자기 회귀 모형
Autoregressive model![]() |
통계학, 계량경제학 및 신호처리학에서 자기회귀(AR) 모델은 랜덤 프로세스의 한 종류를 나타내는 것으로서, 자연, 경제 등의 특정 시간변화 프로세스를 기술하는 데 사용됩니다.자기 회귀 모형은 출력 변수가 자신의 이전 값과 확률적 항(불완전하게 예측 가능한 항)에 선형적으로 의존함을 명시한다. 따라서 모델은 확률적 차분 방정식(또는 미분 방정식과 혼동해서는 안 되는 반복 관계)의 형태이다.이동평균(MA) 모델과 함께, 그것은 보다 복잡한 확률 구조를 가진 시계열의 보다 일반적인 자기회귀-이동평균(ARMA) 및 자기회귀 통합 이동평균(ARIMA) 모델의 특수 케이스이자 핵심 구성요소이다. 또한 다음과 같은 벡터 자기회귀 모델(VAR)의 특수 케이스이기도 하다.둘 이상의 진화하는 랜덤 변수에서 둘 이상의 연동 확률적 차이 방정식이 있는 시스템의 ts.
이동 평균(MA) 모형과 달리 자기 회귀 모형은 단위 루트를 포함할 수 있으므로 항상 고정된 것은 아닙니다.
정의.
R() { AR 은 순서 p의 자기 회귀 모델을 나타냅니다.AR(p) 모델은 다음과 같이 정의됩니다.
여기서 1, p\ \_ { \, \ _ {는 모델의 파라미터, \ c}는 상수, \ \ _ { 는 화이트 노이즈입니다.이는 백시프트 연산자 B를 사용하여 동등하게 기술할 수 있습니다.
그래서, 합계항을 왼쪽으로 이동하고 다항식 표기법을 사용하면,
따라서 자기 회귀 모델은 입력이 백색 노이즈인 전극 무한 임펄스 응답 필터의 출력으로 볼 수 있다.
모델이 와이드 센스 정지 상태를 유지하려면 일부 매개 변수 제약 조건이 필요합니다.예를 들어, AR(1) 모델의 프로세스가 " " { \ 1 이면 정지되어 있지 않습니다.보다 일반적으로 AR(p) 모델이 광의 정지 상태일 경우 다항식 의 근은 다음과 같습니다. - i p i i{\p}\는 단위 원 밖에 있어야 합니다. 즉, 각 (복소) i {\i}는 z 1 {i} 1}을 해야 (페이지 89,92 참조).
충격의 일시적 영향
AR 프로세스에서 일회성 충격은 미래로 무한히 발전하는 변수의 값에 영향을 미칩니다.예를 들어 AR(1) X + 1 t - + t{ X _ { t } =+ \ _ { X _ { + \ _ time time {\ {\ {\ {\ {\ t \ style \ _ 1 = { }} time time time time time time time time time time time time time x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x다음으로 의 방정식(의 에 의해 { X_{에 1 \ \ 1} \ _ {1 。으로 의 AR방정식경우에 의 경우)에 을 줍니다(X2의 경우 이 처리는 X3의 경우)에 1의 양만큼 영향을 줍니다.이 처리는 1style)을 . 프로세스가 정지되어 있으면 한계에서 효과가 0으로 감소하지만 절대 끝나지 않습니다.
각 충격은 발생 시점부터 미래까지의 X 값에 무한히 영향을 미치기 때문에 주어진 값t X는 무한히 과거에 발생한 충격의 영향을 받습니다.이것은, 자동 복귀를 고쳐 쓰는 것으로도 확인할 수 있습니다.
(변수가 평균으로부터의 편차로 측정되었다고 가정하여 상수항이 억제된 경우)
오른쪽 다항식 나눗셈을 실행하면 t에 적용되는 백시프트 연산자의 다항식은 무한 차수를 갖습니다. 즉, tt}의 지연 값이 방정식 오른쪽에 무한히 표시됩니다.
