호프 진동

미분위상의 수학적 분야에서는 홉프 진동(Hopf 번들 또는 홉프 지도라고도 함)이 원과 일반적인 구체의 측면에서 3-sphere(4차원 공간의 하이퍼스피어)를 기술하고 있다. 1931년 하인츠 홉프(Heinz Hopf)에 의해 발견되었으며, 섬유 다발의 영향력 있는 초기 사례다. 기술적으로, Hopf는 3-sphere에서 2-sphere로 이어지는 다대일 연속 함수(또는 "맵")를 발견하여 2-sphere의 각 개별 지점이 3-sphere의 뚜렷한 원(Hopf 1931)에서 매핑되도록 했다.^[1] 따라서 3-sphere는 섬유로 구성되며, 여기서 각 섬유는 2-sphere의 각 지점에 하나씩 원이다.

이 섬유 묶음 구조는 다음과 같다.

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\p\,}S^{2},}$

섬유 공간¹ S(원)가 총 공간 S³(3-sphere)에 내장되어 있고, p : S → S³(Hopf's map)가² S를³ 베이스 공간 S²(일반 2-sphere)에 투영한다는 것을 의미한다. 다른 섬유 묶음처럼, 호프 진동은 그것이 로컬로 제품 공간이라는 중요한 속성을 가지고 있다. 그러나 그것은 사소한 섬유 묶음은 아니다. 즉, S는³ 국소적으로 구별할 수 없지만 전세계적으로² S와¹ S의 제품이 아니다.

이것은 많은 시사점을 가지고 있다. 예를 들어, 이 다발의 존재는 더 높은 호모토피 집단이 일반적으로 사소한 것이 아님을 보여준다. 또한 원 그룹과 섬유질을 식별함으로써 주성분 묶음의 기본적인 예를 제공한다.

홉프 진동의 입체 투영은 R에 주목할³ 만한 구조를 유도하는데, 이 구조는 z축을 제외한 3차원 공간 모두가 빌라르소 원을 연결한 내포 토리로 채워져 있다. 여기서 각각의 섬유는 우주에 있는 원에 투영된다(그 중 하나는 "무한한 원을 통과하는 원"으로 생각되는 선이다). 각 토러스(torus)는 2-sphere 위도 원의 역영상을 입체적으로 투영한 것이다. (토러스란 두 개의 원의 산물이다.) 이 토리는 오른쪽 영상에 묘사되어 있다. R이³ 공의 경계까지 압축되면 위상학적 구조가 유지되더라도 일부 기하학적 구조는 손실된다(위상 및 기하학 참조). 비록 그들이 기하학적 원은 아니지만, 그 고리들은 원들에 대해 동형이다.

Hopf 진동에는 수많은 일반화가 있다. 복잡한 좌표 공간 C에ⁿ⁺¹ 있는 단위 구체는 원들을 섬유로 하는 복잡한 투영 공간 CPⁿ 위로 자연적으로 섬유화되며, 이러한 섬유화에는 실재, 쿼터니온,^[2] 옥토니언 버전도 있다. 특히 홉프 진동은 총 공간, 기저 공간, 섬유 공간이 모두 구체인 네 개의 섬유 묶음군에 속한다.

${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\to S^{1},}$

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\to S^{2},}$

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4}}$

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\to S^{8}}$

아담스의 정리에 의해 그러한 섬유화는 오직 이러한 차원에서만 일어날 수 있다.

홉프 진동은 트위스터 이론에서 중요하다.

정의 및 시공

자연수 n에 대해 n-차원 구체 또는 n-sphere는 중심점에서 고정된 거리인 (n${\displaystyle }$+${\displaystyle 1}$) ${\$디스플레이 $스타일(n+1)$-차원 공간의$$ 점 집합으로 정의할 수 있다. 구체성의 경우 중심점을 원점이라고 할 수 있으며, 이 원점으로부터 구상의 점의 거리는 단위 길이로 가정할 수 있다. With this convention, the n-sphere, ${\displaystyle S^{n}}$, consists of the points ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ with x₁² + x₂² + ⋯+ x_{n + 1}² = 1. 예를 들어, 3-sphere는 R의⁴ 점(x₁, x₂, x₃, x₄)과₁² x₂² + x + x₃²₄² = 1로 구성된다.

