스펙트럼 시퀀스

호몰로지 대수학 및 대수학 위상에서 스펙트럼 시퀀스는 연속적인 근사를 취함으로써 호몰로지 집단을 계산하는 수단이다. 스펙트럼 시퀀스는 정확한 시퀀스의 일반화로서, 장 르레이(1946a, 1946b)에 의해 소개된 이후, 특히 대수 위상, 대수 기하학, 동질 대수학에서 중요한 계산 도구가 되었다.

발견 및 동기 부여

대수적 위상에서의 문제들에 의해 동기부여된 장 레레이는 피복의 개념을 도입했고 피복 코호몰로지 계산의 문제에 직면했다는 것을 알게 되었다. 피복 코호몰리를 계산하기 위해, 레레이는 현재 레레이 스펙트럼 시퀀스로 알려진 계산 기법을 도입했다. 이것은 피복의 코호몰로지 그룹과 피복의 푸시포워드의 코호몰로지 그룹 사이에 관계를 제공했다. 그 관계는 무한한 과정을 수반했다. 르레이는 푸시포워드의 코호몰로지 집단이 천연 체인 콤플렉스를 형성하여 코호몰로지(cohomology)의 코호몰리를 취할 수 있다는 것을 발견했다. 이것은 여전히 원래의 칼집의 코호몰로지(cohomology)는 아니었지만, 어떤 의미에서는 한 걸음 더 가까워졌다. 코호몰로지(cohomology)의 코호몰로지(cohomology)는 다시 체인 콤플렉스를 형성했고, 그 코호몰로지(cohomology)는 체인 콤플렉스를 형성하는 등 여러 가지 요소가 이 무한한 과정의 한계는 본질적으로 원래의 피복의 코호몰로지 집단과 동일했다.

레레이의 연산 기법이 보다 일반적인 현상의 한 예라는 것을 곧 깨닫게 되었다. 스펙트럼 시퀀스는 다양한 상황에서 발견되었으며, 섬유와 같은 기하학적 상황과 파생 펑터가 포함된 대수적 상황으로부터 오는 호몰로지 및 코호몰로지 그룹 사이에 복잡한 관계를 부여했다. 그들의 이론적 중요성은 파생 범주의 도입 이후 감소했지만, 그것들은 여전히 이용 가능한 가장 효과적인 계산 툴이다. 스펙트럼 시퀀스의 많은 용어들이 헤아릴 수 없는 경우에도 마찬가지다.

불행히도 스펙트럼 시퀀스로 전달되는 정보의 양이 많기 때문에 파악하기가 어렵다. 이 정보는 보통 아벨 그룹이나 모듈의 순위 3위 격자에 포함되어 있다. 가장 다루기 쉬운 경우는 결국 스펙트럼 시퀀스가 붕괴되는 경우로, 시퀀스에서 더 멀리 나가면 새로운 정보가 생성되지 않는다는 것을 의미한다. 이런 일이 일어나지 않을 때에도 여러 가지 요령으로 스펙트럼 시퀀스에서 유용한 정보를 얻을 수 있는 경우가 많다.

형식 정의

정의.

Fix an abelian category, such as a category of modules over a ring, and a nonnegative integer $r_{0}$ . A cohomological spectral sequence is a sequence $\{E_{r},d_{r}\}_{r\geq r_{0}}$ of objects $E_{r}$ and endomorphisms $d_{r}:E_{r}\to E_{r}$ ${\$ $E_{r}\to E_{r$ 모든 $r\geq r_{0}$ $r\geq r_{0}$ r $r\geq r_{0}$ ${\$ 에 대해.

$d_{r}\circ d_{r}=0$ $d_{r}\circ d_{r}=0$ $d_{r}\circ d_{r}=0$ $d_{r}\circ d_{r}=0$ = $d_{r}\circ d_{r}=0$ ${\displaystyle d_{r}\filename d_{r}=0$
$E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$ $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$ + $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$ $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$ $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$ $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$ $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$ r $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$ , d $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$ ) ${\displaystyle E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r}}),$ $d_{r}$ $d_{r}$ ${\$ 에 $E_{r}$ $E_{r}$ E $E_{r}$ ${\$ displaystystyle $E_{r}$ 의 호몰로지 $d_{r}$

보통 이소모형은 억눌려 $E_{r+1}=H_{*}(E_{r},d_{r})$ $E_{r+1}=H_{*}(E_{r},d_{r})$ + 1 $E_{r+1}=H_{*}(E_{r},d_{r})$ = $E_{r+1}=H_{*}(E_{r},d_{r})$ $E_{r+1}=H_{*}(E_{r},d_{r})$ ( $E_{r+1}=H_{*}(E_{r},d_{r})$ $E_{r+1}=H_{*}(E_{r},d_{r})$ , $E_{r+1}=H_{*}(E_{r},d_{r})$ $E_{r+1}=H_{*}(E_{r},d_{r})$ ) ${\displaystyle E_{r+1}=$ 라고 쓴다.대신 $E_{r+1}=H_{*}(E_{r},d_{r})$ $H_{*}(E_{r},d_{r})}.$ 물체 $E_{r}$ $E_{r}$ ${\$ 를 $E_{r}$ 시트(종이처럼) 또는 페이지나 용어로 부르고, 내형성 $d_{r}$ $d_{r}$ {\ $displaystyle d_{r}}$ 을 경계도 또는 차등이라고 한다 $d_{r}$ . $E_{r}$ $E_{r+1}$ $E_{r}$ $E_{r+1}$ + $E_{r+1}$ ${\$ $displaystyle E_{r$ $+1}$ 의 파생 개체라고 불리기도 $E_{r+1}$ 한다 $E_{r}$ ^{[citation needed]}

