공명

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공명이란 적용된 주기력(또는 그 푸리에 성분)의 주파수가 작용하는 시스템의 고유 주파수와 같거나 가까울 때 발생하는 진폭 증가 현상을 말합니다.진동력이 동적 시스템의 공진 주파수로 적용되면 시스템은 다른 비공진 ^[3]주파수에서 동일한 힘이 적용될 때보다 더 높은 진폭으로 진동합니다.

응답 진폭이 상대적으로 최대인 주파수는 시스템의 ^[3]공진 주파수 또는 공진 주파수라고도 합니다.시스템의 공진 주파수에 가까운 작은 주기적 힘은 진동 에너지의 저장으로 인해 시스템에서 큰 진폭 진동을 발생시킬 수 있습니다.

공명현상은 모든 종류의 진동이나 파동과 함께 발생한다: 기계적 공명, 음향 공명, 전자기 공명, 핵자기 공명, 전자 스핀 공명, 양자파 함수의 공명이 있다.공명 시스템은 특정 주파수(예: 악기)의 진동을 발생시키거나 많은 주파수를 포함하는 복잡한 진동에서 특정 주파수(예: 필터)를 추출하는 데 사용할 수 있습니다.

공명이라는 용어는 음향학, 특히 악기 등에서 관찰되는 공감 공명, 예를 들어 한 현이 다른 현을 친 후에 진동하고 소리를 내기 시작할 때 유래했다.

개요

공명은 시스템이 두 개 이상의 다른 저장 모드(단순 진자의 경우 운동 에너지와 위치 에너지 등) 간에 에너지를 저장하고 쉽게 전달할 수 있을 때 발생합니다.그러나 사이클마다 댐핑이라고 하는 손실이 있습니다.댐핑이 작을 경우 공진 주파수는 시스템의 고유 주파수(무단 진동의 주파수)와 거의 동일합니다.일부 시스템에는 여러 개의 고유한 공명 주파수가 있습니다.

예

친숙한 예로는 추 역할을 하는 놀이터 그네가 있다.스윙의 고유 간격(공진 주파수)에 맞춰 스윙을 밀면 스윙이 점점 높아지며(최대 진폭) 더 빠르거나 느린 템포로 스윙을 밀면 더 작은 호가 생긴다.푸시가 스윙의 고유 진동과 일치할 때 스윙이 흡수하는 에너지가 극대화되기 때문이다.

공명은 자연계에서 광범위하게 발생하며 많은 장치에서 이용됩니다.그것은 사실상 모든 정현파 및 진동이 발생하는 메커니즘이다.금속, 유리 또는 나무로 된 단단한 물체가 부딪혔을 때처럼 우리가 듣는 많은 소리는 물체에서 잠깐의 공명 진동에 의해 발생합니다.빛과 다른 단파장 전자기 복사는 원자 내의 전자와 같은 원자 규모의 공진에 의해 생성됩니다.공명의 다른 예:

• 현대 시계 및 시계의 시간 기록 메커니즘(기계 시계의 밸런스 휠, 석영 시계의 석영 결정 등)
• 펀디 만의 조석 공명
• 악기와 인간의 성관의 음향 공명
• 올바른 음조의 음색(공진 주파수)에 노출되었을 때 크리스털 와인잔이 깨짐
• 유리 물체(유리, 병, 꽃병)의 테두리를 손끝으로 문질러 진동시키는 등의 마찰 관용어
• 무선 주파수를 선택적으로 수신할 수 있는 라디오 및 TV 튜닝 회로의 전기적 공진
• 레이저 공동에서의 광학 공진에 의한 간섭성 빛의 생성
• 태양계 가스 거성의 일부 위성에서 볼 수 있는 궤도 공명
• 원자 규모의 물질 공진은 응집 물질 물리학에서 사용되는 몇 가지 분광 기술의 기초이다.
  • 전자 스핀 공명
  • 뫼스바우어 효과
  • 핵자기 공명

선형 시스템

공명은 많은 선형 및 비선형 시스템에서 평형점 주변의 진동으로 나타납니다.시스템이 정현파 외부 입력에 의해 구동되는 경우 시스템의 측정된 출력이 이에 따라 진동할 수 있습니다.출력의 정상 상태 진동과 입력의 진동 진폭의 비율을 게인이라고 하며, 게인은 사인파 외부 입력 주파수의 함수일 수 있습니다.특정 주파수에서 게인의 피크는 측정된 출력의 진동 진폭이 불균형적으로 큰 공진에 해당합니다.

진동하는 많은 선형 및 비선형 시스템은 평형 근처에서 고조파 발진기로 모델링되므로, 이 섹션은 구동되고 감쇠된 고조파 발진기에 대한 공진 주파수를 도출하는 것으로 시작합니다.다음으로 RLC 회로를 사용하여 공진과 시스템 전송 기능, 주파수 응답, 극 및 0 사이의 연결을 설명합니다.이 섹션에서는 RLC 회선의 예를 바탕으로 복수의 입력과 출력이 있는 고차 선형 시스템의 이러한 관계를 개략적으로 설명합니다.

피동 감쇠 고조파 발진기

정현파적으로 작용하는 힘에 의해 구동되는 스프링의 감쇠된 질량을 고려합니다.뉴턴의 제2법칙은 그 형태를 취한다.

${\displaystyle mbrm {d}^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}=F_{0}\sin(\omega t)-kx-c{\frac {mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$

(1)

여기서 m은 질량, x는 평형점으로부터의 질량 변위, F는₀ 구동 진폭, θ는 구동 각도 주파수, k는 스프링 상수, c는 점성 감쇠 계수입니다.이것은 다음 형식으로 다시 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle {\mathrm {d} ^{2} {\mathrm {d} t^{{0}} +\mathrm {d} t} {\frac {d} {\mathrm {d} t} {\m} x = sin} t,$

(2)

어디에

${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$=$$ m {$displaystyle$ \$메가$ _ { 0 } =$rtrt$ {$frac$ { $k$} { m$$}}}은(는) 발진기의 비감쇠 각도 주파수 또는 고유 주파수라고 합니다.

