 각 유령 구성요소에 투영하는 $것$은 R ${\displaystyle R$에 대한 Witt 벡터로부터 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에 이르는 고리 동형성이다$.$

바꾸어 말하면, 환언하면

• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle X}$+ ${\displaystyle Y{}_{}}$) ${\displaystyle i_{}}$ ${\$${i}$ 및${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$ Y${\displaystyle {}_{}}$) i ${\$은(는) R에 종속되지 않는 적분 계수를 가진 다항식으로 주어지며$$,

• ${\displaystyle X^{}}$${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle i^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle Y^{}}$( i${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$+ ${\displaystyle Y{}^{}}$) =${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle i^{}}$) ${\$${\displaystyle {}^{}}X{\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle {i)}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$(${\displaystyle i^{}{}^{}}$= ( ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y{)}^{}}$ = ( )${\displaystyle {}^{}}$.${\displaystystyle$ X$^{(i)}}$$Y^{{(i)}=(XY)^{(i)}}}$

Witt 벡터의 합계와 제품을 제공하는 처음 몇 개의 다항식들은 명시적으로 기록될 수 있다.예를 들어,

${\displaystyle(X_{0},X_{1},\ldots )+(Y_{0},Y_{1},\ldots )=(X_{0}+)Y_{0},X_{1}+Y_{1}-(X_{0}+)Y_{0}^{p}-X_{0}^{p}-Y_{0}^{p}/p,\ldots )}$

${\displaystyle (X_{0},X_{1},\ldots )\time (Y_{0},Y_{1},\ldots )=(X_{0})Y_{0},X_{0}^{p}Y_{1}+X_{1}Y_{0}^{p}+pX_{1}Y_{1},\ldots )}$

이것들은 실제 공식의 지름길로 이해되어야 한다.예를 들어, $R{\displaystyle }${\$displaystyle R}$에 $특성{\displaystyle }$ p$${\$displaystyle$p$\}$이(가) 있는 경우, 위의 첫 번째$$ $공식$에서$$p {\$displaystyle$ $p$$}$을(를) ${\displaystyle {나눈\mathrm{}}^{}}$ 다음 구성 요소 등에 나타나는 기준$$ p $2{\displaystyle {}^{}}$ ${\$는 이치에 맞지 않는다.단, 합계의 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -power가$$ 개발되면 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$p + ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}${\$displaystyle X_{0}^{p}+$라는 용어가 개발된다.$Y_{0}^{p}}}$는 이전 것과 함께 취소되고$$ 나머지 것은 p ${\displaystyle$ p$}$에 의해 단순화되며$,$ $p{\displaystyle }${\$displaystyle p}$에 의한 분할은 남아$$ 있지 않고 공식도 타당하다.이어지는 구성 요소에도 동일한 고려사항이 적용된다.

덧셈과 곱셈의 예

예상대로 Witt 벡터 W (${\displaystyle A}$ )${\디스플레이$ 스타일 $W(A)}$의 링에 있는 단위가 원소다$$.

${\displaystyle {\underline{1}=(1,0,0,\ldots )}$

예를 들어 $W{\displaystyle }$(F 5${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle W(\mathb {F} _{5}})$에서 이 요소를 자체 추가하면 비교가 안 되는 시퀀스가 제공된다$.$

${\displaystyle {\underline{1}+{\underline{1}=(2,4,\ldots )}$

그 이후

${\displaystyle {\regated}2&=1+1\\4&=-{\frac {32-1-11}{5}\mod 5\&\cdots \end{arged}}}}$

$2{\displaystyle \underset{}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\_}}$ ${\$과(와) 같지 않기 때문에 예상된 동작은 아니지만$,$ 지도 $m{\displaystyle }$ :${\displaystyle W}$ ${\displaystyle ({\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$→ F ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ $(\$$W(\mathbb {F} _{5})\to \mathbb {F} _{5}}$, we get ${\displaystyle m(\omega (1)+\omega (1))=m(\omega (2))}$. Note of we have an element ${\displaystyle x\in A}$ and an element ${\displaystyle a\in W(A)}$ then

${\displaystyle {\underline{xa_{0},x^{p}a_{1},\ldots,x^{p^{n}a_{n},\ldots )}$

곱셈을 보여주는 것 또한 매우 비복잡하게 작용한다.

