포인트와이즈

수학에서 포인트와이징은 특정 특성이 f(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle$ $f$$.}$의 각 값 $f{\displaystyle }$${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ f$.}$을(를) 고려하여 정의됨을 나타내기 위해 사용된다$$. 포인트와이징 개념의 중요한 클래스는 fu에 연산을 적용하여 함수에 정의한 연산이다.nection 값은 정의 영역의 각 점에 대해 개별적으로 지정된다.중요한 관계는 또한 포인트로 정의될 수 있다.

점 작업

형식 정의

A binary operation o: Y × Y → Y on a set Y can be lifted pointwise to an operation O: (X→Y) × (X→Y) → (X→Y) on the set X→Y of all functions from X to Y as follows: Given two functions f₁: X → Y and f₂: X → Y, define the function O(f₁,f₂): X → Y by

(O(f₁,f₂))(x) = 모든 xxx에₁ 대해 o₂(f(x),f(x)).

일반적으로 O와 O는 같은 기호로 표시된다.유사한 정의가 단항 o와 다른 경지의 운용에 사용된다.^{[citation needed]}

예

${\displaystyle {\displaystyle}(f+g)(x)(x)&=f(x)+g(x)>>{\text{(지점 추가)}}\(f\cdot g)(x)(x)\cdot g(x)\cdot g(x)}}\\(\cdda \cdot f)(x)&=\cda \cdot f(x)&{\text(스칼라에 의한 점 곱)}}}\end{정렬}}$

여기서 $f{\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$: ${\displaystyle X}$→ R ${\displaystyle f,g:X\to R$

포인트 제품 및 스칼라도 참조하십시오.

점근법이 아닌 기능에 대한 수술의 예는 콘볼루션이다.

특성.

포인트와이즈 연산은 코도메인의 해당 연산의 연관성, 공통성 및 분배성과 같은 속성을 상속한다.$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 어떤 대수 구조인 경우$$, $모든{\displaystyle }$ 함수 X$$${\displaystyle A}$의 반송파 집합에 대한$$ $세트$는 유사하게 동일한 유형의 대수 구조로 바뀔 수 있다$$.

구성 요소별 작업

구성 요소 작동은 벡터에 정의되며, 벡터는 일부 $자연수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n$$}$과($와{\displaystyle }$) 일부$$필드 K {\$displaystyle$ K$\}$에 ${\displaystyle {대해}^{}}$ 설정된$$K n {\$displaystyle$ K$^{$$n{\displaystyle }$$}$의 요소임. $벡터{\displaystyle }$v {\$displaystyle$ v$$$}$ ${\displaystyle {-th}_{}}$ 구성 요소를$$v {\$di$로 나타내는 경우$splaystyle v_{i$ 그러면 구성 요소별 ${\displaystyle {추가}_{}}$는${\displaystyle }$(${\displaystyle u}$+ ${\displaystyle v{}_{}}$) i${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle u_{}}$+ ${\displaystyle v_{}}$ i ${\$ 입니다$.$

구성 요소별 연산은 행렬에서 정의할 수 있다.행렬 추가, ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 (A${\displaystyle }$+${\displaystyle B{}_{}}$) i ${\displaystyle j_{}}$= A ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$(A$+B)_{ij}=$$A_{ij}+B_{ij}}$은(는) 매트릭스 곱셈이 아닌 구성 요소별 연산이다$$.

튜플은 함수로 볼 수 있고, 벡터는 튜플이다.따라서 벡터 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$은 f (${\displaystyle i)}$= ${\displaystyle v_{}}$ i ${\$와$$같은$$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle n}$→ K ${\displaystyle f:n$\n$\to K}$ 함수에 해당하며$$, 벡터에 대한 모든 구성 요소별 연산은 해당 벡터에 대한 포인트 작업이다.

포인트와이즈 관계

순서 이론에서는 함수에 대해 점 순으로 부분 순서를 정의하는 것이 일반적이다.A, B posets로, 함수 A → B의 집합은 (∀x ∈ A) f(x) g(x)가 있어야 f ≤ g로 주문할 수 있다.또한 점 순서는 기본 포셋의 일부 속성을 상속한다.예를 들어 A와 B가 연속 격자라면 점순의 A → B 함수 집합도 마찬가지다.^[1]함수에서 점순을 사용하면 다음과 같은 다른 중요한 개념을 간결하게 정의할 수 있다.^[2]

• Poset P에 대한 폐쇄 연산자 c는 P에 있는 단조롭고 idempotent 자기 지도(즉, 투영 연산자)이며, 여기서_A id는 ID 함수인 c c라는 추가 속성이 있다.
• 마찬가지로, 프로젝션 연산자 k는 k ≤ ID일_A 경우에만 커널 연산자라고 불린다.

비위생적인 점적 관계의 예는 기능의 점적 융합이다.

${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\inflt }}}$

와 함께

${\displaystyle f_{n}:X\longrightarrow Y}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 각 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대해 지점별로 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 함수로 수렴

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \inf_{n}(x)=f(x).}$

메모들

참조

순서 이론 예제의 경우:

• T. S. Blyth, Lattice and Ordered 대수 구조, Springer, 2005, ISBN1-85233-905-5.
• G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Misslove, D. S. Scott: Continuous Lattice and Domains, Cambridge University Press, 2003.

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 알리크 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath 상의 포인트와이즈의 자료가 통합되어 있다.