${\displaystyle \frac{\theta \mathrm{}}{}}$= ${\displaystyle \frac{c\sqrt{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{}}$m k${\displaystyle$ \zeta =$specfrac {c}{2 specrt$ {spec$}}}$을(를) 감쇠비라고 합니다.

또, 많은 소스에서는, δ를₀ 공진 주파수라고 부르고 있습니다.단, 아래 그림과 같이 변위 x(t)의 진동을 해석할 때 공진 주파수는 θ에₀ 가깝지만 동일하지는 않다.일반적으로 공진 주파수는 고유 ^[4]주파수에 가깝지만 반드시 동일하지는 않습니다.다음 섹션의 RLC 회선의 예는 같은 시스템의 다른 공진 주파수의 예를 나타내고 있습니다.

식 (2)의 일반해는 초기조건에 따라 달라지는 과도해와 초기조건과는 무관하며 구동진폭₀ F, 구동주파수 θ, 비감쇠각주파수 θ₀ 및 감쇠비 θ에만 따라 달라지는 정상상태 해법의 합이다.과도 용액은 비교적 짧은 시간 내에 소멸하므로 공진을 연구하기 위해서는 정상 상태 용액을 고려하는 것으로 충분하다.

x(t)에 대한 정상 상태 해는 유도 위상변화를 갖는 구동력에 비례하는 함수로 쓸 수 있다.

${\displaystyle x(t)=sfrac {F_{0}}{m{\sqrt {left(2\Omega \mega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{2}-\obega ^{2}}}}\sin(\sin(\Omega t+\varphi)$

(3)

어디에

${\displaystyle \varphi =\arctan \leftfrac {2\obega \obe _{0}\zeta }{\obe ^{2}-\obe _{0}^{2}}\right)+n\pi.}$

위상 값은 보통 -180° ~0 사이로 간주되므로 arctan 인수의 양의 값과 음의 값 모두에 대한 위상 지연을 나타냅니다.

공명은 특정 구동 주파수에서 x(t)의 정상 상태 진폭이 다른 구동 주파수에서의 진폭에 비해 클 때 발생합니다.스프링의 질량에 대해 공명은 특정 구동 주파수에서 스프링의 평형 위치에서 큰 변위를 갖는 질량의 진동에 물리적으로 대응합니다.구동 주파수 θ의 함수로 x(t)의 진폭을 보면 구동 주파수에서 진폭이 최대입니다.

${\displaystyle \mega _{r}=\mega _{0}{\displayrt {1-2\zeta ^{2}}}.}$

θ는_r 이 시스템의 공진 주파수입니다.다시 말씀드리지만, 공진 주파수는 발진기의 비감쇠 각 주파수 θ와₀ 동일하지 않습니다.이들은 비례하며 감쇠비가 0이 되면 동일하지만 0이 아닌 감쇠의 경우 주파수는 동일하지 않습니다.그림에서 보듯이 공명은 공진주파수 근처의₀ 다른 주파수에서도 발생할 수 있지만 최대 응답은 공진주파수입니다.

또한 는_r < / 2 \ $displaystyle \zeta$ < 1 / { \$sqrt$ {2$}$인 경우에만 0이 아닌 실재하므로, 이 시스템은 고조파 발진기가 크게 감쇠되지 않은 경우에만 공진할 수 있습니다.공진 주파수에 가까운 감쇠비와 구동 주파수가 매우 작은 시스템에서는 정상 상태 진동이 매우 커질 수 있습니다.

추

운동방정식이 스프링 예시의 질량과 완전히 달라 보이지 않는 다른 구동식 감쇠 고조파 발진기의 경우 공진 주파수는 그대로 유지됩니다.

${\displaystyle \mega _{r}=\mega _{0}{\signrt {1-2\zeta ^{2}}},$

그런데₀ of과 change의 정의는 시스템의 물리에 따라 달라집니다.길이가 l이고 변위각도가 θ인 진자에 대해 식 (1)은 다음과 같다.

${\displaystyle mlsqrm {d}^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}=F_{0}\sin(\obega t)-mg\theta - cl{\frac {mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}$

그렇기 때문에

${\displaystyle \mega _{0}=syslogrt {frac {g}{l}}}}$

${\displaystyle \zeta = param frac {c}{2m}{\carrt {frac {l}{g}}}.}$

RLC 시리즈 회선

이 섹션은 너무 길고 지나치게 상세할 수 있습니다. 필요에 따라 자료를 인용하면서 정리하는 것을 검토해 주십시오.(2021년 1월)

저항 R의 저항, 인덕턴스 L의 인덕터 및 전류 i(t)에 직렬로 접속되어 전압 v_in(t)의 전압원에 의해 구동되는 캐패시턴스 C의 캐패시터로 구성된 회로를 고려합니다.회로 주위의 전압 강하는 다음과 같습니다.

${\displaystyle L{\frac {di(t)}{dt}+Ri(t)+V(0)+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}i(\frac)d\frac =v_{in}(t)}(t).}$

(4)

이 섹션에서는 위의 스프링 예시와 같이 이 방정식에 대한 후보 해법을 분석하는 것이 아니라 이 회로의 주파수 응답을 분석합니다.식 (4)의 라플라스 변환을 취하면

${\displaystyle sLI(s)+RI(s)+{\frac {1}{sC}}I(s)=V_{in},}$

여기서 I(s)와_in V(s)는 각각 전류 및 입력 전압의 라플라스 변환이고 s는 라플라스 도메인의 복잡한 주파수 파라미터입니다.용어 재배치,

${\displaystyle I(s)=sfrac {s}{s^{2}L+Rs+{\frac {1}{C}}}V_{in}(s).}$

콘덴서 전체의 전압

직렬 RLC 회로는 출력 전압을 측정하는 위치에 대한 몇 가지 옵션을 제공합니다.대상 출력 전압이 캐패시터 전체의 전압 강하라고 가정합니다.위와 같이 Laplace 도메인에서 이 전압은

${\displaystyle V_{out}(s)=vsfrac {1}{sC}}I(s)}$

또는

${\displaystyle V_{out}=sfrac {1}{LC(s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}}V_{in}s.}$

이 회로에 대해 고유 주파수와 댐핑 비율을 정의합니다.