예

• p가 변위할 수 없는 모든 교환 링 R의 Witt 링은 ${\displaystyle {R\mathbb{}}^{}}$ N$${\$displaystyle$ R$^{\mathb{N}}}}}}}$에 이형성일 뿐이다($$R의 셀 수 있는 복사본의 곱).사실 위트 다항식들은 항상 위트 벡터의 $고리$로부터 R ${\displaystyle {N\mathbb{}}^{}}${\$displaystyle R^{\mathbb{N}}}}}}}$에 동항형식을 부여하는데$,$ 만약 p가 변절불능이라면 이 동항형성은 이항형성이다.

• 위트 링 $W{\displaystyle }$(${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \cong }$ Z ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ \mathb _{p}는 위에서 설명한 바와 같이 테이크멀러 대표자의 관점에서 작성된 $p{\displaystyle }$ ${\displaystystyle p}$ -adic$$ 정수의 링이다.

• 정수의 p의 반지도 n의 독특한unramified의 신전 주문 pn 유한한 필드의 비트 반지 W(Fq)≅ OK{\displaystyle W(\mathbb{F}_{q})\cong{\mathcal{O}}_{K}}은 반지{p\displaystyle}-adic 번호 K/Qp(_{p}}. 노트 K≅ Qp.${\displaystyle K\cong \mathbb {Q} _{p}[\mu _{q-1}]}$ for ${\displaystyle \mu _{q-1}}$ the ${\displaystyle (q-1)}$-th root of unity, hence ${\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})\cong \mathbb {Z} _{p}[\mu _{q-1}]}$.

유니버설 비트 벡터

다른 primes p에 대한 Witt 다항식은 범용 Witt 다항식의 특별한 경우로서, 보편적인 witt 링을 형성하는데 사용될 수 있다(prime p의 선택에 따라 달라지지 않음).n ≥ 1에 대한 범용 Witt 다항식 W 정의_n

1. ${\displaystyle W_{1}=X_{1}:{1}$
2. ${\displaystyle W_{2}=X_{1}^{2}+2X_{2}}$
3. ${\displaystyle W_{3}=X_{1}^{3}+3X_{3}}}$
4. ${\displaystyle W_{4}=X_{1}^{4}+2X_{2}^{2}+4X_{4}}}$

그리고 일반적으로

${\displaystyle W_{n}=\sum _{dn}X_{d}^{n/d}.}$

Again, ${\displaystyle (W_{1},W_{2},W_{3},\ldots )}$ is called the vector of ghost components of the Witt vector ${\displaystyle (X_{1},X_{2},X_{3},\ldots )}$, and is usually denoted by ${\displaystyle (X^{(1)},X^$${(2)},X^{(3)},\ldots$ $)\}.$

우리는 위와 거의 같은 방법으로 이 다항식들을 사용하여 모든 교환형 링 R에 걸쳐 보편적 Witt 벡터의 링을 정의할 수 있다(따라서 보편적 Witt 다항식은 모두 R과 동항형이다).

함수 생성 중

Witt는 또한 생성 기능을 사용하는 또 다른 접근방식을 제공했다.^[6]

정의

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) Witt 벡터로 설정하고$$ 정의

${\displaystyle f_{X}(t)=\prod _{n\geq 1}(1-X_{n}t^{n}}=\sum _{n\geq 0}A_{n}t^{n}}}}}}}}}}}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n\geq 1}$의 경우$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle {In}_{}}$ ${\${\$mathcal {I}_{n}}$의 하위 집합 컬렉션을 나타내도록$$ 하며$$, 이$$ 하위 집합은${\displaystyle }${$,$${\displaystyle 2}$,${\displaystyle \dots ,}$ $}$ {\$displaystyle \{$$1,2,\dots}$에 해당 요소가 추가된다$.$그러면

