열역학적 수량의 부분파생물을 포함하는 방정식
맥스웰 관계 사이의 경로를 보여 주는 흐름도. P {\displaystyle P} is pressure, T {\displaystyle T} temperature, V {\displaystyle V} volume, S {\displaystyle S} entropy, α {\displaystyle \alpha } coefficient of thermal expansion , κ {\displaystyle \kappa } compressibility , C V {\displaystyle C_{V}} heat capacity at constant volume, C P {\ displaystyle C_{P} 일정 압력에서의 열 용량 . 맥스웰의 관계 는 두 번째 파생상품의 대칭성 과 열역학적 전위 의 정의에서 파생되는 열역학 방정식의 집합이다. 이 관계들은 19세기 물리학자 제임스 서기 맥스웰 의 이름을 따서 명명되었다.
방정식 맥스웰 관계의 구조는 연속적인 기능에 대한 두 번째 파생상품들 사이의 평등을 나타내는 것이다. 두 변수의 분석함수 의 분화 순서가 무관하다는 사실(슈바르츠 정리 )에서 바로 따르게 된다. 맥스웰 관계의 경우 고려된 함수는 열역학적 잠재력이고 x i {\ displaystyle x_{i} 와 x j {\ displaystyle x_{j} 는 그 잠재력에 대한 서로 다른 두 개 의 자연 변수 다 .
슈바르츠의 정리(일반) ∂ ∂ x j ( ∂ Φ ∂ x i ) = ∂ ∂ x i ( ∂ Φ ∂ x j ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}\right)}
모든 자연 변수를 일정하게 유지한 상태에서 부분파생상품 을 취한다. 모든 열역학적 잠재력 에 대해 n ( n - 1 ) 2 {\ displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}: 가능한 맥스웰 관계가 있으며, 여기 서 n {\displaystyle n} 은 잠재력에 대한 자연 변수의 수입니다. 엔트로피의 실질적인 증가는 열역학 법칙에 의해 충족되는 관계에 따라 검증될 것이다.
맥스웰의 4대 공통 관계 가장 일반적인 네 가지 맥스웰 관계는 열적 자연 변수(온도 T {\displaystyle T } 또는 엔트로피 S {\displaystyle S }) 와 기계적 자연 변수(압력 P {\displaystyle P} 또는 체적 )와 관련하여 네 가지 열역학적 전위의 두 번째 파생상품의 동일성이다. V {\displaystyle V}:
맥스웰의 관계 (공통) + ( ∂ T ∂ V ) S = − ( ∂ P ∂ S ) V = ∂ 2 U ∂ S ∂ V + ( ∂ T ∂ P ) S = + ( ∂ V ∂ S ) P = ∂ 2 H ∂ S ∂ P + ( ∂ S ∂ V ) T = + ( ∂ P ∂ T ) V = − ∂ 2 F ∂ T ∂ V − ( ∂ S ∂ P ) T = + ( ∂ V ∂ T ) P = ∂ 2 G ∂ T ∂ P {\displaystyle {\begin}+\왼쪽({\frac {\partial T}{\partial V}\오른쪽)_{{ S}&=&-\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial S}\오른쪽)_ {V}&=&#{\frac {\partial ^{2} U}{\partial S\partial V}\\\+\좌측({\frac {\partial T}{\p}\partial P}\오른쪽)_{{ S}&=&+\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial S}\오른쪽)_{ P}&=&{\frac {\partial ^{2} H}{\partial S\p}\partial P}\\+\왼쪽({\frac {\partial S}{\partial V}\right)_{{partial V}{partial V}\partial v}}{partial s}{partial s}}} T}&=&+\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial T}\오른쪽)_ {V}&=&-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial T\partial V}\\\-\left({\partial S}{\p}\partial P}\right)_{{\partial P}}{partial P}}}}{partial P}}}}}}{{{}}}}}}}}}}}}}}{{{{{ T}&=&+\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial T}\오른쪽)_{ P}&=&#{\frac {\partial ^{2}G}{\partial T\p}\p}\partial P}\ended}\,\!}
where the potentials as functions of their natural thermal and mechanical variables are the internal energy U ( S , V ) {\displaystyle U(S,V)} , enthalpy H ( S , P ) {\displaystyle H(S,P)} , Helmholtz free energy F ( T , V ) {\displaystyle F(T,V)} , and Gibbs free energy G ( T , P ) {\displaystyle G(T,P)} . The thermodyn 아믹 스퀘어 는 이러한 관계를 회상하고 도출하기 위한 니모닉 으로 사용될 수 있다. 이러한 관계의 유용성은 직접 측정할 수 없는 엔트로피 변화를 온도, 부피, 압력 등의 측정 가능한 양 측면에서 수량화하는 데 있다.