특성 다항식
AR(p) 프로세스의 자기 상관 함수는 다음과 같이 표현될[citation needed] 수 있습니다.
서 y k는 다항식의 근입니다.
여기서 B는 백시프트 연산자입니다서 " () \ ( \) is 、 k \ { } 、 k 、 ore 、 oreoreoreoreore where where where where where where 。이 공식은 모든 루트에 다중도 [citation needed]1이 있는 경우에만 유효합니다.
AR(p) 프로세스의 자기 상관 함수는 감소하는 지수의 합계입니다.
- 각 실근은 지수적으로 감소하는 자기 상관 함수에 성분을 제공합니다.
- 마찬가지로, 복잡한 공역근의 각 쌍은 지수 감쇠 진동을 일으킵니다.
AR(p) 공정 그래프
가장 간단한 AR 공정은 항 사이에 종속성이 없는 AR(0)입니다.오차/혁신/잡음 항만 공정의 출력에 기여하므로 그림에서 AR(0)은 백색 잡음에 해당합니다.
양의 를 가진 AR(1) 프로세스의 경우 프로세스의 이전 항과 노이즈 항만 출력에 기여합니다. { 가 0에 가까울 경우 프로세스는 여전히 백색 노이즈로 보이지만 { \ \ }가 1에 가까워질수록 노이즈에 비해 출력 기여도가 높아집니다.그 결과 로우패스 필터와 마찬가지로 출력이 "스무딩"되거나 통합됩니다.
AR(2) 프로세스의 경우 앞의 두 항과 노이즈 항이 출력에 기여합니다.과 _ 모두 양의 경우 출력은 로우패스필터와 비슷하며 노이즈의 고주파수가 감소합니다. 1( \ \ _ { )이 양수이고 2 ( \ \ {2})이 음수인 경우 프로세스는 프로세스 조건 간의 부호 변경을 선호합니다.출력이 진동합니다.이는 에지 감지 또는 방향 변경 감지와 유사할 수 있습니다.
예제:AR(1) 프로세스
AR(1) 프로세스는 다음과 같이 제공됩니다.
서 tt \ _ { }는 평균이 0이고 분산이 일정한 백색 노이즈 처리입니다. 2 { \ \ _ { \ }^2}( : : ) 。§ (\의 서브스크립트가 삭제되었습니다.입력이 백색 노이즈인 안정적인 필터의 출력으로 얻어진 \ \ 이면 프로세스는 광의 정지 상태입니다.( {인 경우 t {의 분산은 시간 시차 t에 따라 달라지므로 계열의 분산은 무한대로 분산되므로 넓은 의미의 정지 상태가 아닙니다.) 1 \ \ < 1 、\ { ( X { ) } isis 、 와이드 센스 정지성의 정의에 의해 t의 모든 값이 동일합니다.평균이μ {\로 될 경우 다음 값이 됩니다.
그거
그렇기 때문에
특히 c c인 평균은 0입니다.
여기서 { \ 은 t \ style \ _ { }의 표준 편차입니다.이것은, 다음과 같은 점에 주의하는 것으로 알 수 있습니다.
그리고 위의 수량이 이 관계의 안정적인 고정점이라는 것을 알게 된다.
자기변환율은 다음과 같습니다.
자기변동함수는 붕괴시간(라고도 함)이 - / \ \ =/ \ln ( \ ) [을 확인하려면 , B n = \ B_ } \ phi display phi } 의 { } 로 합니다Then note that and match this to the exponential decay law ].
스펙트럼 밀도 함수는 자기변환 함수의 푸리에 변환입니다.이산 용어로는 이것이 이산 시간 푸리에 변환입니다.
이 표현은 X 분모에서 코사인 항으로 나타나는 X j(\j의 이산적인 성질 때문에 주기적입니다.샘플링 시간( t \ \ t 1)이 붕괴 시간(\ \ )보다 훨씬 작다고 가정하면 B \ 에 연속체 근사치를 사용할 수 있습니다.
