위상 공간

수학에서 위상공간은 대략적으로 말하면 근접성이 정의되지만 반드시 숫자 거리로 측정할 수 없는 기하학적 공간이다.보다 구체적으로 토폴로지 공간은 근접성의 개념을 공식화하는 몇 가지 공리를 만족시키는 토폴로지라고 불리는 추가 구조와 함께 요소들이 점이라고 불리는 집합이다.토폴로지에는 몇 가지 동등한 정의가 있습니다.가장 일반적으로 사용되는 것은 오픈세트를 통한 정의로 조작이 용이합니다.

위상 공간은 한계, 연속성 및 ^[1][2]연결성을 정의할 수 있는 수학 공간의 가장 일반적인 유형입니다.위상 공간의 일반적인 유형은 유클리드 공간, 미터법 공간 및 다양체를 포함한다.

비록 매우 일반적이지만, 위상 공간의 개념은 기본이고 현대 수학의 거의 모든 분야에서 사용됩니다.토폴로지 공간 자체에 대한 연구는 점 집합 토폴로지 또는 일반 토폴로지라고 불립니다.

역사

1735년경 레온하르트 오일러는 볼록 다면체의 꼭지점, 모서리, 면의 수와 관련된 $공식{\displaystyle V}$-$$ + ${\displaystyle \mathrm{F}}$ $=$ 2 ({$디스플레이 스타일 V-E+F=$2})를$$ 발견했다.이 공식의 연구와 일반화, 특히 코시와 L'Huilier가 위상학의 기원을 이루고 있다.1827년 칼 프리드리히 가우스는 섹션 3에서 현대의 위상학적 이해와 유사한 방식으로 곡면을 정의하는 곡면의 일반 조사를 발표했다: "곡면은 A에서 수르파의 점으로 그려진 모든 직선의 방향이 A의 점 중 하나에서 연속적인 곡률을 갖는다고 말한다.A로부터 무한히 작은 거리에 있는 ce는 ^[3]A를 통과하는 동일 평면으로부터 무한히 약간만 편향된다."

하지만,"초반 1850년대에 리만의 일까지 표면은 항상 바라본 지방 지점으로부터(파라메트릭 표면으로)과 위상 문제 전혀 고려하지 않았던 것이 토의되었다"[4]"Möbius과 요르단은(소형)표면의 토폴로지에 대한 주된 문제는 결정할(가급적이면 수치)불변자를 찾는 것임을 깨달아야는 첫번째 사람이 되는 것 같다.즉, 두 표면이 동형인지 ^[4]아닌지를 결정하는 것입니다."

이 주제는 펠릭스 클라인에 의해 그의 "에를랑겐 프로그램"(1872)에서 명확하게 정의되었다: 기하학의 일종인 임의의 연속 변환의 기하학적 불변성이다."위상학"이라는 용어는 요한 베네딕트 리스트가 1847년에 도입했지만, 그는 몇 년 전에 서신에서 "Analysis situs" 대신 이 용어를 사용했다.이 과학의 기초는 앙리 푸앵카레가 만들었다.이 주제에 대한 그의 첫 번째 기사는 ^[5]1894년에 나왔다.1930년대에 제임스 워델 알렉산더 2세와 하슬러 휘트니는 표면이 유클리드 평면과 같은 국소적인 위상 공간이라는 생각을 처음으로 표현했다.

위상 공간은 1914년 펠릭스 하우스도르프에 의해 그의 정석인 "집합론의 원리"에서 처음 정의되었다.미터법 공간은 1906년 모리스 프레셰에 의해 정의되었지만, 하우스도르프가 "미터법 공간"^{[citation needed]}이라는 용어를 도입했다.

정의들

토폴로지의 개념의 유용성은 이 구조에는 몇 가지 동등한 정의가 있다는 사실로 나타납니다.따라서 응용에 적합한 공리화를 선택한다.가장 일반적으로 사용되는 것은 개방형 집합의 관점에서 사용하는 것이지만, 아마도 더 직관적인 것은 이웃의 관점에서 사용하는 것이기 때문에 이것이 먼저 제공된다.