각 방정식은 관계를 사용하여 다시 표현할 수 있다.
( ∂ y ∂ x ) z = 1 / ( ∂ x ∂ y ) z {\displaystyle \left \frac {\put y}{\put x}}\오른쪽)_{z}=1\put/\precent\frac {\precent x}{\put y}\put y}\pright)_{z}\pright. } 맥스웰 관계라고도 알려져 있다.
파생 맥스웰 관계는 단순한 부분 분화 규칙, 특히 함수의 전체 차이 와 두 번째 순서 부분파생상품 평가의 대칭성에 기초한다.
쇼데리브레이션 맥스웰 관계의 도출은 열역학적 전위 의 차동 형태에서 추론할 수 있다. 내부 에너지 U의 차등 형태는
d U = T d S − P d V {\displaystyle {\begin}dU&=TdS-PdV\\\ended}\\,\!} 이 방정식은 형태의 총미분율 과 유사하다.
d z = ( ∂ z ∂ x ) y d x + ( ∂ z ∂ y ) x d y {\displaystyle dz=\left \frac {\put z}{\reft x}\right)_{y}\dx+\frac {\put z}{\put y}\right)_{x}\!dy} 어떤 형태의 방정식에도 불구하고
d z = M d x + N d y {\displaystyle dz=Mdx+Ndy\,} 저것
M = ( ∂ z ∂ x ) y , N = ( ∂ z ∂ y ) x {\displaystyle M=\왼쪽({\frac {\partial z}{\partial x}\오른쪽)_{y},\quad N=\partial z}{\partial y}\오른쪽)_{x}}}} d U = T d S - P d V {\ displaystyle dU=TdS-PdV\,} 라는 방정식을 생각해 보십시오. 이제 우리는 바로 다음과 같은 것을 알 수 있다.
T = ( ∂ U ∂ S ) V , − P = ( ∂ U ∂ V ) S {\displaystyle T=\왼쪽({\frac {\partial U}{\partial S}\오른쪽)_ {V},\quad -P=\left({\frac {\partial U}{\partial V}\오른쪽)_{ S} 또한 연속적인 2차 파생상품이 있는 기능의 경우 혼합된 부분파생상품은 동일하다는 것을 알고 있으므로(제2파생상품의 비대칭 ) 즉,
∂ ∂ y ( ∂ z ∂ x ) y = ∂ ∂ x ( ∂ z ∂ y ) x = ∂ 2 z ∂ y ∂ x = ∂ 2 z ∂ x ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}} 그러므로 우리는 알 수 있다
∂ ∂ V ( ∂ U ∂ S ) V = ∂ ∂ S ( ∂ U ∂ V ) S {\displaystyle {\frac {\partial V}\왼쪽({\frac {\partial U}{\partial S}\오른쪽)_ {V}={\frac {\partial }{\partial S}\왼쪽({\frac {\partial U}{\partial V}\right)_{\partial V}}{partial }{\partial u}}{\partial V}\right)_{{{ S} 따라서
( ∂ T ∂ V ) S = − ( ∂ P ∂ S ) V {\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}\오른쪽)_{ S}=-\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial S}\오른쪽)_ {V} 헬름홀츠 자유에너지에서의 맥스웰 관계 도출
헬름홀츠 자유 에너지의 차동 형태는 d F = − S d T − P d V {\displaystyle {\begin}dF&=-SdT-PdV\\\ended}\,\!} − S = ( ∂ F ∂ T ) V , − P = ( ∂ F ∂ V ) T {\displaystyle -S=\왼쪽({\frac {\partial F}{\partial T}\오른쪽)_ {V},\quad -P=\왼쪽({\frac {\partial F}{\partial V}\오른쪽)_{{ T} 두 번째 파생 모델의 대칭으로부터
∂ ∂ V ( ∂ F ∂ T ) V = ∂ ∂ T ( ∂ F ∂ V ) T {\displaystyle {\frac {\partial V}\왼쪽({\frac {\partial F}{\partial T}\오른쪽)_ {V}={\frac {\partial }{\partial T}\left({\partial F}{\partial V}\right)_{\partial V}}{\partial V}}{\partial V}\right)_{\partial T} 따라서
( ∂ S ∂ V ) T = ( ∂ P ∂ T ) V {\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial V}\오른쪽)_ {T}=\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial T}\오른쪽)_ {V} 다른 두개는 맥스웰 관계식 엔탈피 dH)T진동계 측 S+V진동계 측 P{\displaystyle{\begin{정렬}d의 미분 형식에서 파생될 수 있다.H&, =TdS+VdP\\\end{정렬}}\,\!}과 기브스 자유 에너지 dG=V의 미분 형식 진동계 측 P− SdT{\displaystyle{\begin{정렬}dG&, 시에 =VdP-SdT\\\end{정렬}}\,\!}. 밀레니깐 그래서 위의 모든 맥스웰 관계는 깁스 방정식 중 하나를 따른다.
