분리대수학

수학에서 분리 가능한 대수학은 반실행 대수학의 일종이다.분리 가능한 자기장 확장의 개념을 연상시키는 알헤브라를 일반화한 것이다.

정의 및 첫 번째 속성

링 동형성(단일 링, 반드시 역순 링은 아님)

$K\to A}$

곱셈 맵이 있는 경우 분리 가능(또는 분리 가능 확장)이라고 함

$\displaystyle \mu :A\otimes _{K}A로, 종종 b\mapsto ab}$

과목을 인정하다.

${\displaystyle \chostma :A\to A\imples _{K}A}$

A-A-바이모듈의 동형성 hom에 의해.그러한 섹션 σ은 그 가치에 의해 결정된다.

${\displaystyle p:=\disma(1)=\sum a_{i}\otimes b_{i}}}$

σ(1) σ이 μ의 한 부분이라는 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle \sum a_{i}b_{i}=1}$

그리고 A-A-바이모듈의 동형성이 되는 조건은 A의 어떤 것에 대한 다음의 요건과 동등하다.

${\displaystyle \sum aa_{i}\otimes b_{i}=\sum a_{i}\otimes b_{i}a.}$

이러한 요소 p는 p ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}=p}$을(를$)$ 만족하므로 분리 가능성 IDempotent라고 한다.

예

모든 정류 링 R에 대해, n-by-n ${\displaystyle \mathrm{매트릭스}{}_{}}$M ${\displaystyle n_{}}$( R ) ${\displaystyle M_{n}($R)}의 (비 정류) 링은$$ 분리 가능한 R-알지브라이다.For any ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$, a separability idempotent is given by ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}e_{ij}\otimes e_{ji}}$, where ${\displaystyle e_{ij}}$ denotes the elementary matrix which is 0 except for the entry in position (i, j), which is 1.특히 분리 가능성 특이점이 고유할 필요는 없다는 것을 보여준다.

들판 위의 분리 가능한 알헤브라스

$L{\displaystyle }$/ ${\displaystyle K}$ ${\$이(가) 필드 확장인 경우 필드의 확장이 분리 가능한 경우에만 L을 연관 K-algebra로 분리할 수 있다.If L/K has a primitive element ${\displaystyle a}$ with irreducible polynomial ${\displaystyle p(x)=(x-a)\sum _{i=0}^{n-1}b_{i}x^{i}}$, then a separability idempotent is given by ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}$$a^{i}\otimes _{K}{\frac {b_{i}}{p'(a)}}}$. The tensorands are dual bases for the trace map: if ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}}$ are the distinct K-monomorphisms of L into an algebraic closure of K, the trace mapping Tr of L into K is defined by ${\display$$style Tr(x$)=\$sum _{i$=$1}^{n$}\$sigma _{i$}(x$)\}$ .추적 지도와 그 이중 베이스는 K에 대한 프로베니우스 대수로서 명시적인 L을 만든다.

보다 일반적으로 필드 K 위에 있는 분리 가능한 알헤브라는 다음과 같이 분류할 수 있다: 그것들은 필드 K의 유한 차원 분리 가능한 필드 확장이 있는 유한 차원 분할 알헤브라에 대한 매트릭스 알헤브라의 유한한 제품과 동일하다.특히:모든 분리 가능한 대수학은 그 자체가 유한한 차원이다.K가 특성 0의 필드, 유한장 또는 대수적으로 폐쇄된 필드 등 완벽한 필드라면 K의 모든 확장은 분리가 가능하므로 분리 가능한 K-algebras는 필드 K에 대한 유한 차원 분할 알헤브라의 유한한 제품이다.즉 K가 완벽한 분야라면 K보다 분리가 가능한 대수와 K보다 유한한 차원 반이행 대수 사이에는 아무런 차이가 없다.모든 필드 확장자 $L{\displaystyle /K}$ ${\$에 대해 대수 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle L_{}}$ ${\$가 반임되는 경우 연관 K-algebra A는 분리할 수 있다는 것을 Maschke의 일반화된 정리를 통해 알 수 있다.

그룹 링

만약 K가 교호반지이고 G가 K에서 G의 순서를 바꿀 수 없는 유한집단이라면, 그룹 링 K[G]는 분리 가능한 K-알제브라다.^[1]분리성 IDempotent는 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{o}{}}$( ${\displaystyle \frac{G}{}}$)${\displaystyle \underset{}{}}$∑ ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ {$1}{o(G)}}}\sum _{g\in G}g\otimes$ g$^{-1}$에 의해 주어진다$.$

분리가능성의 등가 특성

분리 가능한 알헤브라의 몇 가지 동등한 정의가 있다.K-알지브라 A는 통상적인 방법으로$$ $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle e^{}}$ ${\$의 좌측 모듈로 간주될 때 투사성이 있는 경우에만 분리가 가능하다.^[2]더욱이 대수 A는 ${\displaystyle {통상적}^{}}$인 방법으로$$ $A{\displaystyle {}^{}}$ e ${\$의 우측 모듈로 간주할 때 평탄한 경우에만 분리가 가능하다.분리 가능한 확장은 분할 확장의 방법으로도 특성화할 수 있다.A-K-비모듈로 분할된 A-A-비모듈의 모든 짧은 정확한 시퀀스가 A-A-비모듈로 분할된 경우 A는 K에 대해 분리가 가능하다.실제로 이 조건은 곱셈 맵핑 ${\displaystyle \mathrm{\mu A}{}_{}}$→ ${\displaystyle \mu$:$A\otimes _{K}A\rightarrow A}$ arising in the definition above is a A-A-bimodule epimorphism, which is split as an A-K-bimodule map by the right inverse mapping ${\displaystyle A\rightarrow A\otimes _{K}A}$ given by ${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1}$. The converse can be proven by a judicious use of the separability idempotent (분할 지도 안과 없이 그것의 구성요소를 적용하는 Maschke의 정리 증빙과 유사하다).^[3]

