라모르 공식

Yagi-Uda 안테나안테나의 전자를 가속시킴으로써 안테나로부터 전파를 방사할 수 있다.이것은 일관성 있는 과정이기 때문에 방사되는 총 전력은 가속하는 전자 수의 제곱에 비례합니다.

전기역학에서 라모르 공식은 가속할 때 비상대론적 점 전하가 방사하는 총 전력을 계산하기 위해 사용됩니다.그것은 빛의 파동 이론의 맥락에서 1897년에 ^[1]J. J. 라모어에 의해 처음 도출되었다.

어떤 하전 입자(전자, 양성자 또는 이온)가 가속할 때 에너지는 전자파의 형태로 방사됩니다.빛의 속도에 비해 속도가 작은 입자의 경우(즉, 상대적이지 않음), 입자가 방사하는 총 전력(점전하로 간주할 때)은 라모르 공식으로 계산할 수 있다.

{{displaystyle P={2 \over3}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\lefts\frac {dot {v}{c}}={2 \over 3}{\frac {q^2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _0c}}}{c}}}}}}}}}}

P={2 \over 3){\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}{\text{(cgs 단위)}}

{\dot {v}}

서 v

(\displaystyle {v})

a

a

(\displaystyle

a

)

는

적절한

가속,

q(\

displaystyle

q)

q

는 전하,

(\displaystyle

c

)

는 빛의 속도입니다.상대론적 일반화는 Liénard에 의해 주어진다.비셰르트의 잠재력

어느 단위 시스템에서나 단일 전자가 방사하는 전력은 고전적인 전자 반지름 및 전자 질량의 관점에서 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

P=param frac {2}{3}}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}

한 가지 시사점은 Bohr 모델처럼 핵 주위를 도는 전자는 에너지를 잃고 핵으로 떨어지고 원자는 붕괴해야 한다는 것이다.이 수수께끼는 양자 이론이 도입될 때까지 풀리지 않았다.

파생

도출 1: 수학적 접근법(CGS 유닛 사용)

우리는 먼저 전기장과 자기장의 형태를 찾아야 한다.필드를 작성할 수 있습니다(더 자세한 파생 정보는 Liénard- 참조).Viechert 잠재력)

\mathbf {E} (\mathbf {r},t)=q\left\frac {mathbf {n} - {\boldsymbol {n} {\boldsymbol {\f}} {\cdot \mathbf {n} {\rt} {\rm} {\rm} {rm} \rm}^{3}R}}\right)_{\rm {ret}

그리고.

\displaystyle \mathbf {B} = \mathbf {n} \times \mathbf {E} ,}

{\boldsymbol {\beta }}

서

{\boldsymbol {\beta }}

β {\

displaystyle

{\

displaystyle}

은 전하

{\boldsymbol {\beta }}

속도를

c {\

displaystyle c

c

으

)

로

나눈

값이고

,

β {\

displaystyle

\mathbf

\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}

{

n}

은

{\dot {\boldsymbol {\beta }}}

\mathbf {n}

\mathbf {n}

\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}

-

\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}

{

n}

의

\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}

벡터입니다

.

bf {r} _{0}

방향

\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}

,

R

{{

displaystyle

R

}

은

R

\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}

r -

\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}

(

- \

mathbf {

r}

_{0

\gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}

0

(\

\gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}

\

mathbf {r}

_

\mathbf {r} _{0}

{

})

의

\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}

, r

\gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}

0(\

displaystyle

\

displaystyle

\mathbf {r

\gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}

은 전하 위치입니다

.