표시확장 파생 열역학 제1법칙과 제2법칙이 결합된 형태, T d S = d U + P d V {\displaystyle TdS=dU+PdV}( Eq.1) U, S, V는 국가 기능이다. Let,
U = U ( x , y ) {\displaystyle U=U(x,y)} S = S ( x , y ) (\displaystyle S=S(x,y)} V = V ( x , y ) (\displaystyle V=V(x,y)} d U = ( ∂ U ∂ x ) y d x + ( ∂ U ∂ y ) x d y {\displaystyle dU=\왼쪽({\frac {\partial u}{\partial x}\오른쪽)_{y}\\dx+\put({\partial u}{\partial y}\오른쪽)_{x}\dy} d S = ( ∂ S ∂ x ) y d x + ( ∂ S ∂ y ) x d y {\displaystyle dS=\왼쪽({\frac {\partial s}{\partial x}\\오른쪽)_{y}\!dx+\put({\partial S}{\partial y}\오른쪽)_{x}\dy} d V = ( ∂ V ∂ x ) y d x + ( ∂ V ∂ y ) x d y {\displaystyle dV=\왼쪽({\frac {\partial v}{\partial x}\\오른쪽)_{y}\!dx+\put({\partial V}{\partial y}\오른쪽)_{x}\dy} Eq.1에서 그들을 대체하면, 한 명은,
T ( ∂ S ∂ x ) y d x + T ( ∂ S ∂ y ) x d y = ( ∂ U ∂ x ) y d x + ( ∂ U ∂ y ) x d y + P ( ∂ V ∂ x ) y d x + P ( ∂ V ∂ y ) x d y {\displaystyle T\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)_{y}\!dx+T\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)_{x}\!dy=\left({\frac {\partial U}{\partial x}}\right)_{y}\!dx+\left({\frac {\partial U}{\partial y}}\right)_{x}\!dy+P\left({\frac {\partial V}{\partial x}}\right)_{y}\!dx+P\left({\frac {\partial V}{\partial y}}\right)_{x}\!dy} 그리고 또한 다음과 같이 쓰여졌다.
( ∂ U ∂ x ) y d x + ( ∂ U ∂ y ) x d y = T ( ∂ S ∂ x ) y d x + T ( ∂ S ∂ y ) x d y − P ( ∂ V ∂ x ) y d x − P ( ∂ V ∂ y ) x d y {\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial x}\\right)_{\partial u}\{\partial y}\dy} =T\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)_{y}\!dx+T\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)_{x}\!dy-P\left({\frac {\partial V}{\partial x}}\right)_{y}\!dx-P\left({\frac {\partial V}{\partial y}}\right)_{x}\!dy} dx와 dy의 계수를 비교하면 dx와 dy를 얻을 수 있다.
( ∂ U ∂ x ) y = T ( ∂ S ∂ x ) y − P ( ∂ V ∂ x ) y {\displaystyle \left({\frac {\partial x}}\오른쪽)_{y}=T\left({\partial s}{\partial x}\rift)_{\partial V}{\partial x}\right)_{\i}}}}}}}}}}{y} ( ∂ U ∂ y ) x = T ( ∂ S ∂ y ) x − P ( ∂ V ∂ y ) x {\displaystyle \left({\frac {\partial y}}{\partial y}\오른쪽)_{x}=T\left({\partial Y}{\partial y}\right)_{\partial V}{\partial y}}}{\partial y}}_{x}}}}}}{x}}}}}}}}}}{x}{x}}}}}}}}}}{x}}}}}}}}}}}}}}}}}} 위 방정식을 각각 y, x로 구분
( ∂ 2 U ∂ y ∂ x ) = ( ∂ T ∂ y ) x ( ∂ S ∂ x ) y + T ( ∂ 2 S ∂ y ∂ x ) − ( ∂ P ∂ y ) x ( ∂ V ∂ x ) y − P ( ∂ 2 V ∂ y ∂ x ) {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2} U}{\partial y\partial x}}\right)=\left({\frac {\partial T}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)_{y}+T\left({\frac {\partial ^{2}S}{\partial y\partial x}}\right)-\left({\frac {\partial P}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}\right)_{y}-P\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\partial x}}\righ t)}( Eq.2) 그리고 ( ∂ 2 U ∂ x ∂ y ) = ( ∂ T ∂ x ) y ( ∂ S ∂ y ) x + T ( ∂ 2 S ∂ x ∂ y ) − ( ∂ P ∂ x ) y ( ∂ V ∂ y ) x − P ( ∂ 2 V ∂ x ∂ y ) {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2} U}{\partial x\partial y}}\right)=\left({\frac {\partial T}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)_{x}+T\left({\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}\right)-\left({\frac {\partial P}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial V}{\partial y}}\right)_{x}-P\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x\partial y}}\righ t)}( Eq.3) 따라서 U, S, V는 정확한 차이점이다.
