고전 전자성과 특수 상대성

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v t

특수상대성이론은 고전 전자석의 현대 이론에 중요한 역할을 한다. 그것은 특히 전기장과 자기장이 로렌츠 변환 하에서 하나의 관성 프레임에서 다른 관성 프레임으로 어떻게 변화되는지에 대한 공식을 제공한다. 그것은 전기와 자성의 관계를 밝혀내는데, 기준의 틀이 관찰이 정전기 법칙을 따르는지 자기 법칙을 따르는지 여부를 결정한다는 것을 보여준다. 그것은 전자석의 법칙, 즉 "매니페스트 공변량" 텐서 형태에 대해 작고 편리한 표기법을 동기로 한다.

맥스웰의 방정식은 1865년에 완전한 형태로 처음 발표되었을 때 특수상대성이성과 양립할 수 있는 것으로 판명되었다.^[1] 더욱이 서로 다른 두 관찰자의 서로 다른 물리적 현상으로 인해 동일한 효과가 관측된 명백한 우연은 특수상대성이론으로는 전혀 우연이 아닌 것으로 나타날 것이다. 실제로 아인슈타인의 1905년 1차 특수상대성이론 논문 '움직이는 신체의 전자역학에 대하여'의 절반은 맥스웰 방정식을 어떻게 변형시키는가를 설명하고 있다.

관성 프레임 사이의 필드 변환

E 및 B 필드

줄레스-베르누이 방정식이라고도 불리는 이 방정식은 두 개의 관성 프레임을 고려한다. 프라이밍된 프레임은 속도 v에서 프라이밍되지 않은 프레임에 상대적으로 이동한다. 프라이밍된 프레임에 정의된 필드는 프리타임으로 표시되며, 프라이밍되지 않은 프레임에 정의된 필드는 프리임이 부족하다. The field components parallel to the velocity v are denoted by ${\displaystyle \mathbf {E} _{\parallel }}$ and ${\displaystyle \mathbf {B} _{\parallel }}$ while the field components perpendicular to v are denoted as ${\displaystyle \mathbf {E} _{\perp }}$and ${\displaystyle \mathbf {B}$$_{\perp$ $\}\}.$ 상대 속도 v로 움직이는 이 두 프레임에서 E-필드와 B-필드는 다음과 같은 관계가 있다.^[2]

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{E_{\parallel}}'&, =\mathbf{E_{\parallel}}\\\mathbf{B_{\parallel}}'&, =\mathbf{B_{\parallel}}\\\mathbf}{E_{\bot}'&, =\gamma \left(\mathbf{E}_{\bot}+\mathbf{v}{B}\right \mathbf \times)\\\mathbf{B_{\bot}}'&, =\gamma \left(\mathbf{B}_{\bot}-{\frac{1}{c^{2}}}{v}\times \m \mathbf.athbf{E}\right)\end{정렬}}}$

어디에

${\displaystyle \set \\overset {\mathrm {def}{}}{}{}}{{}}}{\frac {1}{1-v^{2}/c^{2}}}}}}}$

로렌츠 인자(Lorenz factor)라고 불리며 c는 자유 공간에서 빛의 속도다. 위의 방정식은 SI에 있다. In CGS these equations can be derived by replacing ${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}}$ with ${\displaystyle {\frac {1}{c}}}$, and ${\displaystyle v\times B}$ with ${\displaystyle {\frac {1}{c}}v\times B}$ , except ${\displaystyle \gamma }$. Lorentz factor (${\displa$$ystyle \property$$}$ )은 두 시스템에서 동일하다. 역변형은 v → -v를 제외하면 동일하다.

동등한 대체 표현식은 다음과 같다.^[3]

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{E}'&, =\gamma \left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}\right)-\left({\gamma)}\right)(\mathbf{E}\cdot{\hat{v}}\mathbf)\mathbf{\hat{v}};=\gamma \left(\mathbf{B}-{\frac{\mathbf{v}\mathbf{E}}\times{c^{2}}}\right)-\left({\gamma)}\right)(\mathbf{B}\cdot \mathbf{B}'& \\\mathbf.{\hat{v} )\mathbf {\hat{v}} \end{arged}}$

여기서 $v{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$= ${\displaystyle v\frac{\mathbf{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{v\mathbf{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\Vert }{}}$ ${\$은$($는) 속도 단위 벡터다. With previous notations, one actually has ${\displaystyle (\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\mathbf {E} _{\parallel }}$ and ${\displaystyle (\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\mathbf {B} _{\parallel }}$.