인근을 통한 정의

이 공리화는 펠릭스 하우스도르프 때문이다.$X({displaystyle$X})를$$ 집합으로 합니다.$$X({$displaystyle$X})의$$ $요소$를 보통 점이라고 합니다. 단, 어떤 수학적 객체라도 상관없습니다.X$(디스플레이 스타일$ X$)$는 비워둘 수 $있습니다{\displaystyle }$.N${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle {N})$을 X$(\displaystyle$ X$)$의 $각{\displaystyle }$X${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle$ x$)$에 X(\$displaystyle$ X$)$의 $하위{\displaystyle \mathcal{}}$ 집합$displaystyle {N}($$x))$을 할당하는 함수라고 $합니다{\displaystyle \mathcal{}}$${\displaystyle .}$N$($ 단순히$$x$({displaystyle$$$x})$$$$에 $대한{\displaystyle \mathcal{}}$ x$({$$displaystyle$ x$})$의 $모든{\displaystyle }$ 인접.$함수{\displaystyle \mathcal{}}$ N$({$은 아래 공리가^[6] 충족되면 근린 토폴로지라고 $하며{\displaystyle }$$,$ $N({displaystyle$ {N$$$})$이$$있는$$ X({$displaystyle$ X$})$는 토폴로지 공간이라고 합니다.

1. N$(\displaystyle$ N$)$이 x$(\$${\displaystyle displaystyle\mathcal{}}$$$N$)\displaystyle$ N$\$$in\mathcal {N}(x))$의 $인접$인 $경우{\displaystyle }$, $displaystyle$x\$in$ N$)$의 각 포인트는 그 인접인 모든 인접지역에 속합니다.
2. N$({displaystyle$ N$}$이 X$({$$displaystyle$$$X})의 서브셋이고${\displaystyle }$x({$displaystyle$ x$})$의 근방을 포함하는 $,$ N({$displaystyle$ N${\displaystyle \})}$은 x({$displaystyle$$x$})의 근방이 됩니다${\displaystyle .}$$$즉, x$({displaystyle X\$in$$$$ X})의 근방의 모든 슈퍼셋은 x의 근방이 됩니다.${\displaystyle x}$
3. $({displaystyle$x})의$$ 두 이웃의 교차점은 x$({displaystyle$ x$})$의 이웃입니다.
4. $X$의$$N$(\$$displaystyle$ x$)$ $근방$은 $X의$$M{\displaystyle }$$(\$$displaystyle$M$)$ $근방$이므로 N$(\displaystyle$ N$)$은 M$.\displaystyle$ M.의 $각{\displaystyle }$ 지점 근방이 $됩니다{\displaystyle }$$.$

이웃에 대한 처음 세 가지 원칙은 명확한 의미를 가지고 있다.네 번째 공리는 이론의 구조에서 매우 중요한 $용도$를 가지고 있는데${\displaystyle ,}$ 그것은 $X$의 서로 다른 지점들의 이웃들을 연결하는 것이다$.$

이러한 인접 시스템의 표준 예는 $실선{\displaystyle \mathbb{}}$ R$,\displaystyle \mathbb {R}$에 대한 것입니다.여기서$R$의 $서브셋{\displaystyle \mathbb{}}$$$N$(\displaystyle$$\mathbb$$$${R})$은 x$.displaystyle$을 $포함$하는 오픈인터벌을 포함하는$$ 경우 $실수$의 인접으로 정의됩니다.$ex.}$

