다항식 장분할

대수학에서 다항식 장분할은 다항식을 동일도 이하의 또 다른 다항식으로 나누는 알고리즘으로, 장분할이라고 하는 익숙한 산술 기법의 일반화된 버전이다. 그것은 다른 복잡한 분할 문제를 작은 문제로 구분하기 때문에 손으로 쉽게 할 수 있다. 때때로 합성분할이라고 불리는 속기 버전을 사용하는 것이 더 빠르며, 쓰기도 적고 계산도 적다. 또 다른 약칭 방법은 다항식 단분할법(Blomqvist의 방법)이다.

다항식 장분할은 다항식의 유클리드 분할을 구현하는 알고리즘으로, 2개의 다항식 A(배당)와 B(배당)에서 시작하여 B가 0이 아닐 경우 지수 Q와 나머지 R을 산출한다.

A = BQ + R,

그리고 R = 0 또는 R의 정도가 B의 정도보다 낮다. 이러한 조건들은 Q와 R을 고유하게 정의하는데, 이는 Q와 R이 그것들을 계산하는 데 사용되는 방법에 의존하지 않는다는 것을 의미한다.

R = 0 결과는 다항식 A가 인자로 B를 갖는 경우에만 발생한다. 따라서 긴 분할은 한 다항식이 다른 다항식을 인자로 가지고 있는지 여부를 검정하는 수단이며, 인자가 있는 경우 인자로 간주하기 위한 수단이다. 예를 들어 A의 루트 r이 알려진 경우 A를 (x – r)로 나누어 인수할 수 있다.

예

다항식 장분할

x ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle$ x$^{3}-2x^{2$}-4$,}$ 배당을 $x{\displaystyle }$- ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle x-3,}$만큼 구획한 몫과 나머지 부분을 구하십시오.

배당금은 우선 다음과 같이 다시 작성된다.

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+0x-4.}$

그 다음 지수와 나머지를 다음과 같이 결정할 수 있다.

1. 배당금의 첫 번째 항을 divisor의 가장 높은 항(x의 가장 높은 힘을 가진 항을 의미하며, 이 경우에는 x이다.)으로 나눈다. 막대 위에 결과를 놓으십시오(x³ ÷ x = x²).

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\x{3}-2}x^{2}\x-3\\\\\overline {\)\x^{3}-2x^{2}+0x-4}\end{array}}}}}}}}}}}}}$

2. 방금 얻은 결과(결국 지수의 첫 번째 용어)에 점수를 곱하십시오. 배당금의 처음 두 조건(x² · (x - 3) = x³ - 3x²)에 따라 결과를 작성한다.

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\ x^{3}-2}x^{2}x-3\\\\coverline {\)\x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\color {White}x-3\ )\ }x^{3}-3x^{2}\end{array}}}}}}$

3. 방금 얻은 제품을 원래의 배당금의 적절한 조건(마이너스 기호가 있는 것을 빼는 것은 플러스 기호가 있는 것을 더하는 것과 동등하다는 주의)에서 빼내고, 그 결과를³³ (x² - 2x) - (x² - 3x) = - 2x²² + 3x² = x) 아래에 기록한다. 그런 다음 배당금에서 다음 용어를 "내려오라"고 한다.

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\ x^{3}-2}x^{2}x-3\\\\coverline {\)\x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\color {White}x-3\ )\{}{\underline {x^{3}-3x^{2}}\\\\color {White}x-3\ )\ 0x^{3}}}}+{\color{White}x^{2}+0x\end{array}}}}$

4. 앞의 세 단계를 반복하되, 이번에는 방금 배당금으로 작성된 두 용어를 사용한다.

   ${\displaystyle {\begin{array}{r}x^{2}+{\color {White}1}x1}x1x{}{}+3}\x-3\\\\\overline {\)\x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{}+0x-4}}}\\+x^{2}+0x{\color {White}{}-4}\\{\underline {+x^{2}-3x{\color {White}{}-4}}}\\+3x-4\\\end{array}}}$

5. 4단계를 반복하십시오. 이번에는 '풀다운'할 게 없다.

   ${\displaystyle {\begin{array}{r}x^{2}+{\color {White}1}x+3\x-3\\\\overline {\\\\x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{}+0x-4}}}\\+x^{2}+0x{\color {White}{}-4}\\{\underline {+x^{2}-3x{\color {White}{}-4}}}\\+3x-4\\{\underline {+3x-9}}\\+5\end{array}}}$

막대 위의 다항식은 q(x)이고, 남은 수(5)는 나머지 r(x)이다.

