자리스키 위상

대수 기하학 및 정류 대수학에서 자리스키 위상은 주로 닫힌 집합에 의해 정의되는 위상이다.그것은 실제 분석이나 복잡한 분석에서 흔히 사용되는 위상과는 매우 다르다; 특히, 그것은 하우스도르프가 아니다.^[1]이 토폴로지는 주로 오스카 자리스키에 의해 도입되었고, 후에 교감 링의 최상 이상 세트를 반지의 스펙트럼이라 불리는 위상학적 공간으로 만들기 위해 일반화되었다.null

자리스키 위상은 기초 장이 위상학 분야가 아닌 경우에도 위상의 도구를 사용하여 대수적 품종을 연구할 수 있도록 한다.이것은 체계 이론의 기본 개념 중 하나로, 다지관 이론에서 다지관은 실제 결합 공간의 열린 하위 집합인 차트를 함께 붙여서 만드는 다지관 이론에서와 유사한 방법으로 결합 품종을 결합함으로써 일반적인 대수적 품종을 구축할 수 있다.null

대수적 품종의 자리스키 위상은 닫힌 집합이 품종의 대수적 하위 집합인 위상이다.^[1]복잡한 숫자에 걸친 대수적 다양성의 경우, 모든 대수적 집합이 통상적인 위상에 대해 닫히므로 자리스키 위상은 통상적인 위상보다 더욱 강화된다.null

자리스키 위상의 일반화는 힐베르트의 Nullstellensatz에서 따온 것으로서, 대수학적으로 폐쇄된 영역에 걸쳐 정의되는 부속 다양성의 지점과 그 규칙적인 기능의 링의 최대 이상 사이에 생물학적인 일치성을 확립한다.이것은 만약 그것이 주어진 이상을 포함하는 모든 최대 이상들의 집합인 경우에만 최대 이상들의 집합이 닫히도록 위상으로서 정류 링의 최대 이상 집합의 자리스키 위상을 정의하는 것을 제안한다.그로텐디크의 계략 이론의 또 다른 기본이념은 최대 이상에 해당하는 통상적인 점뿐만 아니라 원시적 이상에 해당하는 모든 (불가역) 대수적 품종도 점으로 고려하는 것이다.따라서 교감반지의 프라임 이상(스펙트럼) 집합에 있는 자리스키 위상은 고정된 이상을 포함하는 모든 프라임 이상 집합인 경우에만 프라임 이상 집합이 닫히는 위상이다.null

자리스키 품종 위상

고전 대수 기하학(즉, 1960년경 그로텐디크가 도입한 계략을 사용하지 않는 대수 기하학의 일부)에서 자리스키 위상은 대수적 다양성에 대해 정의된다.^[2]자리스키 위상은 품종의 포인트에서 정의되는 위상으로서, 닫힌 집합은 품종의 대수적 하위 집합이다.가장 기본적인 대수학 품종은 아핀과 투영성 품종이기 때문에 두 경우 모두 이 정의를 더욱 명확히 하는 것이 유용하다.우리는 우리가 고정되고 대수적으로 닫힌 필드 k에 대해 작업하고 있다고 가정한다(고전 기하학 k에서는 거의 항상 복잡한 숫자들이다).null

아핀 품종

첫째, k의 원소의 n-touple에 의해 형성된$$ $부속{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 공간 A${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle \mathb {A}$^{$n}}$의 위상 정의한다.위상은 열린 집합이 아닌 닫힌 집합을 지정하여 정의되며, 이러한 집합은 $단순히{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathb {A} ^{n}}}$의 모든 대수 집합으로 간주된다. 즉$$, 닫힌 집합은 형식의 집합이다.

${\displaystyle V(S)=\{x\in \mathb {A}^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}}$

여기서 S는 k에 대한 n 변수의 모든 다항식 집합이다.다음과 같은 것을 보여주는 것은 간단한 검증이다.

• V(S) = V(S), 여기서 (S)는 S의 요소에 의해 생성되는 이상이다.
• 다항식 I, J의 어떤 두 가지 이상에 대해서도 우리는
  1. $[\displaystyle V(I)\cup V(J)\,=\,V(IJ);}$
  2. $[\displaystyle V(I)\cap V(J)\,=\,V(I+J)]}$

이는 집합 V(S)의 유한 결합과 임의 교차점 또한 이러한 형태여서, 이들 집합은 토폴로지의 폐쇄된 집합(균등하게, 이들의 보완물, D(S)로 표시되고, 주체 오픈 집합이라고 불리는 집합, 토폴로지 자체를 형성한다.$이것$은 A ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathb {A} ^{n}$의 Zariski 토폴로지 입니다.$}$

X가 부호 대수 집합(불가역치 또는 불분명치 않음)인 경우, 그 위에 있는 Zariski 위상은 $단순히{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ A ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathb {A} ^{n}}}$에 포함됨으로써 유도된 아공간 위상이라고 정의된다.