이는 스펙트럼 밀도에 대한 로렌츠 프로파일을 생성합니다.
여기서 / { \ display =/ \ 는 붕괴 시간frequency { \
t- ({ X_에 정의된 식에서 먼저c + X - + - 1 (\c+\t-2t-1})로 치환하여 Xt의 대체식을 도출할 수 있습니다.이 프로세스를 계속하면 수율이 N배로 증가합니다.
무한대에 가까워지는 N의 경우 N^{은 0에 가까워지고 다음과 같이 됩니다.
t{ _ { } k\ \ ^ { } 커널에 상수 평균을 더한 백색 노이즈인 을 알 수 있습니다.백색 t{\ _이 가우스 프로세스인 t{\t}도 가우스 프로세스입니다. 경우 중심 한계 정리에 따르면{\이 (가) 1에 가까울 때 X t {\ X_이 (가) 거의 정규 분포를 .
c t { c = \ _ { t } = } 의 t X - { X_ }= \ X_{ 은 기하급수(지속적 성장 또는 붕괴)가 됩니다. 경우 X { {t =a \ ^ { t} ( \ a } 。서 { a는 알 수 없는 상수(초기 조건)이다.
AR(1) 프로세스의 명시적 평균/차이 형식
AR(1) 모델은 연속적인 Ornstein-Uhlenbeck 과정의 이산 시간 유사입니다.따라서 동등한 형태로 주조된 AR(1) 모델의 특성을 이해하는 것이 유용할 수 있습니다.이 형식에서 프로세스 가\인 AR(1) 모델은 다음과 같이 표시됩니다.
- t + + ( - ) ( - t) + t + ( \ X + ) _ { + \ +
이것을 X + + t + x X t + t+ { { + \ { \ + \ _ { + } 의 으로 하고, X + 의 를 전개하면, 다음과 같이 할 수 있습니다.
- ( + ) [ - n + X n \ {} ( X { } _ { t } = \ \ [ 1 - \ { } \ } \ ta ^ { } } } 、
- "( t+ ) - \ displaystyle }(})=\^{2 {
최대 지연 선택
그래서 적절한 최대 지연은 초월한 부분 autocorrelations a AR(p)과정의 파코어는 p[해명 필요한]의 주문보다 크지 않다 지연에 및 X1{\displaystyle X_{1}사이의 상관 관계 좋은 모델을 제공합니다}및 Xp+1{\displaystyle X_{p+1}}, 0와 같모두 0을 보강하다.
AR 파라미터의 계산
일반적인 최소 제곱 절차 또는 모멘트 방법(율-워커 방정식을 통해)과 같이 계수를 추정하는 방법은 여러 가지가 있습니다.
AR(p) 모델은 다음 방정식으로 주어진다.
파라미터 i { \ \ { } (i = 1, ..., p )에 근거하고 있습니다.이 파라미터와 프로세스의 공분산함수 사이에는 직접적인 상관관계가 있으며, 이 대응관계를 반전시켜 자기상관함수(공분산함수로부터 취득)로부터 파라미터를 결정할 수 있습니다.이것은 Yule-Walker 방정식을 사용하여 수행됩니다.
율-워커 방정식
Udny Yule과 Gilbert [2][3]Walker의 이름을 딴 Yule-Walker 방정식은 다음과 같은 일련의 [4]방정식입니다.
여기서 m = 0, …, p, p + 1 방정식을 산출합니다.여기서 m\ \ _ { }는 X의t 자기변수 함수이며, m , 0 \ \ _ { \ 은 입력 노이즈 프로세스의 표준 편차이며, m, \ displaystyle \ _ { , }은 크로네커 델타 함수입니다.
개별 방정식의 마지막 부분은 m = 0일 때만 0이 아니기 때문에, 방정식 집합은 m > 0에 대한 방정식을 행렬 형태로 표현함으로써 풀 수 있다.