d(

t_{\text{r}}=t-R/c

t_{\text{r}}=t-R/c

r

t_{\text{r}}=t-R/c

-

t_{\text{r}}=t-R/c

/

t_{\text{r}}=t-R/c

{

displaystyle t_{\text{r

}} =

t-R/c

오른쪽은 하전 입자의 속도와 가속도와 관련된 전계의 합계입니다.속도 필드는 β $($ 에만 ${\boldsymbol {\beta }}$ 의존하는 반면, 가속도 필드는 ${\boldsymbol {\beta }}$ (표시 $스타일)$ 와 ${\boldsymbol {\beta }}$ β $($ 표시 스타일) ${\boldsymbol {\beta }}$ (표시 스타일( $표시$ 스타일)와 $β($ 표시 스타일 $(표시$ 스타일) 모두) 및 둘 ${\dot {\boldsymbol {\beta }}}$ 사이의 각도 관계에 의존합니다 $.$ 속도 필드는 $1/R^{2}$ 1/ $1/R^{2}$ 2 $(\$ 1/ $R^{2$ 에 비례하므로 거리에 따라 매우 빠르게 떨어집니다.반면 가속 필드는 $1/R$ 1/ $(\displaystyle$ 1/ $R$ 에 비례하므로 거리에 따라 훨씬 느리게 떨어집니다.이 때문에 가속도장은 방사선장을 대표하며 대부분의 에너지를 전하로부터 멀리 운반하는 역할을 합니다.

포인팅 벡터를 계산하여 방사선장의 에너지 플럭스 밀도를 구할 수 있습니다.

\mathbf {S} = flac {c} {4\pi }}\mathbf {E} _{\text{a}}\times \mathbf {B} _{\text{a}}}}

여기서 'a' 첨자는 가속 필드만 사용하고 있음을 강조합니다.

t_{\text{r}}

t_{\text{r}}

{\

displaystyle t_{\text{

r}}}에

t_{\text{r}}

순간적으로 정지된 입자를 가정하고 자기장과 전기장의 관계를 대입하여 단순화하면^{[note 1]} 다음과 같이 된다.

\mathbf {S} = frac {q^{2}} {4\pi c}} \ times (\mathbf {n} \ times \ dot \ boldsymbol \ times } {R} \ right ^ {2} \ mathbf {n

가속도와 관측 벡터 사이의 각도를 ${\(\displaystyle \theta$ 로 하고 $\mathbf {a} ={\dot {\boldsymbol {\beta }}}c$ a $\mathbf {a} ={\dot {\boldsymbol {\beta }}}c$ $\mathbf {a} ={\dot {\boldsymbol {\beta }}}c$ $\mathbf {a} ={\dot {\boldsymbol {\beta }}}c$ c { $displaystyle \mathbf {a}$ dot {\ $boldsymbol$ {\ $display }} c$ 로 하면 단위 고체 각도당 복사 전력은 다음과 같습니다.

{{displaystyle {d\Omega}}=sq frac {q^{2}{4\pi c}{\frac {sin ^{2}(\theta},a^{2}}{c^{2}}}}.}

방사된 총 전력은 이 양을 모든 솔리드 각도( $\theta$ , $"\displaystyle\theta"$ 및 $"\displaystyle\phi")$ 에 걸쳐 적산함으로써 구할 수 있습니다.이것으로 알 수 있다.

({displaystyle P=param frac {2}{3}}}{\frac {q^{2}a^{2}}}{c^{3}}})

상대적이지 않은 가속 전하의 라모어 결과입니다.그것은 입자가 방사하는 힘과 가속도를 관련짓는다.그것은 충전이 빨라질수록 방사선이 더 커진다는 것을 분명히 보여준다.방사선장은 가속도에 따라 달라지기 때문에 예상할 수 있습니다.

파생상품 2: 에드워드 M.퍼셀법

전체 파생은 여기에서 ^[2]찾을 수 있습니다.

위 페이지를 이해하는 데 도움이 되는 설명은 다음과 같습니다.

이 접근법은 유한한 빛의 속도에 기초하고 있다.등속도로 이동하는 전하의 반경 $E_{r}$ E $E_{r}$ r {\ $displaystyle E_{r}($ 충전으로부터의 $R$ R {\ $displaystyle$ $(E_{t}=0)$ R})은 항상 전하 미래 위치에서 발생하며 $(E_{t}=0)$ $(E_{t}=0)$ $=$ ( $E_$ {t}= $0$ 전계의 접선 구성요소는 없습니다.속도가 일정한 한 이 미래의 위치는 완전히 결정적이다.전하 속도가 변화하면(짧은 시간 동안 되돌아온다고 하면) 미래 위치가 "점프"하기 때문에 이 순간부터 방사형 $E_{r}$ Er $\$ r $E_{r}$ }가 새로운 위치에서 나타납니다.전계가 연속적이어야 하므로 $E_{t}$ $E_{t}$ t $E_{t}$ {\ $displaystyle E_{t}}$ 의 $E_{t}$ 접선 구성 요소가 0이 아니며, 이는 1/ $(\displaystyle$ 1/ $R})$ 만큼 $1/R$ 합니다( $1/R^{2}$ 1/ $1/R^{2}$ 2 $(\$ 1/ $R^{2}}).$