${\displaystyle \mega _{0}=syslogfrac {1}{\syslogrt {LC}}}}$

${\displaystyle \zeta = frac {R}{2}}{\sqrt {\frac {C}{L}}}}.}$

입력 전압에 대한 출력 전압의 비율은

${\displaystyle H(s)\triangleq {V_{out}(s)}{V_{in}(s)}}=param frac {{0}^{2}}{s^{2}+2\zeta \mega _{0}s+\mega _{0}^2}}}$

H(s)는 입력 전압과 출력 전압 사이의 전달 함수입니다.이 전달 함수는 전달 함수의 분모에 있는 다항식의 근인 두 개의 극을 가진다.

${\displaystyle s=-\zeta \obega _{0}\pm i\obega _{0}{\behrt {1-\zeta ^{2}}}}$

(5)

전달 함수의 분자에 있는 다항식의 루트인 0은 없습니다.또한 θ θ 1의 경우 이들 극의 크기는 고유 주파수 θ이며₀, 고조파 발진기 예에서 공진 조건인 θ < ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$/ $2$\ $displaystyle$ \ sqrt ${2$의 경우 극은 실제 축보다 가상 축에 유의하십시오.

전송 함수는 가상 축 s = i120을 따라 H(s)를 평가하여 이 회로의 주파수 응답을 설명합니다.마찬가지로 주파수 응답은 라플라스 변환 대신 식(4)의 푸리에 변환을 취함으로써 분석할 수 있다.전달 함수도 복잡하지만 게인 및 위상이라고 할 수 있습니다.

${\displaystyle H(i\Omega)=G(\Omega)e^{i\Phi(\Omega)}.}$

주파수 θ에서의 사인파 입력전압은 G(θ)로 스케일링되어 위상편이가 δ(θ)인 동일한 주파수로 출력전압을 생성한다.게인 및 위상은 Bode 플롯에 주파수 대 플롯할 수 있습니다.RLC 회로의 콘덴서 전압의 경우 전송 함수 H(iµ)의 이득은 다음과 같습니다.

${{displaystyle G(\obmega)={0}^{2}}{\subrt {left(2\obmega \{0}\zeta \right)^2}+(\obmega_{0}^2}-\obmega^{2}}}{2}}}}.}$

(6)

여기서 게인과 식 (3)의 진폭 사이의 유사성에 주목하십시오.다시 한 번 공진 주파수에서 게인이 극대화됩니다.

${\displaystyle \mega _{r}=\mega _{0}{\displayrt {1-2\zeta ^{2}}}.}$

여기서 공진은 다른 구동주파수에서의 진폭에 비해 캐패시터간 전압의 정상상태 진동에 대해 상대적으로 큰 진폭을 갖는 것에 물리적으로 대응한다.

인덕터 전체의 전압

공진 주파수가 반드시 위의 예에서 제시된 형태를 취할 필요는 없습니다.대신 RLC 회로의 경우 대상 출력 전압이 인덕터 전체의 전압이라고 가정합니다.위와 같이 라플라스 도메인에서 인덕터의 전압은 다음과 같습니다.

${\displaystyle V_{out}=sLI,}$

${\displaystyle V_{out}(s)=sfrac {s^{2}}+{\frac {R}{L}s+{\frac {1}{LC}}} V_{in},}$

${\displaystyle V_{out}(s)=sfrac {s^{2}+2\zeta \mega _{0}s+\mega _{0}^2}}V_{in}(s)$

위의₀ 예시와 같은 정의를 사용하여 " " 및 " 에 대해 사용합니다.인덕터를 통해 V와 이 새로운_out V 사이의_in 전송 함수는 다음과 같습니다.

$({displaystyle H(s)=sec frac {s^{2}+2\zeta \mega _{0}s+\mega _{0}^2}}).}$

이 전달 함수는 이전 예에서 전달 함수와 같은 극성을 가지지만, s = 0에서 분자에 두 개의 0이 있습니다. 허수 축을 따라 H(s)를 평가하면, 그 이득은 다음과 같습니다.

${\displaystyle G(\obmega ^{2}}={\displayrt {left(2\Omega \mega _{0}\zeta \right)^2}+(\obmega _0}^2}-\obmega ^{2}}^{2}}}}}}}.}$

캐패시터 전압을 출력으로 사용한 식 (6)의 이득과 비교하여 이 이득은 분자 내에서 θ의² 계수를 가지며 따라서 이득을 최대화하는 다른 공진 주파수를 갖게 됩니다.그 주파수는

${\displaystyle \mega _{r}=modecfrac {\modecrt {1-2\zeta ^{2}}},$

따라서 동일한 RLC 회로의 경우 인덕터 전체의 전압을 출력으로 하여 공진 주파수는 자연 주파수보다 커졌지만 댐핑비가 0이 되어도 자연 주파수로 향하는 경향이 있습니다.같은 회로가 다른 출력 선택에 대해 다른 공진 주파수를 가질 수 있다는 것은 모순되지 않습니다.식 (4)에서 보듯이 회로 전체의 전압 강하는 3개의 회로 소자로 나뉘며 각 소자는 서로 다른 역학을 가집니다.콘덴서의 전압은 시간이 지남에 따라 전류를 통합함으로써 느리게 증가하므로 낮은 주파수에 더 민감하지만, 인덕터의 전압은 전류가 빠르게 변화할 때 증가하므로 높은 주파수에 더 민감합니다.회로는 전체적으로 진동하는 경향이 있는 고유 주파수를 가지지만, 각 회로 소자의 역학이 다르기 때문에 각 소자는 약간 다른 주파수로 공진합니다.