2-sphere에 대한 3-sphere의 Hopf 진동 p: S³ → S는² 여러 가지 방법으로 정의될 수 있다.

직접건설

C² × R로³ R을⁴ 식별하고, C × R로 식별한다(C는 복잡한 숫자를 나타낸다).

${\displaystyle(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\좌우 이동(z_{0},z_{1}=(x_{1}+ix_{2},x_{3}+ix_{4})}}}$

그리고

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$파운드 =${\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ i ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3}}}\좌우타로우 (z,x)=(x_{1}+ix_{2},x_{3$

따라서 S는³ z₀ + z = 1과₁ 같은 C에서² 모든 (z₀, z₁)의 부분 집합으로 식별되고, S는² c×R에서 모든 (z, x)의 부분 집합으로 확인되며, z = x = 1. (여기서 복합 숫자 z = x + iy², z = z^∗ = x² + y의² 경우, 별은 복합 결합체를 나타낸다. 그런 다음 Hopf 진동 p는 다음에 의해 정의된다.

${\displaystyle p(z_{0},z_{1}=(2z_{0}z_{1}z_{1}^{1}^{1},\왼쪽 z_{0}\오른쪽 ^{2}-\왼쪽 z_{1}\오른쪽 ^{2}).}$

첫 번째 구성요소는 복잡한 숫자인 반면, 두 번째 구성요소는 실제적이다. 3-sphere의 어떤 지점도 z₀ + z₁ = 1의 속성을 가져야 한다. 만약 그렇다면, p₀(z₁, z)는 p의 복잡하고 실제 구성요소를 제곱하여 보여질 수 있는 것처럼 C × R의 2-sphere 장치에 놓여 있다.

${\displaystyle 2z_{0}z_{1}^{\ast }\cdot 2z_{0}^{\ast }z_{1}+\left(\left z_{0}\right ^{2}-\left z_{1}\right ^{2}\right)^{2}=4\left z_{0}\right ^{2}\left z_{1}\right ^{2}+\left z_{0}\right ^{4}-2\left z_{0}\right ^{2}\left z_{1}\right ^{2}+\left z_{1}\right ^{4}=\left(\left z_{0}\right ^{2}+\left z_{1}\right ^{2}\right)^{2}=1}$

더욱이 3-sphere 지도상의 두 지점이 2-sphere의 동일한 지점에 도달하는 경우, 즉, p(z₀₁, z) = p₀(w₁₁, w)가 p(w₀, w)이면, (w, w)는 λ = 1인 일부 복잡한 숫자 λ에 대해 (λ₀ z, λ₁ z)와 같아야 한다. 그 반대는 또한 사실이다. 3-sphere에서 공통 복합 인자에 의해 다른 2-sphere 지점들은 2-sphere의 동일한 지점에 위치한다. 이러한 결론은 복합 인자 λ이 p의 양쪽 부분에서 복합 결합 λ과^∗ 함께 취소되기 때문에, 복합적인 2zz₀₁^∗ 구성 요소와 실제 성분₀ z - z에서₁ 나타난다.

복합수 1 = 1로 구성된 복합수 집합은 복합면에서 단위 원을 형성하므로 S의² 각 점 m에 대해 역 이미지 p⁻¹(m)가 원, 즉 pm⁻¹ ≅ S인¹ 것을 따른다. 따라서 3-sphere는 이러한 원형 섬유의 분리 결합으로 실현된다.

Hopf 지도를 사용하는 3-sphere의 직접적인 매개변수는 다음과 같다.^[3]

${\displaystyle z_{0}=e^{i\,{\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}:}\sin \eta }}$

${\displaystyle z_{1}=e^{i\,{\frac {\xi _{2}-\xi _{1}:{1}}\coses \eta .}$

또는 유클리드 R에서⁴

${\displaystyle x_{1}=\cos \left \frac {\xi _{1}+\xi _{2}}:\오른쪽)\sin \eta }$

${\displaystyle x_{2}=\sin \left \frac {\xi _{1}+\xi _{2}}:\오른쪽)\sin \eta }$

${\displaystyle x_{3}=\cos \left \frac {\xi _{2}-\xi _{1}{1}:{1}\cos \eta }}$

${\displaystyle x_{4}=\sin \left \frac {\xi _{2}-\xi _{1}{1}:{2}}\오른쪽)\coses \eta }$

