평균 제곱 예측 오차

이 글에는 여러 가지 문제가 있다. 이 문제를 개선하거나 대화 페이지에서 토의하십시오. (이러한 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기) 이 글에는 출처가 없다 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "평균 제곱 예측 오류" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (2009년 12월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습) 이 글은 통계 전문가의 주의가 필요하다. 구체적인 문제는 L에 관한 출처가 없고 표기법/정의상의 문제가 없다는 것이다. Wiki Project Statistics가 전문가 영입에 도움이 될 수 있다(2019년 10월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

통계에서 평활화 또는 곡선 적합 절차의 예측에 대한 평균 제곱 예측 오차 또는 평균 제곱 오차는 예측 $함수{\displaystyle \stackrel{}{}}$ g${\displaystyle \stackrel{}{}}$^$${\$displaystyle${\$widehat{g}$가 내포한 적합치와 (관찰할 수 없는) 함수 g의 값 사이의 제곱 차이 예상 값이다. $g{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$, ${\displaystyle${\$widehat{g},}$의 설명력을 역측정하는 것으로$$ 추정된 모델의 교차검증 과정에 사용할 수 있다.

스무딩 또는 피팅 절차에서 관찰된 값 벡터 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$을(를) ${\displaystyle \mathrm{예측}}$ 값 $벡터{\displaystyle \stackrel{}{}}$ y${\displaystyle \stackrel{}{}}$^$${\$displaystyle {\y}$에 y${\displaystyle \stackrel{}{}^}$ = ${\displaystyle L,}${\$displaystyle {\hat {y}=Ly,}$에 매핑하는 투영 행렬(예: hat 행렬)이 있는 경우$$

${\displaystyle \operatorname {MSPE}(L)=\operatorname {E} \left[\left(g(x_{i}-)-{\widehat{g}(x_{i}\오른쪽)^{2}\right]}$

MSPH는 적합치의 편향 제곱 평균과 적합치의 분산 평균의 두 가지 용어로 분해할 수 있다.

${\displaystyle n\cdot \operatorname {MSPE} (L)=\sum _{i=1}^{n}\left(\operatorname {E} \left[{\widehat {g}}(x_{i})\right]-g(x_{i})\right)^{2}+\sum _{i=1}^{n}\operatorname {var} \left[{\widehat {g}}(x_{i})\right].}$

MSPE를 정확하게 계산하기 위해서는 g에 대한 지식이 필요하다. 그렇지 않으면 추정할 수 있다.

비표본 데이터에 대한 MSE 연산

평균 제곱 예측 오차는 두 가지 맥락에서 정확하게 계산할 수 있다. 첫째, 길이가 n인 데이터 샘플로 데이터 분석가는 데이터 포인트의 q에만 대해 회귀 분석을 실행할 수 있으며(q < n으로), 이를 사용하여 추정된 모델의 MSPE를 표본에서 계산하는 특정 목적을 가진 다른 n – q 데이터 포인트는 억제할 수 있다(즉, 모델 추정 프로세스에 사용된 데이터는 사용하지 않음). 회귀 분석 프로세스는 q-표본 내 점들에 맞춤화되므로, 일반적으로 표본 내 MSPE는 n - q 보류 점들에 대해 계산된 표본 외 점보다 작을 것이다. 표본에서 추출한 MSPH의 증가가 비교적 미미할 경우 모델을 유리하게 볼 수 있다. 그리고 두 모델을 비교하는 경우, 모델들의 상대적인 샘플 내 성능에 관계없이, n – q 샘플 외 데이터 포인트에 대해 낮은 MSPH를 가진 모델을 보다 유리하게 볼 수 있다. 이 맥락에서 표본을 벗어난 MSPH는 계산된 표본을 벗어난 데이터 점에 대해 정확하지만, 데이터가 그려진 대부분 관측되지 않은 모집단에 대한 모형의 MSPE 추정치에 불과하다.

둘째, 시간이 흐를수록 데이터 분석가가 더 많은 데이터를 이용할 수 있게 될 수 있으며, MSPE는 이러한 새로운 데이터에 대해 계산될 수 있다.

모집단에 대한 MSE 추정

이 글의 사실적 정확성은 논쟁의 여지가 있다. 관련 토론은 토크 페이지에서 찾을 수 있다. 논쟁의 여지가 있는 진술이 안정적으로 소싱되도록 도와주십시오. (2018년 5월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

모델을 보류하지 않고 사용 가능한 모든 데이터에 대해 추정했을 때, 대부분 관측되지 않은 데이터의 전체 모집단에 대한 모델의 MSPH는 다음과 같이 추정할 수 있다.

$모델{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$i = ${\displaystyle g}$( ${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$) + ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ i$${\$displaystyle y_{i}=$g_{$i}=g$${\displaystyle (\mathrm{x\_}}${$i})+\$sigma${\displaystyle \backslash }$$varepsilon$_{$}}{\displaystyle$1}에$$ 쓸 수 있다.

${\displaystyle n\cdot \operatorname {MSPE}(L)=g^{\text{T}}(I-L)^{\text{T}}}(I-L)g+\sigma ^{2}\operatorname {tr} \left[]L^{\text{T}{{L\right]}$

표본 내 데이터 값을 사용하면 오른쪽의 첫 번째 항은

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(\operatorname {E} \left[g(x_{i})-{\widehat {g}}(x_{i})\right]\right)^{2}=\operatorname {E} \left[\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\widehat {g}}(x_{i})\right)^{2}\right]-\sigma ^{2}\operatorname {tr} \left[\left(I-L\right)^{T}\왼쪽(I-L\right)\오른쪽.}$

그러므로,

${\displaystyle n\cdot \operatorname {MSPE} (L)=\operatorname {E} \left[\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\widehat {g}}(x_{i})\right)^{2}\right]-\sigma ^{2}\left(n-\operatorname {tr} \left[L\right]\right).}$

$\sigma {\displaystyle {}^{}}$ ${\$}}:$$^ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$ 2 ${\${\$widehat {\sigma }:{2$}}:$$by ^에 의해 잘 알려져 있거나$$ 잘 추정된 경우, mSPE에 의한 추정이 가능해진다.

${\displaystyle n\cdot \operatorname {\widehat {MSPE}} (L)=\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\widehat {g}}(x_{i})\right)^{2}-{\widehat {\sigma }}^{2}\left(n-\operatorname {tr} \left[L\right]\right).}$

Colin Mallows는 추정 MSPE의 정규화된_p 버전인 그의 모델 선택 통계량 C의 구축에서 이 방법을 주창했다.

${\displaystyle C_{p}={\frac _{i=1}^{n}\좌측(y_{i}-{\widehat{g}(x_{i}\오른쪽)^{2}}{\widehat {\\\2}}-n+2p.}$

여기서 p $추정$된 파라미터 p와 ^${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$^ ${\displaystyle 2^{\mathrm{}}}${\$displaystyle${\$widehat {\\browidma }}^{2}}$개는 가능한 모든 역류기를 포함하는 모델의 버전에서 계산된다$$. 이것으로 이 증거는 끝났다.

참고 항목

• 평균 제곱 오차
• 통계량의 오차 및 잔차
• 총분산 법칙

추가 읽기

• Pindyck, Robert S.; Rubinfeld, Daniel L. (1991). "Forecasting with Time-Series Models". Econometric Models & Economic Forecasts (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. pp. 516–535. ISBN 0-07-050098-3.