초기 조건

진동 문자열의 초기 상태

초기 상태로부터의 진화

수학에서, 특히 동적 시스템에서, 초기 조건은 시드 ^[1]^{: pp. 160}값이라고 불리며, 초기 시간으로 지정된 특정 시점에 진화하는 변수의 값이다(일반적으로 t = 0으로 표시됨).차수 k(이산 시간에서의 시간 지연 수 또는 연속 시간에서의 최대 도함수)와 차원 n(즉, n개의 서로 다른 진화하는 변수를 포함, 함께 n차원 좌표 벡터로 나타낼 수 있음)의 시스템에 대해 일반적으로 nk 초기 조건은 전쟁을 위한 시스템의 변수를 추적하기 위해 필요하다.d부터 시간까지

연속시간 미분방정식 및 이산시간 차분방정식에서 초기조건은 미래의 동적변수(상태변수) 값에 영향을 미칩니다.연속된 시간에, 시간 및 초기 조건의 함수로서 상태 변수에 대한 닫힌 형태의 해법을 찾는 문제를 초기값 문제라고 한다.개별적인 시간 상황에 대응하는 문제가 존재합니다.닫힌 형태의 해법을 항상 얻을 수 있는 것은 아니지만, 반올림 오차는 긴 지평선에서 이것을 실용적이지 않게 만들 수 있지만, 이산형 시간 시스템의 미래 값은 반복당 한 시간 주기를 앞으로 반복함으로써 찾을 수 있다.

선형 시스템

이산 시간

균질(항이 일정하지 않음) $X_{t+1}=AX_{t}$ 의 선형 행렬 $X_{t+1}=AX_{t}$ 방정식 $X_{t+1}=AX_{t}$ t + $X_{t+1}=AX_{t}$ 1 $X_{t+1}=AX_{t}$ $X_{t+1}=AX_{t}$ X $X_{t+1}=AX_{t}$ \ $X_{t+1}=AX_{t}$ $display$ $style$ $X_{t}=A^{t}X_{0}$ ${t+$ 1} = $AX_{t$ $=$ A t $X_{t}=A^{t}X_{0}$ t $X_{t}=A^{t}X_{0}$ 0 \ $X_{t}=A^{t}X_{0}$ $style$ X_ ${t$ } $X_{t}=A^{t}X_{0}$ $A^{t}X_{0}$ 는 $X_{t}=A^{t}X_{0}$ 벡터에 쌓인 개별 변수의 초기 조건의 $X_{0}$ X $X_{0}$ ({ $displaystyle X_{0$ })을 $X_{0}$ 전제로 하며, X $X_{0}$ ({ $displaystyle$ X_ ${0$ })은 $X_{0}$ 초기 조건의 벡터 또는 단순히 초기 조건의 벡터라고 하며, nk개의 정보를 포함하고 있다.X 및 k = 1은 시스템의 시간 지연 수입니다.이 선형 시스템의 초기 조건은 상태 변수 X의 미래 동작의 질적 특성에 영향을 미치지 않습니다. 이러한 동작은 행렬 A의 고유값을 기반으로 하지만 초기 조건에 기반하지 않습니다.

또는 여러 시간 지연을 갖는 단일 변수 x의 동적 프로세스는 다음과 같습니다.

x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{t-k}.

여기서 치수는 n = 1이고 순서는 k이므로 시간 경과에 따라 시스템을 추적하는 데 필요한 초기 조건의 수는 반복적이든 폐쇄형식 솔루션을 통해든 nk = k이다. 초기 조건은 변수의 장기적 진화의 질적 특성에 영향을 미치지 않는다.이 방정식의 해는 특성 방정식 $\lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0$ k - $\lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0$ 1 $\lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0$ k - $\lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0$ - $\lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0$ $\lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0$ $\lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0$ k - $\lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0$ k k - $\lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0$ k $\lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0$ k - $\lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0$ - $\lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0$ $\lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0$ $\lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0$ { $display$ style \ $display$ da ^ { k ^ { k $}$ - $a _$ { $1$ } \ $scda$ ^ { k - $cdots }$ - $cdots$ - $cdots$ - cd = 0 을 사용하여 구한다. $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k},$ , $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k},$ $,$ \ $displaystyle \displayda$ _ ${1},\displayda$ _ ${k},$ 솔루션 $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k},$ 방정식에 사용

x_{t}=c_{1}\displayda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\displayda _{k}^{t}.

여기서 $c_{1},\dots ,c_{k}$ $c_{1},\dots ,c_{k}$ 1, $c_{1},\dots ,c_{k}$ k {\ $displaystyle c_{1$ },\ $dots,c_{$ k $c_{1},\dots ,c_{k}$ }는 이 방정식에 기초하여 각각 특정 초기 $x_{t}$ $x_{t}$ t $x_{t}$ {\ $displaystyle x_{t}}$ 가 $x_{t}$ 알려진 k개의 다른 값 중 하나를 사용하여 k개의 방정식의 시스템을 푸는 것으로 구할 수 있습니다.

연속 시간

벡터 X에 n개의 변수가 쌓인 1차 미분 방정식 시스템은 다음과 같다.

(\displaystyle\frac{dX}{dt}=AX).}

초기 조건 $X_{0}$ $X_{0}$ 0({displaystyle $X_{0$ 을 조건으로 한 폐쇄형 솔루션을 사용하여 시간 경과에 따른 동작을 추적할 수 있습니다.필요한 초기 정보의 개수는 시스템의 치수 n에 시스템의 순서 k = 1을 곱한 값 또는 n이다.초기 조건은 시스템의 정성적 동작(안정적 또는 불안정)에는 영향을 주지 않습니다.