저항기 전체의 전압

대상 출력 전압이 저항 전체의 전압이라고 가정합니다.라플라스 도메인에서 저항기 전체의 전압은 다음과 같습니다.

${\displaystyle V_{out}=RI,}$

${\displaystyle V_{out}(s)=svsfrac {Rs}{L(s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}}}V_{in}(s)}$

그리고 캐패시터 예시와 동일한 고유 주파수 및 감쇠비를 사용하여 전달 함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle H(s)=frac {2\zeta \mega _{0}s}{s^{2}+2\zeta \mega _{0}s+{0}{2}}.}$

이 전송 함수 역시 이전의 RLC 회로 예시와 같은 극성을 가지지만, s = 0인 분자에 0이 1개뿐이라는 점에 유의하십시오.이 전송 함수의 경우 이득은

${\displaystyle G(\obea)=frac {2\zeta \mega _{0}\obe }{\behrt {\left(2\obe \mega \mega \{0}\zeta \right)^2}+(\obe _0}^2}-\obe {2}}}}}}.}$

이 게인을 최대화하는 공진 주파수는

${\displaystyle \mega _{r}=\mega _{0}}$

게인은 이 주파수에서 1이므로 저항기 전체의 전압이 회로의 고유 주파수로 공진하고 이 주파수에서 저항기 전체의 전압 진폭은 입력 전압의 진폭과 같습니다.

반공진

일부 시스템은 공명과 같은 방식으로 분석할 수 있는 반공진성을 보입니다.반공진성의 경우 특정 주파수에서 시스템 응답의 진폭은 불균형적으로 크다기보다는 불균형적으로 작습니다.RLC 회로의 예에서는 인덕터와 캐패시터의 조합을 분석함으로써 이 현상을 확인할 수 있습니다.

RLC 회로의 출력 전압이 인덕터와 캐패시터를 직렬로 조합한 전압이라고 가정합니다.등식(4)은 3개의 회로 소자에 걸친 전압의 합계가 입력 전압에 해당하므로 출력 전압을 인덕터와 캐패시터 전압의 합계로 측정하는 것은 v에서 저항기의 전압 강하를 뺀 것과 같습니다_in.이전 예에서는 시스템의 고유 주파수에서 저항기 전체의 전압 강하 진폭은 v의_in 진폭과 같으므로 인덕터와 캐패시터를 합친 전압은 0의 진폭을 갖는 것으로 나타났습니다.이것을 전송 기능으로 표시할 수 있습니다.

인덕터와 콘덴서 전압의 합계는 다음과 같습니다.

${\displaystyle V_{out}(s)=(sL+{\frac {1}{sC}})I(s),}$

${\displaystyle V_{out}(s)=flac {s^{2}+{\frac {1}{LC}}{s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}}: V_{in}(초).}$

이전 예시와 동일한 고유 주파수 및 댐핑 비율을 사용하여 전달 기능은 다음과 같습니다.

$({displaystyle H(s)=specfrac {s^{2}+\obega _{0}^{2}}{s^2}}{s^{2}+2\zeta \obega _{0}s+\obega _{0}^2}}}}.}$

이 전송은 앞의 예와 같은 극을 가지지만, 다음 예에서 0을 갖는다는 점에 주의해 주십시오.

${\displaystyle s=\pm i\mega_{0}.}$

(7)

가상 축을 따라 전달 함수를 평가할 때, 그 이득은

${{displaystyle G(\obmega)={{0}^{2}-\obmega ^{2}{\bright}{\brt {left(2\obega \mega \{0}\zeta \right}^2}+(\obmega _0}^2}-\bright)}}.}$

공진(예: 게인의 피크)을 찾는 대신, 게인이 δ = µ에서₀ 0이 된다는 점에 주목하십시오. 이는 저항기 전압 분석을 보완합니다.이것은 반공명이라고 불리며 공명의 반대 효과가 있다.이 주파수에서는 출력이 불균형하게 커지는 것이 아니라 이 출력 선택지를 가진 이 회선에서는 이 주파수에서는 응답이 전혀 없습니다.필터링된 주파수는 전달 함수의 0에 정확히 해당하며, 이는 식 (7)에 나타나 가상 축에 있습니다.

RLC 시리즈 회선의 공진과 주파수 응답의 관계 예

이러한 RLC 회로의 예는 공진이 시스템의 주파수 응답과 어떻게 관련되어 있는지를 나타내고 있습니다.구체적으로는, 다음의 예를 나타냅니다.

• 예를 들어 Bode 진폭 플롯에서 시스템의 입력과 출력 간 전송 함수 이득의 피크를 찾아 공진 주파수를 찾는 방법
• 시스템 출력 선택에 따라 단일 시스템의 공진 주파수가 달라지는 방법
• 시스템의 고유 주파수, 시스템의 댐핑 비율 및 시스템의 공진 주파수 사이의 연결부
• 시스템의 고유 주파수와 전달 기능 극의 크기 사이의 연결성(식 (5)에서 지적됨), 따라서 극과 공진 주파수 사이의 연결성
• 전달함수의 0과 주파수의 함수로서의 게인 형상과의 연결, 따라서 게인을 최대화하는 0과 공진 주파수와의 연결
• 전송 함수의 0과 반공진 사이의 연결

다음 섹션에서는 이러한 개념을 일반 선형 시스템의 공명으로 확장합니다.

선형 시스템의 공진 및 반공진 일반화

다음으로 입력과 출력이 여러 개인 임의의 선형 시스템을 살펴보겠습니다.예를 들어, 상태 공간 표현에서는 3개의 입력과 2개의 출력이 있는 3차 선형 시간 불변 시스템이 다음과 같이 기록될 수 있습니다.