구성 요소별 구성 요소, x축 $v{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{v}}$, ${\displaystyle 0}$, 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {v}$ = $(v,0,0)}}$을(를) 따라 상대 운동을 하는 경우$,$ 이는 다음과 같은 것으로 확인된다.

${\displaystyle {\reasoned}E'_{x}&=E_{x}&\qquad B'_{x}&=B_{x}\\E'_{y}&=\gamma \left(E_{y}-vB_{z}\right)&B'_{y}&=\gamma \left(B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}E_{z}\오른쪽)\\E'_{z}&=\gamma \left(E_{z}+vB_{y}\오른쪽)&B'_{z}&=\gamma \left(B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}:}E_{y}\오른쪽).\\end{aigned}}$

한 기준 프레임에서 필드 중 하나가 0인 경우, 다른 모든 기준 프레임에서 필드가 0인 것은 아니다. 이를테면 프라이밍되지 않은 전기장을 프라이밍된 전기장으로의 변환에서 0으로 만드는 것으로 볼 수 있다. 이 경우 자기장의 방향에 따라 프라이밍되지 않은 시스템에는 프라이밍되지 않은 시스템이 없음에도 불구하고 프라이밍된 시스템이 전기장을 볼 수 있었다.

이것은 두 프레임에서 완전히 다른 두 개의 이벤트 세트가 보인다는 것을 의미하는 것이 아니라, 동일한 일련의 이벤트가 두 가지 다른 방식으로 설명된다는 것을 의미한다(아래 자석 이동 및 도체 문제 참조).

전하 q의 입자가 프레임 S에 대해 속도 u로 움직이는 경우 프레임 S에서 로렌츠 힘은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {u} \time \mathbf {B}}}$

프레임 S'에서 로렌츠 힘은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {F'} =q\mathbf {E'} +q\mathbf {u'} \time \mathbf {B'}}}$

특정 사례 u = 0에 대한 로렌츠 힘의 변환에 대한 파생어가 여기에 제시되어 있다.^[4] 여기서 좀 더 일반적인 것을 볼 수 있다.^[5]

이 형태의 변환은 공변량 텐서인 전자기 텐서(아래 정의)를 도입하면 더욱 압축적으로 만들 수 있다.

D 및 H 필드

전기 변위 D 및 자기 강도 H의 경우 구성 관계를 사용하고 c²:

${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} \quad \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} \{2}={\frac {1}{0}}mathbf _{0}}}\mu}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$

주다

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{D}'&, =\gamma \left(\mathbf{D}+{\frac{1}{c^{2}}}\mathbf{v}\times \mathbf{H}\right)+(1-\gamma)(\mathbf{D}\cdot \mathbf{\hat{v}})\mathbf{\hat{v}};=\gamma \left(\mathbf{H}-\mathbf{v}\times \mathbf{D}\right)+(1-\gamma)(\mathbf{H}\cdot{\hat{v}\mathbf})\mathbf{\ha{H}'& \\\mathbf.t{v}})끝{정렬}}}$

E와 B의 경우와 유사하게 D와 H는 전자기 변위 텐셔너를 형성한다.

φ과 A 필드

전자파 영역의 보다 간단한 대안적인 변환은 전자파 전위(전위 potential 및 자기 전위 A:^[6]

$\displaystyle {\begin{aigned}\varphi '&=\gamma \left(\varphi -vA_{\parallel }\오른쪽)\\\A_{\parallel }'&=\gamma \left(A_{\parallel }-{\fract {v\varphi }{c^{2}}}\오른쪽)\\\A_{\bot }'&=A_{\bot }\end{arged}}}$

여기서 $∥{\$ A_${\parallel}}}$는 프레임 v 사이의 상대 속도 방향에 대한 A의 평행 성분이며$$, $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\perp \mathrm{}}_{}}$ ${\$은 수직 성분이다$$. 이것들은 다른 로렌츠 변환의 특징적 형태(시간 위치, 에너지-모멘텀 등)와 투명하게 닮아 있는 반면, 위의 E와 B의 변환은 조금 더 복잡하다. 구성 요소는 다음과 같이 함께 수집할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} '&=\mathbf {A} -{\frac {\gamma \varphi }{c^{2}}}\mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\varphi '&=\gamma \left(\varphi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} \right)\end{aligned}}}$

ρ과 J 필드

전하 밀도 ρ과 전류 밀도 J와 유사하게,^[6]

${\displaystyle {\reasoned}J_{\parallel }'&=\gamma \left(J_{\parallel }-v\rho \right)\\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {v}{c^{2}}J_{\parallel }\오른쪽)\\J_{\bot }'&=J_{\bot }\end{aigned}}}}$

구성 요소 함께 수집:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} '&=\mathbf {J} -\gamma \rho \mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