${\displaystyle A_{n}=\sum _{I\in {I}_{n1}-1)^{{I}\prod_{i\in I}{X_{i}}}.}$

우리는 로그파생물을 이용해서 유령부품을 얻을 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}-t{\frac{d}{dt}}\log f_ᆮ(t)&, =-t{\frac{d}{dt}}\sum _ᆱ\log(1-X_{n}t^{n})\\&, =t{\frac{d}{dt}}\sum _{n\geq 1}\sum _{d\geq 1}{\frac{X_{n}^{d}t^{알몬드}}{d}}\\&,=\sum _{n\geq 1}\sum _{d\geq 1}nX_{n}^{d}t^{알몬드}\\&,=\sum _{m\geq 1}\sum _{dm}dX_{d}^{m/d}t^{m}\\&,=\sum _{m\geq 1}X^{(m)}t^{m}\end{aligne.d}}}$

합계

이제 $우리$는 F${\displaystyle {}_{}}$Z ( ${\displaystyle t}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle f_{Z}(t)=f_{X}(t)f_{Y}(t)}$ $만약$ Z =${\displaystyle X}$ + ${\displaystyle Y}${\$displaystyle$Z=$X+Y}$를 볼 수 있다$.$ 그렇게 하면

${\displaystyle C_{n}=\sum _{0\leq i\leq n}A_{n}B_{n-i}}}}$

만약 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle {Bn}_{}}$, C$$ , C {$n},B_{n},$${\displaystyle \mathrm{B\_}}$${n$},${\displaystyle {C\_}_{}}$${n}}}$이 파워 시리즈 F X ( )${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle f{Y}_{}}$ ( )${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$Y ( ) ,${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ( ) $displaysty f_{X}(t),$ f_${Y}(t),$ f_${Z}(t)$의 각 계수들이다$.$그러면

${\displaystyle Z_{n}=\sum _{0\leq i\leq n_{n_{n-i}-\sum _{I\in {\mathcal {I}_{n}}},I\neq \{n\}}(-1)^{{{n}\prod _{i\in I}{Z_{i}}}.}$

Since ${\displaystyle A_{n}}$ is a polynomial in ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ and likewise for ${\displaystyle B_{n}}$, we can show by induction that ${\displaystyle Z_{n}}$ is a polynomial in ${\displaystyle X_{1},\ld$$ots ,X_{n},$$Y_{1},\ldots ,Y_{n}.$$}$

제품

$W{\displaystyle }$= ${\displaystyle X}$ Y ${\displaystyle W=XY}$을(를) 설정하면

${\displaystyle -t{d}{d}}\log f_{W}(t)=-\sum _{m\geq 1}X^{(m)}Y^{(m)}t^{m}.}$

그렇지만

${\$$Y^{{(m)}t^{m}=\sum _{m\geq 1}\sum _{dm}X_{d}^{m/d}\sum _{em}e$$Y_{e}^{m/e}t^{m$

Now 3-tuples ${\displaystyle {m,d,e}}$ with ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+},d m,e m}$ are in bijection with 3-tuples ${\displaystyle {d,e,n}}$ with ${\displaystyle d,e,n\in \mathbb {Z} ^{+}}$, via ${\displaystyle n=$$m/[d,e$$$d , ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [d,e]}$은(는) 최소공통 배수로, 우리의 시리즈는

${\daystyle \sum _{d,e\geq 1}de\sum _{n\geq 1}\좌측(X_{d}^{\frac{d,e]}{d}}}}}}}}}}Y_{e}^{\frac {[d,e]}{e}}}{e}^{[d,e]}\오른쪽)^{n}=-t{\frac {d}{dt}\log \prod _{d,e\geq 1}\좌측(1-X_{d}^{\frac{[d,e]}}}{d}}}}}}}}}}}}}}}Y_{e}^{\frac {[d,e]}{{e}}}{e}}}{{e}}}}{\frac {de}{[d,e]}}}}}}}}}$

하도록

${\displaystyle f_{W}(t)=\prod _{d,e\geq 1}\왼쪽(1-X_{d}^{\frac{[d,e]}}{d}}}}}}}}Y_{e}^{\frac {[d,e]}{e}}{e}}{{e}}\right)^{\frac {de}{[d,e]}}}}}}}=\sum _{n\geq 0}D_{n}t^{n}}}}}}}}}$

여기서 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$는 $X{\displaystyle {}_{}}$ 1, …, ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$n, ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$n${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots, X_{n}$의 다항식이다.$Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$ 따라서$$ 유사한 유도에 의해,

