아르티니아 반지

추상 대수학에서 아르티니아 고리(Attin 링)는 이상에 대한 하강 체인 조건을 만족시키는 고리, 즉, 무한한 하강 순서는 없다. 아르티니아 고리는 이상에 대한 하강 사슬 조건이 동시에 필드 위에 유한한 벡터 공간인 유한 고리와 고리를 일반화한다는 것을 처음 발견한 에밀 아르틴의 이름을 따서 붙여졌다. 아르티니아 링의 정의는 하강 체인 조건을 등가 개념인 최소 조건과 바꾸어 다시 정의될 수 있다.

반지는 왼쪽 이상에 대한 내림 체인 조건을 만족하면 아티니안, 오른쪽 이상에 대한 내림 체인 조건을 만족하면 오른쪽 아티니안, 왼쪽과 오른쪽 모두 아르티니안이면 아티니안 또는 양면 아티니안이다. 교환형 고리의 경우 왼쪽과 오른쪽 정의가 일치하지만 일반적으로 서로 구별된다.

아르틴-웨더번 정리는 모든 단순한 아르티니아 반지를 분할반지 위에 있는 행렬의 고리로 특징짓는다. 이것은 단순한 반지가 올바른 아르티니안일 경우에만 아르티니아인이 남음을 암시한다.

모듈에도 동일한 정의와 용어를 적용할 수 있으며, 이상도 하위조항으로 대체된다.

하강 체인 조건은 상승 체인 조건과 이중으로 나타나지만, 링에서는 사실 더 강한 조건이다. 구체적으로 아키즈키-의 결과- 홉킨스-레비츠키 정리란 왼쪽(오른쪽) 아르티니아 반지가 자동으로 왼쪽(오른쪽) 노메테리아 반지라는 것이다. 이것은 일반 모듈에는 해당되지 않는다. 즉, 아티니아 모듈은 노메트리안 모듈이 될 필요가 없다.

예제 및 counterexample

필수 영역은 필드일 경우에만 아르티니아어다.
왼쪽이라고 할 수 있는 많은 사람과 함께 하는 반지는 아르티니안에게 남겨진 이상이다. 특히 유한 고리( $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ : Z $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ / $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ${\$ )는 왼쪽과 오른쪽 Artinian이다.
k를 들판이 되게 하라. 그러면 $k[t]/(t^{n})$ [ $k[t]/(t^{n})$ $k[t]/(t^{n})$ / $k[t]/(t^{n})$ ( $k[t]/(t^{n})$ $k[t]/(t^{n})$ ) ${\displaystyle k[t]/(t^{n})$ 는 모든 양의 정수 n에 대해 Artinian이다 $k[t]/(t^{n})$ .
Similarly, $k[x,y]/(x^{2},y^{3},xy^{2})=k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot y\oplus k\cdot xy\oplus k\cdot y^{2}$ is an Artinian ring with maximal ideal $(x,y)$
내가 데데킨드 도메인 A의 0이 아닌 이상이라면, $A/I$ / $A/I$ $A/I$ 은 $A/I$ (는) 주요 아티니아 반지일 것이다.^[1]
$n\geq 1$ n $n\geq 1$ $n\geq 1$ ${\displaystyle n\geq$ 1 $}$ 에 대해 전체 매트릭스가 왼쪽 Artinian(resp) 위에 $M_{n}(R)$ $M_{n}(R)$ $M_{n}(R)$ ( $M_{n}(R)$ ) ${\displaystyle M_{n}(R)$ 을 울린다 $n\geq 1$ 왼쪽 노에테리아누스) 링 R은 아르티니아누스(resp)를 떠난다. 노메테리아를 떠났다.^[2]

다음은 아르티니아인이 아닌 고리의 예다.

R이 임의의 링이라면, x $x^{n+1}$ + 1 ${\$ 에 의해 생성된 이상은 모든 자연수 n에 $x^{n}$ x n ${\$ x $^{n}$ 에 의해 생성된 이상에 (적절하게) 포함되어 $x^{n+1}$ 있으므로, 다항 링 R[x]은 Artinian이 아니다. R이 노메테리아인 경우 힐버트 기준 정리로는 R[x]가 그렇다.
정수 $\mathbb {Z}$ ${\$ 의 링은 노메테리아 고리지만 $\mathbb {Z}$ 아르티니아어는 아니다.

아르티니아 링 위의 모듈

M을 왼쪽 아르티니안 링 위의 왼쪽 모듈이 되게 하라. 그 다음이 등가(홉킨스의 정리)이다: (i) M은 미세하게 생성되고, (ii) M은 길이가 유한하다(즉, 구성 시리즈가 있다), (iii) M은 노메테리아, (iv) M은 아르티니아어다.^[3]

통신 아르티니아 반지

A가 단결된 노메테리아인의 반지가 되게 하라. 그렇다면 다음과 같다.

A는 아르티니안이다.
A는 상호 작용하는 아르티니아 지방 고리의 유한한 산물이다.^[4]
A / nil(A)은 반이행 링이며, 여기서 nil(A)은 A의 nilradical이다.^{[citation needed]}
A 이상에서 미세하게 생성된 모든 모듈은 길이가 유한하다(위 참조).
A는 크롤 치수가 0이다.^[5] (특히, 원시 이상은 최대적이기 때문에 nilradical은 제이콥슨 급진파다.)
$\operatorname {Spec} A$ $\operatorname {Spec} A$ $\operatorname {Spec} A$ 은 $\operatorname {Spec} A$ (는) 유한하고 이산형입니다.
$\operatorname {Spec} A$ $\operatorname {Spec} A$ $\operatorname {Spec} A$ $\operatorname {Spec} A$ 은 $\operatorname {Spec} A$ (는) 별개임.^[6]

k를 밭으로 하고 A가 미세하게 생성된 k-algebra로 하자. 그리고 A가 k-module로 미세하게 생성되는 경우에만 A가 Artinian이다.