이러한 구조에서 X$({$$displaystyle{\displaystyle }$$$X})의 서브셋$$ U$({$$displaystyle$$$U})가$$$$ U$displaystyle$$$U$})$의 $모든{\displaystyle }$ 포인트 근방인 $경우{\displaystyle }$ 열린 집합은 아래 주어진 공리를 충족합니다$.$반대로 위상 공간의 열린 집합이 주어진 경우, N$(\displaystyle$ N$)$이 x$displaystyle$x\$in$ U)와 같이 열린 $집합{\displaystyle }$U(\$displaystyle$ U$)$를 포함하는 $경우{\displaystyle }$$,$ N(\$displaystyle$ N$)$을$$x(\$displaystyle$ x$)$의 인접으로 $정의함$으로써 위의 공리를 충족하는 인접을 복구할 수 있습니다$.$

오픈 세트를 통한 정의

집합 X 상의 토폴로지는 오픈 집합이라고 불리는 X의 서브셋 집합$subs$ \ displaystyle \$tau$로서$$ 다음 공리를 ^[8]만족시키는 것으로 정의할 수 있습니다.

1. 빈 세트와 $(\displaystyle$$$X$)$ 자체는$$ $belong{\displaystyle .}${\$displaystyle\tau}$에 속합니다.
2. $"\displaystyle\tau"$ 멤버의$$ 임의의 (무한 또는 무한) 결합은 $".\displaystyle\tau."$에 속합니다.
3. $유한$한 수의${\$멤버들의 교집합은$$에 속합니다$.{ displaystyle$ \$$tau 。

이 토폴로지의 정의가 가장 일반적으로 사용되고 있기 때문에 오픈 세트의 $세트{\displaystyle }$ $"\displaystyle\tau"$는 $일반적$으로${\displaystyle }$X $.\displaystyle$ X의 토폴로지라고 불립니다$.$

$서브셋{\displaystyle }$ C${\displaystyle }$${\displaystyle x}$$$X { $style$ C \ $subseteq$ X$$} $ment$ ( ( ( C { $display style$$X$ \ $setminus C$가 ${\displaystyle \mathrm{오픈세트}}$일 경우 (X,$)$)에서${\displaystyle }$닫힙니다.

토폴로지의 예

1. $X$ ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$ , 3${\displaystyle }$, 4$$$$} , ${$ { $display$ $X =$ \ { 1, 2, 3, 4 \$$} $、$${\displaystyle =}$ { {${\displaystyle \}}$, { ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \}}$ $=$ {${\displaystyle }$$display$ , ${\displaystyle X}$ $}$ { $display$ \ $style$=\ } { display \ style } } given given given given given given given given $given{\displaystyle }$ given given given given given given given given given ind ind the the the the the the the the the the given given 。s는${\displaystyle }X$의 토폴로지를 형성합니다$.{$ $display$ X$$}
2. X $=$ {${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$, 4 ${\displaystyle \}}$인 $,$ {{$displaystyle$ X=\{$1,$2,$3$, 4$\}$ 패밀리$$
   $$\displaystyle \{\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\},\{1,2,3\}=\{\varnothing,\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\}},\{1,2,3\}.$$

   
   $X$의$$6개의 서브셋({$displaystyle$X})이${\displaystyle }$X의 $또{\displaystyle }$ 다른 토폴로지를 형성합니다$.{$ $displaystyle$ X$$}
3. X ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$ , 3 , 4$$ , { { $displaystyle$ X$$$=$ \ {$1$ ,$2$ , 3 , 4 \$$$}$ ,$$$X$ { \$$$displaystyle$ X } 의 개별 토폴로지는 X$$의 $전원{\displaystyle }$ 세트입니다. X$${ $displaystyle$ $X$} 계열은$$ 가능한 X${\displaystyle }$로 $구성$되어 $있습니다$.${\displaystyle (}$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle )}$) { $displaystyle$( $X$, \ $tau$)는$$ 이산 공간이라고 불립니다.
4. X $=$ $,$ {\$style$$$X=\$mathbb$ ${Z}$이$($가) $주어졌을{\displaystyle }$ 때, 정수의 모든 유한 부분 집합과$Z$의 $유한$ $부분$ $집합$의$집합$ "\displaystyle \mathbb ${Z}"$ 자체는$$$$ 토폴로지가 아닙니다${\displaystyle .}$ 왜냐하면 (예를 들어) 0을 포함하지 않는 모든 유한 집합의 $합$이 유한하지 않기 때문입니다.${\displaystyle \mathbb${Z$$$},}$ 이므로 ${\displaystyle .}$ . {\$displaystyle$ \$tau$} 에는 사용할 수 없습니다$.$