${\displaystyle {x^{3}-2x^{2}-4}=(x-3)\,\underbrace {(x^{2}+x+3) _{q(x)}+\underbrace {5} _{r(x)}}}}$

산술에 대한 장분할 알고리즘은 변수 x가 특정 숫자 10으로 대체되는(베이스 10) 위의 알고리즘과 매우 유사하다.

다항식단분할

블롬크비스트의 방법은^[1] 위의 긴 사단을 축약한 것이다. 이 펜앤페이퍼 방식은 다항식 장분할과 동일한 알고리즘을 사용하지만, 잔존자를 결정하기 위해 정신적 계산이 사용된다. 이것은 글쓰기가 덜 필요하며, 따라서 일단 숙달되면 더 빠른 방법이 될 수 있다.

이 구획은 처음에는 배당을 맨 위에, 그리고 그 아래 구획을 가진 긴 곱셈과 비슷한 방식으로 쓰여진다. 그 인용구는 바 아래에 왼쪽에서 오른쪽으로 쓰도록 되어 있다.

${\displaystyle {\cHB}\qquad \qquad x^{3}-2x^{2}+{0x}-4\\\\\underline {\div \\\div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}\end{d}}}}}}}}}}}}}}}?$

배당금의 첫 번째 항을 분할자의 가장 높은 항(x³ ÷ x = x²)으로 나눈다. 결과를 막대 아래에 놓으십시오. x는³ 나머지를 남기지 않고 분할되었으므로 백슬래시와 함께 사용된 것으로 표시할 수 있다. 그런 다음² 결과 x에 제2항 -3 = -3x를² 곱한다. -2x² - (-3x²) = x를² 빼서 부분적인 나머지를 결정한다. 사용한 대로 -2x를² 표시하고 새 나머지 x를² 그 위에 놓는다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad x^{2}\\\qquad \quad {\bcancel {x}}^{3}+{\bcancel {-2}}x^{2}+{0x}-4\\{\underline {\div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\\x^{2}\qquad \qquad \end{matrix}}}$

나머지 중 가장 높은 항을 분할자의 가장 높은 항(x² = x = x)으로 나눈다. 막대 아래에 결과(+x)를 놓으십시오. x는² 분할되어 나머지가 없으므로 사용으로 표시할 수 있다. 그런 다음 결과 x에 제2항 -3 = -3x를 곱한다. 0x - (-3x) = 3x를 빼서 부분적인 나머지를 결정한다. 사용한 대로 0x를 표시하고 새 나머지를 3x 위에 놓는다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \qquad \quad {\bcancel {x}}^{2}\quad 3x\\\qquad \quad {\bcancel {x}}^{3}+{\bcancel {-2}}x^{2}+{\bcancel {0x}}-4\\{\underline {\div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\\x^{2}+x\qquad \end{matrix}}}$

나머지 중 가장 높은 항을 분할자의 가장 높은 항(3x ÷ x = 3)으로 나눈다. 바 아래에 결과(+3)를 놓으십시오. 3x는 잔여물을 남기지 않고 분할되었으므로 사용으로 표시할 수 있다. 그런 다음 결과 3에 제2항 -3 = -9를 곱한다. -4 - (-9) = 5. 사용한 대로 -4를 표시하고 나머지 5를 위에 놓으십시오.

${\displaystyle {\begin{matrix}\quad \qquad \qquad \qquad {\bcancel {x}}^{2}\quad {\bcancel {3x}}\quad 5\\\qquad \quad {\bcancel {x}}^{3}+{\bcancel {-2}}x^{2}+{\bcancel {0x}}{\bcancel {-4}}\\{\underline {\div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\\x^{2}+x+3\qquad \end{matrix}}}$

막대 아래의 다항식은 q(x)이고, (5)가 남은 숫자는 나머지 r(x)이다.

가성음

알고리즘은 다음과 같이 가성으로 나타낼 수 있으며, 여기서 +, -, ×는 다항 산수를 나타내며 /는 두 용어의 단순한 분열을 나타낸다.

n / d 함수는 d ≠ 0 q r 0 r ← n // 각 단계에서 d = d × q + r이 필요한 반면 r ≠ 0과 degree 도(r) ≥ degree 리드(r) / 납(d) // 선행 조건 q q + t t r - t × d 리턴(q, r)을 나눈다. 

