분리가능연장

In field theory, a subfield of algebra, an algebraic field extension ${\displaystyle E\supseteq F}$ is called a separable extension if for every ${\displaystyle \alpha \in E}$, the minimal polynomial of ${\displaystyle \alpha }$ over F is a separable polynomial (i.e., its formal derivative is not the zero polynomial,또는 동등하게 확장 필드에 반복된 루트가 없음).^[1]또한 E가 반드시 F보다 대수적이지 않은 경우에 적용되는 보다 일반적인 정의도 있다.분리할 수 없는 연장은 불가분의 관계라고 한다.

특성 0의 장에 대한 모든 대수적 확장은 분리가 가능하며, 유한 장의 모든 대수적 확장은 분리가 가능하다.^[2]수학에서 고려되는 대부분의 확장은 분리할 수 있다는 것을 따른다.그럼에도 불구하고, 분리할 수 없는 확장의 존재는 특성 0에서 증명된 많은 이론들을 0이 아닌 특성으로 확장하는 데 주된 장애물이기 때문에 분리성의 개념은 중요하다.예를 들어 갈루아 이론의 기본 정리는 정상 확장에 대한 정리로서, 확장도 분리할 수 있다고 가정하는 경우에만 0이 아닌 특성에서 참으로 남아 있다.^[3]

모든 대수적 연장은 순수하게 분리 가능한 연장의 분리할 수 없는 연장으로서 고유하게 분해될 수 있기 때문에 반대 개념인 순수하게 분리할 수 없는 연장이 또한 자연적으로 발생한다.An algebraic extension ${\displaystyle E\supseteq F}$ of fields of non-zero characteristics p is a purely inseparable extension if and only if for every ${\displaystyle \alpha \in E\setminus F}$, the minimal polynomial of ${\displaystyle \alpha }$ over F is not a separable polynomial, or, equivalently, for everyE의 원소 x는 ${\displaystyle {x{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {p^{}}^{}}$ k${\displaystyle {{}^{}}^{}f}$ F$${\$displaystyle$ x$^{p^{k}}\in$ F$}$와 같은 양의 정수 k가 있다$.$^[4]

The simplest example of a (purely) inseparable extension is ${\displaystyle E=\mathbb {F} _{p}(x)\supset F=\mathbb {F} _{p}(x^{p})}$, fields of rational functions in the indeterminate x with coefficients in the finite field ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb$${Z} /(p)}$.The element ${\displaystyle x\in E}$ has minimal polynomial ${\displaystyle f(X)=X^{p}-x^{p}\in F[X]}$, having ${\displaystyle f'\!(X)=0}$ and a p-fold multiple root, as ${\displaystyle f(X)=(X-x)^{p}\in E[X]}$. This is a simple$E{\displaystyle }$= ${\displaystyle F}$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle E=F[x$처럼 p의 대수적 확장이지만, Galois 그룹 ${\displaystyle \text{Gal}(E/F}$) ${\displaystyle {\text{Gal}(E/F)}$이(가) 사소한 것이기$$ 때문에 정상적인 확장이 아니다.

비공식 토론

일부 분야에 계수의 다항식 fF또는 몇몇 확대체 E⊇ F{E\supseteq F\displaystyle}에 deg(f)뿌리를 두고 있square-free 특유의 뿌리를 가져야 해 예를 들어, 다항식 g(X))X2– 1은 복잡한 평면의 정확하게 deg(g)=2뿌리를 두고 있으므로 1과 –1고, 따라서 뚜렷한 뿌리를 가졌을 수 있다고 말한다..반면 비정규 다항식의 제곱인 ²다항 h(X) = (X~2)는 그 정도가 2이고, 2가 유일한 뿌리인 만큼 뚜렷한 뿌리를 가지고 있지 않다.

모든 다항식은 계수 영역의 대수적 폐쇄에 대한 선형 인자로 인수될 수 있다.따라서 다항식은 양도의 다항식의 제곱으로 분할할 경우에만 뚜렷한 뿌리를 가지고 있지 않다.다항식 및 그 파생상품의 가장 큰 공통점자가 상수가 아닌 경우에만 그러하다.따라서 다항식이 사각형이 없는 경우 시험하기 위해 명시적으로 어떤 필드 확장을 고려할 필요도 없고 루트를 계산할 필요도 없다.

