라이프니즈 적분 규칙

이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "라이브니즈 통합 규칙" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (2016년 10월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습)

미적분학에서, Gottfried Leibniz의 이름을 딴, 적분 기호 아래의 분화를 위한 Leibniz 적분 규칙은, 형식의 적분인 경우라고 명시하고 있다.

${\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}$

여기서 -< ( x), b( ) < ${\displaystyle$ -$\infully <a(x),b(x)<\infuly$ 이 적분들의 파생상품은 다음과 같이 표현 가능하다.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,}$

에 대한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향파생상품 정체성 정리 그라데이션 그린스 스톡스 발산 일반화 스톡스
다변량 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 부분파생상품 다중 적분 라인 적분 표면 적분 부피 적분 야코비안 헤시안
전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
v t

여기서 부분파생상품은 적분 ${\displaystyle 내}$에서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을(를${\displaystyle )}$ 갖는 f${\displaystyle }$( x , t${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x,t)}$의 변동만 고려됨을$$ 나타낸다.^[1] $주의$할 점은 (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle a(x)}$ 및$$ $b{\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle b(x)}$이(가) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 함수가 아닌 상수인$$ 경우 다음과 같은 특별한 경우를 참조하십시오$.$

${\dplaystyle {\frac}{dx}\왼쪽(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{a}{b}{\fract }{\fract x,t)\,d.}$

${\displaystyle \mathrm{게다가}}$ (${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle a(x)=a},$ $b$(x )${\displaystyle }$= x ${\displaystyle b(x)=x$ ${\displaystyle \mathrm{이것}}$도 일반적인 상황이라면(예를 들어, Cauchy의 반복된 통합 공식의 증거에서), 우리는 다음을 가지고 있다.

${\dplaystyle {\frac}{dx}}\왼쪽(\int _{a}^{x}f(x,t)\,dt\right)=f{\big(}x,x{\big )+\int _{a}^{a}^{\frac(x,t){\}$

따라서 특정 조건에서는 적분 연산자와 부분 미분 연산자를 교환할 수 있다. 이 중요한 결과는 특히 적분 변환의 분화에 유용하다. 그러한 예로는 확률론에서 모멘트 생성함수를 들 수 있는데, 이는 무작위 변수의 모멘트를 생성하기 위해 구별될 수 있는 라플라스 변환의 변화다. 라이프니츠의 일체적 규칙이 적용되는지 여부는 본질적으로 제한의 교환에 관한 질문이다.

일반 형태: 적분 기호 아래의 차별화

정리. Let f(x, t) be a function such that both f(x, t) and its partial derivative f_x(x, t) are continuous in t and x in some region of the (x, t)-plane, including a(x) ≤ t ≤ b(x), x₀ ≤ x ≤ x₁. Also suppose that the functions a(x) and b(x) are both continuous and both have continuous derivatives for x₀ ≤ x ≤ x₁. 그러면₀ x x x x x는₁

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}$

이 공식은 라이프니즈 적분규칙의 일반적인 형태로서 미적분의 근본적인 정리를 이용하여 도출할 수 있다. 미적분학의 (첫 번째) 기본 정리는 a(x) = a, 상수, b(x) = x, f(t)가 있는 위의 공식의 특별한 경우일 뿐이다.

상한과 하한을 모두 상수로 사용하는 경우 공식은 연산자 방정식의 형태를 취한다.

${\displaystyle {\mathcal {I}_{t}\partial _{x}=\partial _{x}{\mathcal {I}_{t}}}$

여기서 $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$은(는$)$ x {\$displaystyle x}$에 대한 부분 파생 $모델$이고$$I ${\displaystyle t_{}}$ {\$displaystyle$ {\$mathcal{I}_{$t}}}은(는) 일정한 간격으로 t ${\displaystystystyle t}$에 대한 통합 연산자다. 즉, 두 번째 파생상품의 대칭성과 관련이 있지만 파생상품뿐만 아니라 통합도 포함한다. 이 경우는 라이프니즈 일체 규칙으로도 알려져 있다.

한계 교환에 관한 다음의 세 가지 기본 이론은 본질적으로 동등하다.

• 파생 모델과 적분(적분 부호에 따른 차별화, 즉 라이프니즈 적분 규칙)의 교환;
• 부분파생상품의 순서의 변경
• 통합의 순서 변경(적분 부호 아래 통합, 즉 푸비니의 정리).

시간 의존적인 3차원 케이스

3차원 공간에서 움직이는 2차원 표면을 위한 라이프니즈 일체형 규칙은^[2]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s},}$

여기서:

F(r, t)는 시간 t에서 공간 위치 r에 있는 벡터장이다.

σ은 닫힌 곡선 ∂σ에 의해 경계된 표면이다.

dA는 표면 σ의 벡터 원소로서,

ds는 ∂σ 곡선의 벡터 요소다.

v는 지역 Ⅱ의 이동 속도다.

∇⋅은 벡터 발산이다.

×는 벡터 크로스 제품이고,

이중 적분자는 표면 σ에 대한 표면 적분이며, 선 적분은 경계 곡선 ∂σ 위에 있다.

상위 치수

라이프니즈 통합 규칙은 다차원 통합으로 확장될 수 있다. 2차원과 3차원에서 이 규칙은 레이놀즈 수송 정리로서 유체 역학 분야로부터 더 잘 알려져 있다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}F(\mathbf {x} ,t)\,dV+\int _{\partial D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} _{b}\cdot d\mathbf {\Sigma } ,}$

어디 F(x, t){F(\mathbf{x},t)\displaystyle}은 스칼라 함수, D(t)과 ∂D(t), 각각, vb{\displaystyle \mathbf{v}_{b}}의 경계(그리고 오일러 Lagrangian좌표 참조하십시오)과 dΣ의 오일러 속도)ndS는 단위 정상 compone R3의 time-varying 연결되어 지역과 그 경계 의미한다.n표면 원소의 t.

라이프니즈 적분 규칙의 일반적 진술은 차동 기하학, 특히 차동 형태, 외부 파생 모델, 쐐기 제품 및 내부 제품의 개념을 요구한다. 이러한 도구로, 라이프니즈 통합 규칙은 n차원이다^[2].