이것은 정도(n) <도(d)>일 때 동등하게 잘 작동한다는 점에 유의하십시오. 이 경우 결과는 사소한(0, n)일 뿐이다.

이 알고리즘은 위의 종이와 연필 방법을 정확히 설명한다. d ""의 왼쪽에 쓰여 있다. q 쓰여진, 용어마다, 수평선 위에, 마지막 용어는 값이다. t; 수평선 아래의 영역은 의 연속적인 값을 계산하고 기록하는데 사용된다. r.

유클리드 분단

B ≠ 0과 같은 모든 다항식(A, B) 쌍에 대해 다항식 분할은 다음과 같은 몫의 Q와 나머지 R을 제공한다.

${\displaystyle A=BQ+R,}$

및 R=0 또는 도(R) < 도(B) 더욱이 (Q, R)은 이 속성을 가진 고유한 다항식 쌍이다.

A와 B로부터 고유하게 정의된 다항식 Q와 R을 얻는 과정을 유클리드 분할(때로는 분할 변환)이라고 한다. 따라서 다항식 긴 분할은 유클리드 분할에 대한 알고리즘이다.^[2]

적용들

인수 다항식

때로는 다항식의 하나 이상의 뿌리가 알려져 있는데, 아마도 합리적 뿌리 정리를 이용하여 발견되었을 것이다. If one root r of a polynomial P(x) of degree n is known then polynomial long division can be used to factor P(x) into the form (x − r)(Q(x)) where Q(x) is a polynomial of degree n − 1. Q(x) is simply the quotient obtained from the division process; since r is known to be a root of P(x), it is known that the remainder must be zero.

마찬가지로 둘 이상의 루트가 알려진 경우 그 중 하나(r)에 있는 선형 인자(x - r)를 나누어 Q(x)를 얻고, 다른 루트, s의 선형 항을 Q(x) 등으로 나눌 수 있다. 또는 모두 한 번에 나눌 수 있다. 예를 들어 선형 요인 x - r과 x - s를 곱하여 2차 요인² x - (r + s)x + rs를 얻을 수 있으며, 이 인자는 원래 다항식 P(x)로 나누어 n - 2의 몫을 얻을 수 있다.

이렇게 해서 그것이 항상 가능한 것은 아니지만 때로는 4도 이상의 다항식의 모든 뿌리를 얻을 수 있다. 예를 들어, 합리적인 뿌리 정리를 사용하여 5분위 다항식의 단일(합리적) 루트를 얻을 수 있다면, 4분위(4도) 지수를 얻을 수 있다. 4분위 다항식의 뿌리에 대한 명시적 공식은 5분위의 다른 4개의 루트를 찾는 데 사용될 수 있다.

다항 함수에 대한 접선 찾기

다항식의 나눗셈 정리-라인은 기능은 다항식 P())에 의해 특정한 시점에 정의한 그래프에 닿는 방정식을 찾기 위해 r.[3]접선 라인의 x)r에서 기능은 y의 그래프에 P())의 분단의()– r)2에 의해 만약 R())은 나머진 다음 방정식 P())은 y)R())와 얼마나 자주'o'를 사용할 수 있fwhether or not r은 다항식의 루트다.

예

x = 1에서 다음 곡선에 접하는 선의 방정식을 구하십시오.

${\displaystyle y=x^{3}-12x^{2}-42.}$

다항식을 (x - 1) ²= x² - 2x + 1로 나누는 것으로 시작:

${\displaystyle {\cHB{array}{r}x-10\\x^{2}-2x+1\\\\\x3}-12x^{2}+0x-42}}\\{\underline {x^{3}-{\color {White}0}2x^{2}+{\color {White}1}x}}{\color {White}{}-42}\\-10x^{2}-{\color {White}01}x-42\\{\underline {-10x^{2}+20x-10}}\\-21x-32\end{array}}}$

접선선은 y = -21x -32이다.

순환 중복 검사

주기적 중복성 검사는 다항분할의 나머지 부분을 사용하여 전송된 메시지의 오류를 검출한다.

참고 항목

• 다항 나머지 정리
• 합성분할, 유클리드 다항분할을 보다 간결하게 수행하는 방법
• 러피니의 법칙
• 유클리드 주
• 그뢰브너 기준
• 두 다항식의 최대 공통점

참조