따라서 전하로부터의 거리가 멀면 방사상 구성요소는 접선 구성요소에 비해 무시할 수 있으며 $1/R^{2}$ 이와 더불어 1/ $1/R^{2}$ 2 $(\$ 1/ $R^{2})$ 와 $1/R^{2}$ 같이 동작하는 필드는 방사할 수 없습니다. 왜냐하면 그와 관련된 포인팅 벡터는 $1/R^{4}$ 1/ $1/R^{4}$ 4 $(\$ 1/ $R^{4$ 와 $1/R^{4}$ 동작하기 때문입니다.

접선 성분이 나옵니다(SI 단위).

{\displaystyle E_{t}=sin(\theta)} \over {4\pi \varepsilon _{0}c^{2}R}}.

그리고 Larmour 공식을 얻으려면 전하로부터 $원거리$ R(\ $displaystyle$ R $)$ 의 $R$ 모든 각도에 걸쳐 E $E_{t}$ (\ $displaystyle E_{t$ 와 관련된 포인팅 벡터를 통합해야 합니다. 즉, 다음과 같습니다.

\displaystyle \mathbf {S} = {E_{t}^{2} \mu _{0}c}\mathbf {r} =mathe^{2}a^{2}\sin ^{2} \over {16\pi ^{2}\varepsilon _0c} ^{3} ^2} } } 。

giving (SI 유닛)

({displaystyle P=pi\varepsilon_{0}c^{3}})}

이는 수학적으로 다음과 같습니다.

P=mu _{0}e^{2}a^{2}} \over {6\pi c}.

$c^{2}=1/\mu _{0}\varepsilon _{0}$ 2 $c^{2}=1/\mu _{0}\varepsilon _{0}$ / $c^{2}=1/\mu _{0}\varepsilon _{0}$ 0 $c^{2}=1/\mu _{0}\varepsilon _{0}$ 0 { { $displaystyle$ c^{2 $} = 1$ / \ $mu$ _ { $0$ } \ $varepsilon$ _ { $0$ } , , at at at at at at at at at at at the the since since since since since the the the the the since since {\ {\ {\ 0 the 0 display 0 display display 0 0 0 0 0 0displaydisplay

P={2 \over 3){\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}=blac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}.

상대론적 일반화

공변형

운동량 $p$ 로 쓴 비상대론적 라모르 공식은 (CGS 단위)^[3]

{{displaystyle P=param frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}{dot {mathbf {p}}} ^{2}.}

$검정력$ P는 로렌츠 ^[3]불변량임을 나타낼 수 있다.그러므로 라모르 공식의 상대론적 일반화는 P를 다른 로렌츠 불변량과 $관련$ 시켜야 한다.비상대론적 공식에 $|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}$ p $({$ {p $}}}$ ^{2}) = $dp$ / $d4$ 의^μ^μ 내부곱을 가져옴으로써 상대적으로 올바른 공식에 로런츠 스칼라가 포함되어야 함을 시사한다[ $여기$ 서^μ p $=$ ( $mc, δmv)$ 는 4차원이다].라모르 공식의 정확한 상대론적 일반화는 (CGS 단위)^[3]

$P=-{\frac {2}{m^{2}c^{3}}{\frac {dp_{\mu}}{d\frac}}{\frac {dp^{\mu}}{d\frac}}}}{\frac {dp^{\mu}}}}}.$

이 내부 산출물은 다음과 같이 제공된다는^[3] 것을 보여줄 수 있다.