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}i_{\mathbf {v} }(d_{x}\omega )+\int _{\partial \Omega (t)}i_{\mathbf {v} }\omega +\int _{\Omega (t)}{\dot {\omega }},}$

그 속도의 통합 어디 Ω(t)은time-varying 도메인, ω은 p-form, v=∂)∂ t{\displaystyle \mathbf{v}={\frac{\partial \mathbf{)}}{\partial지}}}는 벡터장, 나는 v{\displaystyle i_{\mathbf{v}}}}v{\displaystyle \mathbf{v}과 인테리어 제품을 나타낸다, dxω은 내선 번호.e공간 변수에 대해서만 Ω의 rior 파생상품이며 ${\$은(는) Ω의 시간 파생상품이다$$.

그러나 이러한 모든 정체성은 Lie 파생상품에 대한 가장 일반적인 진술에서 도출될 수 있다.

$왼쪽.{\frac {d}{dt}\오른쪽 _{t=0}\int _{\operatorname {im} _{\psi _{t}(\Oomega )}\omega=\int _{\mathcal {L}{\PSI }\omega,}}$

$여기$서 Ω ${\displaystyle \omega$}이$($가) 사는 주변 다지관은 공간과 시간을 모두 포함한다.

• ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \Oomega}$은(는) 주어진 순간의 통합(하위 매니폴드) 영역이다$$($하위{\displaystyle }$ 매니폴드로서의 파라메트리제이션은 시간 내에 위치를 정의하므로 t ${\displaysty t}$에 의존하지 않음$).$
• ${\displaystyle \mathcal{L}}$ ${\$은(는) Lie 파생 모델이며,
• ${\displaystyle \mathrm{\psi }}$ ${\displaystyle \Psi}$은(는) 이전 공식$$($즉{\displaystyle \mathrm{}}$, {$${\$displaystyle$\$mathbf {v})$의 순수 공간 벡터 $필드{\displaystyle \mathbf{}}$ v ${\$displaystyle \$Psi}$은(는)의 스페이스타임 속도 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystytype \Oomega}$에 시간의 방향으로 추가된 것이다.$$
• ${\displaystyle {\psi }_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 ${\displaystyle \Psi$의 흐름에 의해 생성된 1-모수 그룹과의 차이점형이다$$.
• ${\displaystyle {\text{im}}_{}}$ ${\displaystyle {{\psi }_{}}_{}}$ t${\displaystyle {{}_{}}_{}}$($){\displaystyle {\text{im}}_{\psi _{t}(\Oomega )}}$는 그러한 차이점 유형 하에서$$ $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}}$의 이미지다.

이 양식에서 주목할 만한 점은 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega$$}$이(가) 시간이 지남에 따라 모양과 크기를 변경할$$ 때 이러한 변형은 $\$ {\$displaystyle \Psi$}에 의해 완전히 결정되기 때문에 이러한 경우를 설명할 수 있다는 것이다$.$

측정이론명세서

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) $R{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 열린 부분 집합으로$$ 하고$$$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$을(를) 측정 공간으로 설정하십시오$$. $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \Omega \mathbf{}}$→ R ${\$이(가) 다음 조건을 충족한다고$$ 가정하십시오.

1. ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle f(x,\omega )}$은(는$)$ 각 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{X<img\; alt="\backslash omega\; "\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.446ex;\; height:1.676ex;"\; papago-attr-id="394">}}$ ${\displaystyle$ x$\$$in$ X}에 대해 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\$$omega }$의 Lebesgue 통합 함수다$.$
2. 거의 모든 $\Omega {\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \omega \in}$에 대해,$$ 파생 모델 ${\displaystyle f_{}}$ ${\$이 존재하며$$ 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$에 대해 연속적이다$.$
3. There is an integrable function ${\displaystyle \theta \colon \Omega \to \mathbf {R} }$ such that ${\displaystyle f_{x}(x,\omega ) \leq \theta (\omega )}$ for all ${\displaystyle x\in X}$ and almost every ${\displaystyle \omega \in \Omega }$.

그런 다음 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in$ X$}$에 대해$,$

${\daystyle {\frac {d}{dx}\int_{\\Oomega}f(x,\omega )\,d\omega =\int_{\Oomega_f_{x}(x,\omega)\,d\omega.}$

그 증명은 지배적인 수렴 정리 및 평균값 정리(아래 세부사항)에 의존한다.

교정쇄

기본형식증명서

우리는 먼저 통합 a와 b의 일정한 한계의 경우를 증명한다.

우리는 후비니의 정리를 이용하여 통합의 순서를 바꾼다. 모든 x와 h에 대해 다음과 같이 h>0과 x와 x+h가 모두₀ [x₁,x] 이내에 있다.

${\displaystyle \int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx=\int _{a}^{b}\int _{x}^{x+h}f_{x}(x,t)\,dx\,dt=\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt=\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}$

Note that the integrals at hand are well defined since ${\displaystyle f_{x}(x,t)}$ is continuous at the closed rectangle ${\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [a,b]}$ and thus also uniformly continuous there; thus its integrals by either dt or dx are continuous in the other variable and 또한 그것에 의해 통합될 수 있다(이러한 이유는 균일하게 연속되는 기능의 경우 아래에 설명된 바와 같이 통합 기호를 통해 한계를 통과할 수 있기 때문이다).

따라서 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx={\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}}$

정의한 위치:

${\displaystyle F(u)\equiv \int _{x_{0}^{0}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx}$

(여기서₀ x와 x 사이의 다른 점으로 x를₀ 대체할 수 있음)

F는${}_{}^{}$ f $x_{}$ (${}_{}x$, $t$) $d$ $t$ ${\textstyle \int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$과$($와) 차이가 있으므로 h가 0에 근접하는 한도를 취할 수 있다. 왼쪽 측면의 이 한계는 다음과 같다.

${\dplaystyle {\frac {d}{dx}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}$

오른쪽 측면의 경우,

${\displaystyle F'(x)=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$

그래서 우리는 원하는 결과를 증명한다:

${\dplaystyle {\frac {d}{dx}\int_{a}^{b}f(x,t)\,dt=\int_{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$

경계 수렴 정리를 이용한 또 다른 증거

만약 가까운 통합이 르베그 통합이라면, 우리는 한계치가 적분 부호를 통과할 수 있다는 것을 보여주기 위해 경계 수렴 정리(이 통합에는 유효하지만 리만 통합에는 유효하지 않음)를 사용할 수 있다.

이 증거는 f_x(x,t)가 르베그 통합 가능함을 보여줄 뿐 리만 통합 가능은 아니라는 점에서 약하다는 점에 유의한다. 앞의 (더 강한) 증거에서 f(x,t)가 리만 통합이 가능하다면 f_x(x,t)도 통합이 가능하다(그러므로 분명히 르베그 통합도 가능하다).

