요르단 행렬

매트릭스 이론의 수학적 규율에서, 카밀 조던의 이름을 딴 요르단 매트릭스는 고리 R 위에 있는 블록 대각선 매트릭스(이들의 정체성은 0과 1이다)로, 여기서 대각선을 따라 있는 각 블록은 다음과 같은 형태를 가진다.

$#\displaystyle {\bmatrix}\cdots &1&0&\cdots &0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#ddots &\vdots &#0&#0&#0&#0&#0&#data.}$

정의

모든 요르단 블록은 치수 n과 고유값 ${\displaystyle \lambda }$R ${\displaystyle \lambda \in R$ 로 지정되며 J로_λ,n 표시된다.$대각선$을 제외한 모든 곳에 $있는{\displaystyle }$ n$$×${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\time n}$ 행렬로$$, 대각선으로 채워져 있으며, 대각선으로 채워져 있는 \$displaystyle \lambda }$과(와)로 구성되어 있다.

블록이 조던 블록인 모든 블록 대각 행렬을 조던 행렬이라고 한다.이(n1+⋯+nr),r 대각선 블록으로 구성된 Jλ 1, n1⊕ ⋯ ⊕ Jλ r, nr{\displaystyle J_{\lambda_{1},n_{1}}\oplus \cdots\oplus J_{\lambda_{r},n_{r}}}또는 나는 g(Jλ 1, n1,…, Jλ r, nr)삭제{\displaysty 간결하게 표시할 수 있(n1+⋯+nr)광장 매트릭스 ×.르$\mathrm {diag} \left(J_{\lambda _{1},\ldots, J_{\lambda$ _${r}}{r}}\right$ $여기$서 i Jordan ^th 블록은 J_λi,ni.

예를 들어, 행렬

${\displaystyle J=\left는 경우에는{\begin{배열}{개인 ccccccc}0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\\hline 0&, 0&, 0&, i&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, i&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\\hline.0&, 0&, 0&, 0&, 0&, i&, 1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, i&, 0&, 0&, 0\\\hline 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 7&, 1&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 7&, 1\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 7\end{배열}}\right]}$

고유값이 0인 3 × 3 블록을 가진 10 × 10 Jordan 행렬, 상상 단위 i를 갖는 2 × 2 블록, 그리고 고유값 7을 가진 3 × 3 블록이다.요르단 블록 구조는 J $0{\displaystyle {}_{,}}$ ${\displaystyle 3_{}}$⊕ ${\displaystyle {Ji,}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Ji,}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ⊕ ${\displaystyle {Ji\mathrm{}}_{}}$, 2 ${\displaystyle {}_{}}$ J 7${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle 3_{}}$ $【\$ 또는$$ diag(J_0,3i,2, J, J, J_i,2, J, J, J)로 되어_7,3 있다.

선형대수학

원소가 대수적으로 닫힌 필드 K에 있는 모든 n × n ${\displaystyle \mathrm{제곱}}$ 행렬 A는 또한 대각선 블록 자체의 순열에 고유한 M $n{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$( K )${\displaystyle \mathb$ {$M} _{n}(K$에서도 요르단 행렬 J와 유사하다.J는 요르단 정상형 A라고 불리며 대각화 절차의 일반화에 해당한다.^[1][2][3]대각선으로 가능한 행렬은 사실 요르단 행렬의 특별한 경우인 블록이 모두 1 × 1인 행렬과 유사하다.^[4][5][6]

더 일반적으로, 조던 매트릭스 J)Jλ 1, m1⊕ Jλ 2, m2⊕ ⋯ ⊕ Jλ N, 결제 N{\displaystyle J=J_{\lambda_{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda_{2},m_{2}}\oplus \cdots\oplus J_{\lambda_{N},m_{N}}}, 그, 하는kth 대각선 블록, 1≤ k≤ N{1\leqk\leq N\displaystyle}은 조던 블록 Jλ다.k,mk그리고 대각선 원소 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$가 모두 구별되지 않을 수$$ 있는 경우, ${\displaystyle \mathrm{gm}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle J_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $gmul_{$로 표시된 매트릭스 J에 대한 ${\displaystyle \lambda }$ K${\$$displaystystyle$$$\\$lambda \in K}$의 기하학적 다중성$J}\lambda }$는 고유값이 λ인 요르단 블록의 수에 해당한다.J에 대한$$ 고유값 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$의 인덱스가 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle idx_{$로 표시됨$J}\lambda }$은$($는) 해당 고유값과 연관된 가장 큰 요르단 블록의 치수로 정의된다.