닫힌 세트를 통한 정의

de Morgan의 법칙을 사용하여 열린 집합을 정의하는 위의 공리는 닫힌 집합을 정의하는 공리가 됩니다.

1. $빈{\displaystyle }$ 세트와 X$(디스플레이 스타일$ X$)$가 닫힙니다.
2. 닫힌 집합 집합 집합의 교차점도 닫힙니다.
3. 유한한 수의 닫힌 집합의 결합도 닫힙니다.

이러한 공리를 사용하여 토폴로지 공간을 X의 닫힌 서브셋 $모음$인$$X${\displaystyle (\{}$$displaystyle$\tau$$})와$$$$ 함께 $집합{\displaystyle }$ X({$displaystyle\$$tau})$로 정의하는 또 다른 방법은$$X({displaystyle$\$$tau})$의 집합은 닫힌 집합이며 X$({displaystyle$ X)의 $보완{\displaystyle }$ 집합입니다$.$오픈 세트입니다.

기타 정의

토폴로지 공간을 정의하는 다른 많은 동등한 방법이 있다. 즉, 인접 또는 개방 또는 폐쇄 집합의 개념을 다른 시작점에서 재구성하여 올바른 공리를 충족할 수 있다.

위상 공간을 정의하는 또 다른 방법은 닫힌 집합을${\displaystyle }$X의 $전원{\displaystyle }$ 집합에서 연산자의 고정점으로 정의하는 Kuratowski 폐쇄 공리를 사용하는 것입니다$.$ \\$style$ X$}$

순서는 시퀀스의 개념의 일반화이다.$토폴로지는$$$X의 모든 네트에 대해 누적 포인트 세트가 지정되면 완전히 결정됩니다$.$

토폴로지 비교

다양한 토폴로지를 세트에 배치하여 토폴로지 공간을 형성할 수 있습니다.topology ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$1 \ $display$$style$ \ $tau$$_$ {$$} ${\displaystyle {displaydisplay2\mathrm{}}_{}}$ $\$ $display$style _ {$$} ${\displaystyle {display1\mathrm{}}_{}}$ $\$ $display$style _ { $}$이(가) ${\displaystyle 2_{}}$의${\displaystyle {}_{}}$서브셋인 경우$,$ \$display$style \ $tau _$ {$$}가$1$보다 세밀하다고 $.$} $및$ 1 1${\displaystyle \tau$ _${$1}은$2$보다 거칠다$.\displaystyle$ \$tau _{$2$$}} 특정 오픈세트의 존재에만 의존하는 증명은 보다 세밀한 토폴로지에도 적용되며, 마찬가지로 오픈되지 않는 특정 세트에만 의존하는 증명도 보다 거친 토폴로지에도 적용됩니다$.$큰 용어와 작은 용어가 각각 미세하고 거친 용어로 사용되기도 합니다.문헌에서도 '강하고 약하다'는 용어가 쓰이고 있지만 의미에 대한 합의가 거의 없기 때문에 읽을 때 항상 작가의 관례를 확인해야 한다.