내버려두다

${\displaystyle u(x)=\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt.}$

(1)

파생상품의 정의에 따르면

${\displaystyle u'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}.}$

(2)

등식 (1)을 등식 (2)로 대체한다. 두 통합의 차이는 차이의 적분과 같으며, 1/h는 상수이므로

${\displaystyle {\begin{aligned}u'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x+h,t)-f(x,t)}{h}}\,dt.\end{정렬}}}$

우리는 이제 그 한도가 필수 표지를 통과할 수 있다는 것을 보여준다.

우리는 적분 부호 아래의 한계 통과가 경계 수렴 정리(지배적 수렴 정리의 코롤러리)에 의해 유효하다고 주장한다. 각 Δ > 0에 대해 차이 인수를 고려한다.

${\displaystyle f_{\property }(x,t)={\frac {f(x+\properties,t)-f(x,t)}{\displaysty }.}$

t 고정의 경우, 평균값 정리는 다음과 같은 [x, x + Δ] 구간에 z가 존재함을 의미한다.

${\displaystyle f_{\displaystyle }(x,t)=f_{x}(z,t).}$

f_x(x, t)의 연속성과 도메인의 압축성은 f_x(x, t)가 경계임을 의미한다. 따라서 위의 평균값 정리의 적용은 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\Delta }_{}}$(${\displaystyle x}$, t$){\displaystyle f_{\delta }(x,t)}$에 바인딩된 균일($t{\displaystyle }${\$displaystyty t$을 제공한다$.$ 차이 인수는 부분파생상품이_x 존재한다는 가정에 의해 부분파생상품 f에 점방향으로 수렴한다.

위의 인수는 모든 시퀀스 {Δ_n} → 0에 대해${\displaystyle {}_{}}$ {${\displaystyle {f{}_{}}_{}\mathrm{\Delta n}}$ ${\displaystyle (x}$,${\displaystyle }$t $)}$ {\$displaystyle$\{$f_{\delta _{n}}(x$,t$)\}}}}$이(가) 균일하게 경계되고$$ 점으로 수렴된다는_x 것을 보여준다. 경계 수렴 정리는 유한한 척도의 일련의 함수들이 균일하게 경계되고 점으로 수렴되는 경우, 적분하에서의 한계 통과가 유효하다고 기술하고 있다. 특히 한계와 적분은 모든 시퀀스 {Δ_n} → 0에 대해 교환할 수 있다. 따라서 Δ → 0으로서의 한계는 적분 부호를 통과할 수 있다.

가변 한계 양식

하나의 실제 변수의 연속적인 실제 가치 함수 g와 하나의 실제 변수의$$ ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$및 $f$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 실제 가치의 차별화 함수인 경우

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.}$

이것은 연쇄 규칙과 미적분학의 제1차 기본 정리에서 따온 것이다. 정의

${\displaystyle G(x)=\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)g(t)\,dt,}$

그리고

${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle g}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{x}g(t)\,dt.}($하한계는 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 도메인에서 일부 숫자일 뿐임$)$

Then, ${\displaystyle G(x)}$ can be written as a composition: ${\displaystyle G(x)=(\Gamma \circ f_{2})(x)-(\Gamma \circ f_{1})(x)}$. 그러면 체인 룰은 다음을 암시한다.

${\displaystyle G'(x)=\Gamma '\left(f_{2}(x)\right)f_{2}'(x)-\Gamma '\left(f_{1}(x)\right)f_{1}'(x).}$

미적분학의 제1차 기본 정리 $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \Gamma '(x)=g(x$ 따라서 위의 결과를 대체하면 다음과 같은 방정식을 얻게 된다.

${\displaystyle G'(x)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'x}}}}$

참고: 이 형식은 구별할 표현이 다음과 같은 형식인 경우 특히 유용할 수 있다.

${\displaystyle \int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt}$

$h{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle h(x)}$은(는) 통합의 한계에 좌우되지 않기$$ 때문에 통합 기호 아래에서 벗어날 수 있으며, 위의 양식을 제품 규칙과 함께 사용할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt\right)={\frac {d}{dx}}\left(h(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=h'(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt+h(x){\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)}$

변수 한계가 있는 일반 양식

세트

${\displaystyle \varphi(\displaystyle \varphi)(\b)=\int _{a}^{b(x,\put )\,dx,}$

여기서 a와 b는 α가 Δα만큼 증가할 때 각각 Δa와 Δb의 증가를 나타내는 α의 함수다. 그러면.

${\displaystyle{\begin{정렬}\Delta \varphi&=\varphi(\alpha +\Delta \alpha)-\varphi(\alpha)[4pt]&,=\int _ᆱ^ᆲf(x,\alpha +\Delta \alpha)\,dx-\int _ᆳ^ᆴfᆭ\,dx\\[4pt]&,=\int _ᆵ^ᆶf(x,\alpha +\Delta \alpha)\,dx+\int _ᆷ^ᆸf(x,\alpha +\Delta \alpha)\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alph.한 +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}$

평균값 정리 $\int {}_{}^{}$ $a_{}^{}$ ${}_{}^{}$ $f$( x$$) d $x$=$$( b$$- $a$) f ($\xi$ ) ${\textstyle \int _{a}^{b(x)\,dx=(b-a)f(\xi )}$의 한 형태로서$,$ 여기서 < δ>는 위의 Δφ에 대한 공식의 첫 번째와 마지막 통합에 적용될 수 있다.

${\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta af(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta bf(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).}$

Δα로 나누어 Δα → 0. 주의사항 Δα₁ → a 및 b₂. 우리는 다음과 같은 필수 부호를 통해 한도를 넘길 수 있다.

${\displaystyle \lim _{\Delta \alpha \to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx,}$

다시 한정된 수렴 정리에 의해. 이것은 라이프니즈 적분 규칙의 일반적인 형태를 산출한다.