J와 유사한 모든 행렬 A도 마찬가지여서 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ x A ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle idx_{$$A}\lambda }$ can be defined accordingly with respect to the Jordan normal form of A for any of its eigenvalues ${\displaystyle \lambda \in \mathrm {spec} A}$. In this case one can check that the index of ${\displaystyle \lambda }$ for A is equal to its multiplicity as a root of the minimal polynomial of A (whereas, by정의, A, $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle mul_{$에 대한 대수적 다중성$A}\lambda }$은$($는) A의 특성 다항식의 루트로서 그것의 다중성이다. 즉, ${\displaystyle det(A}$- ${\displaystyle x}$ I${\displaystyle }$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K}$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \det(A-xI)\in K[x]}).$A가 K에서 대각선을 이루기에 충분하고 동등한 조건은 모든 고유값이 1과 동일한 지수를 갖는다는 것이다. 즉, 최소 다항식은 단순한 뿌리만 가지고 있다.

모든 대수적/기하학적 승수와 지수를 가진 매트릭스의 스펙트럼을 아는 것은 항상 요르단 정규 형태의 연산을 허용하는 것은 아니라는 점에 유의한다(이는 일반적으로 단순한 저차원 매트릭스에 대해서만 충분한 조건일 수 있다). 요르단 분해는 일반적으로 계산적으로 어려운 작업이다.벡터 공간 관점에서, 조던 분해는 연관된 일반화된 고유 벡터가 기초하는 영역의 직교 분해(즉, 조던 블록으로 표현되는 아이겐스페이스의 직접 합계를 통해)를 찾아내는 것과 동등하다.

행렬의 함수

Let ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$ (that is, a n × n complex matrix) and ${\displaystyle C\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ be the change of basis matrix to the Jordan normal form of A; that is, A = C⁻¹JC.Now let f (z) be a holomorphic function on an open set Ω such that ${\displaystyle \mathrm {spec} A\subset {\mathit {\Omega }}\subseteq \mathbb {C} }$; that is, the spectrum of the matrix is contained inside the domain of holomorphy of f.내버려두다

${\displaystyle f(z)=\sum _{h=0}^{\nft }a_{h}(z-z_{0})^{h}}}}}}}$

단순성을 위해 0으로 간주되는 p ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \Omega \mathrm{}}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z_{0}\{\mathit {\Oomega }}\setminus \mathrm {spec}A}$의 파워 시리즈 확장이다$.$다음 공식 파워 시리즈를 통해 매트릭스 f(A)를 정의한다.

${\displaystyle f(A)=\sum _{h=0}^{\\infit }a_{h}A^{h}}$

그리고 M ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathb {M} _{n}(\mathb {C} )$의 유클리드 규범과 관련하여 절대적으로 수렴된다$.$ 달리 말하면, f (A) 스펙트럼 반경이 f의 수렴 반지름보다 작고 모든 사각 행렬의 콤팩트 서브셋에서 균일하게 수렴된다.${\displaystyle {\mathbb{M}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathb {M} _{n}(\mathb {C}$)은(는) 매트릭스 Lie 그룹 토폴로지에서 이 속성을 충족한다$$.