Equivalently, the relative Hochschild cohomology groups ${\displaystyle H^{n}(R,S;M)}$ of (R,S) in any coefficient bimodule M is zero for n > 0. Examples of separable extensions are many including first separable algebras where R = separable algebra and S = 1 times the ground field.요소 a와 b를 만족시키는 ab = 1을 만족하지만 1과 다른 모든 링 R은 1과 bRa에 의해 생성된 서브링 S에 대한 분리 가능한 확장이다.

프로베니우스 알제브라와의 관계

분리 가능한 대수학은 대칭인 분리 가능성 idempotent가 존재하는 경우 강하게 분리할 수 있다고 한다.

${\displaystyle e=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}=\otimes y_{i}=\sum _{i=1}^{n}y_}\otimes x_{i}}}}}}}}$

대수학은 그 미량 형태가 비감소형인 경우에만 강하게 분리가 가능하므로 대수학을 대칭대수라고 하는 특정한 종류의 프로베니우스 대수학으로 만든다(텐서대수의 몫으로 발생하는 대칭대수와 혼동하지 않는다).

만약 K가 대응적이라면, A는 정밀하게 생성된 투영 분리형 K-module이고, A는 대칭 프로베니우스 대수학이다.^[4]

공식적으로 사전 구성되지 않은, 정식 버전 확장에 대한 관계

분리가 가능한 모든 교환 링의 확장 A / K는 공식적으로 프로그래밍되지 않는다.A가 미세하게 생성된 K-알지브라라면 그 반대는 유지된다.^[5]분리 가능한 플랫(통행형) K-알제브라 A는 공식적으로 étale이다.^[6]

추가 결과

영역의 정리는 분리 가능한 호프-갈루아 확장 R S가 자연 S-모듈 R을 정밀하게 생성했다는 J. 쿠아드라의 정리다.분리 가능한 확장자 R S에 대한 기본적인 사실은 그것이 왼쪽 또는 오른쪽 반 구현 확장자라는 것이다: S-module로 분할된 왼쪽 또는 오른쪽 R-module의 짧은 정확한 순서는 R-module로 분할된다.G로 따지면.Hochschild의 상대적 호몰로지 대수학, 하나는 모든 R-모듈이 상대적(R,S)-프로젝티브라고 말한다.일반적으로 분리 가능한 확장의 개념과 같은 서브링 또는 링 확장의 상대적 특성은 오버링이 서브링의 속성을 공유한다고 하는 이론들을 촉진하는 역할을 한다.예를 들어, 반이행 대수 S의 분리 가능한 확장 R은 앞의 논의에서 나온 R의 반이행형을 가지고 있다.

특징 p의 분야에 걸친 유한군 대수 A는 그것의 Sylow p-subgroup이 순환하는 경우에만 유한한 표현형이라는 유명한 얀스의 정리가 있다: 가장 명확한 증거는 p-group에 대해 이 사실을 주목하는 것이다, 그리고 그 그룹 대수학은 그 Sylow p-subgroup 대수 B의 분리 가능한 확장이다. 지수가 coprime이기 때문이다.특징에 맞게위의 분리 가능성 조건은 미세하게 생성된 모든 A-모듈 M이 제한적이고 유도된 모듈에서 직접 합계에 대해 이형성을 의미할 것이다.그러나 B가 유한한 표현형을 가지고 있다면, 제한 모듈은 독특하게 많은 외설물들의 배수를 직접 합한 것이며, 이는 M이 직접 합인 유한한 구성적 외설물 모듈로 유도한다.따라서 A는 B라면 유한한 표현형이다.역은 모든 부분군 대수 B가 그룹 대수 A의 B-비모듈 직접 합계라는 점에 주목하는 유사한 논거에 의해 증명된다.

참조

• DeMeyer, F.; Ingraham, E. (1971). Separable algebras over commutative rings. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 181. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-05371-2. Zbl 0215.36602.
• 새뮤얼 에일렌베르크와 나카야마 다다시, 모듈과 알제브라 차원에. II. 프로베니우스 알헤브라와 준프로베니우스 반지, 나고야 수학.J. 제9권(1955), 1-16권.
• Endo, Shizuo; Watanabe, Yutaka (1967), "On separable algebras over a commutative ring", Osaka Journal of Mathematics, 4: 233–242, MR 0227211
• Ford, Timothy J. (2017), Separable algebras, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-3770-1, MR 3618889
• Hirata, H.; Sugano, K. (1966), "On semisimple and separable extensions of noncommutative rings", J. Math. Soc. Jpn., 18: 360–373.
• Kadison, Lars (1999), New examples of Frobenius extensions, University Lecture Series, vol. 14, Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/ulect/014, ISBN 0-8218-1962-3, MR 1690111
• Reiner, I. (2003), Maximal Orders, London Mathematical Society Monographs. New Series, vol. 28, Oxford University Press, ISBN 0-19-852673-3, Zbl 1024.16008
• Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324. OCLC 36131259.