이러한 맥락에서, 수정 불가능한 다항식의 경우는 어느 정도 주의가 필요하다.선험적으로, 정사각형으로 분할하는 것은 자신을 제외하고는 불정립적인 분할자가 없는 불가분 다항식에게는 불가능해 보일 수 있다.단, 주변장소에 따라 해석 불가성이 달라지며, 다항식은 F에 대해 해석 불가, F의 일부 확장에 대해서는 환원 불가능할 수 있다.마찬가지로 사각형에 의한 구별은 주변 영역에 따라 달라진다.만약 F에 대한 수정 불가능한 다항식 f가 어떤 필드 확장에 대한 제곱으로 분할된다면, (위의 논의에 의해) f와 그것의 파생 f derivative의 최대 공통 구분자는 일정하지 않다.f′의 계수는 f의 계수와 같은 필드에 속하며, 두 다항식의 최대 공통점수는 주위 장과 독립적이므로 f와 f′의 최대 공통점자는 F의 계수를 가진다.f는 F에서 다시 해석할 수 없기 때문에, 이 가장 큰 공통점은 반드시 f 그 자체다.f′의 정도가 f의 정도보다 엄격히 적기 때문에 f의 파생상품이 0이라는 것을 따르며, 이는 필드의 특성이 p 프라임 넘버(p)임을 의미하며 f를 표기할 수도 있다.

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{pi}.}$

정식 파생상품이 0인 이것과 같은 다항식은 불가분의 관계에 있다고 한다.분리할 수 없는 다항식은 분리할 수 있다고 한다.분리 가능한 확장은 분리 가능한 요소들에 의해 생성될 수 있는 확장이며, 최소 다항식을 분리할 수 있는 요소들이다.

분리 및 분리할 수 없는 다항식

F[X]의 수정 불가능한 다항식 f는 F의 어떤 확장에 뚜렷한 뿌리를 가지고 있는 경우에만(즉, F의 대수적 폐쇄에 대해 구별되는 선형 인자로 인수될 수 있는 경우) 분리가 가능하다.^[5]F[X]의 f를 수정할 수 없는 다항식 및 f의 공식 파생상품으로 하자.그 다음, 다음은 수정 불가능한 다항식 f가 분리될 수 있는 동등한 조건이다.

• 만약 E가 F의 연장선인 경우, 이러한 인자의 제곱은 E[X]에서 F를 나누지 않는다(F는 E에 대해 제곱이 없다).^[6]
• F의 확장자 E가 존재하여 F는 쌍으로 구별되는 뿌리를 E에 가지고 있다.^[6]
• 상수 1은 f와 f의 다항식 최대 공통점이다.^[7]
• f의 공식 파생상품 f는 0 다항식이 아니다.^[8]
• ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{F}}}$의 특성은 0이거나, p의 특성은 p이며, f는 $\sum {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\$의 형식이 아니다.$}$

양성도 다항식의 공식 파생상품은 필드의 주요 특성이 있는 경우에만 0이 될 수 있으므로, 수정할 수 없는 다항식이 분리되지 않으려면 해당 계수는 주요 특성 영역에 있어야 한다.보다 일반적으로 F[X]의 경우, F[X]의 경우 불분명한(비영(0) 다항식 f는 F의 특성이 (비영(0) 소수 p이고, F[X]의 일부 불분명한 다항식 g에 대한 f(X)=g(X^p)인 경우에만 분리할 수 없다.^[9]이 속성을 반복적으로 적용함으로써 F[X]에서 음이 아닌 정수 n과 일부 분리 가능한 불분명한 다항식 g에 대해 $사실상$ ${\displaystyle f}$($$)${\displaystyle }$= g${\displaystyle }$($X){p^{n}}}}$을(를) 따른다(여기서 F는 주요 특성 p를 갖는 것으로 가정한다).^[10]