빅레이드 스펙트럼 시퀀스

In reality spectral sequences mostly occur in the category of doubly graded modules over a ring R (or doubly graded sheaves of modules over a sheaf of rings), i.e. every sheet is a bigraded R-module ${\textstyle E_{r}=\bigoplus _{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}E_{r}^{p,q}.}$ So in this case a cohomological spectral sequence is a sequence $\{E_{r},d_{r}\}_{r\geq r_{0}}$ of bigraded R-modules $\{E_{r}^{p,q}\}_{p,q}$ and for every modul the direct sum of endomorphisms $d_{r}=(d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1})_{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\$ $E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1})_{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}}$ of bidegree $(r,1-r)$ , such that for every $r\geq r_{0}$ it holds that:

$d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0$ $d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0$ p $d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0$ + $d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0$ , $d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0$ - r $d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0$ + $d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0$ $d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0$ $d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0$ r $d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0$ , $d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0$ = $d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0$ ${\displaystyle d_{r}^{p+r,q-r+1}\red d_{r}^{p,q}=0$
$E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$ $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$ + $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$ $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$ $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$ $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$ ( $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$ r $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$ , $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$ $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$ ) $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r}})$ .

여기서 사용하는 표기법을 보완도라고 한다. 일부 저자는 Er $E_{r}^{d,q}$ , $E_{r}^{d,q}$ ${\$ 을 대신 $E_{r}^{d,q}$ 쓰기도 하는데, $d=p+q$ 서 $d=p+q$ d = $d=p+q$ + $d=p+q$ {\ $displaystyle$ d $=p+q}$ 는 전체 $d=p+q$ 학위다. 스펙트럼 시퀀스에 따라 첫 번째 시트의 경계도는 r = 0, r = 1 또는 r = 2에 해당하는 정도를 가질 수 있다. 예를 들어, 아래에서 설명하는 여과된 복합체의 스펙트럼 시퀀스의 경우₀ r = 0이지만 그로텐디크 스펙트럼 시퀀스의 경우₀ r = 2이다. 보통 r은₀ 0, 1 또는 2이다. 위에서 설명한 무질서한 상황에서 r은₀ 무관하다.

동질 스펙트럼 시퀀스

우리가 이야기하고 있는 물체는 대부분 체인 콤플렉스인데, 내림차순(위쪽과 같이)이나 오름차순으로 발생한다. 후자의 $E_{p,q}^{r}$ 경우 $, Er$ p , $E_{r}^{p,q}$ , $q$ , $E_{p,q}^{r}$ , $q$ $E_{p,q}^{r}$ $E_{p,q}^{r}$ , q , $q$ , $d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}$ , $E_{p,q}^{r}$ q , q , q , q , $d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}$ q : E $d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}$ p , $q$ , $d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}$ q + $d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}$ , q , $d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}$ , $d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}$ : $d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}$ r p , $d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}$ + $q$ , $d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}$ q + q + q + $q$ + $d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}$ + $q$ $d_{p,q}^{r}:E_{p,q}^{r}\to E_{p-r,q+r-1}^{r}$ ${r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+$ 1}:{p+r,q-r+ $1}:$ $d_{p,q}^{r}:E_{p,q}^{r}\to E_{p-r,q+r-1}^{r}$ p $d_{p,q}^{r}:E_{p,q}^{r}\to E_{p-r,q+r-1}^{r}$ , $d_{p,q}^{r}:E_{p,q}^{r}\to E_{p-r,q+r-1}^{r}$ : $d_{p,q}^{r}:E_{p,q}^{r}\to E_{p-r,q+r-1}^{r}$ , $d_{p,q}^{r}:E_{p,q}^{r}\to E_{p-r,q+r-1}^{r}$ - $d_{p,q}^{r}:E_{p,q}^{r}\to E_{p-r,q+r-1}^{r}$ r , $d_{p,q}^{r}:E_{p,q}^{r}\to E_{p-r,q+r-1}^{r}$ + $d_{p,q}^{r}:E_{p,q}^{r}\to E_{p-r,q+r-1}^{r}$ $d_{p,q}^{r}:E_{p,q}^{r}\to E_{p-r,q+r-1}^{r}$ , $d_{p,q}^{r}:E_{p,q}^{r}\to E_{p-r,q+r-1}^{r}$ + 1 r ${\$ $E_{p,q}^{r$ }^{r $}\to E_{p-r,q+r-1}^{r}}}{$ r}}( $d_{p,q}^{r}:E_{p,q}^{r}\to E_{p-r,q+r-1}^{r}$ 이이드리스어 $(-r,r-1)$ - $(-r,r-1)$ $(-r,r-1)$ - $){\displaystyle(-r,r-1)){$ r, }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}( $(-r,r-1)$ 이(이(이공호메트리거의 동질학적 스펙트럼 시퀀스의 정의를 받는다.