특정 고정 $X의$모든$$ 토폴로지의 집합은 완전한 격자를 형성합니다.F ${\displaystyle =}$ { ${\displaystyle {display\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \alpha \mathrm{aA}}$ { $displaystyle$ F = \$left$\ $tau$ _ { \ $alpha{\displaystyle }$ } : \ $alpha$ \ in$$A \ right \ } $display$$$$、$ \ $display X$의 토폴로지의 $집합$입니다$.$$(\$$displaystyle$ F$,\$$displaystyle$ F$)$ 및$$ F$(\$displaystyle F$)$의 결합은${\displaystyle }$X$(\displaystyle$ X$)$의 $모든{\displaystyle }$ 토폴로지를 포함하는 모임입니다.$}$

연속 기능

위상 공간 $사이의$함수${\displaystyle }f{\displaystyle }$ : ${\displaystyle X}$$$ ${\displaystyle Y}$(\$displaystyle$f :$$${\displaystyle \mathrm{to}}$$$Y )는$$$$ x ${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle$ x$\in$X) 및 f ${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle$${\displaystyle }$f${\displaystyle (}$$x)$의 모든 $근방{\displaystyle }$$$N (\$displaystyle$N$)$에 대해 $연속$이라고 합니다$.$§ $N.$ {\$displaystyle f$(M$)\subseteq$ N$$$.}$ 이것은 분석에서 일반적인 정의와 쉽게 관련된다${\displaystyle .}$마찬가지로 모든 열린 세트의 반전 이미지가 열려 ^[9]있는 경우$$f\$displaystyle$f는$$ $연속적$입니다.이는 함수에 "점프" 또는 "분리"가 없다는 직관을 포착하려는 시도입니다.동형사상은 연속적이며 그 역도 연속인 사출이다.만약 두 공간 사이에 동형성이 존재한다면, 두 공간을 동형성이라고 한다.토폴로지의 관점에서 동형 공간은 본질적으로 동일합니다.^[10]

범주 이론에서, 기본 범주 중 하나는 Top인데, 이것은 물체가 위상 공간이고 형태가 연속 함수인 위상 공간의 범주를 나타냅니다.이 범주의 대상을 불변량에 의해 분류하려는 시도는 호모토피 이론, 호몰로지 이론, K 이론과 같은 연구 영역에 동기를 부여했다.

위상 공간의 예

특정 세트에는 다양한 토폴로지가 있을 수 있습니다.세트에 다른 토폴로지가 지정되면 다른 토폴로지 공간으로 간주됩니다.모든 세트에 모든 서브셋이 열려 있는 이산 토폴로지를 지정할 수 있습니다.이 토폴로지의 컨버전스시퀀스 또는 네트는 최종적으로 일정하게 되는 시퀀스 또는 네트뿐입니다.또한 빈 세트와 전체 공간만 열려 있는 일반 토폴로지(일명 비크리트토폴로지)를 임의의 세트에 지정할 수 있습니다.이 토폴로지의 모든 시퀀스 및 네트워크는 공간의 모든 포인트로 수렴됩니다.이 예에서는 일반적인 토폴로지 공간에서는 시퀀스의 한계가 고유할 필요가 없음을 보여 줍니다.그러나 대부분의 경우 토폴로지 공간은 한계점이 고유한 하우스도르프 공간이어야 합니다.

미터법 공간

미터법 공간은 점 사이의 거리에 대한 정확한 개념인 미터법을 구현합니다.

모든 메트릭 공간에는 메트릭토폴로지를 지정할 수 있습니다.기본 오픈세트는 메트릭에 의해 정의된 오픈볼입니다.이것은 표준 벡터 공간의 표준 토폴로지입니다.유한 차원 벡터 공간에서 이 위상은 모든 규범에 대해 동일합니다.

