순환 모듈

수학에서, 더 구체적으로 고리 이론에서, 순환 모듈이나 단생 모듈은^[1] 한 요소에 의해 생성되는 고리 위에 있는 모듈이다.그 개념은 순환 그룹, 즉 한 요소에 의해 생성되는 그룹과 유사하다.

정의

왼쪽 R-모듈 M은 단일 원소에 의해 M이 생성될 수 있다면 순환이라고 한다.M = (x) = Rx = M의 일부 x에 대한 {rx r ∈ R}마찬가지로 우측 R-모듈 N은 일부 y ∈ N에 대해 N = yR이면 주기적이다.

예

• Z-모듈로서의 2Z는 순환 모듈이다.
• 사실, 모든 순환 그룹은 순환 Z-모듈이다.
• 모든 단순한 R-모듈 M은 M의 0이 아닌 원소 x에 의해 생성된 하위 모듈이 반드시 전체 모듈 M이기 때문에 주기적인 모듈이다.일반적으로 모듈은 0이 아닌 경우 및 0이 아닌 각 요소에 의해 생성되는 경우에만 간단하다.^[2]
• 만약 링 R이 그 자체로 왼쪽 모듈로 간주된다면, 그것의 주기적인 하위절은 정확히 링으로서 그것의 왼쪽 주요 이상이다.R도 R-모듈로서, 이를 준용한다.
• R이 F[x]이고 필드 F 위에 있는 다항식의 링이고, V가 R-모듈이며, F에 대한 유한 차원 벡터 공간이라면, V에 작용하는 x의 요르단 블록은 주기적인 하위 모듈이다.(요르단 블록은 모두 F[x] / (x - λ)ⁿ에 대해 이형성이며, 다른 섬멸기를 가진 다른 주기적 하위 모형이 있을 수 있다. 아래를 참조)

특성.

• x에 의해 생성되는 주기적인 R-모듈 M을 주어, M과 R / Ann_R x 사이에 표준 이형성이 존재하며, 여기서 Ann_R x는 R에서 x의 전멸자를 나타낸다.

• 모든 모듈들은 주기적인 하위 종들의 합이다.^[3]

참고 항목

• 미세하게 생성된 모듈

참조

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Rings and categories of modules, Graduate Texts in Mathematics, vol. 13 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. x+376, doi:10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
• B. Hartley; T.O. Hawkes (1970). Rings, modules and linear algebra. Chapman and Hall. pp. 77, 152. ISBN 0-412-09810-5.
• Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, pp. 147–149, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001