섬유다발

수학, 특히 토폴로지에서 섬유다발(또는 영연방 영어에서 섬유다발)은 국소적으로 하나의 제품 공간인 공간이지만, 세계적으로는 다른 위상학적 구조를 가질 수 있다. $구체적$으로 공간 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$과(와) $제품{\displaystyle }$ 공간$$ F[\$displaystyle$ B\$time F}$ 사이의 유사성은$$E {\$displaystyle$ \$pi \colon$ E$\$$to B}$의 작은 영역에서 해당 영역에서의 투영처럼$$ $동작$하는 ${\displaystyle \mathrm{연속적}}$인 과부하 지도를 사용하여 정의된다$.$${\displaystyle }$$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B\time F}$ ~ B$$ ${\displaystyle B$ 번들의 투영 또는 투하라고 불리는$$맵 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi}$은 번들 구조의 일부로 간주된다. 공간 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$은(는) 섬유 번들의 총 공간$,$ B {\$displaystyle B}$은(는) 베이스 공간, F {\$displaystyle F}$ 섬유로 알려져$$ 있다.

사소한 경우 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$은(는) ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \times }$ F ${\displaystyle B\times F}$일 뿐이며$,$ 지도 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi}$은(는) 제품 공간에서 첫 번째 인자로 투영된 것에 불과하다$$. 이것을 하찮은 보따리라고 한다. 비종교 섬유다발의 예로는 뫼비우스 스트립과 클라인 병을 비롯하여 비종교적 커버 공간이 있다. 다지관의 접선 번들과 더 일반적인 벡터 번들과 같은 섬유 번들은 주 번들과 마찬가지로 미분 기하학 및 미분 위상에서도 중요한 역할을 한다.

투영 맵과 함께 "커밋"하는 섬유 번들의 총 공간 간의 매핑을 번들 맵이라고 하며, 섬유 번들의 클래스는 그러한 매핑과 관련하여 범주를 형성한다. 기본 공간 자체에서 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$까지의 번들 맵을 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 섹션이라고 한다$$$.$ 섬유 번들은 여러 가지 방법으로 전문화할 수 있으며, 그중 가장 일반적인 것은 로컬 사소한 패치 사이의 전환 맵이 특정 위상학적 그래프로 있어야 한다는 것이다.구조 그룹으로 알려진 oup은 $섬유{\displaystyle }$ F ${\displaystyle F}$에 작용한다$.$

역사

위상에서 섬유(독일어: 파서)와 섬유 공간(게이페이서터 라움)은 1933년 허버트 세이퍼트의 논문에서 처음으로 등장했지만 그의 정의는 매우 특별한 경우에 한정된다.^[1][2] 그러나 오늘날 섬유 공간의 개념과 가장 큰 차이점은 현재 세이퍼트에게 섬유(토폴로지) 공간 E의 기저 공간(토폴로지 공간)이라고 불리는 것이 구조의 일부가 아니라 그 구조에서 E의 몫의 공간으로 파생되었다는 점이다. 광섬유 공간의 첫 번째 정의는 1935년 하슬러 휘트니가 구면공간이라는 이름으로 주었으나 1940년 휘트니는 구면다발로 이름을 바꾸었다.^[4]

벡터다발, 주성다발, 위상학적 섬유와 섬유화된 다지체가 특수한 경우인 섬유화된 공간의 이론은 세이퍼트, 하인츠 홉프,^[5] 자크 펠드바우, 휘트니, 노먼 스틴로드, 찰스 에레스만,^[6][7][8] 장 피에르 세레,^[9] 그리고 그 밖의 다른 것에 기인한다.

섬유 묶음은 1935-1940년에 그들 자신의 연구 대상이 되었다. 첫 번째 일반적인 정의는 휘트니의 작품에 나타났다.^[10]

휘트니는 구체다발의 보다 특별한 개념에 대한 그의 연구로부터 섬유다발의 일반적인 정의를 내리게 되었는데,^[11] 그것은 섬유다발이 임의의 차원의 영역인 섬유다발이다.^[12]

형식 정의

A fiber bundle is a structure ${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F)}$, where ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$, and ${\displaystyle F}$ are topological spaces and ${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$ is a continuous surjection satisfying a local triviality condition outlined be공간 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}$은(는) 번들의 기본 공간, $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$ 총 공간, $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$ 섬유로 불린다$$. π지도는 투영지도(또는 번들 투영)라고 한다. $B{\displaystyle }$ ${\$디스플레이 $스타일$ B$}$이(가) 연결된 것으로 가정한다.

