웨일 대수

추상 대수에서 Weyl 대수(Weyl 대수)는 다항식 계수를 가진 미분 연산자의 고리(하나의 변수), 즉 형태의 표현이다.

${\displaystyle f_{m}(X)\partial _{X}^{m}+f_{m-1}(X)\partial _{X}^{m-1}+\cdots +f_{1}(X)\partial _{X}+f_{0}(X).}$

더 정확히 말하자면 F를 기초의 장으로 하고 F[X]를 하나의 변수 X에 있는 다항식의 링으로 하고 계수는 F에 있다.그리고 각각의 f는_i F[X]에 놓여 있다.null

∂_X은 X에 관한 파생상품이다.대수학은 X와 ∂_X에 의해 생성된다.

웨일 대수학(Weyl 대수학)은 분할 링 위의 매트릭스 링이 아닌 단순한 링의 예다.그것은 또한 도메인의 비전속적인 예시일 뿐 아니라 Ore 확장자의 예시일 뿐이다.null

Weyl 대수학(Weyl 대수학)은 원소에 의해 생성되는 이상에 의해 X와 Y라는 두 발전기의 자유 대수학(free 대수학)의 몫에 이형성이 있다.

$(\displaystyle YX-XY=1~)}$

Weyl 대수학(Weyl Algebras)은 Weyl Algebras라고도 알려진 무한 알헤브라스 계열 중 첫 번째다.n-th Weyl 대수 A는_n 다항식 계수를 n 변수에 갖는 미분 연산자의 링이다.X와_i ∂,_Xi i = 1, ..., n에 의해 생성된다.

바이엘 알헤브라는 양자역학에서 하이젠베르크의 불확실성 원리를 연구하기 위해 그들을 소개한 헤르만 바일(Hermann Weyl)의 이름을 따서 이름 지어졌다.하이젠베르크 대수(명칭 [X,Y])의 중심요소를 만능포함대수(위 1이라 함)의 단위와 동일하게 설정하여 하이젠베르크 집단의 리 대수인 하이젠베르크 대수(Lie 대수)의 만능포함대수(Universal clacing 대수)의 지수다.null

웨일 대수학(Weyl 대수학)은 동정적 클리포드 대수학이라고도 한다.^[1][2][3]Weyl Algebras는 Clifford Algebras가 비-degenate 대칭 이선형 형태에 대해 나타내는 동일 구조를 나타낸다.^[1]null

생성자 및 관계

발전기 및 관계 측면에서 알제브라 A를_n 추상적으로 구성할 수 있다.Ω의 합성형 형식을 갖춘 추상 벡터 공간 V (차원 2n)로 시작한다.Weyl 대수 W(V)를 다음으로 정의

${\displaystyle W(V):=T(V)/(!(v\otimes u-u-\otimes v-\omega(v,u),{\text{{{}v,u\in V)\!),}$

여기서 T(V)는 V의 텐서 대수이며, 표기법${\displaystyle }$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$( )${\displaystyle (\!)\!}$은 "에 의해 생성된 이상"을 의미한다$$.null

즉 W(V)는 관계 vu - uv = Ω(v, u)만을 대상으로 V에 의해 생성된 대수다.그 다음, W(V)는 Ω에 대한 다르부스 기준의 선택을_n 통해 A에 이형성을 가진다.

수량화

대수 W(V)는 대칭 대수 Sym(V)의 정량화다.V가 특성 0의 한 분야를 넘으면 W(V)는 자연적으로 Groenewold-Moyal 제품이라고 하는 기형 제품을 장착한 대칭대수 Sym(V)의 기저 벡터 공간에 이형화되어 있다(대칭대수학을 V의^∗ 다항함수로 간주하고, 여기서 변수는 벡터 공간 V를 포괄하고 t에서 i i을 대체한다).He Moyal 제품 공식 1).null

이형성은 Sym(V)에서 W(V)까지 대칭 지도로 주어진다.