요르단 정규 형태는 요르단 행렬의 주요 업적 중 하나인 무한 시리즈를 명시적으로 계산하지 않고도 행렬의 함수 연산을 가능하게 한다.Using the facts that the kth power (${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$) of a diagonal block matrix is the diagonal block matrix whose blocks are the kth powers of the respective blocks; that is, ${\displaystyle \left(A_{1}\oplu$$s A_{2}\oplus A_{3}\oplus \cdots \right)$$^{k}=A_{1}^{k}\oplus A_{2}^{k}\oplus A_{3}^{k}\oplus \cdots }$, 그리고^k A = CJC^−1k, 위의 매트릭스 파워 시리즈는

${\displaystyle f(A)=C^{-1}f(J)C^{-1}\좌(\bigoplus _{k=1}^{{n1}f\좌(J_{\lambda _{k}m_{k}}\오른쪽)C}$

여기서 마지막 시리즈는 모든 요르단 블록의 파워 시리즈를 통해 명시적으로 계산할 필요가 없다.In fact, if ${\displaystyle \lambda \in {\mathit {\Omega }}}$, any holomorphic function of a Jordan block ${\displaystyle f(J_{\lambda ,n})=f(\lambda I+Z)}$, has a finite power series around ${\displaystyle \lambda I}$ because Zⁿ=0.여기서 Z는 J의 영점 부분이며, Z는^k 초대각선을^th 따라 1을 제외한 0을 모두 가진다.따라서 다음과 같은 상위 삼각 행렬이 된다.

${\displaystyle f(J_{\lambda ,n}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{f^{(k)}(\lambda )Z^{k}}{k!}}}}={{\fmatrix}f(\bmatrix)&f^{\primate }}(\primate \f^{prime \f^{f^}(\flada )}{2}}&\cdots &{f^{f^{(n-2)}{n-2}!}}}{{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{{(n-1)!}}}\\0&f(\lambda )&f^{\premy }(\\da )&\cdots &{\f^{f^{(n-3)}(\lambda )}{{n-3)!}}}{{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{{(n-2)!}}\\0&0&f(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-4)}}{(\lambda )}{(n-4)!}}}{{\frac {f^{(n-3)}(\\da )}{{(n-3)!}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\vdots &\\vdots \\\\vdots \\\\\\vdots \\\\0&f^{0&f^}\prematrix}.}$

그 결과, 매트릭스의 모든 함수의 계산은 조던의 정상 형태와 기저값 변경 매트릭스가 알려질 때마다 간단하다.예를 들어 $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle z}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle }$1 /${\displaystyle z}$ ${\displaystyle$f$(z)=1/z}$을$($를) 사용하여 J ${\displaystyle {\lambda }_{}}$, n ${\$의 역행은 다음과 같다$$.

${\displaystyle J_{\lambda ,n}^{-1}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-Z)^{k}}{\lambda ^{k+1}}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{)}&, -\lambda ^{-2}&, \,\,\,\lambda ^{-3}&, \cdots &, -(-\lambda)^{1-n}&, \,-(-\lambda)^{-n}\\0&.\;\와 같이^;\lambda ^{)}&, -\lambda ^{-2}&, \cdots &, -(-\lambda)^{2-n}&, -(-\lambda)^{1-n}\\0&, 0&, \,\,\,\lambda ^{)}&, \cdots &, -(-\lambda)^{3-n}&, -(-\lambda)^{2-n}\.\\vdots, \vdots &, \vdots &, \ddots &, \vdots &, \vdots \\0&, 0&, 0&, \cdo &.ts &\putda ^{-1}-\bmatrix}{-2}\\0&0&#0&\cdots &0&#0&\cdots &0&\nd{bmatrix}.}$

Also, spec f(A) = f (spec A); that is, every eigenvalue ${\displaystyle \lambda \in \mathrm {spec} A}$ corresponds to the eigenvalue ${\displaystyle f(\lambda )\in \mathrm {spec} f(A)}$, but it has, in general, different algebraic multiplicity, geometric multiplicity and index.그러나 대수적 다중성은 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\text{mul}_{f(A)}f(\lambda )=\sum _{\mu \in {\text{spec}}}A\cap f^{-1}(f(\lambda )}~{\text{mul}}_{{{{{}}}A}\mu .}$

벡터 공간 사이의 선형 변환 T의 함수 f(T)는 바나흐 공간과 리만 표면 이론이 근본적인 역할을 하는 홀로모픽 기능 미적분학에 따라 유사한 방식으로 정의될 수 있다.유한차원 공간의 경우 두 이론이 완벽하게 일치한다.

다이너믹 시스템

이제 (복잡한) 동적 시스템이 방정식에 의해 간단히 정의된다고 가정합시다.