We require that for every ${\displaystyle x\in B}$, there is an open neighborhood ${\displaystyle U\subseteq B}$ of ${\displaystyle x}$ (which will be called a trivializing neighborhood) such that there is a homeomorphism ${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\rightarrow U\times F}$ (여기서 π${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}U}$) ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$은(는) 하위 공간 토폴로지가 주어지며$$, ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \times }$ F ${\displaystyle U\times F}$는 첫 번째 인자에 대한 투영에 동의하는 방식으로 제품 공간이다. 즉, 다음 도표가 통근해야 한다.

여기서 ${\displaystyle {\text{proj}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle F}$→ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\text{proj}}_{1}:$$U\times F\rightarrow U}$은 자연 투영이고 $and{\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathrm{\pi }}^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$( U${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \times }$ F ${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1(U)\rightarrow$ U$\times F}$는 동형이다. ${\displaystyle \{(U{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{\phi }_{}}$ i${\displaystyle {}_{})\}}$ ${\$모두의 집합을 번들의 로컬 사소한 것으로 부른다$$.

따라서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p\in B}$에 대해$$preimage ${\displaystyle 1^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$1 ${\displaystyle (\{p\}}$ )$${\$displaystyle \pi$^{-$1}(\{$$$p$\})$은 $F{\displaystyle }$ ${\displaysty F}($p₁⁻¹}이(p)에 대한 동형이며 pover p의 섬유라고 불린다. 모든 섬유 묶음${\displaystyle }\pi {\displaystyle }$ : ${\displaystyle E}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$은 제품의$$ 투영이 개방형 맵이기 때문에 개방형 맵이다. 따라서 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은(는) 지도 π에 의해 결정된 지수 위상(quotient topology)을$$ 전달한다.

섬유 묶음$({\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$ ,${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle F}$) ${\displaystyle(E,\,B,\,\pi ,\,F)}$은(는) 종종 표시된다$$.

${\displaystyle {\display{data}{}\\F\longrightarrow E\ {\xrightarrow {\,\\pi \}\b\\{}\end{matrix}}}}$

(1)

그것은, 짧은 정확한 순서와 유사하게, 어떤 공간이 섬유, 총 공간 및 기본 공간, 그리고 총 공간으로부터 기본 공간까지의 지도인지를 나타낸다.

매끄러운 섬유다발은 매끄러운 다지관의 범주에 속하는 섬유다발이다. 즉, $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B$ $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가) 매끄러운 다지관이어야 하며 위의 모든 기능이 매끄러운 지도가 되어야 한다.

예

사소한 번들

Let $E{\displaystyle }$= ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E=B\time$ F$}$및 $and$ : ${\displaystyle E}$→ B ${\displaystyle \pi :E\오른쪽$ 화살표 B$}$을(를) 첫$$ 번째 인자에 투영하도록 한다. 그러면 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E$$}$은(는) $B{\displaystyle }$${\$$displaystyle B}$ 위에 있는 섬유 묶음이다$.$ $여기$서 E ${\displaystyle E}$은(는) 로컬 제품이 아니라 글로벌 제품이다. 그런 어떤 섬유 묶음도 하찮은 묶음이라고 한다. 계약 가능한 CW 복합체 위에 있는 어떤 섬유 묶음도 사소한 것이다.

비경쟁적 번들

뫼비우스 스트립

아마도 비종교적 $번들{\displaystyle }$ E ${\displaystyle E}$의 가장 간단한 예는 뫼비우스 띠일 것이다$$. 그것은 기초 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$와 $섬유{\displaystyle }$ F ${\displaystyle F}$의 선 세그먼트로 스트립의 중심을 따라 세로 방향으로 흐르는 원을 가지고 있으므로,$$뫼비우스 스트립은 원을 넘는 선 세그먼트의 묶음이다. $\pi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi (x)\in$ B$}($여기서 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ E ${\displaystyle x\in E}$)의$$ $이웃{\displaystyle }$ U ${\displaystyle U}$는 호이며, 그림에서 이것은 제곱의 길이 중 하나이다. 그림의$$ 프리이미지 $\pi {\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1}$ (${\displaystyle {}^{}}$U${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$은 스트립의 (몇몇 가지 꼬인) 조각이다($즉{\displaystyle }$, U ${\displaystyle U}$에 투영되는 모든 포인트).$$