0 ~ π/2 범위에서 runs run하는 경우, 0 ~ 2 π 범위에서 ξ₁ run하며 ξ은₂ 0 ~ 4 π 사이의 값을 취할 수 있다. 원을 지정하는 0과 π/2를 제외한 value의 모든 값은 3-sphere에 별도의 플랫 토루스를 지정하며, ξ₁ 또는 ξ의₂ 왕복 1회(0~4 4)는 토루스의 양쪽 사지를 하나의 완전한 원으로 만든다.

위의 파라메트리지를 2-sphere에 매핑하는 방법은 다음과 같으며, 원의 점은 ξ에₂ 의해 파라메트리된다.

${\displaystyle z=\cos(2\eta )}$

$\displaystyle x=\sin(2\eta )\cos \xi _{1}.$

${\displaystyle y=\sin(2\eta )\sin \xi _{1}$

복합 투영선을 이용한 기하학적 해석

진동의 기하학적 해석은 C의² 모든 복잡한 1차원 서브스페이스 집합으로 정의되는 복합 투영선 CP를¹ 사용하여 얻을 수 있다. 동등하게 CP는¹ 0이 아닌 복합수 λ에 대해 (z₀, z)와 (λ z₀, λ₁ z₁)를 식별하는 동등성 관계에 의한² C\{0}의 몫이다. C의² 어떤 복잡한 선에는 단위 규범의 원이 있고, 따라서 단위 규범의 지점에 대한 지수 지도의 제한은 S³ over CP의¹ 교정이 된다.

CP는¹ 2-sphere와 차이점이다. 실제로 그것은 C의 원 포인트 콤팩트화(무한도에서 점을 추가함으로써 관측됨)인 리만 구 C_∞ = C ∪ {∞}과 식별할 수 있다. 위의 p에 대해 주어진 공식은 3차원 공간에서 복잡한 투영 선과 보통의 2-sphere 사이의 명시적인 차이점을 정의한다. 또는 점(z₀, z₁)을 리만 구 C의_∞ 비율₁ z/z에₀ 매핑할 수 있다.

섬유다발구조

Hopfibration은 번들 투영 p와 함께 섬유 번들을 정의한다. 이는 2-sphere의 모든 지점에 3-sphere의 역 이미지를 U의 제품과 원으로 식별할 수 있는 어떤 근린 U가 있다는 의미에서 "로컬 제품 구조"를 가지고 있다는 것을 의미한다: p⁻¹(U) ≅ U¹ × S. 이러한 진동은 국소적으로 사소한 것이라고 한다.

호프 진동의 경우 S에서² 단일 점 m을 제거하고 S에서³ 해당 원 p⁻¹(m)을 제거하면 충분하므로 U = S\{m²}을 취할 수 있으며, S의² 어떤 점에도 이 형식의 근방이 있다.

회전법을 이용한 기하학적 해석

일반적인 3차원 공간에서 2-sphere의 회전을 고려하여 Hopf 진동(Hopf 진동)의 또 다른 기하학적 해석을 얻을 수 있다. 회전 그룹 SO(3)는 이중 커버, 스핀 그룹 스핀(3)은 3-sphere와 차등형이다. 스핀 그룹은 회전으로 S에² 대해 전이적으로 행동한다. 점의 안정성은 원 그룹에 이형이다. 3-sphere가 2-sphere 위에 있는 주요 원 묶음이고 이것이 Hopfibration이라는 것을 쉽게 따라온다.

이것을 좀 더 분명히 하기 위해, 그룹 스핀(3)은 단위 쿼터니언의 그룹 Sp(1)과 동일하거나 특수 단일 그룹 SU(2)와 동일시할 수 있다.

첫 번째 접근법에서 R의⁴ 벡터(x₁, x₂, x, x₃₄)는 quaternion q ∈ H로 해석된다.