${\displaystyle {\dot {bmatrix}_{1}\{\dot {x}}_{2}\{\dot {x3}\end {bmatrix}=A{\begin{bmatrix}x_{1}(t)\x_{2}(t)\x_{3}(t)\end{bmatrix}+B{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\u_{3}(t)\end{batrix}}$

${\displaystyle {bmatrix}y_{1}(t)\y_{2}(t)\end{bmatrix}=C{\begin{bmatrix}x_{1}(t)\x_{3}(t)\end{bmatrix}+D{begin1}{batrix}=C{c}$

여기서_i u(t)는 입력, x_i(t)는 상태 변수, y_i(t)는 출력, A, B, C 및 D는 변수 간의 역학을 설명하는 행렬입니다.

이 시스템에는 다양한 입력과 출력 사이의 전달 함수를 요소로 하는 전달 함수 매트릭스가 있습니다.예를들면,

$(\displaystyle \ bmatrix \Y_{1}(s)\Y_{2}(s)\end{bmatrix}}=(begin{bmatrix})H_{11}(s)&H_{12}(s)&H_{13}s\\H_{214(s)&H_{22}s&)H_{23}(s)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}(s)\U_{2}(s)\U_{3}(s)\end{bmatrix}}.}$

각_ij H는 입력 중 하나를 출력 중 하나에 연결하는 스칼라 전송 함수입니다.위의 RLC 회로 예에서는 1개의 입력전압을 가지고 있으며, 4개의 가능한 출력전압(콘덴서, 인덕터, 저항기, 콘덴서와 인덕터)을 각각 독자적인 전송함수와 조합하여 나타내고 있습니다.RLC 회로가 이들 4개의 출력 전압을 모두 측정하도록 설정되어 있는 경우, 이 시스템에는 단일 입력을 4개의 출력 각각에 연결하는 4×1 전송 함수 매트릭스가 있습니다.

가상 축을 따라 평가하면 각_ij H(iω)는 게인 및 위상 시프트로 기록될 수 있습니다.

$(\displaystyle H_{ij}(i\Omega)=G_{ij}(\Omega)e^{i\Phi_{ij}(\Omega)}).}$

특정 주파수에서 게인의 피크는 시스템이 안정적이라고 가정할 때 전송 함수의 입력과 출력 사이의 공진에 해당합니다.

각 전달함수_ij H(s)는 분자와 분모가 s의 다항식인 분수로도 쓸 수 있다.

${\displaystyle H_{ij}(s)=svsfrac {N_{ij}(s)}{D_{ij}(s)}.}$

분자의 복소근은 0, 분모의 복소근은 극이라고 불립니다.안정된 시스템을 위해 복잡한 평면상의 이러한 극과 영점 위치는 시스템이 공진 또는 반공진할 수 있는지, 어떤 주파수에서 공진할 수 있는지를 나타냅니다.특히, 가상 성분을 가진 안정적이거나 약간 안정적인 복잡한 켤레 극 쌍은 고유 주파수와 감쇠 비율의 관점에서 다음과 같이 기록될 수 있다.

$({displaystyle s=-\zeta \obega _{0}\pm i\obega _{0}{\behrt {1-\zeta ^{2}}})$

식 (5)과 같다.이 극의 고유 주파수 θ는₀ 복합 평면상의 극 위치 크기이며, 그 극의 감쇠비는 그 진동이 얼마나 빨리 감소하는지를 결정합니다.일반적으로는^[4]

• 가상축 근처의 복합공역극 쌍은 극의 고유주파수 근처의 주파수 응답의 피크 또는 공명에 대응합니다.극 쌍이 가상 축에 있으면 해당 주파수에서 게인은 무한합니다.
• 가상축 근처의 복합공역쌍 0은 0의 주파수 근처의 주파수 응답의 노치 또는 반공명, 즉 0의 크기와 동일한 주파수에 대응한다.0의 쌍이 가상 축에 있으면 해당 주파수에서 게인은 0이 됩니다.

RLC 회로의 예에서는 공명에 관한 극과 관련된 첫 번째 일반화가 식 (5)에 나타나 있습니다.제로에 관한 두 번째 일반화는 식 (7)에서 관찰된다.고조파 발진기, RLC 회로 캐패시터 전압 및 RLC 회로 인덕터 전압의 예에서 "가상 축 근처의 폴"은 감쇠가 현저하게 낮은 상태 θ < 1/ ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}${ $displaystyle${ $sqrt {2$에 해당합니다.

정재파

물리 시스템은 자유도만큼 많은 고유 주파수를 가질 수 있으며 각각의 고유 주파수 근처에서 공명할 수 있습니다.스프링의 질량은 하나의 자유도를 가지며 하나의 고유 진동수를 갖는다.자유도가 두 개인 이중 진자는 두 개의 고유 주파수를 가질 수 있다.결합된 고조파 발진기의 수가 증가함에 따라, 한 곳에서 다음 곳으로 에너지를 전달하는 데 걸리는 시간이 길어집니다.자유도가 매우 큰 시스템은 개별 ^{[citation needed]}발진기를 갖는 것이 아니라 연속적인 것으로 간주할 수 있습니다.

에너지는 하나의 발진기에서 다음 발진기로 파동의 형태로 전달됩니다.예를 들어, 기타의 줄이나 그릇의 물 표면은 작은 결합 발진기의 연속체로 모델링될 수 있으며, 파도는 그것들을 따라 이동할 수 있다.대부분의 경우 이러한 시스템은 특정 주파수에서 공진하여 고정 위치에서 큰 진폭의 진동과 함께 정상파를 형성할 수 있습니다.정파 형태의 공명은 악기에 의해 생성되는 소리, 레이저와 전자레인지에서 사용되는 전자파 공동, ^{[citation needed]}원자의 에너지 수준과 같은 많은 친숙한 현상들에 기초한다.