단일 변수 x의 단일^th k차 선형 방정식은 다음과 같다.

{d^{k}{dt^{k}}+a_{k-1}{dt^{k-1}x}+\cdots +a_{1}{\frac {dt}}+a_{0}=0.

여기서 폐형용액을 얻기 위해 필요한 초기조건의 수는 n = k의 1배, 즉 단순히 k이다.이 경우, k개의 초기 정보는 일반적으로 다른 시점에서 변수 x의 다른 값이 아니라, 시간 0과 같은 특정 시점에서 x와 첫 번째 k – 1의 도함수 값이 됩니다.초기 조건은 시스템 동작의 질적 특성에 영향을 주지 않습니다.이 동적 방정식의 특성 방정식은 $\lambda ^{k}+a_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,$ k + $\lambda ^{k}+a_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,$ k - $\lambda ^{k}+a_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,$ $\lambda ^{k}+a_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,$ k - $\lambda ^{k}+a_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,$ + $\lambda ^{k}+a_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,$ + $\lambda ^{k}+a_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,$ $\lambda ^{k}+a_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,$ $\lambda ^{k}+a_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,$ + $\lambda ^{k}+a_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,$ $0 =$ , \ $displaystyle$ \ $displayda ^$ { $k$ - 1 $}$ + \ $cdots$ + a $_$ { k - 1 } + $cdots$ + $a _$ { 0 $}$ 이며 $\lambda ^{k}+a_{{k-1}}\lambda ^{{k-1}}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,$ , 이 값은 $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k};$ 과 같습니다 $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k};$ 솔루션 방정식에 사용됨

x(t)=c_{1}e^{\displayda _{1}t}+\cdots +c_{k}e^{\displayda _{k}t}}.

이 방정식과 그 첫 번째 k – 1 도함수는 x 및 그 k – 1 도함수 값에 대한 알려진 초기 조건을 고려할 때 k $c_{1},\dots ,c_{k},$ c $c_{1},\dots ,c_{k},$ , $c_{1},\dots ,c_{k},$ …, $c_{1},\dots ,c_{k},$ k $,$ { $1},$ \ $dots, c_{$ k $c_{1},\dots ,c_{k},$ }에 대해 풀 수 있는 k 방정식의 체계를 형성합니다.

비선형 시스템

다른 초기 조건

PDE의 예에 대한 이 초기 조건의 진화

비선형 시스템은 선형 시스템보다 훨씬 다양한 동작을 나타낼 수 있습니다.특히 초기 조건은 시스템이 무한대로 분산되는지 또는 시스템의 하나 또는 다른 어트랙터로 수렴되는지 여부에 영향을 미칠 수 있습니다.일부 동적 경로가 접근하지만 절대 떠나지 않는 (연결되지 않을 수 있는) 가치 영역인 각 유인기는 해당 유역에 초기 조건을 가진 상태 변수가 해당 유인기를 향해 진화하도록 (연결되지 않을 수 있는) 유인 분지를 가지고 있다.가까운 초기 조건도 서로 다른 유인체의 유인 분지에 있을 수 있다(예: 뉴턴의 방법 #인력의 분지 참조).

더욱이, 혼돈한 행동을 보이는 비선형 시스템에서 변수의 진화는 초기 조건에 민감한 의존성을 보인다. 즉, 동일한 유인기에 있는 매우 가까운 두 지점의 반복 값은 각각 유인기에 남아 있는 동안 서로 분리된다.따라서 단일 유인기에서조차 초기 조건의 정확한 값은 반복의 미래 위치에 상당한 차이를 만든다.초기 조건을 정확하게 기술하는 것은 거의 불가능하고 정확한 초기 조건부터 몇 번 반복한 후에도 반올림 오류가 불가피하기 때문에 이 기능은 미래 값의 정확한 시뮬레이션을 어렵게 만들고 긴 수평선에서는 불가능하게 됩니다.

경험적 법칙과 초기 조건

모든 경험적 법칙은 그 한계를 모르는 불안한 성질을 가지고 있다.우리는 우리 주변의 사건에는 수학적 개념으로 표현될 수 있는 기묘한 정확성을 가진 규칙성이 있다는 것을 보아왔다.한편, 세계에는, 우리가 어떠한 정확한 규칙성의 존재를 믿지 않는 측면이 있다.이러한 상태를 초기 ^[2]상태라고 합니다.

「」를 참조해 주세요.

경계조건
초기화 벡터(암호화)

레퍼런스

^ Baumol, William J. (1970). Economic Dynamics: An Introduction (3rd ed.). London: Collier-Macmillan. ISBN 0-02-306660-1.
^ Wigner, Eugene P. (1960). "The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences. Richard Courant lecture in mathematical sciences delivered at New York University, May 11, 1959". Communications on Pure and Applied Mathematics. 13: 1–14. Bibcode:1960CPAM...13....1W. doi:10.1002/cpa.3160130102. Archived from the original (PDF) on February 12, 2020.

외부 링크

Wiki 인용문의 초기 조건 관련 인용문

[1] Baumol, William J. (1970). Economic Dynamics: An Introduction (3rd ed.). London: Collier-Macmillan. ISBN 0-02-306660-1.

[2] Wigner, Eugene P. (1960). "The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences. Richard Courant lecture in mathematical sciences delivered at New York University, May 11, 1959". Communications on Pure and Applied Mathematics. 13: 1–14. Bibcode:1960CPAM...13....1W. doi:10.1002/cpa.3160130102. Archived from the original (PDF) on February 12, 2020.

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