마슈케의 정리

수학에서 하인리히 마슈케의 이름을 ^[1][2]딴 마슈케의 정리는 유한집단의 표상을 불가해한 조각으로 분해하는 것을 우려한 집단표현 이론의 정리다.^[3]마슈케의 정리는 실제로 계산하지 않고도 유한집단 G의 표현에 대한 일반적인 결론을 내릴 수 있게 한다.정리가 적용될 때 어떤 표현도 수정 불가능한 조각(대안)의 직접적인 합이기 때문에 모든 표현을 수정 불가능한 표현을 분류하는 보다 관리 가능한 작업으로 분류하는 작업을 줄인다.게다가 요르단강에서 따온 것이다.쾰더 정리: 쾰더(Hölder)는 unreducable 하위 표현들의 직접적인 합으로 분해되는 것은 독특하지 않을 수 있지만, irder(hölder)는 잘 정의된 승수를 가지고 있다.특히 특징 0의 분야에 걸친 유한집단의 표현은 그 성격에 의해 이형성까지 결정된다.

공식화

마슈케의 정리에서는, 직접 합계 연산을 이용한 불가해한 부표현으로부터 구축된 일반적(완료적 차원) 표현은 언제인가 하는 문제를 다룬다.이 질문(및 그 대답)은 그룹 대표 이론에 대한 다른 관점에 대해 다르게 공식화된다.

집단 이데올로기

마슈케의 정리는 일반적으로 다음과 같은 결과에 대한 귀결로서 공식화된다.

그러면 코랄라리는

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 복합 값 클래스 함수의 벡터 공간은 자연 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ - invariant$$ 내부 제품 구조를 가지며$$, 이 구조는 Schur Orthogonality 관계에서 설명된다.Maschke의 정리는 원래 이 내부 제품 $아래$ W ${\displaystyle W}$의 직교보완물로 $U$ ${\displaystyle U}$을(를) 구성하여$$ $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 표현 사례에 대해 입증되었다.

모듈-이론적

유한 집단의 표현에 대한 접근법 중 하나는 모듈 이론을 통해서이다.Representations of a group ${\displaystyle G}$ are replaced by modules over its group algebra ${\displaystyle K[G]}$ (to be precise, there is an isomorphism of categories between ${\displaystyle K[G]{\text{-Mod}}}$ and ${\displaystyle \operatorname {Rep} _{G}}$, the category of representat$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 이온설명할 수 없는 표현은 간단한 모듈에 해당한다.모듈-이론적 언어에서, 매슈케의 정리는 다음과 같이 묻는다: 임의의 모듈이 반이행되는가?이러한 맥락에서 정리정리는 다음과 같이 재구성할 수 있다.

이 결과의 중요성은 잘 발달된 반실행 고리 이론, 특히 아르틴-에서 비롯된다.웨더번 정리(웨더번 구조 정리라고도 한다).$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이(가) 복잡한 숫자의 분야인$$ 경우, 이것은 $대수{\displaystyle }$ K${\displaystyle }$[ G${\displaystyle }$] ${\displaystyle K[G]}$이(가) 각 불가역 표현마다 하나씩 복잡한 행렬 알헤브라의 여러 복사본의 제품임을$$ 보여준다.^[10]필드 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이(가) 특성 0을 가지지만 대수적으로 닫히지 않은 경우$($: K {\$displaystyle$ K$}$이(가) 실제 또는 합리적인 숫자의 필드라면$$ 다소 복잡한 문장이 다음과 같다: 그룹 $대수학{\displaystyle }$K [ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ K$[G]}$은 K 위에 있는 매트릭스브라의 곱이다.$$요약본은$$$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 $대한{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 수정할 수 없는 표현에 해당한다$.$^[11]

범주이론적

반단순 범주의 언어로 재편성된 마슈케의 정리에는 다음과 같이 명시되어 있다.