끈에 매달린 물결

일정한 길이의 스트링이 특정 주파수로 구동되면 파동은 같은 주파수로 스트링을 따라 전파됩니다.파도는 끈의 끝에서 반사되어 마침내 안정된 상태에 도달하고 파도는 양방향으로 이동합니다.파형은 ^[5]파형의 중첩입니다.

특정 주파수에서는 정상 상태 파형이 문자열을 따라 이동하지 않는 것으로 보입니다.노드라고 불리는 고정 위치에서는 문자열이 이동하지 않습니다.노드 간 및 노드 간(반노드라고 하는 위치) 정확히 중간 지점에 문자열이 진동합니다. ^[6][7][8]진동 진폭이 가장 큽니다.

고정 $단부가$ 있는 $문자열{\displaystyle }$L(\$displaystyle$ L$)$의 $경우{\displaystyle }$$$^[5] x$(\displaystyle$ x$)$ 축에$$ 수직인 $문자열$의 $변위{\displaystyle }$ y$(x,$t$)$는 $다음$과 같습니다.

${\displaystyle y(x,t)=2y_{\text{max}}\sin(kx)\cos(2\pi ft),}$

어디에

• ${\displaystyle {\text{y}}_{}}$max {\$displaystyle y_{\text{max}}}$는 정재파를 형성하기 위해 간섭하는 좌우 진동파의 진폭입니다.
• $(\displaystyle$ k$)$는 Wave 번호입니다.
• $\displaystyle$f는$$ 주파수입니다.

공명하여 정상파를 형성하는 주파수는 현의^[9][7] 길이와 관련이 있습니다.

$displaystyle$$L$

${\displaystyle n=1,2,3,\display}$

$여기$서$$v {\$displaystyle$v}는$$ 파형의 속도이고 $정수{\displaystyle }$n {\$displaystyle$ n$}$은 다양한 모드 또는 고조파를 나타냅니다.n$${\$displaystyle$n} =$$ $1인{\displaystyle }$ 정재파는 기본 주파수로 진동하며, 파장은 문자열 길이의 두 배입니다.가능한 진동 모드는 고조파 ^[9]급수를 형성합니다.

종류들

기계 및 음향

기계적 공명은 진동 주파수가 다른 주파수보다 시스템의 고유 진동 주파수와 일치할 때 더 많은 에너지를 흡수하는 기계 시스템의 경향입니다.이는 교량, 건물, 기차 및 항공기를 포함하여 부적절하게 건설된 구조물에서 격렬한 흔들림 움직임과 심지어 치명적인 고장을 일으킬 수 있습니다.물체를 설계할 때 엔지니어는 부품 부품의 기계적 공진 주파수가 모터 또는 기타 진동 부품의 구동 진동 주파수와 일치하지 않는지 확인해야 합니다. 이러한 현상을 공진 재해라고 합니다.

모든 건물, 주탑, 교량 건설 프로젝트에서는 공진 재해의 회피가 주요 관심사입니다.대응책으로 쇼크 마운트를 설치하여 공진 주파수를 흡수하여 흡수된 에너지를 방산할 수 있다.타이베이 101 빌딩은 공명을 취소하기 위해 튜닝된 질량 댐퍼인 660톤 (730톤)의 진자에 의존합니다.또한 이 구조는 일반적으로 발생하지 않는 주파수로 공진하도록 설계되어 있습니다.지진대에 있는 건물은 예상되는 지반 운동의 진동 주파수를 고려하도록 건설되는 경우가 많다.또한 엔진을 가진 물체를 설계하는 엔지니어는 구성 부품의 기계적 공진 주파수가 모터 또는 기타 강하게 진동하는 부품의 구동 진동 주파수와 일치하지 않도록 해야 합니다.

시계는 평형 휠, 추 또는 석영 결정의 기계적 공명에 의해 시간을 유지한다.

하지에 축적된 탄성 에너지와 ^[10]달리기 선수의 질량 사이의 공명 때문에 달리기 선수의 운율은 에너지적으로 유리하다는 가설이 있다.

음향 공명은 기계 공명의 한 분야로, 인간의 청각의 주파수 범위, 다시 말해 소리와 관련된 기계적 진동입니다.인간의 경우, 청각은 보통 약 20Hz에서 20,000Hz(20kHz)^[11] 사이의 주파수로 제한되며, 많은 물체 및 소재가 이 범위 내의 공명 주파수를 가진 공명기로 작용하며, 기계적으로 부딪히면 주변 공기를 밀어 음파를 생성한다.이것이 우리가 듣는 많은 타악음의 원천이다.

음향 공명은 악기 제작자에게 중요한 고려 사항입니다. 대부분의 음향 악기는 바이올린 현과 본체, 플루트의 튜브 길이, 드럼 막의 모양과 장력과 같은 공명기를 사용합니다.

기계적 공명과 마찬가지로 음향 공명은 공명 시 물체의 치명적인 고장을 초래할 수 있습니다.이것의 전형적인 예는 잔의 정확한 공명 주파수로 소리가 나는 와인잔을 깨는 것이지만,^[12] 실제로는 어렵다.

국제 우주 정거장

국제우주정거장의 로켓 엔진은 자동 조종에 의해 제어된다.통상 즈베즈다 모듈의 엔진 제어 시스템을 제어하기 위한 매개변수가 업로드되면 로켓 엔진은 국제우주정거장을 더 높은 궤도로 끌어올린다.로켓 엔진은 경첩에 장착되어 있고, 보통 승무원들은 작동을 알아차리지 못한다.그러나 2009년 1월 14일, 업로드된 매개변수에 의해 자동 조종은 0.5Hz의 주파수로 로켓 엔진을 점점 더 큰 진동으로 흔들게 되었다.이러한 진동은 비디오에 포착되어 142초간 ^[13]지속되었습니다.