이는 모든{; ,, .{ _에 대해 풀 수 있습니다. m = 0에 대한 나머지 방정식은 다음과 같습니다.
{ , ; ,, …} , { \ { \ _ { } ; m, 2, \ display ,p \ } 이 확인되면 2 .{ \ { \ } 에 대해 해결할 수 있습니다.
다른 공식은 자기 상관 함수에 관한 것입니다.AR 파라미터는 자기상관함수의 첫 번째 p+1 요소 (\ ( \ )에 의해 결정됩니다.그런 다음 완전 자기 상관 함수는 재귀적으로 계산하여 도출할 수 있다.
일부 하위 AR(p) 프로세스의 예
- p=1
- 따라서 1 1 / 0 1 { _ {1} = \ _ {1} / \_ { 0 } = \ }
- p=2
- AR(2) 프로세스의 Yule-Walker 방정식은 다음과 같습니다.
- - " \ \{ - k } = \ { k } 。
- 첫 번째 방정식을 사용하면 1 1 / 0 - 21 - 2 { display _ {1} / \ _ { 0 } { - \ _ { } 。
- 재귀 수식을 사용하면 2 2 / 0 12 - 2 2 + 21 - 2 \ _ { 2= \ frac _ { 2 } / \ _ { 0 } { { { 0 frac \ _ { { }^{ } - { { { { { } - } { } _ { var phi _ { { } } _ { var
- AR(2) 프로세스의 Yule-Walker 방정식은 다음과 같습니다.
AR 파라미터의 추정
위의 방정식(율-워커 방정식)은 이론 공분산을 추정값으로 [6]대체함으로써 AR(p) 모델의 파라미터를 추정하기 위한 몇 가지 경로를 제공합니다.이러한 변형 중 일부는 다음과 같이 설명할 수 있습니다.
- 자기 분산 또는 자기 상관의 추정입니다.여기서는 각 항을 기존 추정치를 사용하여 별도로 추정합니다.이를 수행하는 방법은 다양하며, 이들 중 하나를 선택하는 것은 추정 체계의 속성에 영향을 미칩니다.예를 들어, 일부 선택에 의해 분산의 음수 추정치가 생성될 수 있습니다.
- 정규 최소 제곱 예측 문제가 구성되는 최소 제곱 회귀 문제로 공식화되며, 동일한 계열의 p 이전 값을 기준으로t X 값을 예측합니다.이것은, 예측 스킴이라고 생각할 수 있습니다.이 문제에 대한 정규 방정식은 동일한 지연의 자기변환의 각 외관이 약간 다른 추정치로 대체되는 Yule-Walker 방정식의 행렬 형식의 근사치에 해당하는 것으로 볼 수 있다.
- 일반 최소 제곱 예측 문제의 확장된 형태로 공식화.여기서 두 세트의 예측 방정식이 단일 추정 체계와 단일 세트의 정규 방정식으로 결합됩니다.한 세트는 AR 모델의 역방향 표현과 관련된 역방향 예측 방정식의 세트이고 다른 한 세트는 해당 역방향 예측 방정식의 세트입니다.
- 여기서 X의 예측t 값은 동일한 [clarification needed]계열의 p 미래 값을 기반으로 합니다.이 AR 파라미터의 추정방법은 [7]Burg에 의한 것으로 Burg [8]메서드라고 불립니다.Burg와 그 이후의 저자들은 이러한 추정치를 "최대 엔트로피 추정치"[9]라고 불렀지만, 이 배경의 논리는 추정된 AR 모수의 사용에 적용된다.순방향 예측 방정식만 사용하는 추정 체계와 비교하여 자기 이동의 다른 추정치가 생성되고 추정치의 안정성 특성이 다릅니다.버그 추정치는 특히 최대 엔트로피 스펙트럼 [10]추정과 관련이 있다.