F의 프로베니우스 $내형성{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$→ ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ x$^{p}}$이(가) 과부하하지 않으면 F 원소의 pth 파워가 아닌${\displaystyle \mathrm{element}}$ F ${\displaystyle a\in$ F$}$이(가) 있다.이 경우 다항식 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$- ${\displaystyle X^{p}-a}$은(는) 되돌릴 수 없고 분리할 수 없다$$.Conversely, if there exists an inseparable irreducible (non-zero) polynomial ${\displaystyle \textstyle f(X)=\sum a_{i}X^{ip}}$ in F[X], then the Frobenius endomorphism of F cannot be an automorphism, since, otherwise, we would have ${\displaystyle a_{i}=b_{i}^{p}}$ for some ${\displaystyle b_{}}$${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 그리고 다항식 f는 $\sum {\displaystyle }$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$=${\displaystyle {(\sum }^{}}$ b ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {X_{}}^{}}$ ${\displaystyle {i^{}}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$. ${\$i}\$rig)^{p}.$$}$^[11]

K가 p의 유한한 분야라면, 그리고 X가 불확실한 분야라면 K, K(X) 이상의 합리적 기능의 분야는 반드시 불완전하며, 다항 f(Y)=Y-X는^p 분리할 수 없다(Y의 공식 파생상품은 0).^[1]보다 일반적으로 F가 프로베니우스 내형성이 자동형이 아닌 (비 영) 원시적 특성의 어떤 분야라면 F는 불가분의 대수적 확장을 가지고 있다.^[12]

필드 F는 모든 수정 불가능한 다항식이 분리 가능한 경우에만 완벽하다.F가 특성 0을 가지거나 F가 (비영(0)) 주요 특성 p를 가지면 F가 완벽하고 F의 프로베니우스 내형성이 자동형성일 경우에만 F가 완벽하다는 것이다.여기에는 모든 유한 분야가 포함된다.

분리 가능한 요소 및 분리 가능한 확장자

$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \supseteq }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E\supseteq F}$을(를) 필드 확장이 되도록$$ 하십시오.원소 $\alpha {\displaystyle }$α ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \alpha \in E}$은 F에 대해 대수학이고 최소 다항식이 분리 가능하다(원소의 최소 다항식은 반드시 해독할 수 없다).

만일$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \beta }$ β $\alpha$,\$beta \in$ E$}$이(가$)$ F에 대해 분리할 수 있다면, $\alpha {\displaystyle }$+ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha +\beta },$${\displaystyle \alpha }$\$displaystyle \$$alpha$ $\beta$$$$},$ $1$ /$$ ${\displayp$에 대해 $분리$할 수 있다.

따라서 F에 대해 분리 가능한 E의 모든 요소 집합은 E의 하위 영역을 형성하며, E에서는 F의 분리 가능한 폐쇄라고 불린다.^[13]

F의 대수적 폐쇄에서 F의 분리 가능한 폐쇄를 단순히 F의 분리 가능한 폐쇄라고 부른다.대수학적 폐쇄와 마찬가지로 이소모르프까지 고유하며, 일반적으로 이러한 이소모르프리즘은 고유하지 않다.

$필드{\displaystyle }$ 확장자 E${\displaystyle }$closure F {\$displaystyle E\supseteq F}$은(는) E에서 F의 분리 가능한 닫힘인 경우 분리할 수 있다$$.분리 가능한 요소에 의해 F에 의해 E가 생성되는 경우에만 그러하다.

$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \supseteq }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \supseteq }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E\supseteq L\supseteq F}$이 필드 확장인$$ 경우, E가 L보다 분리될 수 있고 L이 F보다 분리될 수 있는 경우에만 F보다 분리할 수 있다.^[14]

$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \supseteq }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E\supseteq F}$이(가) 유한 확장(E는 유한 치수의 F-벡터 공간)인$$ 경우, 다음과 같다.