R${\displaystyle }$,$$\$displaystyle \mathbb {R$$}$ , 실수의 집합에서 토폴로지를 정의하는 방법은 여러 가지가 있습니다.$R(\$displaystyle $\mathbb {R})$의 표준 토폴로지는 열린 간격으로 생성됩니다.모든 열린 간격의 집합은 토폴로지의 기본 또는 기초를 형성합니다. 즉, 열린 모든 집합은 기본에 있는 일부 집합 집합의 결합임을 의미합니다.특히, 이는 집합의 모든 점에 대해 0이 아닌 반지름이 열린 간격이 있는 경우 집합이 열린다는 것을 의미합니다.보다 일반적으로, 유클리드 ${\displaystyle {}^{}}$ R$$n $\displaystyle \mathbb${R} ^{$n$$}$에 위상을 부여할 수 있다.$R n$의 일반적인 $토폴로지에서는 기본$ 오픈세트는 오픈볼입니다$.$마찬가지로 C$$, ${\displaystyle \mathbb${C$$$},$ 복소수 $집합{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 및$$ ${\displaystyle$\mathbb${C}^{n$}}은 기본 오픈 집합이 오픈 볼인 표준 토폴로지를 가집니다.

근접 공간

근접 공간은 두 세트의 근접성 개념을 제공합니다.

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균일한 공간

균일한 공간은 구별되는 점 사이의 거리를 정렬하는 공리화입니다.

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함수 공간

점이 함수인 위상 공간을 함수 공간이라고 합니다.

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코시 공간

코시 공간은 그물이 코시인지 여부를 테스트할 수 있는 능력을 공리화한다.코시 공간은 완료 공부를 위한 일반적인 설정을 제공합니다.

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컨버전스 공간

컨버전스 공간은 필터 컨버전스 기능의 일부를 캡처합니다.

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그로텐디크 사이트

그로텐디크 사이트는 화살표 패밀리가 물체를 덮는지 여부를 나타내는 추가 데이터가 있는 범주입니다.사이트는 시브를 정의하기 위한 일반적인 설정입니다.

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기타 공간

$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}${ $displaystyle$\ $Gamma }$ 가 $세트$ X 의$$ 필터인 경우${\displaystyle }${ $γ$ { \ $displaystyle$ \ { \ $varnothing$ \ }\$cup$ \ $Gamma$} 는${\displaystyle }$X$$의 $토폴로지입니다.$

함수 해석의 많은 선형 연산자 집합에는 특정 함수 시퀀스가 0 함수로 수렴되는 시점을 지정함으로써 정의된 위상이 부여됩니다.

로컬 필드에는 네이티브토폴로지가 있으며, 이 토폴로지는 해당 필드 상의 벡터공간으로 확장할 수 있습니다.

모든 다양체는 국소적으로 유클리드이기 때문에 자연 위상을 가지고 있다.마찬가지로 모든 심플렉스 및 모든 심플 복합체는 에서 자연스러운 토폴로지를 상속합니다.

자리스키 토폴로지는 링 또는 대수적 다양성의 스펙트럼에서 대수적으로 정의됩니다.${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle$ \$mathbb {$R$} ^{$n$$}} $또는{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ C $,$ {\$displaystyle \mathbb {C}$^{$n}}$에서 Zariski 토폴로지의 닫힌 집합은 다항식 시스템의 솔루션 집합입니다.

선형 그래프에는 정점과 모서리가 있는 그래프의 많은 기하학적 측면을 일반화하는 자연 토폴로지가 있습니다.

시에르핀스키 공간은 가장 단순한 비이산 위상 공간이다.그것은 계산 이론과 의미론과 중요한 관계가 있다.

주어진 유한 집합에는 수많은 토폴로지가 존재합니다.이러한 공간을 유한 위상 공간이라고 합니다.유한 공간은 때때로 일반적인 위상 공간에 대한 추측에 대한 예나 반례를 제공하기 위해 사용됩니다.

임의의 집합에는 열린 집합이 빈 집합이고 보수가 유한한 집합인 cofinite topology를 지정할 수 있습니다.이것은 무한대 ^{[citation needed]}집합에서 가장 작은₁ T 토폴로지입니다.

모든 세트에 코카운트 가능한 토폴로지를 지정할 수 있습니다.코카운트 가능한 토폴로지는 빈 세트 또는 그 보완 세트가 카운트 가능한 경우 오픈으로 정의됩니다.집합이 셀 수 없는 경우 이 토폴로지는 많은 상황에서 반례가 됩니다.

