주요 이상영역에 걸쳐 정밀하게 생성된 모듈을 위한 구조정리

수학에서, 추상대수학 분야에서, 주 이상영역에 걸쳐 정밀하게 생성된 모듈에 대한 구조정리는 정밀하게 생성된 아벨리아 집단의 기본정리의 일반화이며, 주 이상영역(PID)에 걸쳐 정밀하게 생성된 모듈들은 거의 동일한 wa에서 고유하게 분해될 수 있다고 대략 기술하고 있다.y 정수는 주요한 요소를 가지고 있다.그 결과는 필드 위의 사각 행렬에 대한 다양한 표준 형식 결과를 이해할 수 있는 간단한 프레임워크를 제공한다.null

성명서

필드 F 위에 있는 벡터 공간이 유한한 생성 집합을 가질 때, 그것으로부터 한정된 수의 벡터 n으로 구성된 기초를 추출할 수 있으며, 따라서 공간은ⁿ F에 대해 이형화된다.R보다 정밀하게 생성된 모듈에 대한 기초가 존재하지 않을 수 있기 때문에, 주 이상 영역 R에 일반화된 F와 일치하는 진술은 더 이상 사실이 아니다.그러나 그러한 모듈은 n이 유한한 일부 모듈 R의ⁿ 지수에 대해 여전히 이형적이다(이를 보기 위해서는ⁿ R의 표준적 근거의 요소를 모듈의 생성기로 보내는 형태론을 구성하기에 충분하며, 그 커널에 의한 지수를 취한다).생성 집합의 선택을 변경함으로써, 실제로 모듈을 특별히 단순한 서브모듈에 의한 일부 R의ⁿ 몫으로 설명할 수 있으며, 이것이 구조 정리다.null

주요 이상영역에 걸쳐 정밀하게 생성된 모듈에 대한 구조정리는 대개 다음의 두 가지 형태로 나타난다.null

불변 인자 분해

For every finitely generated module M over a principal ideal domain R, there is a unique decreasing sequence of proper ideals ${\displaystyle (d_{1})\supseteq (d_{2})\supseteq \cdots \supseteq (d_{n})}$ such that M is isomorphic to the sum of cyclic modules:

${\displaystyle M\cong \bigoplus _{i}=R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus \plus R/(d_{n}).}$

이상 발생기$$ $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 단위별로 곱셈까지 고유하며, M의 불변인자라고 불린다.이상이 적절해야 하기 때문에 이러한 요소들 그 자체는 되돌릴 수 없어야 하며(이것은 합계에 사소한 요소들을 피한다), 이상을 포함한다는 것은 1 ${\displaystyle d{}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{}_{}}$⋯ d ${\$ {\d_${1}\, \$d_{2}\, \$d_{n}\,\$cdots \, \, $\d_{$n$\}\}\}.$${\displaystyle {자유}_{}}$ 부분은 d${\displaystyle {}_{}\mathrm{i}}$ =$$0 {\$displaystyle d_{i}=$0} 인자에 해당하는 분해 부분에서 볼 수 있다$.$ 그러한 인자가 있다면 시퀀스 끝에서 발생한다.null

직접 합은 M에 의해 독특하게 결정되지만, 분해 그 자체를 주는 이소모르피즘은 일반적으로 고유하지 않다.예를 들어 만약 R은 실제로 필드, 그 다음에 모든 발생하는 이상해야 할 0,1; 이러한 요인들의 수, 즉 공간의 차원, 하지만 자유의 많은 자신들(만약 어두운 M&g은 subspaces을 고르는데 고정되어 있는 1차원 subspaces의 직접적인 값으로 유한한차원 벡터 공간의 분해 과정을 득한다.t; 1).

0이 아닌 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 요소와$$ 0인$$ $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 수가 함께 모듈에 대한 전체 불변수 집합을 형성한다.명백하게, 이것은 동일한 불변성 세트를 공유하는 어떤 두 개의 모듈도 반드시 이등형이라는 것을 의미한다.null

일부에서는 M의 자유 부분을 따로 쓰기를 선호한다.

${\displaystyle R^{f}\oplus \bigoplus _{i}R/(d_{i})=R^{f}\oplus R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n-f})}$

여기서 보이는 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 0이 아니며, f는 $원래{\displaystyle {}_{}}$ 시퀀스 내 d ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의$$수입니다.

일차 분해

주요 이상영역 R을 통해 미세하게 생성된 모든 모듈 M은 형태 중 하나에 이형성이 있다.

${\displaystyle \bigoplus _{i}R/(q_{i})}$

여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (q_{i}\neq R}$ 및$$ (${\displaystyle q_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (q_{i})$은 일차적 이상이다.$q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(단위별 최대 곱셈) 고유하다$$.