( ∂ 2 U ∂ y ∂ x ) = ( ∂ 2 U ∂ x ∂ y ) {\displaystyle \left\frac {\reflict ^{2} U}{\partial y\partial x}\오른쪽)=\좌측({\frac {\partial ^{2} U}{\partial x\partial y}\오른쪽)} ( ∂ 2 S ∂ y ∂ x ) = ( ∂ 2 S ∂ x ∂ y ) {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}S}{\partial y}}{\partial x}\right)=\좌({\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}\right)} ( ∂ 2 V ∂ y ∂ x ) = ( ∂ 2 V ∂ x ∂ y ) {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial y}{\partial x}\right)=\좌({\partial ^{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x\}\partial y}\오른쪽)}}} eqn(2)과 (3)을 빼면 1이 된다.
( ∂ T ∂ y ) x ( ∂ S ∂ x ) y − ( ∂ P ∂ y ) x ( ∂ V ∂ x ) y = ( ∂ T ∂ x ) y ( ∂ S ∂ y ) x − ( ∂ P ∂ x ) y ( ∂ V ∂ y ) x {\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)_{y}-\left({\frac {\partial P}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}\right)_{y}=\left({\frac {\partial T}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)_{x}-\left({\frac {\partial P}{\partial x}} \오른쪽)_{y}\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial y}\오른쪽)_{x}}} 참고: 위의 내용을 맥스웰의 열역학적 관계에 대한 일반적인 표현이라고 한다. 맥스웰의 첫 관계 x = S 및 y = V 허용 및 1개 허용 ( ∂ T ∂ V ) S = − ( ∂ P ∂ S ) V {\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}\오른쪽)_{ S}=-\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial S}\오른쪽)_ {V} 맥스웰의 두 번째 관계 x = T 및 y = V 허용 및 1개 허용 ( ∂ S ∂ V ) T = ( ∂ P ∂ T ) V {\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial V}\오른쪽)_ {T}=\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial T}\오른쪽)_ {V} 맥스웰의 세 번째 관계 x = S 및 y = P 허용하고 1은 ( ∂ T ∂ P ) S = ( ∂ V ∂ S ) P {\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial P}\오른쪽)_ {S}=\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial S}\오른쪽)_{ P}} 맥스웰의 네 번째 관계 x = T 및 y = P 허용 및 1개 값 ( ∂ S ∂ P ) T = − ( ∂ V ∂ T ) P {\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial P}\오른쪽)_{ T}=-\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial T}\오른쪽)_{ P}} 맥스웰의 다섯 번째 관계 허용 x = P 및 y = V ( ∂ T ∂ P ) V (∂ S ∂ V ) P {\ displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial P}\right)_ {V}\왼쪽({\frac {\partial S}{\partial V}\오른쪽)_{ P }} - ( ∂ T ∂ V ) P (∂ S ∂ P ) P ( { S ∂ P ) V {\ displaystyle -\좌({\frac {\partial T}{\partial V}\우)_{P}\좌({\frac {\partial S}{\p}}}\우)_________ {V} = 1 맥스웰의 여섯 번째 관계 x = T 및 y = S 허용 및 1개 값 ( ∂ P ∂ T ) S ( ∂ V ∂ S ) T - (∂ P ∂ S ) T (∂ V ∂ T ) S {\ displaystyle \left ({\frac {\partial P}{\partial T}\right)__ {S}\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial S}\오른쪽)_ {T}-\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial S}\오른쪽)_ {T}\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial T}\오른쪽)_{ S}} = 1
야코비안을 기반으로 한 파생법 열역학 제1 법칙을 보면
d U = T d S − P d V {\displaystyle {\begin}dU&=TdS-PdV\\\ended}\\,\!} 미분형태에 대한 진술로, 그리고 이 방정식의 외부파생물 을 보면,
0 = d T d S − d P d V {\displaystyle 0=dTdS-dPdV} d ( d U ) = 0 {\displaystyle d(dU)=0 }. 이것은 근본적인 정체성으로 이어진다.