전기

전기공진은 회로의 임피던스가 직렬회로에서 최소 또는 병렬회로에서 최대일 때(보통 전송함수가 절대값으로 피크일 때) 특정 공진주파수로 전기회로에 발생합니다.회로의 공명은 텔레비전, 휴대전화, 라디오와 같은 무선 통신을 송수신하는 데 모두 사용된다.

옵티컬

광학 공진기라고도 불리는 광학 공동은 광파를 위한 정재 파동 공동 공진기를 형성하는 거울의 배열입니다.광학 공동은 이득 매체를 둘러싸고 레이저 빛의 피드백을 제공하는 레이저의 주요 구성요소입니다.또한 광학 파라미터 발진기 및 일부 간섭계에도 사용됩니다.공동에 갇힌 빛은 특정 공명 주파수에 대해 정상파를 생성하는 여러 번 반사됩니다.생성되는 정재파 패턴을 "모드"라고 합니다.세로 모드는 주파수만 다른 반면 가로 모드는 주파수에 따라 다르며 빔의 단면 전체에 걸쳐 강도 패턴이 다릅니다.링 공진기와 속삭임 갤러리는 정상파를 형성하지 않는 광학 공진기의 예입니다.

서로 다른 공진기 유형은 두 미러의 초점 거리 및 두 미러 사이의 거리로 구분됩니다. 평면 미러는 정확하게 정렬하기 어렵기 때문에 자주 사용되지 않습니다.빔이 안정적으로 유지되도록 지오메트리(공진기 유형)를 선택해야 합니다. 즉, 빔 크기가 각 반사에 따라 계속 커지지 않습니다.또한 공진기 유형은 최소 빔 웨이스트 또는 캐비티 내부에 초점(따라서 그 지점에서의 강한 빛)이 없는 것과 같은 다른 기준을 충족하도록 설계되었습니다.

광학 캐비티는 매우 큰 Q 계수를 ^[14]갖도록 설계되어 있습니다.빔은 감쇠가 거의 없는 상태에서 많은 횟수를 반사하기 때문에 빔의 주파수 선폭이 레이저 주파수에 비해 작습니다.

추가적인 광학 공진은 유도 모드 공진 및 표면 플라스몬 공진이며, 공진 시 비정상적인 반사 및 높은 증발 필드를 초래합니다.이 경우 공진모드는 도파관의 유도모드 또는 유전금속계면의 표면플라스몬모드이다.이러한 모드는 보통 서브파장 격자에 의해 들뜨게 됩니다.

궤도

천체역학에서 궤도 공명은 두 궤도 주기가 두 개의 작은 정수의 비율에 의해 관련되기 때문에 궤도를 도는 두 물체가 서로 규칙적이고 주기적인 중력에 영향을 미칠 때 발생합니다.궤도 공명은 물체의 상호 중력 영향을 크게 강화한다.대부분의 경우, 이것은 불안정한 상호작용을 야기하며, 그 결과 공명이 더 이상 존재하지 않을 때까지 물체는 운동량을 교환하고 궤도를 이동한다.상황에 따라서는 공명 시스템이 안정적이고 자가보정될 수 있어 몸이 공명 상태를 유지할 수 있습니다.목성의 위성 가니메데, 유로파, 이오의 1:2:4 공명과 명왕성과 해왕성의 2:3 공명이 그 예이다.토성의 내위성과의 불안정한 공명 때문에 토성의 고리에 틈이 생긴다.(비슷한 궤도 반경을 가진 물체들 사이에) 1:1 공명이라는 특별한 경우로 인해 큰 태양계 물체는 그들 주변의 거의 모든 것을 분출함으로써 그들의 궤도 주변을 청소하게 됩니다; 이 효과는 행성의 현재 정의에 사용됩니다.

원자, 입자 및 분자

핵자기공명(NMR)은 적용된 외부 자기장의 존재 하에서 원자핵의 특정 양자역학적 자기 특성을 관찰하는 물리적 공명 현상에 붙여진 이름이다.많은 과학적 기술들이 NMR 현상을 이용하여 NMR 분광학을 통해 분자 물리학, 결정 및 비결정 물질을 연구합니다.NMR은 자기공명영상(MRI)과 같은 고급 의료 영상 기술에도 일상적으로 사용됩니다.

홀수 개수의 핵자를 포함하는 모든 핵은 고유의 자기 모멘트와 각운동량을 가지고 있다.NMR의 주요 특징은 특정 물질의 공진 주파수가 인가된 자기장의 강도에 정비례한다는 것입니다.샘플이 불균일한 자기장에 배치될 경우 샘플핵의 공진 주파수는 필드 내 어디에 위치하느냐에 따라 달라집니다.따라서, 이 입자는 공명 주파수에 의해 매우 정밀하게 위치할 수 있습니다.

ESR로 알려진 전자 상사성 공명은 NMR과 유사한 스펙트럼 분석 기술이지만 대신 짝을 이루지 않은 전자를 사용합니다.재료는 쌍이 없는 스핀과 상사성이어야 하므로 이를 적용할 수 있는 재료는 훨씬 더 제한적입니다.

뫼스바우어 효과는 공명 및 무반동 방출과 고체 형태로 결합된 원자에 의한 감마선 광자의 흡수이다.

입자물리학에서의 공명은 양자역학 및 양자장론 수준에서 고전물리학과 유사한 환경에서 나타난다.공진은 또한 불안정한 입자로 생각할 수 있으며, δ가 입자의 붕괴 속도이고 δ가 입자의 질량 M인 경우 이 기사의 유니버설 공명 곡선 섹션의 공식이 적용된다.이 경우, 이 공식은 입자의 전파기에서 나온 것으로, 질량은 복소수 M + IΩ으로 대체됩니다.이 공식은 광학 정리에 의해 입자의 붕괴 속도와 더욱 관련이 있다.