• 부착 좌표 링의 요소

${\displaystyle A(X)\,=\,k[x_{1},\dots,x_{n}]/I(X)}$

$k{\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, x ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}}}$의 요소가 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 함수 역할을 하는$$ 것과 마찬가지로 X에 함수 역할을 한다$.$ 여기서 I(X)는 X에 소멸되는 모든 다항식의 이상이다.

• 모든 다항식 S 집합의 경우 T를 A(X)의 영상 집합으로 한다.그 다음 X의 부분집합

${\displaystyle V'(T)=\{x\in X\mid f(x)=0,\forall f\in T\}}$

(이러한 공지는 표준이 아니다)는 V(S)의 X와의 교차점과 동일하다.null

이로써 위의 방정식, 즉 앞의 방정식의 일반화, 어떤 부속품종에서 자리스키 위상(Zariski topology)을 규정하는 것이 성립된다.null

투영 품종

n차원 투영 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$는 k의 스칼라 배수로 다른 두 점을 식별하여$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$+ 1 ${\$에서 0이 아닌 점의 동등성 등급 집합으로 정의된다는$$ 점을 상기하십시오.다항식 고리 $k{\displaystyle }$[ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$x ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}}}}$의 요소는 다항식에서 서로 다른 값을 산출하는 많은 대표자를 가지기 때문에$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$n}}}}}}}에 대한 기능이$$ 없다.스칼라 다중 인자가 다항식으로부터 벗어나기 때문에 주어진 투영점에 대한 alue는 잘 정의된다.따라서 S가 동종 다항식의 집합이라면 우리는 합리적으로 다음과 같이 말할 수 있다.

$\displaystyle V(S)=\{x\in \mathb {P}^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}.}$

위와 동일한 사실이 이들 집합에 대해 설정될 수 있다. 단, "이상적"이라는 단어는 "동종 이상적"이라는 문구로 대체되어야 한다. 그래서 동종 다항식의 S 집합에 대해 V(S)가 ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathb {P} ^{n}$에 위상을 정의한다.$}$ 위와 같이$$ 이러한 세트의 보완은 D(S)로 표시되거나, 혼동이 발생할 가능성이 있는 경우 D(S)로 표시된다.null

투영 자리스키 위상은 아핀 대수 집합에 대해 아핀이 정의된 것과 마찬가지로 아핀 대수 집합에 대해 아공간 위상을 취함으로써 투영 대수 집합에 대해 정의된다.마찬가지로 이 위상은 위와 동일한 공식으로 투영 좌표 링의 요소 집합에 의해 본질적으로 정의된다는 것을 보여줄 수 있다.null

특성.

자리스키 토폴로지의 중요한 특성은 단순한 원소, 즉 개별 다항식(또는 투영 품종, 동종 다항식) f에 대한 D(f)로 구성된 기초를 가지고 있다는 것이다.이러한 기초는 위에 주어진 두 자리스키-폐쇄된 집합의 교차점에 대한 공식에서 따온 것이다( (S)의 생성자에 의해 생성된 주요 이상에 반복적으로 적용한다).이 베이스의 오픈 세트를 구분 또는 기본 오픈 세트라고 한다.이 특성의 중요성은 부속문제의 정의에서 특히 그 사용의 결과를 초래한다.null

힐버트의 기본 정리 및 노메테리아 링의 몇 가지 기본적인 특성에 의해, 모든 아핀 또는 투영 좌표 링은 노메테리아 링이다.그 결과 자리스키 위상이 있는 아핀 또는 투영 공간은 노메테리아 위상 공간이며, 이는 이들 공간의 어떤 닫힌 부분집합도 소형임을 의미한다.null

그러나 유한 대수 집합 외에는 어떤 대수 집합도 결코 하우스도르프 공간은 아니다.옛 위상학 문헌에서 "콤팩트"는 하우스도르프 속성을 포함하기 위해 취했고, 이 관습은 여전히 대수 기하학에서 존경을 받고 있다. 따라서 현대적 의미의 콤팩트함을 대수 기하학에서는 "콰시콤팩트"라고 부른다.그러나 모든 점(a₁, ..., a_n)은 다항식 x₁ - a, ..., x_n - a의_1n 0 집합이므로, 모든 품종은 T₁ 공리를 만족한다.null

