통계다지관

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수학에서 통계적 다지관은 리만 다지관이며, 각각의 점은 확률분포다. 통계 다지관은 정보 기하학 분야에 대한 설정을 제공한다. 피셔 정보 메트릭은 이러한 다지관에 대한 메트릭을 제공한다. 이 정의에 따라 로그 우도 함수는 서로 다른 맵이며 점수는 포함이다.^[1]

예

모든 정상 분포의 집단은 기대값 μ와 분산 ≥ 0에² 의해 파라메트릭된 2차원 파라메트릭 공간이라고 생각할 수 있다. 피셔 정보 매트릭스에서 주어진 리만 메트릭스를 갖추고 쌍곡 공간을 모델로 한 기하학적 구조를 가진 통계 다지관이다.

물리학에서 따온 통계적 다지관의 간단한 예는 표준적인 앙상블일 것이다: 그것은 1차원 다지관이며, 온도 T는 다지관의 좌표 역할을 한다. 어떤 고정 온도 T의 경우, 하나는 확률 공간을 가지고 있다. 따라서, 원자 기체의 경우, 그것은 원자의 속도에 대한 확률 분포는 분포일 것이다. 온도 T를 변화시키면서 확률 분포도 변화한다.

의약품에서 추출한 또 다른 간단한 예는 투여된 의약품의 양에 대한 환자의 결과의 확률 분포일 것이다. 즉, 고정 선량의 경우 일부 환자는 호전되지만 일부는 그렇지 않다: 이것이 기본 확률 공간이다. 복용량이 다양하면 결과의 확률이 변한다. 따라서 투여량은 다지관의 좌표가 된다. 원활한 다지관이 되려면 임의로 작은 용량 변화에 대응하여 결과를 측정해야 할 것이다. 선량이 임의로 변화할 수 있는 선량-반응의 수학 모델이 존재하지 않는 한, 이는 실질적으로 실현 가능한 예가 아니다.

정의

X를 방향성 있는 다지관이 되게 하고$,{\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{X}}$ , ${\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle }$μ $){\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$을 X에 대한 척도가 되게$$ 하라. Equivalently, let ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ be a probability space on ${\displaystyle \Omega =X}$, with sigma algebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\Sigma }$ and probability ${\displaystyle P=\mu }$.

X의 통계적 다지관 S(X)는 X의 모든 측정 $[\displaystyle \mu }$의 공간으로 정의된다(시그마-알게브라 $bra$ ${\displaystyle \Sigma }).$ 이 공간은 무한한 차원이라는 점에 유의하십시오. 이 공간은 일반적으로 프레셰트 공간으로 간주된다. S(X)의 포인트는 대책이다.

무한 차원 공간 S(X)를 다루기보다는, 어떤 매끄럽고 연속적인 변광성 매개변수 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$에 의해 매개변수화된 일련의 확률 분포를 고려함으로써 정의되는 유한 차원 서브매니폴드로 작업하는 것이 일반적이다$.$ 즉 파라메트에 의해 선택된 조치만을 고려한다.er. 매개 변수 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$이(가) n차원이라면 일반적으로 하위 manifold도 마찬가지일 것이다. 모든 유한차원 통계다지관은 이런 방식으로 이해할 수 있다.^{[clarification needed]}

참조