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {db}{d\alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {da}{d\alpha }}.}$

체인 규칙을 사용하여 가변 한계가 있는 일반 폼의 대체 증거

가변 한계가 있는 라이프니츠의 적분규칙의 일반적인 형태는 라이프니츠의 적분규칙의 기본형태, 다변성 연쇄규칙, 미적분학의 제1차 기본정리의 결과로 도출될 수 있다. Suppose ${\displaystyle f}$ is defined in a rectangle in the ${\displaystyle x-t}$ plane, for ${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}$ and ${\displaystyle t\in [t_{1},t_{2}]}$. Also, assume ${\displaystyle f}$ and the partial derivative ${\$텍스트 $스타일 {\frac {\frac}{\properties x}}$은(는) 이 직사각형의 연속적인 기능이다$$. Suppose ${\displaystyle a,b}$ are differentiable real valued functions defined on ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$, with values in ${\displaystyle [t_{1},t_{2}]}$ (i.e. for every ${\displaystyle x\in [x_{1},$$x_{2},a(x$),$b(x)\in[t_{1},t_{2}]}$ $$. 자, 세트

${\displaystyle F(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt,}$ for ${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}$ and ${\displaystyle y\in [t_{1},t_{2}]}$

그리고

${\displaystyle G}$${\displaystyle }$${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) =${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle a_{}^{}}$( ${\displaystyle x_{}^{}}$) ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle t}$) d ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle G(x)=\int _{a(x)}^{b(x)f(x,$${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$$)\,$$dt$$,},},},},$ x $∈$[$x_{1},x_{2}]$에 대한$$ ${\displaystyle {}_{}}$

그러면, 한정된 통합의 속성에 의해, 우리는 글을 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}G(x)&=\int _{t_{1}}^{b(x)}f(x,t)\,dt-\int _{t_{1}}^{a(x)}f(x,t)\,dt\\[4pt]&=F(x,b(x))-F(x,a(x))\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathrm{기능}}$ F , a ,${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F,a,b}$은 다변량 체인 규칙에 의해 모두 구별이 가능하므로$$(증거 끝의 설명 참조), G ${\displaystyle G}$은 구별이 가능하며, 그 파생상품은 다음 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle G'(x)=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,b(x))+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,b(x))b'(x)\right)-\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,a(x))+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,a(x))a'(x)\right)}$

Now, note that for every ${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}$, and for every ${\displaystyle y\in [t_{1},t_{2}]}$, we have that ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {$$\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$, because when taking the partial derivative with respect to ${\displaystyle x}$ of ${\displaystyle F}$, we are keeping ${\displaystyle y}$ fixed in the expression ${\textstyle \int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt}$; thus the basic form of Leibniz's Integral 일정한 통합 한계를 갖는 규칙이 적용된다. Next, by the First Fundamental Theorem of Calculus, we have that ${\textstyle {\dfrac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$; because when taking the partial derivative with respect to ${\displaystyle y}$ of ${\displaystyle F}$, the first variable ${\displaystyle x}$ is fixed, 그래서 근본적인 정리가 실제로 적용될 수 있다.

위의$$ $G{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle G'(x)}$에 대한 방정식으로 이러한 결과를 대체하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}G'(x)&=\left(\int _{t_{1}}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,b(x))b'(x)\right)-\left(\int _{t_{1}}^{a(x)}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,a(x))a'(x)\right)\\[2pt]&=f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt,\end{aligned}}}$

소원대로

위의 증거에는 주목할 만한 기술적 요점이 있다: $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 체인 규칙을 적용하려면 F ${\displaystyle F}$이(가) 이미$$ 다를 수 있어야$$ 한다. This is where we use our assumptions about ${\displaystyle f}$. As mentioned above, the partial derivatives of ${\displaystyle F}$ are given by the formulas ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\part$Ial x}}(x,t)\,dt}과∂ F∂는 y(), y))f({\textstyle{\frac{\partial F}{이\partial}}(x, y)=f(x, y)}. ∂ f∂){\textstyle{\dfrac{\partial f}{x\partial}}}, 그것의 적분이다 또한 연속적인 function,[3]고 이후 f{\displaystyle f}또한 계속되는 것은, 이 두 결과들-연속적입니다.악 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 두 부분 파생상품이 모두 연속적인지$$ 여부. 부분파생상품의 연속성은 기능의 차이성을 내포하므로 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은(는) 실제로 다를 수 있다$$.^[4]

시간에 따른 3차원 형태

시간 t에 그림 ${\displaystyle 1}$의 표면 σ은 $중심{\displaystyle \mathbf{}}$ C${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {C} (t)}$에 대해 배열된 점 집합을 포함한다$.$ $함수{\displaystyle \mathbf{}}$ F${\displaystyle (r\mathbf{}}$ ,${\displaystyle t}$ )$${\$displaystyle \mathbf {F}(\mathbf {r},t)$는 다음과 같이 쓸 수 있다$$.

${\displaystyle \mathbf {F}(\mathbf {C})(t)+\mathbf {r} -\mathbf {C}(t)=\mathbf {F}(\mathbf {C})(t)+\mathbf {I},t),},},}$

시간에 관계없이$$ $I{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$를) 사용하십시오. 변수는 $C{\displaystyle \mathbf{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \mathbf {C}(t)}$에서 출발점으로 이동 표면에 부착된 새 기준 프레임으로 이동한다$.$ 단단하게 변환되는 표면의 경우, 통합의 한계는 시간에 독립적이므로, 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}d\mathbf {A} _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right)=\iint _{\Sigma }d\mathbf {A} _{\mathbf {I} }\cdot {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),}$

지역 Ⅱ에 대한 필수불가결한 통합의 한계가 더 이상 시간에 의존하지 않기 때문에 분화는 통합에 작용하기 위해 통합을 통과하고 오직 다음 사항만을 따른다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)+\mathbf {v\cdot \nabla F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t),}$

표면의 운동속도에 의해 정의된다.