자리스키 토폴로지에서 모든 종류의 정기적인 지도는 연속적이다.사실 자리스키 위상은 이것이 사실이고 포인트가 닫히는 가장 약한 위상(개방 세트가 가장 적은)이다.이는 자리스키 닫힌 집합이 $단순히{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 다항 함수에 의한 0의 역영상의 교차점이며, A ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$.${\displaystyle \mathbb {A}{$$1$}의 정규 지도로 간주됨을 주목하면 쉽게 검증할 수 있다.$}$

반지의 스펙트럼

현대 대수 기하학에서 대수적 다양성은 종종 관련 체계로 표현되는데, 이것은 링의 스펙트럼에 국소적으로 동형인 위상학적 공간(추가적인 구조물을 갖추고 있음)이다.^[3]스펙(A)으로 표시된 정류 링 A의 스펙트럼은 자리스키 위상(Zariski topology)이 장착된 A의 프라임 이상(primary idea)의 집합으로, 닫힌 집합은 집합이다.

${\displaystyle V(I)=\{P\in \operatorname {Spec} \,(A)\mid I\subseteq P\}}$

내가 이상적인 곳이지null

고전적인 사진과 교감을 보려면에 아무런 정해진 S다항식의(는 대수적으로 닫혀 밭에), 힐베르트의 영점 정리에서 V(S)(오래 된 의미에서)의 이 지점들은 정확히 tuples(a1,...,)는 이상이 다항식 x1-a1,..., xn-에 의해 생성한 S포함하고 있다. 게다가 이 ar 다음 주목하고 있다.e 긴 스커트.말 이상과 "약한" Nullstellensatz에 의해, 어떤 아핀 좌표 링의 이상도 이 형태일 경우에만 최대다.따라서 V(S)는 스펙을 정의하는 S. 그로텐디크의 혁신을 포함하는 최대 이상과 "동일한" 것으로, 최대 이상을 모든 주요 이상으로 대체하는 것이었다. 이 공식에서는 이 관찰을 단순히 링의 스펙트럼에 있는 폐쇄된 집합의 정의로 일반화하는 것이 당연하다.null

또 다른 방법, 아마도 원문과 더 유사하게 현대적 정의를 해석하는 것은 A의 요소가 실제로 A의 주요 이상에 대한 함수, 즉 스펙 A에 대한 함수로서 생각될 수 있다는 것을 깨닫는 것이다.간단히 말해서, 모든 주요 이상 P는 해당 잔여장이 있는데, 이는 지수 A/P의 분수 영역이며, A의 어떤 요소도 이 잔여장에 반영된다.게다가, 실제로 P에 있는 요소들은 정확히 P에서 반사가 사라지는 요소들이다.따라서 A의 요소 A와 연관된 지도를 생각해 보면:

${\displaystyle e_{a}\colon {\properatorname {Spec}(A){\bigr )}\mapsto \왼쪽({\frac {a\;{\bmodd {P}}{1}:{1}}}{1}\in \operatorname {Frac}(A/P)\ri)\ri)\rig)$

("a의 평가") 규격 A의 함수로써, 각 지점에 잔류물 영역에 대한 반사를 할당하는 ("a"의 평가") 그러면 우리는 다음과 같은 결과를 얻는다.

${\displaystyle e_{a}(P)=0\왼쪽 오른쪽 화살표 P\in V(a)}$

보다 일반적으로, 어떤 이상 I에 대한 V(I)는 I의 모든 "기능"이 사라지는 공통 집합이며, 이는 공식적으로 고전적 정의와 유사하다.실제로 이들은 A가 일부 대수적으로 폐쇄된 필드 k에 대한 다항식의 고리일 때 A의 최대 이상은 k의 원소 n-tup으로 식별되며(앞 단락에서 논의한 바와 같이), 이들의 잔여장은 k에 불과하며, '평가' 지도는 해당 n-tup에서 실제로 다항식의 평가라는 점에서 동의한다.위에서 보여진 바와 같이 고전적 정의는 본질적으로 최대적 이상만을 고려한 현대적 정의이므로, 이는 현대적 정의를 "기능의 0 집합"으로 해석하는 것이 둘 다 타당성이 있는 고전적 정의와 일치한다는 것을 보여준다.null