d P d V = d T d S . (\displaystyle dPdV=dTdS). } 이 정체성의 물리적 의미는 양측이 극소수의 카르노 사이클로 이루어진 작품을 쓰는 것과 동등한 방법이라는 것을 주목함으로써 알 수 있다. 동일시되는 방법으로 신원을 쓰는 것이다.
∂ ( T , S ) ∂ ( P , V ) = 1. {\displaystyle {\frac {\partial(T,S)}{\partial(P,V)}}}=1.} 맥스웰 관계는 이제 직접적으로 이어진다. 예를 들어,
( ∂ S ∂ V ) T = ∂ ( T , S ) ∂ ( T , V ) = ∂ ( P , V ) ∂ ( T , V ) = ( ∂ P ∂ T ) V , {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial S}{\partial V}{\Bigr )}_{{}}}{{}} T}={\frac {\partial (T,S)}{\partial (T,V)}}}}}}={\partial (P,V)}}}}}}}={\bigl (}{\frac {\partial P}{\bigr )}_{v}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}, 가장 중요한 단계는 페놀트다운 단계다. 다른 맥스웰 관계도 비슷한 방식으로 이어진다. 예를 들어,
( ∂ T ∂ V ) S = ∂ ( T , S ) ∂ ( V , S ) = ∂ ( P , V ) ∂ ( V , S ) = − ( ∂ P ∂ S ) V . {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial T}{\partial V}}{\Bigr )}_{S}={\frac {\partial (T,S)}{\partial (V,S)}}={\frac {\partial (P,V)}{\partial (V,S)}}=-{\Bigl (}{\frac {\partial P}{\partial S}}{\Bigr )}_{V}. } 일반 맥스웰 관계 위의 내용만이 맥스웰의 관계는 아니다. 볼륨 작업 외에 다른 자연 변수를 포함하는 다른 작업 용어를 고려하거나 입자 수 를 자연 변수로 포함하면 다른 맥스웰 관계가 명백해진다. 예를 들어, 만약 우리가 단성분 가스를 가지고 있다면, 입자 N 의 수 또한 위의 4개의 열역학적 전위의 자연적인 변수다. 압력 및 입자 수에 대한 엔탈피의 맥스웰 관계는 다음과 같다.
( ∂ μ ∂ P ) S , N = ( ∂ V ∂ N ) S , P = ∂ 2 H ∂ P ∂ N {\displaystyle \left({\frac {\partial P}\오른쪽)_{S,N}=\left({\partial V}{\partial N}\}\right)_{S,P}\qquad ={\frac {\partial ^{2} H}{\partial P\partial N}} 여기서 μ는 화학적 전위 다. 게다가 흔히 사용되는 네 가지 외에 다른 열역학적 잠재력이 있으며, 이들 잠재력 각각은 맥스웰 관계의 집합을 산출할 것이다. 예를 들어, 최대 잠재력 Ω( μ , V , T ) {\displaystyle \Oomega(\mu ,V,T)} 의 산출량은 다음과 같다.[1]
( ∂ N ∂ V ) μ , T = ( ∂ P ∂ μ ) V , T = − ∂ 2 Ω ∂ μ ∂ V ( ∂ N ∂ T ) μ , V = ( ∂ S ∂ μ ) V , T = − ∂ 2 Ω ∂ μ ∂ T ( ∂ P ∂ T ) μ , V = ( ∂ S ∂ V ) μ , T = − ∂ 2 Ω ∂ V ∂ T {\displaystyle {\begin}\왼쪽({\frac {\partial N}{\partial V}}\오른쪽)_{\mu,T}&=\put({\frac {\partial P}{\partial \mu }}}\right)_{V, T}&=&-{\frac {\partial ^{2}\Omega }{\partial \mu \partial V}}\\\left({\frac {\partial N}{\partial T}}\right)_{\mu ,V}&=&\left({\frac {\partial S}{\partial \mu }}\right)_{V, T}&=&-{\frac {\partial ^{2}\Omega }{\partial \mu \partial T}}\\\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{\mu ,V}&=&\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{\mu ,T}&=&-{\frac {\partial ^{2}\Omega }{\partial V\partial T}}\end{aligned}}\,\!}
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