추정할 수 있는 다른 방법으로는 최대우도 추정이 있습니다.두 가지 뚜렷한 최대우도 변형을 사용할 수 있다. 하나의 (전진 예측 최소 제곱 체계와 광범위하게 동일) 우도 함수는 계열의 초기 p 값이 주어진 계열의 이후 값의 조건부 분포에 대응하는 것이다. 두 번째에서, 고려된 우도 함수는 t이다.관측된 시계열에서 모든 값의 무조건 결합 분포에 해당하는 모자.관측된 연속이 짧거나 공정이 비정상성에 가까운 경우 이러한 접근법의 결과에 상당한 차이가 발생할 수 있다.
스펙트럼
V a (Z t ) 2 ( \ {} ( Z _ { t ) = \ { Z }^인[5] AR(p) 프로세스의 PSD는 다음과 같습니다.
AR(0)
백색 소음의 경우(AR(0))
AR(1)
AR(1)의 경우
- 1> { > }인 경우 f=0에서 단일 스펙트럼 피크가 존재하며, 종종 빨간색 노이즈라고 합니다.§ 스타일 _이 1에 가까워질수록 저주파수, 즉 더 큰 시간 지연으로 더 강력한 전력이 공급됩니다.이것은 저역 통과 필터이며, 풀 스펙트럼 빛에 적용하면 빨간색 빛을 제외한 모든 것이 필터링됩니다.
- 1 < \ 인 경우, f=0의 최소값이 존재하며, 흔히 블루 노이즈라고 합니다.이것은 마찬가지로 하이패스 필터로서 기능하며, 파란색 빛을 제외한 모든 것이 필터링됩니다.
AR(2)
AR(2) 프로세스는 루트의 특성에 따라 다음 3개의 그룹으로 나눌 수 있습니다.
- 1 + 2< \ \_ { }^{ + \ _ {2} <의 경우, 이 프로세스에는 복소 공역 루트 쌍이 있으며, 다음과 같은 중주파 피크가 생성됩니다.
그렇지 않으면 프로세스는 실제 뿌리를 가지고 있습니다.
- 1> { \ _ {1 > } 이면 f { f 0 } 의 피크로 백색 노이즈에 대한 로우패스 필터 역할을 합니다.
- 1< { \ { < 0 } 、 / 2 ( \ f 2 의 스펙트럼 피크로 백색 노이즈에 대한 하이패스 필터 역할을 합니다.
루트가 단위 원 밖에 있는 경우 프로세스는 비정상입니다.루트가 단위 원 안에 있을 때 또는 계수가 삼각형 1 21 - 1 { - 1 \ _ \ _{}에 때 프로세스는 안정적입니다
완전한 PSD 함수는 다음과 같이 실제 형태로 표현할 수 있습니다.
통계 패키지 구현
- R, stats 패키지에는 ar [11]함수가 포함되어 있습니다.
- MATLAB의 Econometrics[12] Toolbox 및 System Identification[13] Toolbox에는 자기 회귀 모델이[14] 포함되어 있습니다.
- Matlab 및 Octab: TSA 도구 상자에는 단변수,[15] 다변량 및 적응형 자기 회귀 모형에 대한 여러 추정 함수가 포함되어 있습니다.
- PyMC3: 베이지안 통계 및 확률론적 프로그래밍 프레임워크는 p 지연이 있는 자기 회귀 모드를 지원한다.
- bayesloop은 AR-1 프로세스에 대한 파라미터 추론 및 모델 선택을 지원합니다.[16]
- Python: statsmodel에서의 [17]구현.
임펄스 응답
시스템의 임펄스 응답은 k의 함수로써 이전의 충격 항 k의 값의 변화에 대한 반응으로 진화하는 변수의 변화이다.AR 모델은 벡터 자기회귀 모델의 특수한 경우이기 때문에 벡터 자기회귀 #임펄스 응답에서의 임펄스 응답 계산이 여기에 적용됩니다.