비상대적 근사치

속도 v c c의 경우, 상대론적 요인 1 ≈ 1로, 다음과 같이 산출된다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{E}'&, \approx \mathbf{E}+\mathbf{v}\times{B}\\\mathbf{B}'& \mathbf, \approx\mathbf{B}-{\frac{1}{c^{2}}}{E}\\\mathbf{J}'& \mathbf, \approx \mathbf{J}-\rho \mathbf{v}\\\rho '&, \approx \left(\rho-{\frac{1}{c^{2}}}\mathbf{J}\cdot\mathbf{v}\right)\end{정렬}{v}\times \mathbf.}}$

맥스웰 방정식의 공간 좌표와 시간 좌표를 구별할 필요가 없도록.

전기와 자성의 관계

움직이는 전하들 사이의 힘의 한 부분은 우리가 자력이라고 부른다. 그것은 정말로 전기적 효과의 한 측면이다.

— Richard Feynman^[7]

전기자극에서 자력 도출

선택된 기준 프레임은 전자기 현상을 전기학 또는 자성의 효과로 볼 것인지 아니면 둘의 조합으로 볼 것인지를 결정한다. 저자들은 보통 특수 상대성 및 전하 불변성을 고려할 때 전기 공학에서 자성을 얻는다. 파인만 물리학 강의(vol. 2, ch. 13-6)는 이 방법을 사용하여 전류 운반 전선 옆에 있는 이동 전하에 대한 "자기" 힘을 도출한다. Haskell^[8] 및 Landau도 참조하십시오.^[9]

필드가 서로 다른 프레임에 혼합되어 있음

위의 변환 규칙은 한 프레임의 전기장이 다른 프레임의 자기장에 기여한다는 것을 보여주며, 그 반대도 마찬가지다.^[10] 이것은 흔히 전기장과 자기장이 전자기장이라고 불리는 단일 물체의 두 가지 상호 관련 측면이라고 설명된다. 실제로 전체 전자기장은 전자기 텐서라고 하는 단일 순위 2 텐서로 나타낼 수 있다. 아래를 참조한다.

이동 자석 및 도체 문제

서로 다른 기준의 틀에서 전기와 자기 현상이 혼합된 유명한 예는 아인슈타인이 1905년 발표한 특수상대성 논문에서 인용한 "움직이는 자석과 도체 문제"라고 불린다.

도체가 고정 자석의 장을 통해 일정한 속도로 움직이면 도체의 전자에 자력이 가해지면서 와류 전류가 생성된다. 반면에 도체의 나머지 프레임에서는 자석이 움직이고 도체가 정지한다. 고전적인 전자기 이론은 정확하게 같은 미세한 와전류가 생성되겠지만, 그것들은 전기력에 기인할 것이라고 예측한다.^[11]

진공 상태의 공변량 제형

고전 전자석의 법칙과 수학적 사물은 명백한 공변량 형태로 쓰여질 수 있다. 여기서 이것은 진공(또는 미세한 맥스웰 방정식의 경우, 전기적 허용률과 같은 물질의 거시적 설명을 사용하지 않음)에 대해서만 수행되며, SI 단위를 사용한다.

이 절에서는 아인슈타인 요약 규약을 포함한 아인슈타인 표기법을 사용한다. 텐서 지수 표기 요약을 위한 Ricci 미적분학, 상위첨자 및 첨자 지수의 정의에 대한 지수 상승 및 하강, 그리고 이들 지수 간의 전환 방법에 대한 자세한 내용은 Ricci 미적분학을 참조하십시오. 여기에 있는 Minkowski 미터법 텐서(tensor)는 미터법 시그니처(+ - - - -)를 가지고 있다.

필드 텐서 및 4 전류

위의 상대론적 변환은 6개의 성분인 비대칭 2등급 텐서 또는 이벡터인 수학적 물체에서 전기장과 자기장이 서로 결합되어 있음을 시사한다. 이것을^μν 전자기장 텐서라고 하며, 보통 F로 표기한다. 행렬 형식:^[12]

${\displaystyle F^{\mu \nu}={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{x}/c&-E_{z}/c_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y\}\\\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{x}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}}}}}$

여기서 c 빛의 속도 - 자연 단위 c = 1

E/c → B → B → - E/c를 대체하여 전기장과 자기장을 대칭 텐서 안으로 병합하여 이중 텐서 G를^μν 얻는 또 다른 방법이 있다.

${\displaystyle G^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-B_{x}&-B_{z_{z}\\\B_{x}&E_{z}/c&E_{z}/c&-E_{y}/c\\\\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\\B_{z}&E_{y}/c&E_{x}/c&0\end{pmatrix}}}}}}}$

특수상대성이라는 맥락에서 이 두 가지 모두 로런츠 변환에 따라 다음과 같이 변한다.