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d}{dt}}\mathbf {C}(t).}$

이 방정식은 이동 표면에 부착된 좌표계에 관한 현장의 물질적 파생물, 즉 파생물을 표현한다. 파생상품을 찾으면 변수를 원래 기준 프레임으로 되돌릴 수 있다. 우리는 그것을 알아차렸다(컬어짐 관련 기사 참조)

${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)=(\nabla \cdot \mathbf {F} +\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {F} ,}$

스톡스 정리는 σ에 대한 컬의 표면 적분과 ∂에 대한 적분의 선을 동일시한다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} \right)=\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\mathbf {F\cdot \nabla } \right)\mathbf {v} +\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {F} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\좌(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \오른쪽)\cdot d\mathbf {s}$

라인 적분 부호는 라인 요소 ds의 방향 선택을 위한 우측 규칙에 기초한다. 예를 들어 이 기호를 설정하려면 필드 F가 양의 z 방향으로 가리키고 표면 σ은 둘레 ∂가 있는 xy 평면의 일부라고 가정하십시오. 우리는 양수 z-방향으로 정상 Ⅱ를 채택한다. ∂ then의 양의 통과는 시계 반대 방향(z축을 따라 엄지손가락을 사용하는 오른쪽 규칙)이다. 그런 다음 왼쪽의 적분은 F ~ σ의 양의 유량을 결정한다. σ이 속도 v에서 양의 x 방향으로 번역된다고 가정합시다. y축에 평행한 σ 경계 요소(예: ds)는 시간 t에서 영역 vt × ds를 쓸어낸다. 시계 반대 의미로 경계 ∂σ을 중심으로 통합하면 ∂σ의 왼쪽에는 음의 z-방향(ds 아래쪽을 가리키는 곳), ∂의 오른쪽에는 양의 z-방향(ds 위쪽을 가리키는 곳)으로 vt × ds 포인트가 되는데, 이는 σ가 오른쪽으로 이동하여 오른쪽에는 영역을 더하고 왼쪽에는 잃어버리기 때문에 의미가 있다. 그 근거로 ∂σ 오른쪽에서는 F의 유속이 증가하고, 왼쪽에서는 감소하고 있다. 단, 도트 제품 v × F × ds = -F × v × ds = -F × v × ds. 결과적으로, 선 적분 부호는 음수로 간주된다.

v가 상수라면

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {s} ,}$

인용된 결과야 이 증거는 표면이 움직일 때 변형될 가능성을 고려하지 않는다.

대체 파생

보조정리, 한 명은:

${\displaystyle {\frac{\frac{\b}\왼쪽(\int _{b}f(x)\,dx\right)=f(b),\qquad {\frac{\frac{\nt _{b}f(x)\dx\-f(a)-f(a).}$

증명. 미적분학의 근본적인 정리의 증거로부터

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[\int _{a}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[f(b)\델타 b+O\왼쪽(\Delta b^{2}\오른쪽)\오른쪽]\\[6pt]&=f(b),\end{aigned}}}$

그리고

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[\int _{a+\Delta a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{a+\Delta a}^{a}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[-f(a)\델타 a+O\왼쪽(\Delta a^{2}\오른쪽)\오른쪽]\\[6pt]&=-f(a)\end{정렬}}}$

a와 b가 일정하고, f(x)가 통합에서는 일정하지만 서로 다른 통합을 형성하도록 달라질 수 있는 매개변수 α를 포함한다고 가정하자. f(x, α)는 콤팩트 세트 {(x, α) : α₀ α α α α₁ 및 α x α b}에서 x와 α의 연속 함수이며, 부분파생_α f(x, α)가 존재하고 연속적이라고 가정한다. 다음을 정의하는 경우:

${\displaystyle \varphi(\displaystyle \varphi)(\b)=\int _{a}^{b(x,\put )\,dx,}$

그런 다음 $integral{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$은(는) α에 대해 적분 기호(즉, 적분 기호)로 구별하여 구별할 수 있다$$.

${\d\varphi }{d\varphi }}{d\not _{a}^{b}{\frac {\reason }{\flict \f(x,\reason )\,dx.}$

하이네-칸토르 정리에서는 균일하게 연속된다. 즉, 임의의 > > 0에 대해 Δα가 존재하며, 이는 [a, b]의 모든 x 값에 해당된다.

${\displaystyle f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha ) <\varepsilon .}$

다른 한편으로는

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\,dx\\[6pt]&\leq \varepsilon (b-a).\end{정렬}}}$

따라서 α는 연속함수다.

마찬가지로 ${\displaystyle \frac{\partial \mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}(x}$ ,$$) ${\displaystyle {\frac {\partial }{\$partial \partial \}{\$partial \alpha }}}이(가$) 존재하고$$ 연속적인 경우, 모든 all > 0에 대해 다음과 같은 Δα가 존재한다.

${\displaystyle \fall x\in [a,b],\quad \frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}}{\partial \alpha }}}\partial \varepsilon.$

그러므로

${\displaystyle {\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x,\alpha )}{\partial \alpha }}\,dx+R,}$

어디에

$\displaystyle R <\int _{a}^{b}\varepsilon \,dx=\varepsilon (b-a).}$

자, ε → Δα → 0으로, 그러니까

${\displaystyle \lim _{{\Delta \alpha }\to 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}={\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.}$

이것이 우리가 증명하기 위해 내놓은 공식이다.

자, 가정해보자.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,\properties )\,dx=\varphi(\property ),}$

여기서 a와 b는 α가 Δα만큼 증가할 때 각각 Δa와 Δb의 증분을 취하는 α의 함수다. 그러면.

${\displaystyle{\begin{정렬}\Delta \varphi&=\varphi(\alpha +\Delta \alpha)-\varphi(\alpha)[6pt]&,=\int _ᆱ^ᆲf(x,\alpha +\Delta \alpha)\,dx-\int _ᆳ^ᆴfᆭ\,dx\\[6pt]&,=\int _ᆵ^ᆶf(x,\alpha +\Delta \alpha)\,dx+\int _ᆷ^ᆸf(x,\alpha +\Delta \alpha)\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alph.한 +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}$

평균값 정리 $\int {}_{}^{}$ a ${}_{}^{}$ $f$( x$$) $d$ $x$=$$( $b$- $a$) f ($\xi$ )$$, ${\textstyle \int _{a}^{b(x$)}f(x$)\,dx=(b-a)$f$(\xi })}$의 한 형태로, 여기서 δ < Δδ에 대한 공식의 첫 번째와 마지막 통합에 적용할 수 있다.

${\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).}$

Δα로 나누어 Δα → 0으로 하고, Δα₁ → and₂ → a 및 b를 알아채고, 위와 같은 파생을 다음에 사용한다.

${\d\varphi }{d\varphi }}{d\not _{a}^{b}{\frac {\reason }{\flict \f(x,\flict )\,dx}$

수확하다

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {\partial b}{\partial \alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {\partial a}{\partial \alpha }}.}$

이것은 라이프니즈 통합 규칙의 일반적인 형태다.

예

예제 1: 고정 한계

함수를 고려하십시오.

${\displaystyle \varphi(\varphi)(\int_{0}^{1}{1}{\frac {\frac {}{x^{2}+\i1}{2}}:\,dx.}$

적분 부호 아래의 함수는 지점(x, α) = (0, 0)에서 연속되지 않으며, α(α)가 ±π/2에 α → 0으로^± 접근하기 때문에 α = 0에서 불연속성을 가진다.