1. E는 F에 대해 분리할 수 있다.
2. ${\displaystyle E}$= F${\displaystyle (1_{}{}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle E=F(a_{1},\ldots ,a_{r},$ ${\displaystyle {여기}_{}}$서, $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \dots ,r_{}}$ ${\$는 E의 분리 가능한 요소다$$.
3. ${\displaystyle E}$= ${\displaystyle F}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle E=F(a)}$ 여기서$$ a는 E의 분리 가능한 요소다.
4. K가 F의 대수학적 폐쇄라면 F를 고정하는 K에${\displaystyle }$E의 필드$$ 동형성 [${\displaystyle E}$: F ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [E:F]}$이(가) 정확히 존재한다.
5. E를 포함하는 F의 모든 정규 확장자 K에 대해서는 F를 고정하는 K에 E의 필드 동형성${\displaystyle }$[${\displaystyle E}$: F ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [E:F]}$이(가) 정확히 존재한다.

3.와 1.의 등가성은 원시 원소 정리 또는 원시 원소에 대한 아르틴의 정리라고 알려져 있다.특성 4.와 5.는 갈루아 이론의 기본이고, 특히 갈루아 이론의 기본 정리의 기본이다.

대수적 확장 내에서 분리 가능한 확장

$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \supseteq }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E\supseteq F}$을(를) 특성 p의 필드의 대수적 확장이 되도록$$ 한다.The separable closure of F in E is ${\displaystyle S=\{\alpha \in E \alpha {\text{ is separable over }}F\}.}$ For every element ${\displaystyle x\in E\setminus S}$ there exists a positive integer k such that ${\displaystyle x^{p^{k}}\in S,}$ and thus E is순전히 불가분의 S의 연장S는 F에 대해 분리가 가능하고 E는 순수하게 불가분의 관계에 있는 고유한 중간 영역이라는 것을 따른다.^[15]

$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \supseteq }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E\supseteq F}$이(가) 유한한 확장인 경우, 그 정도[E : F]는 도[S : F]와 [E : S]의 산물이다.흔히 [E : F]_sep로 표기되는 전자는 [E : F]의 분리 가능한 부분 또는 E/F의 분리 가능한 정도라고 하며, 후자는 학위의 분리 불가능한 부분 또는 분리 불가능한 정도를 가리킨다.^[16]불가분의 정도는 특성 0에서 1이고 특성 p > 0에서 p의 힘이다.^[17]

반면에 임의의 대수적 확장자 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \supseteq }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E\supseteq F}$은 F와 E를 분리할 수 있는 순수하게 분리할 수 없는 중간 확장자 K를 소유하지 않을 수 있다$$.단, 예를 들어 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \supseteq }$ F ${\displaystyle E\supseteq F}$이(이 경우 K는 E over F)의 갈루아 그룹의 고정된 필드인 경우 그러한 중간 확장이 존재할 수 있다.그러한 중간 확장이 존재하며, [E : F]가 유한하다고 가정하면, [S : F] = [E : K], 여기서 S는 E에서 F의 분리 가능한 닫힘이다.^[18]이러한 동등성에 대한 알려진 증거는 ${\displaystyle K}$f F$${\$displaystyle K\supseteq F}$이(가) 순수하게 분리할 수 없는 확장이고, f가 F[X]에서 분리할 수 없는 다항식이라면, f는 K[X]^[19]에서 다시 해석할 수 없는 상태로 남아 있다는 사실을 이용한다.이 평등은, [E : F]가 유한하고, U가 F와 E 사이의 중간 필드라면, [E _sep: F] = [E : U]_sep :[U : F]_sep^[20]를 의미한다.

필드 F의 분리 가능한 닫힘^sep F는 F의 대수적 닫힘에서 F의 분리 가능한 닫힘이다.F의 최대 갈루아 확장이다.정의에 따르면 F는 분리 가능한 폐쇄와 대수적 폐쇄가 일치하는 경우에만 완벽하다.

초월연장의 분리성

분리 가능성 문제는 초월적 확장을 다룰 때 발생할 수 있다.이것은 일반적으로 주요 특성 분야에 대한 대수 기하학의 경우로, 대수적 다양성의 함수 분야가 그 다양성의 차원과 동일한 지상 분야에 대한 초월도를 갖는 경우다.

초월적 확장의 분리성을 정의하기 위해서는 모든 장 확장이 순수하게 초월적 확장의 대수적 확장이라는 사실을 이용하는 것이 당연하다.이는 다음과 같은 정의로 이어진다.