${\displaystyle F^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\beta }^{}}$ =${\displaystyle {}^{}}$α ${\displaystyle {\mu }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{\mathrm{}}_{}^{}}$ α ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\mu }^{}}$ μ ${\displaystyle {\mu }^{}}$ $ν{\$ F$'^{\alpha \}=\lamba \{\nu }\lambda }\lamba }{\nu }^{}{\f^{\$mu \nu \nu \nu \nu \nu \nu \$nu$\nu \nu \nu \nu \nu \$nu$ $\backslash$n

여기서 λ은^α_ν 한 기준 프레임에서 다른 기준 프레임으로 변경하기 위한 로렌츠 변환 텐서이다. 같은 텐서(tensor)는 합계에서 두 번 사용된다.

전하의 출처인 전하와 전류 밀도도 또한 4벡터로 결합된다.

${\displaystyle J^{\alpha }=\왼쪽(c\rho ,J_{x},J_{y},J_{z}\오른쪽)}$

4전류라고 불린다.

텐서 형식의 맥스웰 방정식

이러한 텐셔너를 사용하여 맥스웰 방정식은 다음과 같이 감소한다.^[12]

부분파생상품이 다양한 방법으로 작성될 수 있는 경우에는 4-510을 참조한다. 위에 열거된 첫 번째 방정식은 가우스의 법칙(β = 0의 경우)과 암페어-맥스웰 법칙(β = 1, 2, 3)에 모두 해당한다. 두 번째 방정식은 자성에 대한 가우스의 법칙(β = 0)과 패러데이 법칙(β = 1, 2, 3) 두 개의 나머지 방정식에 해당한다.

이러한 텐서 방정식은 명백한 공변량이며, 이는 이 방정식이 지수 위치에 의해 공변량임을 알 수 있다는 것을 의미한다. 맥스웰 방정식을 쓰는 이 짧은 형태는 몇몇 물리학자들 사이에 공유된 생각, 즉 물리 법칙이 텐서를 사용하여 쓰여질 때 더 단순한 형태를 취한다는 것을 보여준다.

F에_αβ 대한 지수를 낮춰^αβ F:

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\eta _{\alpha \lambda }\eta _{\beta \f^{\lambda \mu }}}}}}}}}}"$

두 번째 방정식은 다음과_αβ 같이 F의 용어로 쓸 수 있다.

${\displaystyle \epsilon ^{\delta \alpha \beta \gamma }{\dfrac {\partial F_{\beta \gamma }}{\partial x^{\alpha }}}={\dfrac {\partial F_{\alpha \beta }}{\partial x^{\gamma }}}+{\dfrac {\partial F_{\gamma \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\dfrac {\partial F_{\beta \gamma }}{\partial x^{\alpha }}}=0}$

여기서 ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\displaystyle {\beta }^{}}$ ${\$\delta $}}}}$은 역행성 Levi-Civita 기호다. 이 방정식에서 지수의 주기적인 순열을 주목하십시오: α β {↙ { { { ${$ \\$displaystyle${\$begin{$array}{$rc}&\nscriptstyle {\ 알파 \,\\\\\\\\\beta \&\nwarrowarrow_{d$

또 다른 공변성 전자기 물체는 전자기 응력 에너지 텐서, 공변량 순위 2 텐서로서 포아닝 벡터, 맥스웰 응력 텐서, 전자기 에너지 밀도를 포함한다.

4시 15분

전자파 필드 텐서 또한 작성할^[13] 수 있다.

${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\beta }}-{\partial A^{\frac }{\partial x_{\beta }}}}$

어디에

${\displaystyle A^{\\alpha }=\왼쪽({\frac {\barphi }}}{c}},A_{x},A_{y},A_{z}\오른쪽)\...}$

4각형이고

${\displaystyle x_{\put }=(ct,-x,-y,-z)}$

네 자리야

로렌츠 게이지의 4-전위를 사용하여, 대체 공변량 공식은 단일 방정식에서 찾을 수 있다(리만-소머펠트 방정식으로 알려진 아놀드 소머펠트에 의한 베른하르트 리만으로 인한 방정식의 ^[14]일반화 또는 맥스웰^[15] 방정식의 공변량 형식).

여기서 $◻{\displaystyle }$ ${\displaystyle \Box}$은(는) 달렘베르트 연산자 또는 4-라플라시안 연산자다.

참고 항목

• 전자파장 산술
• 상대론적 전자석학
• 갈릴레이의 고전 전자기학 비파생성

각주