교정쇄

집단 이데올로기

U를 W의 V보충의 하위공간으로 한다. ${\displaystyle {Let\mathrm{}}_{}}$ $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0{}_{}}$: ${\displaystyle V}$→ W ${\displaystyle p_{0}:$$V\to W}$은(는) 투영 함수, 즉${\displaystyle u}$에${\displaystyle }$대한 $p$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}w}$+ ${\displaystyle u}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle p_{0}(w+u)=w},$ ${\displaystyle wu}$ ${\displaystyle u\in U,w\in W$

Define ${\textstyle p(x)={\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}(x)}$, where ${\displaystyle g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}}$ is an abbreviation of ${\displaystyle \rho _{W}{g}\cdot p_{0}\cdot$$\rho _{V}{g^{-1},$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle W_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{g}}^{}}$ ,${\displaystyle {}^{}}${$$V g - 1 {\$displaystyle \rho _${W$}{g$},\$rho _${V}{g^{-$1}}}$가 W와 V에서 G를 나타내는 경우$$$.$그 다음, ${\displaystyle \mathrm{Ker}}$ ${\displaystyle }$ p ${\$$displaystyle$ $\$$cker$ $p}$은(는) G에 의해 표현되어 보존된다$$. $\rho {\displaystyle {}^{}\ker }$ ${\displaystyle \backslash }$ ${\displaystyle \ker h}$ p${\displaystyle ,}$ $display$ G {\$displaystyle$ w$'\in \ker$ p,$h$$in$ G$}$ .

그래서 $w{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime }$ ker ${\displaystyle \ker }$ ker$ker$ p ${\displaystyle$ w$'\in$ $\$$ker$ p$}$는 h $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$w${\displaystyle }$ker ker ${\displaystyle \ker }$ker ker ker ker$ker$ ker p {\$displaystyle$ $\$$rho_$${V$$}$의$$제한도$$$$$$ ${\displaystyle \mathrm{하나}}$의 ${\displaystyle \mathrm{표현}}$이다$.$

By the definition of ${\displaystyle p}$, for any ${\displaystyle w\in W}$, ${\displaystyle p(w)=w}$, so ${\displaystyle W\cap \ker \ p=\{0\}}$, and for any ${\displaystyle v\in V}$, ${\displaystyle p(p(v))=p(v)}$.따라서 $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle v}$- ${\displaystyle p}$( v${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p(v)$p($v)=0$ $v{\displaystyle }$- ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (v}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \ker }$ ${\displaystyle \ker }$ p ${\displaystyle v-p(v)\in \ker p$따라서 $V{\displaystyle }$= ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \ker }$ ${\displaystyle }$ p ${\displaystyle V=W\oplus \ker$ p$\}.$

모듈-이론적

V를 K[G]-submodule로 하자.우리는 V가 직접적인 합계라는 것을 증명할 것이다.K[G]의 K-선형 투영법을 V에 적용하도록 한다.지도 고려

그렇다면 φ은 다시 한 번 투영이다: 그것은 분명히 K-선형이고, K[G]를 V에 매핑하며, V에 정체성을 유도한다(따라서, K[G]를 V에 매핑한다).게다가 우리는

그래서 φ은 사실상 K[G]-선형이다.분할 보조정리법으로 $K{\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \ker }$ ${\displaystyle }$ ⁡$${ {\$displaystyle K[G]=$$V\oplus \cker \varphi$}이(가$)$ 모든 하위 모듈이 직접 합계, 즉 K[G]이(가) 구현됨을 증명한다.