${\displaystyle f_{W}(t)=\prod _{n\geq 1}(1-W_{n}t^{n}),}$

그 $다음{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle W_{}}$ n$${\$displaystyle W_{n}$의 다항식으로 풀 수 있다$$${\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ Y ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}{Y}_{}}$. ${\displaystyle X_{1},\ldots, X_{n},$$Y_{1},\ldots ,Y_{n}.$$}$

링 구성

The map taking a commutative ring R to the ring of Witt vectors over R (for a fixed prime p) is a functor from commutative rings to commutative rings, and is also representable, so it can be thought of as a ring scheme, called the Witt scheme, over ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} ).}$ The Witt scheme can be대칭 함수의 링 스펙트럼과 함께 표준적으로 식별된다.

마찬가지로 잘린 Witt 벡터의 링과 보편적인 Witt 벡터의 링은 잘린 Witt 체계와 보편적인 Witt 체계라고 불리는 링 체계에 해당한다.

Moreover, the functor taking the commutative ring ${\displaystyle R}$ to the set ${\displaystyle R^{n}}$ is represented by the affine space ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}}$, and the ring structure on ${\displaystyle R^{n}}$ makes ${\displaystyle \mathbb$${A} _{\mathbb {Z} }^{n}}$ into a ring scheme denoted ${\displaystyle {\underline {\mathcal {O}}}^{n}}$. From the construction of truncated Witt vectors, it follows that their associated ring scheme ${\displaystyle \mathbb {W} _{n}}$ is the scheme ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }$$^{$${\displaystyle {}_{}}$$}}$는 위트 다항식이 주는 형태론$$ $W{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ → ${\displaystyle {\underset{}{\mathcal{}}}^{}{}_{}{\_n}^{}}$ ${\$W$} _{n}\to {\underline${\$mathcal{O}}}^{n}}}}}}}}$과 같은 독특한 고리 구조를 가지고$$ 있다.

교감대수학군

특성 0의 대수적으로 폐쇄된 장에 걸쳐서, 모든 비전능적인 아벨 연결 대수군은 첨가 그룹 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$의 사본의 곱에 이형성이 있다$.$특성 p의 필드에 대한 이것의 아날로그는 거짓이다: 잘린 Witt 체계는 counterrexamp이다.(우리는 곱셈을 잊어버리고 덧셈 구조만 사용함으로써 그것들을 대수학 그룹으로 만든다.)그러나, 이것들은 본질적으로 유일한 counterrexamples이다: 특성 p의 대수학적으로 닫힌 영역에 걸쳐, 모든 전능하지 않은 아벨리아 연계 대수학 그룹은 잘린 Witt 그룹 체계의 산물에 이등성이 있다.

참고 항목

• p-disation.
• 형식군
• 아르틴-하세 지수
• 목걸이 반지

참조

소개

• 위트 벡터에 대한 노트: 동기 부여된 접근법 - 주요 아이디어와 직관을 제공하는 기본 노트.여기서 시작하는 게 최고야!
• 위트 벡터 이론 - 그 이론의 기초적 도입.
• Complexe de Rham-Witt et cohomologie christaline - 그는 이 기사에서와 다르지만 동등한 관례를 사용한다.또한 도입부의 요점은 여전히 유효하다.

적용들

• Mumford, David (1966-08-21), Lectures on Curves on an Algebraic Surface, Annals of Mathematics Studies, vol. 59, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07993-6
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 67, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90424-5, MR 0554237, 섹션 II.6
• Serre, Jean-Pierre (1988), Algebraic groups and class fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 117, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1035-1, ISBN 978-0-387-96648-9, MR 0918564
• Greenberg, Marvin J. (1969). Lectures on Forms in Many Variables. New York and Amsterdam: Benjamin. ASIN B0006BX17M. MR 0241358.

참조

• Dolgachev, Igor V. (2001) [1994], "Witt vector", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Hazewinkel, Michiel (2009), "Witt vectors. I.", Handbook of algebra. Vol. 6, Amsterdam: Elsevier/North-Holland, pp. 319–472, arXiv:0804.3888, doi:10.1016/S1570-7954(08)00207-6, ISBN 978-0-444-53257-2, MR 2553661
• Witt, Ernst (1936), "Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad pⁿ. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik pⁿ", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (in German), 1937 (176): 126–140, doi:10.1515/crll.1937.176.126