{{displaystyle {dp_{\mu}}{d\frac}}{\frac {d\flac}}=\flac ^{2}\flac {dp}{dp}\flac {p}}}{\right}{2}-\flac {dp}}}{\frac {dp}}}}{\f}}}}}{\fright}}}}}}}{\fright}}}}}}}}}}{\frac {\flight}}}}}}

$따라서$ 한계 β $1$ 1에서는 $-|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}$ 2 $displaystyle -$ {\ $dot {mathbf {p}}}$ ^{ $2$ 로 감소하여 상대적이지 않은 경우를 재현한다.

비공변형

위의 내부 곱은 또한 β 및 그 시간 도함수의 $관점$ 에서 기록될 수 있다.그러면 라모르 공식의 상대론적 일반화는 (CGS 단위)^[3]

$({displaystyle P=boldfrac {2q^{2}\flac ^{6c}}{3c}}\left[(\dot {\boldsymbol {\flash}}})^2}-({\boldsymbol {\flash}}}})\times {{2}\right}).}$

이것은 1898년에 처음 입수한 리에나르 결과입니다.§ $\gamma ^{6}$ ({ $displaystyle$ \ $displaystyle$ $^{6$ })은 $\gamma ^{6}$ 로렌츠 인자 $θ$ $\beta \ll 1$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ 1/ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ - $\beta \ll 1$ 2 $({$ 1 $/{\displayrt$ ${1-$ $\displaystyle ^{2$ 가 ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ 1에 매우 가까울 때 입자가 방출하는 방사선은 무시할 수 있음을 의미한다.단, $\beta \rightarrow 1$ $\beta \rightarrow 1$ 1 $(표시방식 오른쪽$ 화살표 1 $)$ 에 $\beta \rightarrow 1$ $\beta \rightarrow 1$ 입자가 전자파 형태로 에너지를 상실하려고 할 때 방사선이 $(표시방식$ 처럼 증가한다.또한 가속도 및 속도가 직교할 경우 출력은 1 $1-\beta ^{2}=1/\gamma ^{2}$ - $1-\beta ^{2}=1/\gamma ^{2}$ 2 $1-\beta ^{2}=1/\gamma ^{2}$ / $1-\beta ^{2}=1/\gamma ^{2}$ 2 (\ $displaystyle ^{2} = 1$ / \ $display$ ^{2} $1-\beta ^{2}=1/\gamma ^{2}$ 의 계수만큼 감소한다. 즉, $\gamma ^{6}$ 6 (\ $displaystyle$ \ $display ^{6$ 은 $\gamma ^{6}$ $\gamma ^{4}$ 된다.움직임이 빨라질수록 이 감소폭은 커집니다.

Liénard의 결과를 사용하여 다양한 움직임에서 예상되는 방사선 손실을 예측할 수 있습니다.

각도 분포

복사 전력의 각도 분포는 입자가 상대론적이든 아니든 적용 가능한 일반 공식에 의해 주어진다.CGS 유닛에서는 이 공식은^[4] 다음과 같습니다.

({displaystyle {dP} {d\Omega}} = frac {q^{2}} {4\pi c}} {\frac {\mathbf {n}} \times [(\mathbf {hat {n} - {\boldsymbol {n}}} ^2-{f}) {\times

\mathbf {\hat {n}}

서 n

^

{\

displaystyle \mathbf {n}}

은

\mathbf {\hat {n}}

입자에서 관찰자를 가리키는 단위 벡터입니다.선형 운동(가속도와 평행한 속도)의 경우 다음과 같이 단순화됩니다^[5].

{{displaystyle\frac {d\Omega}}=frac {q^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}{{(1-\frac \cos \theta}^{5}}}}

여기서

\theta

(\

displaystyle \theta)

는

\theta

관찰자와 입자의 움직임 사이의 각도입니다.

문제와 시사점

방사선 반응

하전 입자의 방사선은 에너지와 운동량을 운반한다.에너지와 운동량 보존을 만족시키기 위해 대전 입자는 방출 시 반동을 겪어야 합니다.방사선은 하전 입자에 추가적인 힘을 가해야 합니다.이 힘은 비상대론적 한계에서는 아브라함-로렌츠 힘, 상대론적 환경에서는 아브라함-로렌츠-디락 힘이라고 알려져 있다.