${\displaystyle q=x_{1}+\mathbf {i}x_{2}+\mathbf {j}x_{3}+\mathbf {k}x_{4}\,\!}$

그런 다음 3-sphere는 q = 1인 q = q, 여기서 q = q^∗, 위와 같은 q의 경우 x₁² + x₂² + x₃² + x와₄² 동일한 q의 q , H로 식별된다.

반면 R의³ 벡터(y₁, y₂, y₃)는 가상의 쿼터니온으로 해석할 수 있다.

${\displaystyle p=\mathbf {i}y_{1}+\mathbf {j}y_{2}+\mathbf {k}y_{3}\,\!}$

그 후, 케이리(1845년) 이후 잘 알려진 대로, 지도화.

$qpq^{*}\,\!}$

R의³ 회전이다: 실제로 그것은 확실히 등소계법이다, 왜냐하면 q p q^∗ = q q^∗ q^∗ q^∗ = q^∗ q q q^∗ q = p , 그리고 그것이 방향을 보존하는지 확인하는 것은 어렵지 않다.

실제로, 이는 R의³ 회전 그룹을 가진 버시어 그룹을 식별하며, 버시어 q와 -q가 동일한 회전을 결정한다는 사실을 나타낸다. 위에서 언급한 바와 같이, 회전은 S에서² 전이적으로 작용하며, 주어진 우측 버시or p를 고정하는 버시어 q의 집합은 q = u + v p의 형태를 가지고 있다. 여기서 u와 v는² u + v² = 1의 실제 숫자다. 이것은 원 부분군이다. 구체성의 경우 p = k를 취할 수 있으며, 그 다음 홉프 진동은 Ω ~ Ω^∗ kΩ을 전송하는 지도로 정의할 수 있다. 여기서 q는 k를 고정하는 버시어의 원 중 하나인 모든 quaternion Ωq는 동일한 것에 매핑된다(이러한 경우는 Ω과 동일한 위치로 k를 회전하는 두 180° 회전 중 하나임).

이 진동을 살펴보는 또 다른 방법은 모든 versor Ω이 {1,k}만큼 확장된 평면을 {Ω, Ωk}만큼 확장된 새 평면으로 이동하는 것이다. q가 k를 고정하는 버시어의 원 중 하나인 어떤 쿼터니온 Ωq도 같은 효과를 낼 것이다. 우리는 이 모든 것을 하나의 섬유에 넣었고, 섬유들은 ΩkΩ의^* 범위인 180° 회전의 2-sphere에 일대일로 매핑될 수 있다.

이 접근방식은 2×2 행렬로 쿼터니온 q₁ = x + i x₂ + j x₃ + k x를₄ 식별하여 직접 시공과 관련된다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}+\mathbf {i} x_{2}&x_{3}+\mathbf {i} x_{4}\\-x_{3}+\mathbf {i} x_{4}&x_{1}-\mathbf {i} x_{2}\end{bmatrix}}.\,\!}$

이것은 SU(2)가 있는 버시온 그룹과 스큐-헤르미티아 2×2 행렬(이형동형에서 C × R)이 있는 가상 쿼터니온을 식별한다.

명시적 공식

단위 쿼터니언 q = w + i x + j y + k z에 의해 유도된 회전은 직교 행렬에 의해 명시적으로 주어진다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-2(y^{2}+z^{2})&2(xy-wz)&2(xz+wy)\\2(xy+wz)&1-2(x^{2}+z^{2})&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(yz+wx)&1-2(x^{2}+y^{2})\end{bmatrix}}.}$

여기서 z축을 따라 고정된 단위 벡터(0,0,1)가 다른 단위 벡터로 회전한다는 점에 주목함으로써 번들 투영에 대한 명시적인 실제 공식을 찾을 수 있다.

${\displaystyle {\Big(xz+wy),2(yz-wx),1-2(x^{2}+y^{2}){\Big )},\,\!}$

는 (w, x, y, z)의 연속 함수다. 즉, q의 이미지는 2-sphere에서 z축을 따라 단위 벡터를 보내는 지점이다. S의² 특정 지점에 대한 섬유는 그곳에 단위 벡터를 보내는 모든 단위 쿼터로 구성된다.