${\displaystyle {\dot {\mathbf {z}}}}}(t)=A(\mathbf {c} )\mathbf {z}(t),}$

${\displaystyle \mathbf {z}=\mathbf {z} _{0}\in \mathb {C} ^n},}$

where ${\displaystyle \mathbf {z} :\mathbb {R} _{+}\to {\mathcal {R}}}$ is the (n-dimensional) curve parametrization of an orbit on the Riemann surface ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ of the dynamical system, whereas A(c) is an n × n complex matrix whose elements are complex functions of a d-dimensional parameter $c{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$

Even if ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}\left(\mathrm {C} ^{0}\left(\mathbb {C} ^{d}\right)\right)}$ (that is, A continuously depends on the parameter c) the Jordan normal form of the matrix is continuously deformed almost everywhere on ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$ but, 일반적으로 모든 곳이 아닌: $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$d}}$의 일부 중요한 하위 관리본이 있는데, 이 하위$$ 관리본은 매개변수가 교차할 때마다 갑자기 구조를 변경하거나 단순히 "이동"(모노드로미)할 때마다 요르단 폼이 그 주위를 "이동"고 한다.이러한 변경은 여러 요르단 블록(다른 고유값에 속하든 그렇지 않든)이 고유한 요르단 블록에 함께 결합하거나, 그 반대(즉, 한 요르단 블록이 둘 이상의 다른 블록으로 분할됨)를 의미한다.연속적 및 이산적 동적 시스템 모두에 대한 분기 이론의 많은 측면은 기능적 요르단 행렬의 분석으로 해석할 수 있다.

접선 공간 역학으로부터, 이것은 동적 시스템의 위상 공간의 직교 분해가 변화하고, 예를 들어, 서로 다른 궤도가 주기성을 얻거나, 잃거나, 특정 종류의 주기성에서 다른 종류의 주기성(예: 주기-두부, cfr. 로지스틱 지도)으로 변화한다는 것을 의미한다.

문장에서, 그러한 동적 시스템의 질적 행동은 요르단 정규 형태 A(c)의 다변형 변형에 따라 실질적으로 변할 수 있다.

선형일반미분방정식

The simplest example of a dynamical system is a system of linear, constant-coefficient, ordinary differential equations; that is, let ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$ and ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n}}$:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {z}}}}}(t)=A\mathbf {z}(t),}$

${\displaystyle \mathbf {z} (0)=\mathbf {z} _{0}}$

매트릭스 지수 계산을 포함하는 직접 폐쇄형 솔루션:

${\displaystyle \mathbf {z}(t)=e^{tA}\mathbf {z} _{0}.}$

Another way, provided the solution is restricted to the local Lebesgue space of n-dimensional vector fields ${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathrm {L} _{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} _{+})^{n}}$, is to use its Laplace transform ${\displaystyle \mathbf {Z} (s$$)={\mathcal{L}[\mathbf {z}$ 이 경우

${\displaystyle \mathbf {Z}=\왼쪽(sI-A\right)^{-1}\mathbf {z} _{0}.}$

매트릭스 기능(A− sI)−1를 분해하는 매트릭스의 미분 연산자 d d t −{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}-A}. 그것은 유리에 복잡한 매개 변수 s∈ C{\displaystyles\in \mathbb{C}}이후 매트릭스 요소는 합리적인 기능의 분모 i.s모두에게 동일하다(A -sI극지방 특이점은 A의 고유값으로, 그 순서는 A의 색인과 동일하다. 즉, ${\displaystyle {\mathrm{o}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{r}}_{}}$ d${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle A_{}}$- ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle {I{}^{}}_{}}$)${\displaystyle {{}^{}}_{}}$- ${\displaystyle {1^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$= i ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm \ord}{(A-sI$)^{-$1}\lambda$ =\$mathrmatrm {idx}$$_{A}.$

참고 항목

• 요르단 분해
• 요르단 정상 형태
• 홀로모르픽 함수 미적분학
• 행렬 지수
• 행렬 로그
• 동력학계
• 분기론
• 상태 공간(컨트롤)

메모들

참조

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-5414-8
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76091646