n단계 예측
일단 자동 복귀의 매개 변수가 되면
추정된 경우, 자동 복귀를 사용하여 미래의 임의의 수의 기간을 예측할 수 있습니다.첫번째 사용하지 않는 데이터는 아직 사용할 수 없는 경우 첫번째 기간을 언급할 때,ε t{\displaystyle \varepsilon_{t}}0과 같은 오류 기간 설정 Xt-i i=1에,..., p는 자동 회귀 방정식에 알려진 이전 값으로 대체(왜냐하면 우리가 그것의 기대 가치 와 동일하게, 그리고 unobs의 기대 가치 Xt으로 전망했다.erved 오류 항은 0입니다).자기 회귀 방정식의 출력은 관측되지 않은 첫 번째 기간의 예측값입니다.다음으로, 데이터를 아직 이용할 수 없는 다음 기간을 참조하기 위해 t를 사용한다. 다시 한 번 자기 회귀 방정식을 사용하여 예측을 한다. 즉, 현재 예측되는 기간보다 한 기간 전의 X 값을 알 수 없기 때문에 그 기대값(이전 예측 단계에서 발생하는 예측값)이 대신 사용된다.그런 다음 미래 기간에 대해 p 예측 후 모든 p 오른쪽 값이 이전 단계의 예측 값이 될 때까지 매번 예측 방정식의 오른쪽에 있는 하나 이상의 예측 값을 사용합니다.
이러한 방식으로 얻은 예측에 대한 불확실성의 네 가지 원천이 있다. (1) 자기 회귀 모델이 올바른 모델인지에 대한 불확실성, (2) 자기 회귀 방정식의 오른쪽에서 지연된 값으로 사용되는 예측 값의 정확성에 대한 불확실성, (3) au의 참 값에 대한 불확실성(4) 예측되는 기간의 오차항 t\ _ 값에 대한 불확실성.마지막 세 가지를 각각 정량화하고 조합하여 n단계 예측에 대한 신뢰 구간을 제공할 수 있습니다. 오른쪽 변수에 대한 추정값의 수가 증가하므로 신뢰 구간은 n이 증가할수록 넓어집니다.
예측 품질 평가
자기 회귀 모형의 예측 성능은 교차 검증을 사용하는 경우 추정이 완료되는 즉시 평가할 수 있습니다.이 접근법에서 초기에 사용 가능한 데이터의 일부는 매개변수 추정 목적으로 사용되었고, 일부(데이터 세트의 후반부에서 사용 가능한 관측치)는 표본 외 테스트를 위해 보류되었다.또는 파라미터 추정을 실시한 후 시간이 경과하면 더 많은 데이터를 이용할 수 있게 되고 새로운 데이터를 사용하여 예측 성능을 평가할 수 있게 된다.
어느 경우든 예측 성능에는 한 단계 앞선 성능과 n 단계 앞선 성능이라는 두 가지 측면이 있습니다.한 단계 전의 성능의 경우 추정된 모수는 예측되기 전의 모든 기간에 대해 X의 관측치와 함께 자기 회귀 방정식에 사용되며 방정식의 출력은 한 단계 전의 예측값입니다. 이 절차는 표본 밖의 각 관측치에 대한 예측을 구하는 데 사용됩니다.n단계 예측의 품질을 평가하기 위해 이전 섹션의 예측 절차를 사용하여 예측을 얻습니다.
다양한 기간 동안 X에 대한 일련의 예측값과 그에 상응하는 실제 값 세트가 주어진다면, 일반적인 평가 기법은 평균 제곱 예측 오차를 사용하는 것입니다. 다른 측정도 사용할 수 있습니다(예측#예측 정확도 참조).