실제 회선에는 하한 토폴로지도 지정할 수 있습니다.여기서 기본 오픈세트는 하프오픈 간격 $[{\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b]}$입니다$.\$ $displaystyle [a, b].$$} R의$$이$ $토폴로지$는 위에서 정의한 $유클리드$ 토폴로지보다 엄밀하게 미세합니다.유클리드 토폴로지에서 위에서 수렴하는 경우에만 시퀀스가 이 토폴로지의 한 포인트로 수렴됩니다$.$이 예에서는 세트에 정의된 다수의 개별 토폴로지가 있을 수 있음을 보여 줍니다.

$(\displaystyle$ \$Gamma)$가 서수인 경우 세트 $\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle =}$ [$](\displaystyle \Gamma$= [$0,\$$Gamma])$에는 간격$({\displaystyle a,}$ b${\displaystyle ),}$\$displaystyle$$($${\displaystyle a}$$,$ $b$$),$${\displaystyle }$ ${\displaystyle \backslash ,}$ ${\displaystyle b}$$){\displaystyle }$에 의해 생성된 순서 토폴로지가 부여될 수 있습니다$.$$splaystyle$ a$}$ $및$ b${displaystyle$ b$}$는${\displaystyle }Ⅱ$의 요소입니다$.\$ $displaystyle$\$Gamma$ .$$}

자유 $그룹{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Fn}_{}}${\$displaystyle F_{n}$의 외부 공간은 ${\displaystyle {Fn}_{}}$ $.\displaystyle F_{n}$의 볼륨 $1$의 이른바 "표시된 메트릭 그래프 구조"로 구성됩니다.$}$^[11]

위상 구조

토폴로지 공간의 모든 서브셋에는 오픈 세트가 서브셋과 더 큰 공간의 오픈 세트의 교차점인 서브스페이스 토폴로지가 주어질 수 있다.인덱스된 위상 공간 패밀리에 대해 제품 위상을 제공할 수 있습니다. 제품 위상은 투영 매핑 아래에 있는 요소의 열린 집합의 역이미지에 의해 생성됩니다.예를 들어 유한 제품에서 제품 토폴로지의 기초는 개방형 집합의 모든 제품으로 구성됩니다.무한 확장 제품의 경우 기본 개방형 집합에서 투사체의 대부분을 제외한 모든 부분이 전체 공간이어야 한다는 추가 요구사항이 있습니다.

몫 공간은 다음과 같이 정의됩니다. X$(\displaystyle$ X$)$가 위상 $공간$이고$$Y(\$displaystyle$Y)가$$ 세트이고 f${\displaystyle :X}$ ${\displaystyle \to }$(\$displaystyle$ f$:X\to$ Y$)$가 투영 함수인 $경우{\displaystyle }$ Y$(\displaystyle$ Y$)$의 몫 위상은 열린 Y$(\$displaystyle Y)의 $하위$ 집합입니다.f$.$ {\$displaystyle$ f$$$.}$ $아래$의 이미지 다시 말해, 몫 토폴로지는 f$.\displaystyle$ f$.$가$$ $연속$되는 Y$(\displaystyle$ Y$)$에서 가장 미세한 토폴로지입니다.몫 토폴로지의 일반적인 예는 위상 $공간{\displaystyle }$X에 동등성 관계가 정의된 경우입니다$.$ {{$displaystyle$ X} 맵$$f${displaystyle$ f$}$는 동등성 클래스 집합에 대한 자연스러운 투영입니다.