우리는 또한 S의² 한 점(a, b, c) 위에 섬유에 대한 명시적인 공식도 쓸 수 있다. 단위 쿼터를 곱하면 회전 구성이 생성되며,

$\displaystyle q_{\theta }=\cos \theta +\mathbf {k} \sin \theta }$

z축을 중심으로 2° 회전하는 것이다. θ이 다양함에 따라, 이것은 우리의 원형 섬유인 S의³ 큰 원을 쓸어버린다. 기준점(a, b, c)이 대척점이 아닌 한, (0, 0, -1) 쿼터니온(quaternion)

${\displaystyle q_{(a,b,c)}={\frac {1}{\sqrt{2(1+c)}}}}(1+c-\mathbf {i}b+\mathbf {j}a)}$

(0, 0, 1)을 (a, b, c)로 보낸다. 따라서 (a, b, c)의 섬유는 (a_{(a, b, c)θ}, b, c) 형식 Qq의 쿼터니온에 의해 주어지는데, 이는³ S 지점이다.

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}{\Big (}(1+c)\cos(\theta ),a\sin(\theta )-b\cos(\theta ),a\cos(\theta )+b\sin(\theta ),(1+c)\sin(\theta ){\Big )}.\,\!}$

q에_(a,b,c) 의한 곱셈은 퀀터니온 공간의 회전으로 작용하기 때문에 섬유는 단순한 위상학적 원이 아니라 기하학적 원이다.

(0, 0, -1)에 대한 최종 섬유는 q를_(0,0,−1) i로 정의하여 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\Big(}0,\cos(\theta ),-\sin(\theta ),0{\Big )}}$

그럼 묶음이 완성되는 거지 그러나 S와³ S²×S¹ 사이의 이러한 일대일 매핑은 S가³ 위상적으로² S×S와¹ 동등하지 않다는 사실을 반영하여 이 원에 연속되지 않는다는 점에 유의한다.

따라서 호프 진동을 시각화하는 간단한 방법은 다음과 같다. 3-sphere의 모든 점은 쿼터니온과 동일하며, 이는 3차원에서 데카르트 좌표 프레임의 특정 회전과 동일하다. 가능한 모든 쿼터니온의 집합은 가능한 모든 회전의 집합을 생성하며, 이것은 그러한 좌표 프레임의 하나의 단위 벡터(예: z 벡터)의 끝을 단위 2-sphere의 모든 가능한 점으로 이동시킨다. 그러나 z 벡터의 끝을 고정하면 회전이 완전히 지정되지 않으며, z축에 대해서는 추가 회전이 가능하다. 따라서 3-sphere는 2-sphere에 매핑되며, 1회 회전도 추가된다.

회전은 오일러 각도 θ, φ, ψ을 사용하여 나타낼 수 있다. 홉프 매핑은 θ과 φ이 부여한 2-sphere의 포인트에 회전을 매핑하고, 관련 원은 ψ에 의해 파라메트리된다. 유의할 점은 π = π 을러각 φ과 ψ이 개별적으로 잘 정의되어 있지 않기 때문에 (θ, φ, ψ)와 S의³ 3토러스 사이에 일대일 매핑(또는 1대 2 매핑)을 가지고 있지 않다.

유체역학

호프 진동이 3차원 공간에서 벡터 장으로 처리되는 경우 유체 역학의 Navier-Stokes 방정식에 대한 해결책이 있으며, 유체는 3차원 공간에서 호프 진동의 투영 원을 따라 흐른다. 속도, 밀도 및 압력은 각 지점에서 선택하여 방정식을 만족시킬 수 있다. 이 모든 양은 중심에서 떨어져 0으로 떨어진다. a가 내부 링까지의 거리인 경우, 속도, 압력 및 밀도 장은 다음을 통해 주어진다.