측정된 예측 정확도를 해석하는 방법에 대한 질문이 발생한다. 예를 들어, 평균 제곱 예측 오류에 대한 "높음"(나쁜) 또는 "낮음"(좋은) 값은 무엇인가?비교할 수 있는 두 가지 포인트가 있습니다.첫째, 다른 모델링 가정 또는 다른 추정 기법에 따라 추정된 대체 모델의 예측 정확도를 비교 목적으로 사용할 수 있다.둘째, 표본 외 정확도 측정은 충분한 사전 데이터 값을 사용할 수 있는 표본 내 데이터 포인트(파라미터 추정에 사용됨)에 대해 계산된 동일한 측정값과 비교할 수 있습니다(즉, p 이전 데이터 포인트를 사용할 수 없는 첫 번째 데이터 포인트 삭제).모형이 가능한 한 표본 내 점을 적합하도록 특별히 추정되었기 때문에 일반적으로 표본 외 예측 성능이 표본 내 예측 성능보다 더 나쁠 수 있습니다.그러나 예측 품질이 표본 밖으로 "매우 많이" 악화되는 경우(정확하게 정의할 수 없음), 예보관은 성능에 만족할 수 있습니다.
「 」를 참조해 주세요.
메모들
- ^ Shumway, Robert; Stoffer, David (2010). Time series analysis and its applications : with R examples (3rd ed.). Springer. ISBN 144197864X.
- ^ 율, G.Udny(1927년) "울퍼의 태양 흑점 숫자를 특별히 언급하는 교란된 시리즈의 주기성 조사 방법에 대하여", 런던 왕립학회 철학거래, Ser. A, Vol. 226, 267–298"
- ^ Walker, Gilbert(1931) "관련 용어 시리즈의 주기성에 대하여", 런던 왕립학회 회보, Ser. A, Vol. 131, 518–532.
- ^ Theodoridis, Sergios (2015-04-10). "Chapter 1. Probability and Stochastic Processes". Machine Learning: A Bayesian and Optimization Perspective. Academic Press, 2015. pp. 9–51. ISBN 978-0-12-801522-3.
- ^ a b Von Storch, H.; F. W Zwiers (2001). Statistical analysis in climate research. Cambridge Univ Pr. ISBN 0-521-01230-9.[페이지 필요]
- ^ Eshel, Gidon. "The Yule Walker Equations for the AR Coefficients" (PDF). stat.wharton.upenn.edu.
- ^ 버그, J. P. (1968년)"시계열 데이터의 새로운 분석 기법"현대 스펙트럼 분석(D. G. Childers 편집)에서 수중 음향에 중점을 둔 NATO 신호 처리 고등 연구 기관.IEEE 프레스, 뉴욕.
- ^ Brockwell, Peter J.; Dahlhaus, Rainer; Trindade, A. Alexandre (2005). "Modified Burg Algorithms for Multivariate Subset Autoregression" (PDF). Statistica Sinica. 15: 197–213. Archived from the original (PDF) on 2012-10-21.
- ^ Burg, J.P.(1967) "최대 엔트로피 스펙트럼 분석", 오클라호마주 오클라호마시티 탐사 지구물리학회 제37차 회의 진행.
- ^ Bos, R.; De Waele, S.; Broersen, P. M. T. (2002). "Autoregressive spectral estimation by application of the burg algorithm to irregularly sampled data". IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement. 51 (6): 1289. doi:10.1109/TIM.2002.808031.
- ^ "자기 회귀 모형을 시계열에 적합"(R)
- ^ "Econometrics Toolbox". www.mathworks.com.
- ^ "System Identification Toolbox". www.mathworks.com.
- ^ "Autoregressive Model - MATLAB & Simulink". www.mathworks.com.
- ^ "The Time Series Analysis (TSA) toolbox for Octave and Matlab®". pub.ist.ac.at.
- ^ "christophmark/bayesloop". December 7, 2021 – via GitHub.
- ^ "statsmodels.tsa.ar_model.AutoReg — statsmodels 0.12.2 documentation". www.statsmodels.org. Retrieved 2021-04-29.
레퍼런스
- Mills, Terence C. (1990). Time Series Techniques for Economists. Cambridge University Press.
- Percival, Donald B.; Walden, Andrew T. (1993). Spectral Analysis for Physical Applications. Cambridge University Press.
- Pandit, Sudhakar M.; Wu, Shien-Ming (1983). Time Series and System Analysis with Applications. John Wiley & Sons.