$Leopold{\displaystyle }$ Vietoris의 이름을 딴 토폴로지 공간${\displaystyle }$X$,\displaystyle$ $X$$displaystyle$ $,$ …, Un,\displaystyle $U_{1},\$ldots$,U_n}$의 $모든{\displaystyle }$ 서브셋에 대한 Vietoris 토폴로지는 $다음$과 같이 생성됩니다$.$as는 ${\displaystyle {각}_{}}$ $displaystyle$ $U_$${$i$$}와 교차하지 않는 Ui$.\displaystyle$ U_${i$}의 모든 서브셋으로 구성됩니다.$}$

로컬 콤팩트한 폴란드 $공간{\displaystyle }$X(\$displaystyle$ X$)$의 비어 있지 않은 모든 닫힌 부분 집합 집합 집합의 Fell 토폴로지는 베트로리스 토폴로지의 변형으로 수학자 James Fell의 이름을 따왔다.다음 기준으로 생성됩니다.$X$의 $모든{\displaystyle }$ $(\$$displaystyle$ n$)$ - $tuple$ U${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ $(\$$$$U_{1}, U_{n$$})$ 및$$X의 $모든{\displaystyle }$ 콤팩트 $세트{\displaystyle }$ K$,$ \$displaystyle$ K$,$ \$display$K의$$ $모든{\displaystyle }$ 서브셋이 분리됩니다$$.$e$ K$}$와$$각 $Ui$(\$displaystyle$ U_$${i$})$와의 교차로가 비어 있지 않아야 합니다.

위상 공간의 분류

위상 공간은 위상 특성에 따라 동형사상까지 폭넓게 분류할 수 있다.위상 특성은 동형사상에 따라 변하지 않는 공간의 특성이다.두 공간이 동형이 아님을 증명하기 위해서는 두 공간이 공유하지 않는 위상 특성을 찾는 것으로 충분하다.이러한 성질의 예로는 연결성, 콤팩트성 및 다양한 분리 공리가 있습니다.대수적 불변량은 대수적 위상을 참조한다.

대수 구조를 가진 위상 공간

모든 대수적 객체에 대해 우리는 이산 위상을 도입할 수 있으며, 그 아래에서 대수적 연산은 연속 함수이다.그러한 구조가 유한하지 않은 경우, 우리는 종종 대수 연산이 여전히 연속적이라는 점에서 대수 연산과 양립할 수 있는 자연 위상을 가지고 있다.이를 통해 위상 그룹, 위상 벡터 공간, 위상 링 및 국소장과 같은 개념으로 이어집니다.

순서 구조가 있는 위상 공간

• 스펙트럴.공간은 고리의 소수 스펙트럼인 경우에만 스펙트럼이다(호크스터 정리).
• 전문화 예약 판매.특수화(또는 표준) 사전 순서는 cl ${\displaystyle \{}$ { ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \}\mathrm{cl}}$ cl ${\displaystyle \{}$ { ${\displaystyle y}$$$${\displaystyle \}}$ ,$${ $displaystyle \operatorname { cl$} \ {$x\}\subseteq$ \$operatorname$$${cl} \$y$$\}$인 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$에만 x$$ $y$로 정의됩니다. ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서$$cl \ $displaystyle$ { cl } \$operatorname }$ \ cl$$ $}$

「 」를 참조해 주세요.

• 위상 공간의 범주 특성화
• 완전 헤이팅 대수 – 포함에 의해 순서가 매겨진 주어진 위상 공간의 모든 열린 집합의 시스템은 완전 헤이팅 대수이다.
• 콤팩트 공간 – 수학적 공간 유형
• 컨버전스 공간– 일반적인 토폴로지에서 볼 수 있는 컨버전스 개념의 일반화
• 외부 공간
• 하우스도르프 공간 – 토폴로지 공간의 유형
• 힐베르트 공간 – 무한 차원을 허용하는 유클리드 공간의 일반화
• 반혼합성
• 선형 부분 공간 – 수학에서 벡터 부분 공간
• 준생태학적 공간
• 비교적 콤팩트한 서브스페이스
• 공간(수학) – 구조가 추가된 수학 집합

인용문

참고 문헌

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외부 링크

• "Topological space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]