지수장

수학에서 지수 장은 그 요소들에 추가적인 연산을 가지고 있는 분야로, 일반적인 지수화 사상을 확장한다.

정의

A분야는 대수적 구조 요소의 집합, F, 두 이항 연산, 추가로 구성되어(+)가 F를 구성하는abelian 그룹과 정체성 0F과 곱셈(·), 그러한 F을 제외하고 0F 형태는abelian들 밑 곱셈과 정체성 1F, 그런 곱셈은 분배에 대한 추가되는 어떤 요소이다.가 어떻게 되, b, c in F, 1은 a · (b + c) = (a · b) + (a · c)이다.F를 F로 매핑하는 기능 E가 있고, F의 모든 a와 b에 대해 F가 가지고 있는 기능이 있다면,

${\displaystyle {\begin{a+b)=E(a)\cdot E(b),\&E(0_{F})=1_{F}\end{aigned}}}}}}}$

그 다음 F를 지수장이라고 하고, F에서는 함수 E를 지수함수라고 한다.^[1]따라서 한 분야의 지수 함수는 F의 첨가물 그룹과 그것의 승수 그룹 사이의 동형상이다.

사소한 지수함수

어느 분야든 사소한 지수함수가 있는데, 즉 곱셈으로 필드의 ID 요소에 모든 요소를 보내는 맵이다.따라서 모든 분야는 사소한 것 또한 지수적인 분야여서 수학자들에게 관심 있는 경우는 지수함수가 비지연적일 때 발생한다.

지수장은 0이 아닌 특성을 가진 필드의 유일한 지수함수가 사소한 것이기 때문에 특성 0을 가져야 하는 경우도 있다.^[2]특성 p > 0인 필드의 원소 x에 대해 이 첫 번째 참고 사항을 보려면,

${\displaystyle 1=E(0)=E(\underbrace {x+x+\ldots +x} _{p{p{p}}}=E(x)\cdots E(x)=E(x)^{p}}}}$

따라서 프로베니우스 내형성을 고려했을 때

${\displaystyle (E(x)-1)^{p}=E(x)^{p}-1^{p}=E(x)^{p}-1=0.\,}$

따라서 E(x)는 모든 x에 대해 1이다.^[3]

예

• 실수 R 또는 (R, +, +, ·, 0, 1)의 필드는 우리가 순수하게 덧셈, 곱셈, 특수 상수 0과 1을 가진 필드로 생각하고 있다는 것을 강조하기 위해 쓰일 수 있는 것처럼, 무한히 많은 지수 함수를 가지고 있다.그러한 함수 중 하나는 일반적인 지수함수, 즉 E(x) = e이며^x, 필요에^x+y 따라 e^xy = e 및 e⁰ = 1이 있기 때문이다.이 함수가 장착된 정렬된 필드 R을 고려할 때, 정렬된 실제 지수 필드를 제공하며, R_exp = (R, +, ·, <, 0, 1, exp)로 표시된다.
• 임의의 실수 a > 0은 R에 지수 함수를 제공하며, 여기서 지도 E(x) = a는^x 필요한 속성을 만족한다.
• 실제 지수 분야와 유사하게 복합 지수 분야인_exp C = (C, +, +, ·, 0, 1, exp)가 있다.
• 보리스 질버는 결정적으로 샤누엘의 추측과 필드의 지수함수의 등가 제형을 만족시키는 지수 필드 K를_exp 구성했다.^[4]이 기하급수적인 분야가 실제로 C라고_exp 추측되며, 이 사실을 증명하면 샤누엘의 추측이 증명될 것이다.

지수 링

기초 집합 F는 필드가 아니라 단순히 링, R이 되도록 허용될 수 있으며, 동시에 지수 함수는 R의 첨가물 그룹에서 R의 단위 곱셈 그룹에 이르는 동형성으로 완화된다.결과물을 지수 링이라고 한다.^[2]

비교 지수 함수를 갖는 지수 링의 예로는 짝수 정수에서는 +1 값을 취하고 홀수 정수에서는 -1 값을 취하는 함수 E를 탑재한 정수 Z의 링(즉, $함수{\displaystyle }$ n${\displaystyle (}$( -${\displaystyle {}^{}1}$ ) ${\displaystyle n^{}}${\$displaystyle$ n$\mapsto(-1)^{n}}})$가 있다.$$ 이 지수함수와 사소한 함수는 Z에서 조건을 만족시키는 유일한 두 함수다.^[5]

문제 열기

기하학적 분야는 모델 이론에서 많이 연구된 대상이며, 때때로 샤누엘의 추측에 관한 질버의 연구 사례처럼 그것과 숫자 이론 사이의 연관성을 제공한다.R이_exp 모델 완성형이라는 것이 1990년대에 증명되었는데, 그 결과는 윌키의 정리라고 알려져 있다.이 결과는, 파피안 함수에 대한 호반스키프의 정리와 결합했을 때, R도_exp 최소치라는 것을 증명한다.^[6]반면 C 모델은_exp 완전하지 않은 것으로 알려져 있다.^[7]결정성에 대한 문제는 여전히 해결되지 않았다.알프레드 타르스키는 R의_exp 결정성에 대한 문제를 제기했고, 따라서 그것은 현재 타르스키의 지수 함수 문제로 알려져 있다.샤누엘의 추측의 실제 버전이 사실이라면 R은_exp 해독할 수 있는 것으로 알려져 있다.^[8]

참고 항목

• 순서 지수 필드

메모들