§ 공식 정의의 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$은(는) U ${\displaystyle U}$의 $$프리이미지를 실린더의 한 조각에 매핑하는 동형체(곡선형이지만 꼬이지 않음)가 존재한다. 이 한 쌍은 국소적으로 스트립을 경시한다. 해당 사소한 묶음 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B\time$ F$}$는 실린더가 되겠지만$$ 뫼비우스 띠는 전체적으로 "트위스트"가 있다. 이 트위스트는 전 세계적으로만 볼 수 있다; 국소적으로 뫼비우스 스트립과 실린더가 동일하다(둘 중 하나로 하나의 수직 절단 작업을 하는 것은 동일한 공간을 준다).

클라인 병

비슷한 비경쟁 묶음으로는 클라인 병이 있는데, 다른 원 위에 있는 '틀린' 원 묶음으로 볼 수 있다. 해당 비 트위스트(트라이버) 번들은 2-토러스, $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ S$^{1}\time S$$1}.$

커버링 맵

덮개 공간은 보따리 투영이 국부적인 동형상일 정도로 섬유다발이다. 그것은 섬유질이 분리된 공간이라는 것을 따른다.

벡터 및 주 번들

벡터 번들이라고 불리는 특별한 종류의 섬유 묶음은 섬유들이 벡터 공간인 것이다(벡터 번들로서 자격을 갖추기 위해서는 번들의 구조 그룹이 선형 그룹이어야 한다). 벡터 번들의 중요한 예로는 부드러운 다지관의 접선 번들과 등선 번들이 있다. 어떤 벡터 번들에서도 기본 번들(아래 참조)인 베이스의 프레임 번들을 구성할 수 있다.

주요 번들이라고 불리는 또 다른 특별한 등급의 섬유 묶음은 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 의한 자유롭고 전이적인 동작이 주어지는$$ 섬유에 묶음이다. 그래서 각 섬유는 주요한 균질 공간이다. 번들은 종종 $그룹$과 함께 주 G ${\displaystyle G}$ - 번들(bundle$$)로 언급되어 지정된다. 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$도 번들의 구조 그룹이다$$. $벡터{\displaystyle }$ 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$의 표현$$ $representation{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho$ ${\displaystyle \}}$이${\displaystyle (가)}$ ${\displaystyle \text{있는}}$ 벡터 번들$$${\displaystyle \rho(G)\subseteq {\text{$$구조$ 그룹으로 자동$$$}(V)}$을(를) 구성할 수 있으며, 관련 번들로 알려져 있다.

스피어 번들

구체다발은 섬유다발이며 섬유는 n-sphere이다. 미터법이 있는$$ 벡터 번들 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$을(예: 리만 다지관에 대한 접선 번들)을 사용하면 연결된 단위 구면 번들을 구성할 수 있으며, 이 경우 $지점{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$에 대한 $섬유$는 ${\displaystyle E_{}}$ x$${\$displaystyle E_{x$에 있는 모든 단위 벡터 번들의 집합이 ta일 때ngent 번들 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM$ 단위 구면 번들은 단위 접선 번들로 알려져 있다.

구체 묶음은 부분적으로 그것의 오일러 클래스로 특징지어지는데, 이것은 묶음의 전체 공간에서 도 ${\displaystyle \mathrm{n}}$+ 1 ${\displaystyle n+1}$코호몰로지$$ 클래스다. 사례 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n=1}$의 경우 구체$$ 번들을 원 묶음이라고 하며 오일러 클래스는 제1 체르누스 클래스와 같으며, 이는 번들의 위상적 특성을 완전히 나타낸다. 어떤 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 경우$,$ 번들의 오일러 클래스를 지정하면 기신 시퀀스라고 하는 긴 정확한 시퀀스를 사용하여 코호몰리를 계산할 수 있다.