원자 물리학

핵 주위를 도는 Bohr 모델의 고전적인 전자는 가속을 경험하고 방사해야 합니다.결과적으로, 전자는 에너지를 잃고 전자는 결국 핵으로 소용돌이치게 된다.고전역학에 따르면 원자는 결과적으로 불안정하다.이러한 고전적인 예측은 안정적인 전자 궤도의 관측에 의해 위반된다.이 문제는 처음에 Bohr 모델에 의해 제공된 원자물리학의 양자역학적 설명으로 해결된다.전자 궤도의 안정성에 대한 고전적인 해법은 알려진 물리적 법칙에 ^{[citation needed]}따라 비방사선 조건을 사용하여 입증될 수 있다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 예를 들어 $\beta \left(t_{\text{r}}\right)\neq 0$ ( t $\beta \left(t_{\text{r}}\right)\neq 0$ $\beta \left(t_{\text{r}}\right)\neq 0$ 0 $\beta \left(t_{\text{r}}\right)\neq 0$ \ $displaystyle \beta \left$ ( $t_{\text{r}}\neq$ 0 $}$ 인 $\beta \left(t_{\text{r}}\right)\neq 0$ $\beta \left(t_{\text{r}}\right)\neq 0$ 는 더 복잡하며 그리피스의 '전기역학 입문'에서 다루어진다.

레퍼런스

^ Larmor J (1897). "LXIII.On the theory of the magnetic influence on spectra; and on the radiation from moving ions". Philosophical Magazine. 5. 44 (271): 503–512. doi:10.1080/14786449708621095. 공식은 마지막 페이지의 텍스트에 나와 있습니다.
^ Purcell 심플화
^ ^a ^b ^c ^d ^e Jackson, J.D., Classical Electrodynamics (3rd ed.), pp. 665–8
^ 잭슨 eq(14.38)
^ 잭슨 eq(14.39)

J. Larmor, "전기 및 광명 매체의 동적 이론에 대하여", 왕립학회 철학적 거래 190, (1897년) 페이지 205-300 (같은 이름의 일련의 논문 중 세 번째이자 마지막)
Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X. (제14.2ff절)
Misner, Charles; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
R. P. Feynman; F. B. Moringo; W. G. Wagner (1995). Feynman Lectures on Gravitation. Addison-Wesley. ISBN 0-201-62734-5.

[2] 예를 들어 $\beta \left(t_{\text{r}}\right)\neq 0$ ( t $\beta \left(t_{\text{r}}\right)\neq 0$ $\beta \left(t_{\text{r}}\right)\neq 0$ 0 $\beta \left(t_{\text{r}}\right)\neq 0$ \ $displaystyle \beta \left$ ( $t_{\text{r}}\neq$ 0 $}$ 인 $\beta \left(t_{\text{r}}\right)\neq 0$ $\beta \left(t_{\text{r}}\right)\neq 0$ 는 더 복잡하며 그리피스의 '전기역학 입문'에서 다루어진다.

[1] Larmor J (1897). "LXIII.On the theory of the magnetic influence on spectra; and on the radiation from moving ions". Philosophical Magazine. 5. 44 (271): 503–512. doi:10.1080/14786449708621095. 공식은 마지막 페이지의 텍스트에 나와 있습니다.

[3] Purcell 심플화

[jackson665-4] Jackson, J.D., Classical Electrodynamics (3rd ed.), pp. 665–8

[5] 잭슨 eq(14.38)

[6] 잭슨 eq(14.39)

[1]

[note 1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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목차

파생

도출 1: 수학적 접근법(CGS 유닛 사용)

파생상품 2: 에드워드 M.퍼셀법

상대론적 일반화

공변형

비공변형

각도 분포

문제와 시사점

방사선 반응

원자 물리학

「」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

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파생

도출 1: 수학적 접근법(CGS 유닛 사용)

파생상품 2: 에드워드 M.퍼셀법

상대론적 일반화

공변형

비공변형

각도 분포

문제와 시사점

방사선 반응

원자 물리학

「 」를 참조해 주세요.

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