${\displaystyle \mathbf {v}(x,y,z)=A\reft(a^{2}+x^{2}+y^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-2}\reft(-ay+xz),2(ax+yz),a^{2}-x^{2}-y^{2}-y^{2}+z^{2}\rig)}$

${\displaystyle p(x,y,z)=-A^{2}B\왼쪽(a^{2}+x^{2}+y^{2}+y^{2}+z^{2}\오른쪽)^{-3}$

${\displaystyle \rho (x,y,z)=3B\왼쪽(a^{2}+x^{2}+y^{2}+y^{2}+z^{2}\오른쪽)^{-1}$

임의 상수 A 및 B의 경우 자기유체역학의 솔리톤 용액으로서 유사한 필드 패턴이 발견된다.^[4]

일반화

섬유다발 p:S³ → CP로¹ 보이는 Hopf 구조는 몇 가지 일반화를 인정하는데, 이를 흔히 Hopf 섬유로도 알려져 있다. 첫째, 투영선을 n차원 투영공간으로 대체할 수 있다. 둘째, 복잡한 숫자들은 (n = 1) 옥톤수를 포함한 어떤 (실제)분할대수로도 대체할 수 있다.

실제 호프 섬유

실제¹ 버전의 호프 진동은 S 원을 일반적인 방법으로 R의² 하위 집합으로 간주하고 대척점을 식별하여 얻는다. 이것은 섬유 S⁰ = {1, -1}이(가) 있는 실제 투사 라인 위에 섬유 번들¹ S → RP를¹ 제공한다. CP가¹ 구체와 다른 형태인 것처럼 RP도¹ 원과 다른 형태다.

보다 일반적으로, 섬유 S가⁰ 있는ⁿ 실제 투영 공간 RPⁿ 위에 n-sphere S 섬유.

복합 호프 섬유

Hopf 시공은 복잡한 투영 공간 위에 원 묶음 p : S → CP를²ⁿ⁺¹ⁿ 제공한다. 이것은 실제로 CP를ⁿ 통한 tautological line bunds를 C의ⁿ⁺¹ 단위 구체로 제한하는 것이다.

Quaternionic Hopernionic Hopf 섬유

마찬가지로 S를⁴ⁿ⁺³ Hⁿ⁺¹(양자 n-공간)에 누워 단위 쿼터니온(= S³) 곱셈에 의해 배율하여 쿼터니온 투영 공간 HP를ⁿ 얻을 수 있다. 특히 S⁴ = HP이기¹ 때문에 섬유 S가³ 있는 번들⁷ S → S가⁴ 있다.

옥토니언 호프 섬유

옥토니언과 유사한 구조는 섬유 S와⁷ 함께 묶음¹⁵ S → S를⁸ 생산한다. 그러나 구 S는³¹ 섬유 S로¹⁵ S에¹⁶ 섬유질하지 않는다. S를⁸ 팔전 투사선 OP로¹ 간주할 수 있다. 팔투영면 OP도² 정의할 수 있지만, 구체 S는²³ 섬유 S로⁷ OP를² 섬유로 덮지 않는다.^[5][6]

구체간 섬유화

때때로 "홉프 진동"이라는 용어는 위에서 얻은 구들 사이의 섬유로 제한되기도 하는데, 그 섬유는 다음과 같다.

• S¹ → S 섬유¹ S 포함⁰
• S³ → S 섬유² S 포함¹
• S⁷ → S 섬유⁴ S 포함³
• S¹⁵ → S 섬유⁸ S 포함⁷

아담스의 정리 결과, 구를 총 공간, 기지 공간, 섬유로 묶은 섬유다발은 이러한 차원에서만 발생할 수 있다. 비슷한 성질을 지녔지만 홉프 섬유와는 다른 섬유 묶음은 존 밀너에 의해 이국적인 구들을 건설하는데 사용되었다.

지오메트리 및 응용 프로그램

호프 진동은 많은 시사점을 가지고 있고, 어떤 것은 순전히 매력적이고, 다른 것들은 더 깊다. 예를 들어, 스테레오 투영³ S³ → R은 R에서³ 주목할 만한 구조를 유도하며, 이는 다시 번들의 위상(Lyons 2003)을 조명한다. 입체 투영법은 원을 보존하고 공간을 채우는 R의³ 기하학적으로 완벽한 원에 Hopf 섬유를 매핑한다. 여기서 한 가지 예외가 있는데, 투영점을 포함하는 Hopf 원은 R의³ 직선 즉 "무한을 통과하는 원"으로 매핑된다.