컨버스 문

위의 증거는 #G가 K에서 불변한다는 사실에 따라 달라진다.이것은 매슈케의 정리의 역행에도 K의 특성이 G의 순서를 나눈다면 K[G]가 Semisimize가 아니라는 것을 따르는가 하는 의문이 들게 할 수 있다.대답은 '그렇다'이다.^[12]

Proof. For ${\textstyle x=\sum \lambda _{g}g\in K[G]}$ define ${\textstyle \epsilon (x)=\sum \lambda _{g}}$. Let ${\displaystyle I=\ker \epsilon }$. Then I is a K[G]-submodule.우리는 K[G]의 모든 비종속 하위 모듈 V에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ V ${\displaystyle \mathrm{prove}}$ 0${\displaystyle I\cap V\neq 0$을$($를) 부여하고 v = μg$g$ ${\textstyle$ $=\sum \mu_{g}g}$을(를) V의 0이 아닌 요소가 되도록$$ 할 것이다.$ϵ{\displaystyle }$(${\displaystyle v}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \epsilon (v)=0$인 경우 클레임은 즉시 이루어진다.그렇지 않으면 $s$ =$g$ 1 g ${\textstyle$ s$=\sum 1g}$.${\displaystyle \mathrm{그러면}}$ $ϵ{\displaystyle }$(${\displaystyle s}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle \mathrm{}}$# ${\displaystyle \mathrm{G}}$ ${\displaystyle \cdot }$ 1${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \epsilon (s)=\#G\cdot 1=0}$ $so$ s ${\displaystyle \in }$ I ${\displaystyle$ s$\in I}$ 및$$

$s{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle sv}$이(가) I과 V의 0이 아닌 요소인$$ 경우.이는 V가 모든 V에 대해 I의 직접적인 보수가 아니므로 K[G]가 Semism 구현되지 않음을 증명한다.

비예시

G가 무한인 경우나, 필드 K가 #G를 나누는 특성이 있는 경우에는 정리가 적용되지 않는다.예를 들어,

• :Z→ GL2(C){\displaystyle \rho:\mathbb{Z}\to\mathrm{GL}_ᆱ(\mathbb{C})}ρ(n)에 의해 정의되)[1101]nx[1n01]{\displaystyle\rho(n)={\begin{bmatrix}1&, 1\\0&, 무한한 그룹 Z{\displaystyle \mathbb{Z}}과 표현 ρ을 고려해 보세요.1\end{bm아트릭스}}^{n}={\begin{bmatrix}1&, n\\0&, 1\end{bmatrix}}} 할게. W=C⋅[10]{\displaystyle W=\mathbb{C}\cdot{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}, GL2(C){\displaystyle \mathrm{GL}_ᆳ(\mathbb{C})}의1-dimensional 부분 공간[10]에 의해 지방{\displaystyle{\begin{bmatr.ix}1\\0\$end{bmatrix}}}$.Then the restriction of ${\displaystyle \rho }$ on W is a trivial subrepresentation of ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. However, there's no U such that both W, U are subrepresentations of ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ and ${\displaystyle \mathbb {Z} =W\oplus U}$: any such U needs to be 1-dimensional, but any 1-dimensional subspace preserved by ${\displaystyle \rho }$ has to be spanned by eigenvector for ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$, and the only eigenvector for that is ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$.
• Consider a prime p, and the group ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$, field ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{p}}$, and the representation ${\displaystyle \rho :\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {F} _{p})}$ defined by ))[1n01]{\displaystyle\rho(n)={\begin{bmatrix}1&, n\\0&, 1\end{bmatrix}}}. 단순한 계산이[1101]{\displaystyle{\begin{bmatrix}1&amp를 1개만 eigenvector다;1\\0&amp을 보이기 1\end{bmatrix}}}여기, 같은 주장에 그렇게,1-dimensional subrepresentation. Z/p Z${\displaystyle \mathb {Z} /p\mathb {Z}}$은(는) 고유하며$$, Z$/$ ${\$ /$p\mathb$ {$Z}}은($는) 두 개의 1차원 하위 표현들의 직접 합으로 분해할 수 없다$$.

메모들

참조

• Lang, Serge (2002-01-08). Algebra. Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised 3rd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4. MR 1878556. Zbl 0984.00001.
• Serre, Jean-Pierre (1977-09-01). Linear Representations of Finite Groups. Graduate Texts in Mathematics, 42. New York–Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90190-9. MR 0450380. Zbl 0355.20006.
• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.