확장자 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \supseteq }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E\supseteq F}$의 분리 초월성 기준은 E의 초월성 기준 T로서 E는 F(T)의 분리 가능한 대수적 확장이다.정밀하게 생성된 필드 익스텐션은 분리 초월성 기반이 있는 경우에만 분리가 가능하며, 미세하게 생성되지 않은 확장을 모든 미세하게 생성된 하위 익스텐션에 분리 초월성 기반이 있는 경우 분리가능성이라고 한다.^[21]

$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \supseteq }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E\supseteq F}$을(를) 특성 지수 p의 필드 확장(특성 0에서는 p = 1이고 그렇지 않으면 p가 특성)으로$$ 한다.다음 속성은 동일하다.

• E는 F의 분리 가능한 확장이다.
• ${\displaystyle E^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$와 F는 ${\displaystyle F^{}}$ p${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle$ F$^{p}$에 걸쳐 선형적으로 분리된다.
• ${\displaystyle F^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ F$^{1/p}\otimes _{F}E}$가 감소됨,
• ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle L\otimes _{F}E}$은(는) E의 모든 필드 확장 L에 대해 감소한다$$.

where ${\displaystyle \otimes _{F}}$ denotes the tensor product of fields, ${\displaystyle F^{p}}$ is the field of the pth powers of the elements of F (for any field F), and ${\displaystyle F^{1/p}}$ is the field obtained by adjoining to F the pth root of all its elements (see Separable algebra for de꼬리들

차등기준

분리의 가능성은 유도체의 도움을 받아 연구될 수 있다.E를 필드 F의 필드 확장이 되게 한다.Der F${\displaystyle {}_{}{linear}_{}}$ (E${\displaystyle }$,${\displaystyle E}$) ${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)}$ E의$$ F-선형 파생 E-벡터 공간은 다음과 같다.

${\displaystyle \dim _{E}\operatorname {Der} _{F}(E,E)\geq \operatorname {tr.deg} _{F}E,}$

E가 F에 대해 분리가 가능한 경우에만 동등성이 유지된다(여기서 "tr.deg"는 초월도를 나타낸다).

특히 $E{\displaystyle }$/ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E/F}$이(가) 대수적 확장인$$ 경우, $E{\displaystyle }$/ ${\displaystyle F}$ {\$der}$^[22] _{F}(E,E)=0} E / F ${\displaystyle E/F}$이(가) 분리 가능한$$ 경우에만$$ ${\displaystyle {\mathrm{Der}}_{}}$ $⁡($ E )${\displaystyle }$= $.$

Let ${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{m}}$ be a basis of ${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)}$ and ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}\in E}$. Then ${\displaystyle E}$ is separable algebraic over ${\displaystyle$매트릭스 ${\displaystyle {Di}_{}{j}_{}}$) ${\displaystyle D_{i}(a_{j})$가 변환$$ 불가능한 경우에만 $F(a_{1},\ldots ,a_{m}}}.$특히 $m{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{r}}_{}}$. ${\displaystyle {\mathrm{d}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m=\operatorname {tr.deg} _{F}E}$일 때, ${\displaystyle {이}_{}}$ 행렬은 { 1 $\dots ,{\displaystyle }$ ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle \{a_{1},\ldots,a_{m}\}}}}}$이 분리$$ 초월성인 경우에만 변환할 수 있다$.$

메모들

참조

• 보렐, A. 선형대수학군, 제2편.
• P.M. Cohn(2003년).기본 대수
• Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). Field arithmetic. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Vol. 11 (3rd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001.
• I. Martin Isaacs (1993). Algebra, a graduate course (1st ed.). Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-19002-2.
• Kaplansky, Irving (1972). Fields and rings. Chicago lectures in mathematics (Second ed.). University of Chicago Press. pp. 55–59. ISBN 0-226-42451-0. Zbl 1001.16500.
• 나가타 M.(1985년).정류장 이론: 신판, 쇼카보.(일본어) [1]
• Silverman, Joseph (1993). The Arithmetic of Elliptic Curves. Springer. ISBN 0-387-96203-4.

외부 링크

• "separable extension of a field k", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]