매핑토리

If X is a topological space and ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ is a homeomorphism then the mapping torus ${\displaystyle M_{f}}$ has a natural structure of a fiber bundle over the circle with fiber ${\displaystyle X}$. Mapping tori of homeomorphisms of surfaces are of particular importance in 3-manifold to정치학

지수 공간

If ${\displaystyle G}$ is a topological group and ${\displaystyle H}$ is a closed subgroup, then under some circumstances, the quotient space ${\displaystyle G/H}$ together with the quotient map ${\displaystyle \pi \colon G\to G/H}$ is a fiber bundle, whose fiber is the topological space ${$$\displaystyle H$ (${\displaystyle ,}$ G${\displaystyle }$/ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle \pi ,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G,\, G/H,\,\pi,\,H$가 섬유 번들을 형성하기 위해 필요하고 충분한 조건은 맵핑 $\pi {\displaystyle }$ ${\\displaysty \pi }$이(가)이(가 로컬 교차하는 것이다(Steenroadapping 1951, esc)이다.

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) Lie 그룹이고 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(따라서 카르탄의 정리로는 Lie 하위 그룹)인 경우, 해당 지도가 로컬 단면을 인정하는 가장 일반적인 조건은 알 수 없다. One example of this is the Hopf fibration, ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$, which is a fiber bundle over the sphere ${\displaystyle S^{2}}$ whose total space is ${\displaystyle S^{3}}$. From the perspective of Lie groups, ${\displaystyle S^{3}}$ can be identified with the special uNaterial 그룹 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{U}}$ (${\displaystyle }$2${\displaystyle }$) ${\displaystyle SU(2$ 대각 행렬의 아벨형 부분군은 원군 $)[\displaystyle$ U$(1)]$에 이형이며$,$ S ${\displaystyle U(2)/\mathrm{U}(}$1$)[\displaystyle SU(2)/U$(1$)는$구에 대한 이형이다$$.

보다 일반적으로 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 위상학 그룹이고 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 또한 Lie 그룹인 닫힌 하위 그룹이라면${\displaystyle }G{\displaystyle }$ → ${\displaystyle G}$ /${\displaystyle }$H$${\$displaystyle$G\$to$G/$H}$은 섬유 묶음이다$$.

섹션

섬유 번들 ${\displaystyle \pi}$의 섹션(또는 단면)은 연속 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle B}$→ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f\colon B\to E}$이며, 이 경우 $\pi {\displaystyle }$(${\displaystyle f}$ ($x)=x}$는 모든 X에 대해$$ π (f$)$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystystyle \pi=x$}이다. 번들은 일반적으로 세계적으로 정의되어 있지 않기 때문에, 이론의 목적 중 하나는 그들의 존재를 설명하는 것이다. 단면의 존재에 대한 방해는 종종 코호몰로지 등급에 의해 측정될 수 있으며, 이는 대수적 위상에서의 특성 등급 이론으로 이어진다.

가장 잘 알려진 예는 털복숭이 공 정리인데, 여기서 오일러 클래스는 2-sphere의 접선 다발에 대한 방해물로서 어디에서도 사라지지 않는 구간이 있다.

특히 글로벌 섹션이 존재하지 않는 경우 현지에서만 섹션을 정의하고자 하는 경우가 많다. A local section of a fiber bundle is a continuous map ${\displaystyle f\colon U\to E}$ where U is an open set in B and ${\displaystyle \pi (f(x))=x}$ for all x in U. If ${\displaystyle (U,\,\varphi )}$ is a local trivialization chart then local sections always exist over U. Such sections are 연속 지도 $U{\displaystyle }$ → $[\displaystyle U\to F}$와 1-1로 대응$.$ 섹션은 피복부를 형성한다.

구조 그룹 및 전환 기능

섬유 번들은 종종 겹치는 지역적 사소한 부분화 차트들 사이의 일치 조건을 설명하는 대칭들의 그룹과 함께 온다. 구체적으로는 G를 왼쪽의 F섬유로 계속 작용하는 위상학적 집단이 되게 한다. We lose nothing if we require G to act faithfully on F so that it may be thought of as a group of homeomorphisms of F. A G-atlas for the bundle (E, B, π, F) is a set of local trivialization charts ${\displaystyle \{(U_{k},\,\varphi _{k})\}}$ such that for any ${\displaystyle \varphi _{i},\var$겹치는 차트$({\displaystyle }$$U$ i ,$$${\displaystyle {\phi }_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle(U_{i}\,\varphi _{i})$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle {U\_}_{}j{}_{}}$}\$displaystyle(U_{j}\varphi _{j$}) 함수 $phi$$$ _${j$$}$