스펙이 아핀 품종을 대체하는 것처럼 프로이즈 건설은 현대 대수 기하학에서 투영 품종을 대체한다.고전적인 사례에서와 마찬가지로, 첨부된 정의에서 투영적인 정의로 이동하기 위해서는 "이상"을 "동종 이상"으로 대체하면 된다. 단, 인용된 기사에서 논의된 "관련되지 않은 최대 이상"과 관련된 복잡성이 있다.null

예

• 스펙 k, 필드 k의 스펙트럼은 하나의 원소를 가진 위상학적 공간이다.
• 규격 Ⅱ, 정수의 스펙트럼에는 최대 이상(p) ⊂ ℤ에 해당하는 소수 p마다 닫힌 점이 있고, 0 이상에 해당하는 하나의 비닫힘 일반점(즉, 닫힘이 전체 공간)이 있다.따라서 규격 Ⅱ의 폐쇄 하위 집합은 정확히 전체 공간과 폐쇄 지점의 유한 결합이다.
• spec k[t], 필드 k에 대한 다항식 링의 스펙트럼: 그러한 다항식 링은 주요 이상 영역으로 알려져 있으며, 수정할 수 없는 다항식은 k[t]의 주요 요소다.예를 들어, 복잡한 숫자의 영역과 같이 k가 대수적으로 닫힌 경우, 일정하지 않은 다항식은 k의 일부 원소 a에 대해 t - a 형식의 선형인 경우에만 다시 해석할 수 없다.따라서 스펙트럼은 k의 모든 원소 a와 일반 점에 대해 하나의 폐쇄점(closed point)으로 구성되며, 0 이상에 해당하며, 폐쇄점 세트는 자리스키 위상이 장착된 아핀 라인 k와 동형이다.이러한 동형성 때문에 일부 저자들은 아핀 라인을 k[t]의 스펙트럼이라고 부른다.예를 들어 실수의 분야와 같이 k가 대수적으로 닫히지 않으면 비선형 다항식이 존재하기 때문에 그림이 더욱 복잡해진다.예를 들어, ℝ[t]의 스펙트럼은 ℝ에서 a에 대해 닫힌 점(x - a), p, q가 ℝ에 있고 음의 판별 p² - 4q < 0을 갖는 닫힌 점(x² + px + q)으로 구성된다.어떤 분야에서든 Spec k[t]의 폐쇄 하위 집합은 폐쇄 지점과 전체 공간의 유한 결합이다.(이것은 대수적으로 폐쇄된 분야에 대한 위의 논의로부터 명확하다.일반적인 경우의 증명에는 몇 가지 교환적 대수학, 즉 k[t]의 Krull 차원이 하나라는 사실이 필요하다 — Krull의 주된 이상적 정리를 참조).

추가 특성

고전적 그림에서 새로운 것으로 토폴로지의 가장 극적인 변화는 포인트가 더 이상 닫히지 않는다는 것이다; 그로텐디크는 정의를 확대함으로써, 최소한의 기본적인 이상인 일반 포인트들을 도입했다.폐쇄된 지점은 A의 최대 이상에 해당한다.그러나 스펙트럼과 투사 스펙트럼은 여전히 T₀ 공간이다. 두 점 P, 즉 A의 주요 이상인 Q, 즉 그 중 적어도 하나는 P, 나머지 하나는 포함하지 않는다.그러면 D(Q)는 P를 포함하지만 물론 Q는 아니다.

고전 대수 기하학에서와 마찬가지로 어떤 스펙트럼이나 투사 스펙트럼도 (quasi)콤팩트인데, 문제의 링이 노메테리아라면 그 공간은 노메테리아 공간이다.그러나 이러한 사실은 반직관적이다: 우리는 일반적으로 연결된 구성품 이외의 오픈 세트가 콤팩트할 것으로 예상하지 않으며, 부속품종(예를 들어 유클리드 공간)의 경우 공간 자체가 콤팩트할 것으로 예상하지도 않는다.이것은 자리스키 위상의 기하학적 부적합성의 한 예다.그로텐디크는 콤팩트함에 대한 직관적인 생각을 회복하는 계략의 적절성(실제로, 계략의 형태론에 대한 개념)을 정의함으로써 이 문제를 해결했다:프로즈는 적절하지만 스펙은 적절하지 않다.null

참고 항목

• 스펙트럼 공간

인용구

참조