${\displaystyle a_{1}\cdots a_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}}\sum _{\sigma \in S_{n}a_{\sigma(1)}\otimes \cdots \otimes a_{\sigma(n)}~}$

만약 어떤 사람이 iħ를 가지고 복잡한 숫자에 대해 작업하기를 선호한다면, 위에 있는 Weyl 대수학을 X와_i iħ∂_Xi에 의해 생성된 것으로 정의할 수 있었을 것이다(양자역학 용도에 따라).null

따라서 Weyl 대수학은 대칭대수의 정량화로서, 모얄 정량화와 본질적으로 동일하지만(만약 후자의 경우 다항함수로 제한한다면), 전자는 발전기 및 관계(미분 연산자로 간주됨), 후자는 기형 곱셈의 관점이다.null

외부 알헤브라의 경우 웨이일 원과 유사한 정량화가 클리포드 대수인데, 이를 직교 클리포드 대수라고도 한다.^[2][4]null

웨일 대수학 특성

지상장 F가 특성 0을 갖는 경우, n번째 웨일 대수학(nth Weil 대수학)은 단순한 노메트리안 영역이다.그것은 글로벌 치수 n을 가지고 있는데, 그것은 변형되는 링과 대조적으로, 글로벌 치수 2n을 가지고 있는 Sym(V)을 가지고 있다.null

그것은 유한한 차원적 표현을 가지고 있지 않다.단순함에서 따르지만, 일부 유한차원 표현 representation(X)과 σ(Y)의 흔적을 취함으로써(여기서 [X,Y] = 1) 더 직접적으로 나타낼 수 있다.null

${\displaystyle tr([\sigma(X),\sigma(Y)]=tr(1)~.}$

정류자의 흔적은 0이고, 정체성의 흔적은 표현의 치수이므로, 표현은 0차원이어야 한다.null

사실 유한차원 표현의 부재보다 더 강한 진술이 있다.미세하게 생성된 A-모듈_n M에는 크기가 대략 M의 크기에^{[clarification needed]} 해당하는 V × V의^∗ 해당 하위 변종 Char(M)^{[clarification needed]}가 있다(유한 차원 모듈은 0차원 특성 다양성을 갖는다).번스타인의 불평등에는 M이 0이 아닌 경우

${\displaystyle \dim(\operatorname {char}(M))\geq n}$

더욱 강력한 진술은 가버의 정리인데, 샤르(M)는 자연적 공감형 형태에 대한 V × V의^∗ 공등방성 하위변수라고 명시하고 있다.null

양성 특성

특성 p > 0의 분야를 놓고 Weyl 대수학의 경우 상황은 상당히 다르다.

이 경우 Weyl 대수의 어떤 원소 D에 대해서는 원소 D가^p 중심이므로 Weyl 대수의 중심은 매우 크다.사실, 그것은 그것의 중심에서 정밀하게 생성된 모듈이다; 훨씬 더 그렇다, 그것은 그것의 중심에서 아즈마야 대수학이다.그 결과, 모든 것이 차원 p의 단순한 표현으로 만들어진 많은 유한차원 표현들이 있다.

상수 중심

웨일 대수학의 중심은 상수의 분야다.For any element ${\displaystyle h=f_{m}(X)\partial _{X}^{m}+f_{m-1}(X)\partial _{X}^{m-1}+\cdots +f_{1}(X)\partial _{X}+f_{0}(X)}$ in the center, ${\displaystyle h\partial _{X}=\partial _{X}h}$ implies $$${\displaystyle f_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$= 모든 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ 0 ${\displaystyle f_{i}'=0}$이고 h$$ = X${\displaystyle h}$ ${\$$displaystyle hX$$=Xh$$}$은 f i = 0 {\$displaystyle$ i$>0}$을 ${\displaystyle \mathrm{의미}}$한다따라서 $h{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 상수다$$.null

일반화

사례 n = 1(그리고 다항 함수보다 큰 통합 함수의 클래스로 푸리에 변환을 사용하는 확장자)에서 이러한 정량화에 대한 자세한 내용은 Wigner–을 참조하십시오.바일 변신.null

Weyl Algebras와 Clifford Algebras는 *-algebra의 추가 구조를 인정하며 CCR과 CAR 알제브라스에서 논의한 바와 같이 초알제브라라는 짝수 이상 용어로 통일될 수 있다.null

아핀 품종

웨일 알헤브라는 대수학 변종의 경우에도 일반화한다.다항식 링 고려

${\displaystyle R={\frac {\\mathb {C} [x_{1},\ldots,x_{n}]}{{}}}{I}}$

차등 연산자는 $R{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \mathb {C}$의 합성 C로 정의된다$.$ -선형$$ 유도(R {\$displaystyle R$}). 이것은 명백히 인용 링이라고 말할 수 있다.

${\displaystyle {\text}{Diff}(R)={\frac {\{D\in A_{n}:D(I)\subseteq I\}{}}{{}}}{{}}}{\frac}}}}}}{}}}}}}}}}{I\cdot A_{n}}}$

참조