단점들

좁고 구조적으로 유연한 다리 위를 규칙적으로 행진하는 군인들의 행렬은 위험할 정도로 큰 진폭의 진동을 일으킬 수 있다.1831년 4월 12일, 영국 샐포드 근처의 브루튼 현수교가 영국 군인들이 ^[15]행진하던 중 무너졌다.그 이후로,^[16][17] 영국 육군은 다리에 영향을 미치는 규칙적인 행진 패턴의 공명을 피하기 위해 다리를 건너갈 때 보폭을 늦추라는 상비 명령을 받아왔다.

모터 또는 엔진의 진동은 고유 주파수가 엔진 진동과 비슷할 경우 지지 구조물에 공명 진동을 유발할 수 있습니다.일반적인 예로는 엔진을 공회전 상태로 둘 때 버스 차체가 덜컹거리는 소리가 있습니다.

바람에 의해 유도되는 현수교의 구조적 공명은 붕괴를 초래할 수 있다.유럽과 미국의 몇몇 초기 현수교는 약한 바람으로 인한 구조적 공명에 의해 파괴되었다.1940년 11월 7일 타코마 협교 붕괴는 물리학의 전형적인 ^[18]공명 사례로 특징지어진다.Robert H. Scanlan과 다른 사람들에 의해 파괴는 대신 공기 탄성 파동, 다리와 다리를 통과하는 바람 사이의 복잡한 상호작용에 의해 발생했다고 주장했습니다. 즉, 자기 진동의 예, 또는 ^[19]비선형 진동 이론에서 언급되는 "자기 지속 진동"의 일종입니다.

Q계수

Q 계수 또는 품질 계수는 발진기 또는 공진기의 감쇠 정도를 나타내는 무차원 파라미터로 중심 ^[20][21]주파수에 대한 공진기의 대역폭을 특징짓습니다.Q 값이 높으면 저장된 에너지에 비해 낮은 에너지 손실률을 나타냅니다. 즉, 시스템이 약간 감쇠된 것입니다.파라미터는 다음 식에 의해 정의됩니다.

${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \frac{\text{µ}}{}}$ 공진$$ 최대 ${\displaystyle \frac{\text{에너지 저장량}}{}}$ {$displaystyle$ Q$=2\pi {\frac${\$text {maximum energy$ stored$}}{\text {공진 시 사이클당$ 총 $에너지 손실량$^[22]

Q계수가 높을수록 공명주파수에서의 진폭은 커지고 공명주파수 주변의 대역폭 또는 주파수 범위는 작아집니다.전기 공진에서는 무선 수신기의 고Q회로는 튜닝이 더 어렵지만 선택성이 높기 때문에 다른 방송국으로부터의 신호를 필터링하는 데 더 적합합니다.하이큐 발진기가 더 ^[22]안정적입니다.

일반적으로 낮은 Q 계수를 갖는 예로는 도어 클로저(Q=0.5)가 있습니다.Q 계수가 높은 시스템에는 튜닝 포크(Q=1000), 원자 시계 및 레이저(Qq10¹¹)^[23]가 포함됩니다.

보편 공명 곡선

공명의 정확한 응답은, 특히 공명 주파수에서 멀리 떨어져 있는 주파수에 대해서는, 물리 시스템의 상세에 의해서 좌우되며, 통상, 위의 단순한 고조파 발진기에서 나타내듯이, 공명 주파수에 대해서는 정확하게 대칭이 되지 않습니다.공진주파수가 δ인 감쇠한 선형 발진기의 경우, 시스템이 구동주파수 ^[24]δ로 구동될 때의 발진 강도 I는 일반적으로 공진주파수에 대해 대칭인 공식에 의해 근사됩니다.

${\displaystyle I(\Omega)\equiv \chi ^{2}\propto {\frac {1}{{\frac -\Omega}^2}+\left({\frac {Gamma }{2}}\right})^2}}.}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $민감$도 ${\displaystyle (}$ ($$ ) \ $displaystyle \chi$ ( \$메가$)는$$ 발진기의 진폭을 주파수 ^[25]공간의 구동력에 연결합니다.

$\displaystyle x(\obega)=\chi(\obega)F(\obega)}$

강도는 진동의 진폭의 제곱으로 정의된다.이것은 로오 렌쯔 형 기능, 혹은 코오 시 유통, 그리고 이 응답 많은 육체적 상황 공진 시스템과 관련된에서 발견된다.그 발진기의 급습에 Γ 변수 따라, 그리고 공명의 선폭으로 알려져 있다.가혹하게 감쇠 oscillators 넓은 linewidths가 필요하며 공진 주파수에 주파수를 운전하고 보다 광범위한 반응하는 경향이 있다.그 선폭 반비례가 공명의 날카로움의 척도가 되는이 Q인자에 정비례한다.

라디오 공학과 전자 공학에서, 이 근사 대칭 응답을 보편적인 공명 곡선 개념 FrederickE.에 의해 도입으로 알려져 있터먼 1932년 중심 주파수와 Qvalues[26][27]의 범위와 라디오 회로의 대략적인 분석을 축소시키기 위해서.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

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외부 링크

• 물리학에 관한 파인만 강의 제1권.I장 23: 공명
• 공명 - 온라인 교과서의 한 장
• 그린, 브라이언 "현악기에서의 공진"우아한 우주, NOVA (PBS)
• 공명 개념에 관한 하이퍼 물리 섹션
• 공명 대 공명(용어 사용)
• 하프시코드의 나무와 공기 공명
• 구동력의 주파수가 변화할 때 문자열의 공진을 나타내는 자바 애플릿
• 구동 주파수가 발진기의 고유 주파수와 일치할 때 공명 발생을 나타내는 자바 애플릿
• 고속 유리 깨짐 영상 등 소리와 함께 유리 깨짐