원소 ${\$는 M의 기본 구분자로 불린다.PID에서 0이 아닌 1차 이상은 프라임의 힘이며$,{\displaystyle }$ 따라서 (${\displaystyle q_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ r ${\displaystyle {i_{}}_{}^{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( p ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$) ${\displaystyle {r{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {i_{}}^{}}$ ${\${i}})=(p_${i}})}$$^{r_{i$ ${\displaystyle {qi}_{}}$= ${\displaystyle 0}${\$displaystyle q_{i}=0}$일 때$,$ 결과적으로 외설적인 $모듈$은 R ${\displaystyle$R} 그$$ 자체로서, 이것은 무료 모듈인 M의 일부 안에 있다.null

$Summand{\displaystyle R_{}}$ / (${\displaystyle {}_{}}$q$$i ) {\$displaystyle R/(q_${i$}})$는 외설적이므로 1차 분해는 외설적 모듈로 분해되므로 PID를 통해 미세하게 생성된 모든 모듈은 완전 분해 가능한 모듈이다${\displaystyle .}$PID는 노메테리아 고리들이기 때문에, 이것은 라스커-노에더 정리의 발현으로 볼 수 있다.null

이전과 같이 프리 파트(${\displaystyle {여기}_{}}$서${\displaystyle {}_{}\mathrm{qi}}$= 0 {\$displaystyle q_{i$}=0$\})$를 별도로 작성하고 M을 다음과 같이 표현하는 것이 가능하다.

${\displaystyle R^{f}\oplus(\bigoplus _{i}R/(q_{i})}}$

여기서 보이는 $q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) 0이 아니다$$.null

교정쇄

한 가지 증거는 다음과 같이 진행된다.

• PID는 일관성보다 훨씬 강한 조건인 노메트리안이기 때문에 PID를 통해 미세하게 생성된 모든 모듈 또한 정밀하게 제시된다.
• 지도 $R{\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle g^{}}$ ${\$ R$^{g}}}($생성기와의 관계)인 프리젠테이션을 취하여 스미스 보통 형태로 넣는다.

이것은 불변 인자 분해를 산출하며, 스미스 정상 형태의 대각선 입력은 불변 인자다.null

증거의 또 다른 개요:null

• TM으로 M의 비틀림 서브모듈을 표시한다.그렇다면 M/tM은 미세하게 생성된 비틀림 없는 모듈이고, 그러한 모듈들은 상호 작용 PID를 통한 유한한 자유 모듈이기 때문에 양의 정수 n에 대해서는$$ ${\displaystyle {Rn}^{}}$ ${\$ R$^{n}}$에 이형성이 있다.이 자유 모듈은 임베딩이 투영 맵의 우측 역방향으로 분할되도록 M의 하위 모듈 F로 내장될 수 있다. 즉, F의 각 발전기를 M으로 들어 올리기에 충분하다.그 결과 $M{\displaystyle }$= ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle$M=$tM\oplus$ F$\}.$
• For a prime element p in R we can then speak of ${\displaystyle N_{p}=\{m\in tM\mid \exists i,mp^{i}=0\}}$. This is a submodule of tM, and it turns out that each N_p is a direct sum of cyclic modules, and that tM is a direct sum of N_p for a finite number of distinct primes p.
• 앞의 두 단계를 종합하면 M은 표시된 유형의 주기적 모듈로 분해된다.

코롤러리

$여기$에는 R = K ${\displaystyle R=K}$라는 유한차원 벡터 공간을 특수 케이스로 분류하는 것이 포함된다$.$ 여기서 필드는 비삼각적 이상이 없기 때문에 미세하게 생성된 벡터 공간은 모두 자유롭다.null

$R{\displaystyle }$= ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$를) 복용하면 정밀하게 생성된 아벨리아 집단의 근본적인 정리를 산출한다$$.null

T를 K 위에 있는 유한차원 벡터 공간 V에서 선형 연산자가 되게 한다.R${\displaystyle }$= ${\displaystyle K}$[ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle R=K[T]}$을$($를) 취하면 T에 대한 구조 정보가 산출된다.V는 $K{\displaystyle }$[ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle K[T]}$에 걸쳐 정밀하게 생성된 모듈로 볼 수 있다. 마지막 불변$$인자는 최소 다항식이며 불변 인자의 산물은 특성 다항식이다.$K{\displaystyle }$[ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ]}$/ ${\displaystyle p}$( T${\displaystyle }$) ${\displaystyle K[T]/p(T)}$에 대한 표준 행렬 형식과 결합하여 다음과 같은 다양한 표준 형식을 산출한다$.$

• 불변 요인 + 동반 매트릭스는 프로베니우스 정규 형태를 산출한다(일명, 합리적인 표준 형식).
• 일차 분해 + 동반자 행렬이 일차적합성 표준 형태를 산출함
• 일차 분해 + 요르단 블록은 요르단 표준 형식을 산출한다(이 후자는 대수적으로 닫힌 필드만 보유).

