사인파

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사인파, 사인파 또는 사인파(기호: ∿)는 파형(모양)이 삼각 사인 함수인 주기파입니다. 역학에서 이것은 시간에 따른 직선 운동으로서 단순 고조파 운동이며, 회전에 따라 균일한 원운동에 해당합니다. 사인파는 풍파, 음파, 단색 방사선과 같은 광파를 포함한 물리학에서 자주 발생합니다. 푸리에 분석은 공학, 신호 처리 및 수학에서 일반 함수를 다양한 주파수, 상대 위상 및 크기의 사인파의 합으로 분해합니다.

동일한 주파수(단, 임의의 위상)의 두 사인파가 선형적으로 결합되면 그 결과는 동일한 주파수의 또 다른 사인파가 됩니다. 이 특성은 주기파 중에서 유일합니다. 반대로 일부 위상을 0 기준으로 선택하면 임의 위상의 사인파를 각각 0과 1/4 주기의 위상을 가진 두 사인파의 선형 조합, 사인 및 코사인 성분으로 기록할 수 있습니다.

오디오 예제

사인파는 고조파가 없는 단일 주파수를 나타내며 음향학적으로 순수한 음색으로 간주됩니다. 주파수가 다른 사인파를 추가하면 파형이 달라집니다. 근본적인 것 외에 더 높은 화성의 존재는 음색의 변화를 야기하는데, 이것은 다른 악기에서 연주되는 같은 음정이 다르게 들리는 이유입니다.

부비동형

임의의 위상과 진폭을 가진 사인파를 사인파라고 하며 일반적인 형태를 갖습니다.^[1]

위치:

• ${\displaystyle A$ 진폭, 함수의 피크 편차 0.
• ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t$ 실제 독립 변수로 일반적으로 시간을 초 단위로 나타냅니다.
• $ω$\omega}, 각도 주파수, 초당 라디안 단위 함수 인수의 변화율.
• ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f$ 일반 주파수, 매초 발생하는 진${\displaystyle \mathrm{동\; 수(cy}}$cles).
• $φ${\$displaystyle$\varphi$\},$ 위상은 해당 주기에서 진동이 t = 0인 위치(라디안 단위)를 지정합니다.
  • φ$$${\displaystyle$ \varphi}이(가) 0이 아닌 경우 전체 파형이 φ ω {\displaystyle {\varphi}{\omega}}초만큼 시간적으로 뒤로 이동하는 것으로 나타납니다. 음의 값은 지연을 나타내고 양의 값은 전진을 나타냅니다.
  • 위상에$$의$$π {\displaystyle 2\pi}(한 사이클)을 추가하거나 빼면 동등한 파동이 발생합니다.

위치와 시간의 함수로서

위치와 시간 모두에 존재하는 정현파도 다음과 같습니다.

• 파동이 전파되는 차원의 위치를 나타내는$$ $공간{\displaystyle }$ 변수 x ${\displaystyle$ x$}.$
• 각 주파수$$ω ${\displaystyle$\omega }와 선형 속도($전파$속도) v${\displaystyle$v} 사이의 비례성을 나타내는 파형 $번호$(또는 각 파형 번호) k ${\displaystyle k$
  • 파수는 $k$ =$$ω v = 2 π f v = 2 π λ ${\$$textstyle$ k{=}{\frac {\omega }{v}}{=}{\frac {2\pi f}{v=}{\frac {2\pi }{\pi }{\lambda }}에 의한 각 주파수와 관련이 있으며, 여기서 λ {\displaystyle \lambda }(lambda)는 파장입니다.

이동 방향에 따라 다음과 같은 형태를 취할 수 있습니다.

• ${\displaystyle y}$$A\sin(kx-\omega t+\varphi$ $)\},$ 만약 파동이 오른쪽으로 움직이고 있다면, 또는
• ${\displaystyle y}$$A\sin(kx+\omega t+\varphi )},$ 만약 파동이 왼쪽으로 움직이고 있다면$.$

사인파는 분산 선형 시스템에서 형태가 변하지 않고 전파되기 때문에 파동 전파를 분석하는 데 자주 사용됩니다.^{[definition needed]}

정상파

진폭과 주파수가 같은 두 파동이 서로 반대 방향으로 진행하면 정상파 패턴이 생성됩니다.

불쑥 생겨난 끈에서 겹침 파동은 끈의 고정된 끝점에서 반사되는 파동입니다. 현의 공명 주파수는 현의 유일한 정상파이며, 이는 현의 길이의 두 배인 파장과 더 높은 고조파의 정수 나눗셈에 대해서만 발생합니다.

다중 공간 차원

이전 방정식은 단일 선을 따라$$ 시간 $t {\displaystyle$ t$}$에서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 위치의 파동의$$ $변위{\displaystyle }$ y ${\displaystyle$ y$}$를 제공합니다. 예를 들어, 이것은 전선을 따라 흐르는 파동의 값으로 간주될 수 있습니다.

위치 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}$와 $파수{\displaystyle }$ k ${\displaystyle$ k$}$를 벡터로 해석하고 이들의 곱을 도트 곱으로 해석하는 경우, 2개 또는 3개의 공간 차원에서 동일한 방정식이 주행하는 평면파를 설명합니다. 돌을 떨어뜨린 후 연못의 파도 높이와 같이 더 복잡한 파동을 위해서는 더 복잡한 방정식이 필요합니다.

정현평면파

푸리에 분석

프랑스 수학자 조셉 푸리에는 사인파가 사각파를 포함한 어떤 주기적인 파형과도 근사하기 위해 단순한 빌딩 블록으로 합산될 수 있다는 것을 발견했습니다. 이러한 푸리에 급수는 신호 처리 및 시계열의 통계 분석에 자주 사용됩니다. 그런 다음 푸리에 변환은 일반 함수를 처리하기 위해 푸리에 급수를 확장하고 푸리에 분석 분야를 탄생시켰습니다.

차별화와 통합

미분

사인파를 구별하면 사인파를$$π 2 ${\displaystyle {\tfrac {\pi$ }{2}} $(또는$ 사이클의 14 ${\displaystyle {\tfrac {$1}{4}})만큼 위상이 뒤로 이동하고 진폭에 주파수를 곱합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[A\sin(\omega t+\varphi )]&=A\omega \cos(\omega t+\varphi)\\&=A\omega \sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\,\end{align}}}$

미분은 효과적으로 차단 주파수가 없는 1차^st 고역 통과 필터입니다.

통합

임의의 정현파를 적분하면$$π 2 ${\displaystyle {\tfrac {\pi$ }{2}} $(또는$ 사이클의 14 ${\displaystyle {\tfrac${1}{4}})만큼 정현파가 앞으로 위상 이동하고 진폭을 주파수로 나눕니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\intA\sin(\omega t+\varphi )dt&=-{\frac {A}{\omega }}\cos(\omega t+\varphi )+C\\&=-{\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi}{2}})+C\\&={\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}})+C\,.\end{align}}}$

통합은 효과적으로 차단 주파수가^st 없는 1차 저역 통과 필터입니다. 적분 간격이 정현파 주기의 정수 배인 경우 $적분{\displaystyle }$ C$${\$displaystyle$ C$}$의 상수는 0이 됩니다$$.

참고 항목

참고문헌

외부 링크

• "Sine Wave". Mathematical Mysteries. 2021-11-17. Retrieved 2022-09-30.