S의² 위도 원 위에 있는 섬유들은³ S의 토러스(위상적으로 토러스(torus)는 두 개의 원의 산물이다)를 형성하고 이러한³ 프로젝트들은 R에 내포된 토러스(torus)를 만들어 공간을 채운다. 개별 섬유는 투영점을 통한 원과 반대점을 통한 원은 제외하고, 이러한 토리의 Villarceau 원을 연결하는데, 단, 이 원은 전자가 직선으로, 후자는 이 선과 직각으로, 그리고 중심인 단위 원은 이 선에 직각으로, 이 선에 중심인 원은 단반경이 s를 갖는 퇴행성 토루스로 볼 수 있다.영점까지 흐르다 다른 모든 섬유 이미지는 또한 선을 둘러싸고 있고, 그래서 대칭에 의해 각 원은 R과³ S 둘³ 다 모든 원을 통해 연결된다. 두 개의 그러한 연결 원은 R에서³ Hopf 링크를 형성한다.

홉프는 홉프 지도가 홉프 불변성 1을 가지고 있으므로 null-homotopic이 아니라는 것을 증명했다. 실제로 호모토피 그룹 π₃(S²)을 생성하며 무한한 질서를 가지고 있다.

양자역학에서는 리만 구를 블로흐 구라고 하며, 호프 진동은 양자역학 2레벨 시스템이나 쿼빗의 위상학적 구조를 기술한다. 마찬가지로, 얽힌 2-레벨 시스템 쌍의 위상은 호프 진동에 의해 주어진다.

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4}}$

(모세리 & 단돌로프 2001).

호프 진동은 디락 단극의 섬유 번들 구조와 동일하다.^[7]

메모들

참조

• Cayley, Arthur (1845), "On certain results relating to quaternions", Philosophical Magazine, 26 (171): 141–145, doi:10.1080/14786444508562684; 제20조 로 재인쇄된.
• Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen, Berlin: Springer, 104 (1): 637–665, doi:10.1007/BF01457962, ISSN 0025-5831, S2CID 123533891
• Hopf, Heinz (1935), "Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension", Fundamenta Mathematicae, Warsaw: Polish Acad. Sci., 25: 427–440, doi:10.4064/fm-25-1-427-440, ISSN 0016-2736
• Lyons, David W. (April 2003), "An Elementary Introduction to the Hopf Fibration" (PDF), Mathematics Magazine, 76 (2): 87–98, doi:10.2307/3219300, ISSN 0025-570X, JSTOR 3219300
• Mosseri, R.; Dandoloff, R. (2001), "Geometry of entangled states, Bloch spheres and Hopf fibrations", Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 34 (47): 10243–10252, arXiv:quant-ph/0108137, Bibcode:2001JPhA...3410243M, doi:10.1088/0305-4470/34/47/324, S2CID 119462869.
• Steenrod, Norman (1951), The Topology of Fibre Bundles, PMS 14, Princeton University Press (published 1999), ISBN 978-0-691-00548-5
• Urbantke, H.K. (2003), "The Hopf fibration-seven times in physics", Journal of Geometry and Physics, 46 (2): 125–150, Bibcode:2003JGP....46..125U, doi:10.1016/S0393-0440(02)00121-3
• Zamboj, Michal (8 Jan 2021). "Synthetic construction of the Hopf fibration in the double orthogonal projection of the 4-space". arXiv:2003.09236v2 [math.HO].

외부 링크

• "Hopf fibration", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 치수 산술 7장과 8장은 애니메이션 컴퓨터 그래픽으로 호프 진동을 설명한다.
• David W. Lyons의 Hopf Fibration 기본소개서 (PDF)
• Niles Johnson 교수가 2-sphere의 포인트를 3-sphere에서 원을 그리도록 동적으로 매핑하는 것을 보여주는 유튜브 애니메이션.
• 지안 마르코 토데스코의 120셀 건설 유튜브 애니메이션은 120셀의 호프진동을 보여준다.
• http://page.math.tu-berlin.de/~건/의 600셀 30셀 링 1개 동영상.
• 2-sphere의 점을 3-sphere에서 원으로 매핑하는 대화형 시각화