$\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}\colon \left(U_{i}\cap U_{j}\right)\time F}$

에 의해 주어지다

${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\,\,\xi )=\왼쪽(x,\,t_{ij}(x)\xi \right)}$

여기서 t_ij : U_i ∩ U_j → G는 전이함수라 불리는 연속 지도다. 두 개의 G-atlas는 그들의 결합도 G-atlas라면 동등하다. G번들(G-bundle)은 G-atlases의 등가 등급을 가진 섬유다발이다. G 그룹은 번들의 구조 그룹이라고 불린다. 물리학에서 유사한 용어는 게이지 그룹이다.

매끄러운 범주에서 G번들(G-bundle)은 매끄러운 섬유 묶음으로 G가 Lie 그룹이고 F에 상응하는 작용이 매끄럽고 전환 기능이 모두 매끄러운 맵이다.

전환 기능 t는_ij 다음 조건을 만족한다.

1. ${\displaystyle t_{i}(x)=1\,}$
2. ${\displaystyle t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}\,}$
3. ${\displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x).\,}$

세 번째 조건은 U_i ∩ U_j overlaps_k U overlaps 중첩에 적용되며 cocycle condition으로 불린다(Chech cohomology 참조). 이것의 중요성은 전환 기능이 섬유 번들을 결정한다는 것이다(만약 한 사람이 체치 코코클 조건을 가정한다면).

주 G번들(주요 G-번들)은 G-번들로서 섬유 F는 G 자체의 왼쪽 작용을 위한 주요 동질 공간이다(동일하게 F에 대한 G의 작용이 자유롭고 전이적이라는 것을 지정할 수 있다, 즉 규칙적이다). 이 경우, G와 F를 동일시하고, 따라서 주된 묶음에서 G의 (권리) 작용을 얻는 것이 편리성의 문제인 경우가 많다.

번들 맵

두 섬유 묶음 사이에 매핑에 대한 개념을 갖는 것은 유용하다. M과 N이 기본 공간이고, ${\displaystyle {\pi }_{}}$E :${\displaystyle E}$ → ${\displaystyle M}${\$displaystyle \pi$ _${E}\colon$E\$to$ M$}$ 및$$ ${\displaystyle f_{}}$F :${\displaystyle }$F → ${\displaystyle N}${\$displaystyle \pi$ _${F}\colon$F\$to N}$이 각각 M과 N 위에 있는 섬유 묶음이라고$$ 가정하자. 번들 맵(또는 번들 형태론)은 연속 기능 쌍으로^[13] 구성된다.

$\displaystyle \varphi \colon E\to F,\quad f\colon M\to N}$

그러한 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F{}_{}=}$ = ${\displaystyle f{style}_{}}$ E$${\$displaystyle \pi$ _${F}\circle \varphi =f\circ \pi$ _${E}.$ 즉, 다음과 같은 도표가 통근된다$.$

구조물 그룹 G가 있고 (오른쪽) G-공간(주요 다발 등)이 있는 섬유 다발의 경우, 번들 형태도 섬유에 G-등가성이어야 한다. This means that ${\displaystyle \varphi \colon E\to F}$ is also G-morphism from one G-space to another, i.e., ${\displaystyle \varphi (xs)=\varphi (x)s}$ for all ${\displaystyle x\in E}$ and ${\displaystyle s\in G}$.

In case the base spaces M and N coincide, then a bundle morphism over M from the fiber bundle ${\displaystyle \pi _{E}\colon E\to M}$ to ${\displaystyle \pi _{F}\colon F\to M}$ is a map ${\displaystyle \varphi \colon E\to F}$ such that ${\displaystyle \pi _{E}=\p$$i _{F}\circ \varphi$ $\}.$ 이것은 번들 맵 $\phi {\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$→ F ${\displaystyle \varphi \colon E\to F}$이(가) M의 정체성을 망라한다는$$ 것을 의미한다. 즉, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{d}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 도표는$$ 통근한다.