적분 부호 아래 α에 대해 α(α)를 구별해 보면 알 수 있다.

${\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right)\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-\alpha ^{2}}{(x^{2}+\alpha ^{2})^{2}}}dx=\left.-{\frac {x}{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right _{0}^{1}=-{\frac {1}{1+\alpha ^{2}}},}$

물론 α = 0을 제외한 모든 α 값에 대해 참이다. 이것은 (α에 대하여)를 찾기 위해 통합될 수 있다.

${\displaystyle \varphi (\filency )={\base}0,&\build =0,\\\-\arctanna({\pi}}}}+{\frac {}{2}},&\buffer \neq 0.\end{case}}}$

예제 2: 변수 한계

변수 한계가 있는 예제:

${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{d}{dx}};=\cosh \left(\cos ^{2}x\right){\frac{d}{dx}}(\cos))-\cosh \left(\sin ^{2}x\right){\frac{d}{dx}}(\sin))+\int _{\sin)}^{\cos)}{\frac{\partial}{x\partial}}(\cosh t^{2})[6pt]&, =\coshᆯᆰ-\coshᆱᆲ+0\\[6pt]&, =-\c _{\sin)}^{\cos)}\cosh t^{2}\,dt& \int.osh(\cos ^{2}x)\sin x-\cosh(\sin ^{2}x)\cos x.\end{aigned}}}$

적용들

명확한 통합 평가

공식

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,}$

특정한 명확한 통합을 평가할 때 유용할 수 있다. 이러한 맥락에서 사용될 때, 일체형 부호 아래 차별화를 위한 라이프니즈 일체형 룰은 파인만의 통합에 대한 트릭으로도 알려져 있다.

예 3

고려하다

$\displaystyle \varphi(\varphi)(\int_{0}^{\pi }}\ln \left(1-2\pi \ln) \cos(x)+\i1\i1\dx,\qquad \i1.}$

지금

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }{\frac {-2\cos(x)+2\alpha }{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\pi }\left(1-{\frac {1-\alpha ^{2}}{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}\right)dx\\[6pt]&=\left.{\frac {\pi}{\pi}{\pi }-{\frac {2}{\pi}}\{\protan \left\frac{1+\pac }}}{1-\pi }}}}}\tan \lefteight _{0}^{pi }}}.\end{정렬}}}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$에서 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$까지 다르므로$$$,$ 다음 작업을 수행하십시오.

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\tfrac {x}{2}}\right)\geq 0,& \alpha <1,\\{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\leq 0,& \alpha >1.\end{case}}}$

그러므로,

$왼쪽.\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right _{0}^{\pi }={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},& \alpha <1,\\-{\frac {\pi }{2}},& \alpha >1.\end{case}}}$

그러므로

${\d}{d}{d\property }}}\varphi (\party )={\pase}0,&####1}, \frac <1,\\\\\\\\pi}}{\pi}}}{\pi}, \pa&#1.\end{case}}}$

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 대해 양쪽을 통합하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle \varphi(\displaystyle \varphi)(\displayC_{1},& \알파 <1,\\2\pi \ln \알파 +C_{2},& \알파 >1.\end{case}}}$

${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle C_{1}=0}$은(는) $\phi {\displaystyle }$ (${\displaystyle }$0${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varphi (0)}$을(를) 평가한 다음$$$:$

${\displaystyle \varphi (0)=\int _{0}^{\pi }\ln(1)\,dx=\int _{0}^{\pi }0\,dx=0.}$

같은 방법으로$$ $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}를 결정하려면 $\alpha {\displaystyle }$(${\displaystyle \alpha )}$ ${\displaystyle$$\alpha$$$}에서 1보다$$ 큰 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle$$\alpha$}의 값을 대체해야 한다$.$ 이것은 다소 불편하다. 대신 $\alpha$= $1\frac{\mathrm{}}{}$ $\frac{\beta }{}$ ${\$을$($를) 대체한다. 서 < 1 ${\displaystyle \beta <1$ 그러면,

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }\left(\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^{2}\right)-2\ln \beta \right)dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^{2}\right)\,dx-\int _{0}^{\pi }2\ln \beta dx\\[6pt]&=0-2\pi \ln \beta \\[6pt]&=2\pi \ln \alpha .\end{aligned}}}$

따라서 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle C_{2}=0}$

$\phi {\displaystyle }$(${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle \varphi (\alpha )}$의 정의가 이제 완료되었다$$.

$\displaystyle \varphi (\displaysty \barphi (\barphi)={\base}0, \pi <1,\\2\pi \ln \ln \no \filense >1.\end{case}}}$

물론 상기의 논의는 $\alpha {\displaystyle }$=${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \alpha =\pm 1}$의 경우에는 적용되지 않는다$.$

예 4

${\displaystyle \mathbf {I} =\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{1}{(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x)^{2}}}\,dx,\qquad a,b>0.}$

먼저 다음과 같이 계산한다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{J}&=\int _{0}^{/2\pi}{\frac{1}{a\cos{2^}x+b\sin ^{2}x}}dx\\[6pt]&, =\int _{0}^{/2\pi}{\frac{\frac{1}{\cos ^{2}x}}{a+b{\frac{\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}}}dx\\[6pt]&, =\int _{0}^{/2\pi}{\frac{\sec ^{2}x}{a+b\tan ^{2}x}}dx\\[6pt]&, ={\frac{1}{b}}\int _{0}^{/2\pi}{\frac{1}{\left({\sqrt{\frac. {를}{b}}}\right)^{2}+\tan ^{2}x}\,d(\tan x)\\[6pt]&={\frac {1}{\sqrt{ab}}}}\arctan \refract\sqrt{b}}\frac {a}\tan x\right){\\\\\\\\\\\\\\Bigg }_{0}^{\pi /2}\\\[6pt]&={\frac {\pi }{2{\sqrt{ab}}}}.\end{정렬}}}$

${\displaystyle$ a}과$($ 독립된 통합의 제한은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {J}{\partial a}}{0}^-\int _{0}{0}^{\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x+b\in ^{2},dx}$

반면에:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf{J}}{\partial a}={\frac {\pi }{2}\sqrt{ab}}}\오른쪽)=-{\pi {}{\pi{4\sqrta^{3b}}}}}}}.}$

이 두 관계를 동일시하면 결과가 나온다.