유니크함

불변성(순위, 불변인자, 초등분자)은 독특하지만, M과 그 규범적 형태 사이의 이형성은 고유하지 않고, 직접 합 분해도 보존하지 않는다.이는 이 모듈들의 비종속적인 자동화가 있어 총계를 보존하지 않기 때문이다.null

단, 표준 토션 하위모듈 T와 각 (간결함) 불변 인자에 해당하는 유사한 표준 하위모듈을 가지고 있어 표준 시퀀스를 산출한다.

$'0'을 표시한다}$

요르단의 구성 시리즈 비교-홀더 정리.null

For instance, if ${\displaystyle M\approx \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2}$, and ${\displaystyle (1,{\bar {0}}),(0,{\bar {1}})}$ is one basis, then ${\displaystyle (1,{\bar {1}}),(0,{\bar {1}})}$ is another basis, and the change of basis matrix ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}}$ does not preserve the summand ${\displaystyle \mathbf {Z} }$. However, it does preserve the ${\displaystyle \mathbf {Z} /2}$ summand, as this is the torsion submodule (equivalently here, the 2-torsion elements).null

일반화

무리

더 요르단-Hölder 정리는 유한 그룹(또는 임의의 링 위에 있는 모듈)에 대해 더 일반적인 결과물이다.이러한 일반성에서는 직접 합이 아닌 구성 시리즈를 얻는다.null

Krull-Schmidt 정리 및 관련 결과는 모듈이 1차 분해와 같은 것을 가지고 있는 조건을 제공하며, 이는 총계가 순서에 따라 고유한 외설적 모듈의 직접적인 합으로 분해된다.null

일차 분해

1차 분해는 상호 작용하는 노메트리안 링을 통해 미세하게 생성된 모듈로 일반화되며, 이 결과를 래스커-노에더 정리라고 한다.null

외설 모듈

이와는 대조적으로, 외설적인 하위조종으로 독특한 분해는 지금까지 일반화되지 않으며, 그 실패는 PID의 경우 소멸되는 이상적인 등급 그룹에 의해 측정된다.

주요 이상적인 영역이 아닌 링의 경우, 고유 분해는 두 요소에 의해 생성된 링 위에 모듈을 고정할 필요도 없다.R = Z[164-5]의 경우, 2와 1 + √-5에 의해 생성된 모듈 R과 그 하위 모듈 M은 모두 외설적이다.R이 M에 대해 이형성이 아닌 반면, R ⊕ R은 M m M에 대해 이형성이므로, M summ의 이미지는 R decomposition R의 다른 분해를 주는 외설적인 하위조항₁ L, L₂ < R r R을 제공한다.R ⊕ R을 강제할 수 없는 모듈의 직접적인 합으로 고유하게 인자화하지 못한 것은 (이상적인 등급 그룹을 통해) R의 요소들을 R의 불가해한 요소들로 고유 인자화하지 못한 것과 직접적인 관련이 있다.

그러나, 디데킨드 도메인 상에서 이상적인 클래스 그룹은 유일한 장애물이며, 구조 정리는 사소한 수정으로 디데킨드 도메인 상에서 정교하게 생성된 모듈들로 일반화된다.비틀림 없는 보완(이소모르프까지 독특함)이 있는 독특한 비틀림 부분이 여전히 존재하지만, 데데킨드 영역을 넘는 비틀림 없는 모듈은 더 이상 반드시 자유롭지 않다.디데킨드 도메인의 토션프리 모듈은 등급과 슈타이니츠 등급(이상적인 등급 그룹에서 가치를 취함)에 따라 결정되며, R(자유 모듈 순위 1개)의 직접 합으로 분해되는 것은 개별 합계(개별 합계)가 1순위 투영 모듈로 결정되는 것은 아니지만,슈타이니츠 계급은 (합계)이다.null

완성되지 않은 모듈

마찬가지로 미세하게 생성되지 않은 모듈의 경우, 이렇게 좋은 분해는 기대할 수 없다. 즉, 인자의 수조차 다양할 수 있다.2개의 외설적 모듈의 직접합과 3개의 외설적 모듈의 직접합인 Q의⁴ Z-submodule이 동시에 존재하는데, 이는 1차 분해의 아날로그가 Z의 정수에서도 무한히 생성되는 모듈들을 지탱할 수 없음을 보여준다.null

완성되지 않은 모듈에서 발생하는 또 다른 문제는 무료가 아닌 비틀림 없는 모듈이 있다는 것이다.예를 들어, 정수의 링 Z를 고려하십시오.그 다음 Q는 비틀림 없는 Z-모듈로 자유롭지 않다.그러한 모듈의 또 다른 고전적인 예는 용어 추가에 따른 모든 정수의 배열 그룹인 Baer-Speker 그룹이다.일반적으로 무한히 생성되는 토션 없는 아벨리아 집단이 자유롭다는 문제는 어떤 큰 추기경들이 존재하느냐에 달려 있다.그 결과 무한히 생성된 모듈에 대한 구조 정리는 설정된 이론 공리의 선택에 따라 달라지며 다른 선택에 따라 무효가 될 수 있다.null

참조