둘 다π E:E→ M{\displaystyle \pi_{E}\colon E\to M}과π F:F→ M{\displaystyle \pi_{F}\colon F\to M} 같은 기지 곳에 πE 사이에 M.A묶음 유질 동상은 다발 지도(φ, f){\displaystyle(\varphi ,\,f)}:E→ M과 πF 정의된다:F→ M과 같이 f≡ 나는 친절 M{\displayst를 취하다yl$ef\equiv \mathrm {id} _{M}$ 그런$$ 것도 동형상이다.^[14]

차별화 가능한 섬유 묶음

서로 다른 다지관의 범주에서 섬유다발은 한 다지관의 다른 다지관의 하위조로서 자연적으로 발생한다. 모든 (차별적인) 침하 ƒ : M → N이 다른 가변적인 다지관 M에서 다른 가변적인 다지관 N으로 다른 가변적인 섬유 다발을 발생시키는 것은 아니다. 우선 지도는 처절해야 하며, (M, N, ƒ)는 섬유 다지관이라고 한다. 그러나 이러한 필요조건은 상당히 충분하지 않으며, 공통적으로 여러 가지 충분한 조건들이 존재한다.

If M and N are compact and connected, then any submersion f : M → N gives rise to a fiber bundle in the sense that there is a fiber space F diffeomorphic to each of the fibers such that (E, B, π, F) = (M, N, ƒ, F) is a fiber bundle. (Surjectivity of ƒ follows by the assumptions already given in this case.) 만약 담수 ƒ:M→ N은 위로의. 적절한 지도 가정한다 더 일반적으로, 빽빽함의 가정, N이상의 모든 컴팩트 집합 K또 다른 필요 충분 조건을 Ehresmann(1951년)harvtxt 오류 때문에 그 ƒ−1(K)은 콤팩트,:노 타깃:CITEREFEhresmann1951( 도와 주)을 의미하며, 만약 ƒ:M→ N은 위로의. submersio 편안할 수 있다.n 프리이미지⁻¹ {{x}가 콤팩트하고 모든 x n N에 대해 연결되도록 M과 N이 서로 다른 다지관을 사용하는 경우, ƒ는 호환 가능한 섬유 번들 구조를 인정한다(Michor 2008, §17).

일반화

• 번들의 개념은 수학의 더 많은 범주에 적용되며, 지역적 사소한 조건(cf. 주요 균일한 공간과 토르소어(알지브라질 기하학))을 적절히 수정한다.
• 위상에서 진동은 지도 bundles : E → B로서 섬유다발과 공통적으로 일정한 호모토피-기상 특성을 가지고 있다. 특히, 가벼운 기술적 가정 하에서 섬유 묶음은 항상 호모토피 리프팅 특성 또는 호모토피 특성을 가지고 있다. 자세한 내용은 Steenrod(1951, 11.7) 참조. 이것은 진동의 결정적인 특성이다.
• 섬유 번들의 섹션은 "출력 범위가 입력에 지속적으로 의존하는 기능"이다. 이 속성은 종속형 개념에서 공식적으로 포착된다.

참고 항목

메모들

참조

• Steenrod, Norman (1951), The Topology of Fibre Bundles, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08055-0
• Steenrod, Norman (April 5, 1999). The Topology of Fibre Bundles. Princeton Mathematical Series. 14. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5. OCLC 40734875.
• Bleecker, David (1981), Gauge Theory and Variational Principles, Reading, Mass: Addison-Wesley publishing, ISBN 978-0-201-10096-9
• Ehresmann, Charles. "Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable". Colloque de Topologie (Espaces fibrés), Bruxelles, 1950. Georges Thone, Liège; Masson et Cie., Paris, 1951. pp. 29–55.
• Husemoller, Dale (1994), Fibre Bundles, Springer Verlag, ISBN 978-0-387-94087-8
• Michor, Peter W. (2008), Topics in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 93, Providence: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2003-2 volume= 추가 텍스트(도움말)
• Voitsekhovskii, M.I. (2001) [1994], "Fibre space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

외부 링크

• 섬유 번들, PlanetMath
• Rowland, Todd. "Fiber Bundle". MathWorld.
• 존 로빈슨 상징조형물 '영원하다' 제작
• Sardanashvily, Gennadi, Fibre bunds, 제트 다지관 및 Lagrangian 이론. 이론가 강의, arXiv:0908.1886