${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\cos ^{2}x}{{2}x}}{\cos ^{2}x+b\sin ^{2}}}^{dx={\frac {\pi}{4}{sqrt{3}b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

비슷한 방식으로 $\partial {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{J\mathbf{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\partial }{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{b}{}}$ ${\$ b$}}$ 산출량을$$ 추구한다.

${\displaystyle \int_{0}^{0}^{\pi /2}{\frac {\sin ^{2}x}{\pi(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}},dx={\frac{4}{\sqrt{ab^{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

그런 다음 두 결과를 추가하면

${\displaystyle \mathbf {I} =\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {ab}}}}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\right),}$

원하는 대로$$ $I{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$를) 계산한다.

이 파생은 일반화될 수 있다. 만약 우리가 정의한다면

${\displaystyle \mathbf {I} _{n}=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\frac(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{n}}\,dx,}$

라는 것을 쉽게 알 수 있다

${\displaystyle (1-n)\mathbf {I} _{n}={\frac {I} _{n-1}{\partial a}+{\frac {\partial \mathbf {I} _{n-1}{\partial b}}}}}}}}$

나는 1(_{1}}이 적분 환원 공식 n을 내가 값 중의(_{n}}를 계산하기 위해;1{\displaystyle n> 1}. Integrals처럼 나는{\displaystyle \mathbf{나는}}와 J는{\displaystyle \mathbf{J}}또한 처리된다 사용될 수 있다.사용. 위어스트라스 대체

예 5

여기서, 우리는 통합적인 것을 고려한다.

${\displaystyle \mathbf {I}(\alpha )=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x){\cos x}{\cos x}}{\cos x}\,dx,\qquad 0<\alpha <\pi .}$

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$과(와) 관련하여 적분 하에 차별화하여 다음과 같은 기능을 제공한다$.$

${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{d}{d\alpha}};=\int _{0}^{/2\pi}{\frac{\partial}{\alpha\partial}}\left({\frac{\ln(1+\cos \alpha \cos))}{\cos)}}\right)\,dx\\[6pt]&, =-\int _{0}^{/2\pi}{\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha \cos)}}\,dx\\&,=-\int _{0}^{/2\pi}{\frac{\sin \alpha}{\left(\cos ^{2}{\frac{)}{2{나는}(\alpha)& \mathbf.}}+\sin ^{2}{\frac{)}{2}}\right)+\cos(\left(\cos ^{2}{\frac{x}{2}}-\sin ^{2}{\frac{x}{2}}\right)}}\,dx\\[6pt]&, =-{\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}}\int _{0}^{/2\pi}{\frac{1}{\cos ^{2}{\frac{)}{2}}}}{\frac{1}{{\frac{1+\cos)}{1-\cos \alpha}}+\tan ^{2}{\frac{)}{2}}}}\,dx\\[6pt]&, =-{\frac{2\sin)}{1-\cos \alpha}}\int _{0}^.{/2\pi}{\frac{{\frac{1}{2}}\sec ^{2}{\frac{)}{2}}}{{\frac{2\cos ^{2}{\frac{\alpha}{2}}}{2\sin ^{2}{\frac{\alpha}{2}}}}+\tan ^{2}{\frac{)}{2}}}}\,dx\\[6pt]&, =-{\frac{2\left(2\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}\right)}{2\sin ^{2}{\frac{\alpha}{2}}}}\int _{0}^{/2\pi}{\frac{1}{\cot ^{2}{\frac{\alpha}{2}}+\tan ^{2}{\frac{)}{2.}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\오른쪽)\\[6pt]&=-2\cot {\frac {\alpha }{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\arctan \left(\tan {\frac {\black }{x}{2}}\오른쪽){\bigg }}{{0}^{0}^{2}\pi\[6pt]\=\ended{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$

따라서 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {I}(\alpha )=C-{{\frac {\alpha ^{2}}:{2}.}$

$\mathrm{그러나}$ $I\mathbf{}($ $\frac{\mathrm{\pi }}{}$ 2$$)$$= 0 ${\textstyle \mathbf {I} \left({\frac {}{2}}\오른쪽)=0}$의 정의로$$ C$$= $\pi \frac{{}^{}}{}$ $\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}$ $\frac{{}^{}}{\mathrm{}}$ ${\$ 및$$

${\displaystyle \mathbf{I}(\alpha )={\frac {\pi ^{2}}-{8}-{\frac {\alpha ^{2}}}}.}$

예 6

여기서, 우리는 통합적인 것을 고려한다.

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{\cos \theta }\cos(\sin \theta )\,d\theta .}$

새로운 변수 φ를 도입하고 적분을 as로 다시 작성한다.

${\displaystyle f(\varphi )=\int_{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos(\varphi \sin \theta )\,d\d\theta.}$

φ = 1인 경우 이는 원래 적분과 동일하다. 그러나 이 보다 일반적인 적분은 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$에 대해 다음과 같이 구별할 수 있다$.$

${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{의}{d\varphi}}&=\int _{0}^{2\pi}{\frac{\partial}{\varphi\partial}}\left(e^{\varphi \cos \theta}\cos(\varphi \sin \theta)\right)\,d\theta \\[6pt]&,=\int _ᆳ^ᆴe^ᆵ\left(\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta)-\sin \theta \sin(\sin \theta\varphi)\right)\,d\theta .\end{알.}}igned}$

Now, fix φ, and consider the vector field on ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ defined by ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=(F_{1}(x,y),$$F_{2}(x,y)):$$=(e^{\varphi x}\sin(\varphi y),e^{\varphi x}\cos(\varphi y))}$. Further, choose the positive oriented parametrization of the unit circle ${\displaystyle S^{1}}$ given by ${\displaystyle \mathbf {r} \colon [0,2\pi )\to \mathbf {R} ^{2}}$, ${\displaystyle \math$$bf {r}(\theta ):=(\cos \$${\displaystyle \mathrm{theta}}$$,\sin$\thin \$tha$ $)\}$ 따라서 $r{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle \prime }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \cos }$, cos ${\displaystyle \backslash }$) ${\displaysty \mathbf {r}(t)=(-\sin \tta ,\cos \ta$ $)\}.$ 그러면 위의 최종 적분은 정확하게

$S$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 대한 F {\displaystyle $\mathbf {F}$의 적분선$.$ 그린의 정리로는 이것은 이중 적분과 같다.