아르티니아 지역 반지가 완성되었다. 아르티니아 반지의 지수와 현지화는 아르티니아어다.

심플 아티니아 반지

심플한 아르티니아 반지 A는 디비전 반지 위에 있는 매트릭스 반지 입니다. 과연 ^[7]내가 A의 최소한의 (비제로) 올바른 이상이 되게 하라. 그렇다면 $A$ $I$ $AI$ 이 $AI$ (가) 양면 이상이기 때문에 A는 단순하기 때문에 $AI=A$ $AI=A$ $AI=A$ = A $AI=A$ 따라서 $a_{i}\in A$ 는 $1\in a_{1}I+\cdots +a_{k}I$ ∈ $1\in a_{1}I+\cdots +a_{k}I$ $a_{i}\in A$ A $a_{i}\in A$ 에서 $a_{i}\in A$ 1 $1\in a_{1}I+\cdots +a_{k}I$ a $1\in a_{1}I+\cdots +a_{k}I$ $1\in a_{1}I+\cdots +a_{k}I$ + $1\in a_{1}I+\cdots +a_{k}I$ + $1\in a_{1}I+\cdots +a_{k}I$ I ${\displaystyle 1\in a_1$ 을 선택할 수 있다. $}}I+\cdots +a_{k}$ $I$ k가 그 속성에 대해 최소라고 가정해 보십시오. 오른쪽 A-모듈의 맵을 고려하십시오.

{\displaysty}I^{\oplus k}\to A,\(y_{1},\dots,y_{k})\mapsto a_{1}y_{1}+\cdots +a_{k}y_{k}\case}}}}}}}

그것은 처절하다. 주입식이 아닌 경우, $a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+\cdots +a_{k}y_{k}$ 를 들어, $y_{1}$ $a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+\cdots +a_{k}y_{k}$ = $a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+\cdots +a_{k}y_{k}$ $a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+\cdots +a_{k}y_{k}$ + $a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+\cdots +a_{k}y_{k}$ + $a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+\cdots +a_{k}y_{k}$ $a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+\cdots +a_{k}y_{k}$ $a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+\cdots +a_{k}y_{k}$ $a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+\cdots +a_{k}y_{k}$ ${\$ 1} $y_{1}y_{1$ }= $a_{$ 2}y_ ${2}+\cdots$ + $a_{k}y_{$ $k$ } ${$ k}}}}}}{k $a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+\cdots +a_{k}y_{k}$ $y_{1}$ 그렇다면, I의 최소화에 의해, 우리는 다음과 같은 것을 가지고 $y_{1}A=I$ : $y_{1}A=I$ 1 $y_{1}A=I$ = $y_{1}A=I$ I {\ $displaystyle y_{1}A=$ I $y_{1}A=I$

{\displaystyle a_{

I=a_{1}y_{1}A\subset a_{2

}}I+\cdots +a_{k}

I}

a_{1}I=a_{1}y_{1}A\subset a_{2}I+\cdots +a_{k}I

그것은 k의 최소성과 모순된다. Hence, $I^{\oplus k}\simeq A$ and thus $A\simeq \operatorname {End} _{A}(A)\simeq M_{k}(\operatorname {End} _{A}(I))$ .

참고 항목

메모들

^ http://math.uga.edu/의 정리 20.11.fdf 2010-12-14 Wayback Machine에 보관
^ Cohn 2003, 5.2 연습 11
^ 부르바키, VIII, pg 7
^ 아티야 & 맥도날드 1969, 이론 8.7
^ 아티야 & 맥도날드 1969, 이론 8.5
^ 아티야&맥도날드 1969, 8장 연습 2
^ Milnor, John Willard (1971), Introduction to algebraic K-theory, Annals of Mathematics Studies, vol. 72, Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 144, MR 0349811, Zbl 0237.18005

참조

Auslander, Maurice; Reiten, Idun; Smalø, Sverre O. (1995), Representation theory of Artin algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 36, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511623608, ISBN 978-0-521-41134-9, MR 1314422
부르바키, 알제브레
찰스 홉킨스. 왼쪽 이상을 위한 최소한의 조건을 가진 반지. 수학의 앤. (2) 40, (1939). 712–730.
Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
Cohn, Paul Moritz (2003). Basic algebra: groups, rings, and fields. Springer. ISBN 978-1-85233-587-8.

[1] ttp://math.uga.edu/의 정리 20.11.fdf 2010-12-14 Wayback Machine에 보관

[2] Cohn 2003, 5.2 연습 11

[3] 부르바키, VIII, pg 7

[4] 아티야 & 맥도날드 1969, 이론 8.7

[5] 아티야 & 맥도날드 1969, 이론 8.5

[6] 아티야&맥도날드 1969, 8장 연습 2

[7] Milnor, John Willard (1971), Introduction to algebraic K-theory, Annals of Mathematics Studies, vol. 72, Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 144, MR 0349811, Zbl 0237.18005

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