${\displaystyle \iint_{D}{\frac {\partial F_{2}}-{\partial x}-{\partial F_{1}{\partial y}\,dA,}$

여기서 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$은(는) 닫힌 장치 디스크다. 그것의 통합은 동일한 0이므로 d ${\displaystyle f}$/ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle df/d\varphi }$도 마찬가지로 0이다$$. 이것은 f(φ)가 일정하다는 것을 암시한다. 상수는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을(를) ∆${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \varphi =0}$에서 평가하여 결정할 수 있다$.$

${\displaystyle f(0)=\int _{0}^{2\pi }1\,d\theta =2\pi .}$

따라서 원래의 적분 $또한{\displaystyle \mathrm{}}$ 2 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle$2\$pi }$과 같다$.$

기타 해결해야 할 문제

적분 기호 아래 차별화 기법을 사용하여 해결할 수 있는 그 밖의 통합은 무수히 많다. 예를 들어, 다음의 각 경우에, 원래의 적분은 새로운 매개변수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$을(를) 가진 유사한 적분으로 대체될 수 있다$.$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin x}{x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\pi /2}{\frac {x}{\tan x}}\,dx&\to \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\tan ^{-1}(\alpha \tan x)}{\tan x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+x^{2})}{1+x^{2}}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+\alpha ^{2}x^{2})}{1+x^{2}}}dx\\[6pt]\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{\ln x}}\,dx&\to \int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln x}}dx.\end{정렬}}}$

첫 번째 적분인 디리클레 적분은 양의 α에 절대적으로 수렴되지만, $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \alpha =0}$일 때만 조건적으로 수렴된다$.$ 적분 부호의분화는 α > 0 ${\$displaystyle$alpha >$0}일 때 정당화되기 쉽지만, $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \alpha =0}$일 때 결과 공식이 유효함을 증명하는 것은 어느 정도 세심한 작업이 필요하다$$.

무한계열

적분 기호에 따른 측정-이론적 분화 버전은 합산을 계수 측정으로 해석하여 합계(완료 또는 무한)에도 적용된다. 적용의 예로는 파워 시리즈가 정합성 반경이 서로 다르다는 사실을 들 수 있다.^{[citation needed]}

대중문화에서

본질적인 징조 아래에서의 차별화는 "A Different Box of Tools"라는 장에서 고인이 된 물리학자 리처드 파인만의 베스트셀러 회고록 "Sure You're Falking, Mr. Feynman!"에 언급되어 있다. 그는 고등학교 때 프레데릭 S의 고전문인 고급 미적분학 (Advanced Miculus, 1926년)에서 그것을 배우는 것을 묘사한다. 우즈(매사추세츠공대 수학학과 교수) 파인만이 나중에 미적분학에서 정규 교육을 받았을 때 이 기술은 자주 가르쳐지지는 않았지만, 파인만은 이 기술을 사용하여 프린스턴 대학교의 대학원에 도착하자마자 달리 어려운 통합 문제를 해결할 수 있었다.

내가 배우지 못한 한 가지는 등고선 통합이었다. 나는 고등학교 물리 선생님 바더가 준 책에서 보여준 다양한 방법으로 통합하는 법을 배웠었다. 어느 날 그는 나에게 수업이 끝난 후에 남으라고 말했다. "Feynman," 그는 "당신은 말을 너무 많이 하고 너무 시끄럽게 한다. 나는 이유를 알아. 심심하시죠. 그래서 나는 너에게 책을 줄 거야. 저 위로 올라가서, 구석으로 가서 이 책을 공부하면, 이 책에 있는 모든 것을 알게 되면 다시 이야기를 나눌 수 있을 것이다. 그래서 모든 물리학 수업에서는 파스칼의 법칙이 어떻게 돌아가는지, 혹은 그들이 무엇을 하고 있는지는 전혀 신경 쓰지 않았다. 나는 우즈가 쓴 "Advanced Miculus"라는 책을 들고 뒤에 있었다. 바더는 내가 "실용적인 남자를 위한 미적분"을 조금 공부했다는 것을 알았기 때문에 나에게 진짜 작품을 주었다. 그것은 대학 3학년이나 3학년 과정을 위한 것이었다. 그것은 푸리에 시리즈, 베셀 함수, 결정 요소, 타원 함수 등 내가 전혀 알지 못했던 모든 종류의 멋진 것들을 가지고 있었다. 그 책은 또한 통합 표지판 아래 파라미터를 구별하는 방법을 보여주었다. 그것은 특정한 조작이다. 대학에서는 그다지 많이 가르치지 않는다는 것이 밝혀졌다. 그들은 그것을 강조하지 않는다. 하지만 나는 그 방법을 어떻게 사용하는지 알아냈고, 그 빌어먹을 도구를 몇 번이고 사용했다. 그래서 나는 그 책을 이용해 독학했기 때문에, 통합을 하는 독특한 방법을 가지고 있었다. 그 결과 MIT나 프린스턴 대학 출신들이 어떤 일체형(integral)을 하는 데 어려움을 겪을 때, 학교에서 배운 표준적인 방법으로 할 수 없었기 때문이었다. 윤곽선 통합이었다면 발견했을 것이고, 단순한 직렬 확장이었다면 발견했을 것이다. 그리고 나서 나는 함께 와서 본질적인 표지판 아래 차별화를 시도했고, 종종 그것이 효과가 있었다. 그래서 나는 통합 작업을 하는 것으로 큰 평판을 얻었는데, 단지 나의 도구 상자가 다른 사람들의 것과 달랐고, 그들은 나에게 문제를 주기 전에 그들의 모든 도구를 사용해 보았기 때문이다.

참고 항목

• 체인 룰
• 통합의 차별화
• 라이프니즈 규칙(일반화된 제품 규칙)
• 레이놀즈 수송 정리, 라이프니즈 통치의 일반화

참조

추가 읽기

• Amazigo, John C.; Rubenfeld, Lester A. (1980). "Single Integrals: Leibnitz's Rule; Numerical Integration". Advanced Calculus and its Applications to the Engineering and Physical Sciences. New York: Wiley. pp. 155–165. ISBN 0-471-04934-4.
• Kaplan, Wilfred (1973). "Integrals Depending on a Parameter—Leibnitz's Rule". Advanced Calculus (2nd ed.). Reading: Addison-Wesley. pp. 285–288.

외부 링크

• Harron, Rob. "The Leibniz Rule" (PDF). MAT-203.