체인 콤플렉스의 스펙트럼 시퀀스

언더그라운드 상황의 가장 기본적인 예는 체인 콤플렉스_• C이다. 연쇄 복합체들의 아벨리안 범주에 있는 물체 C는_• 자연적으로 차등 d와 함께 온다. r₀ = 0으로 하고, E를₀ C로_• 한다. 이렇게 하면 E가₁ 복합 H(C_•)가 된다. 제2의_• 장소에서 C의 I's homology 그룹이다. 이 새로운 단지의 유일한 자연적인 차이는 영도(zero map)이기 때문에 우리는₁ d = 0을 허용했다. 이것은 E $E_{2}$ ${\$ }}을 $E_{1}$ $E_{1}$ ${\$ }와 $E_{1}$ 같게 $E_{2}$ 하고 $E_{1}$ 다시 한번 우리의 유일한 자연적인 차이는 영도(zero map)이다. 우리 시트의 나머지 부분에는 0 미분을 적용하면 다음과 같은 조건을 가진 스펙트럼 시퀀스가 제공된다.

E₀ = C_•
E_r = 모든 r ≥ 1에 대한 H(C_•)

이 스펙트럼 시퀀스의 조건은 첫 번째 시트에서 안정화된다. 왜냐하면 그것의 유일한 비교 미분이 제로 시트 위에 있었기 때문이다. 결과적으로, 우리는 더 이상의 정보를 나중에 얻을 수 없다. 보통 이후의 시트에서 유용한 정보를 얻으려면 E $E_{r}$ ${\$ 에 추가 구조가 필요하다 $E_{r}$

시각화

코호몰로지 스펙트럼 시퀀스의 E 시트₂

이중 등급의 스펙트럼 시퀀스는 추적할 수 있는 엄청난 양의 데이터를 가지고 있지만, 스펙트럼 시퀀스의 구조를 더 선명하게 만드는 공통적인 시각화 기법이 있다. 우리는 r, p, q의 세 가지 지수를 가지고 있다. $E_{r}$ $E_{r}$ r ${\$ 는 책의 r $r^{th}$ $r^{th}$ ${\$ 체크무늬 $r^{th}$ 페이지로 볼 수 있다 $E_{r}$ . 이 시트에서 우리는 p를 수평방향으로, q를 수직방향으로 할 것이다. 각 격자점에서 우리는 E $E_{r}^{p,q}$ $E_{r}^{p,q}$ , $E_{r}^{p,q}$ ${\$ 이제 다음 페이지로 돌리면 $(r+1)^{th}$ ( $(r+1)^{th}$ + $(r+1)^{th}$ ) t $(r+1)^{th}$ ${\$ 페이지가 $(r+1)^{th}$ $r^{th}$ t $r^{th}$ h ${\$ r $^{}}}페이지$ 의 $r^{th}$ 하위 쿼터인 것이다. 총 도 n = p + q는 각 시트에 걸쳐 북서쪽에서 남동쪽으로 대각선 방향으로 흐른다. 동질의 경우, 미분류는 이데그리스어(-r, r - 1)를 가지므로 n을 하나씩 감소시킨다. 공생학적 경우 n은 1씩 증가한다. 차동차는 r에 대해 각 턴에 따라 방향을 바꾼다.

코호몰로지 스펙트럼 시퀀스 4페이지

빨간색 화살표는 첫 번째 사분면의 물체만 0이 아닌 경우(아래 예 참조)를 나타낸다. 페이지를 넘기는 동안, 도메인이나 모든 차이의 코도메인은 0이 된다.

특성.

범주형 속성

코호몰로지 스펙트럼 시퀀스 세트는 범주를 형성한다: $f:E\to E'$ 시퀀스의 형태론 f $f:E\to E'$ : $f:E\to E'$ → $f:E\to E'$ $f:E\to E'$ ${\$ $E\to E'}$ 은 $f:E\to E'$ (는) 정의상 맵 $f_{r}:E_{r}\to E'_{r}$ : $f_{r}:E_{r}\to E'_{r}$ $f_{r}:E_{r}\to E'_{r}$ → $f_{r}:E_{r}\to E'_{r}$ $f_{r}:E_{r}\to E'_{r}$ $f_{r}:E_{r}\to E'_{r}$ ${\$ 의 모음입니다. $E_{r}\to E'_{r}}$ which are compatible with the differentials, i.e. $f_{r}\circ d_{r}=d'_{r}\circ f_{r}$ , and with the given isomorphisms between the cohomology of the rth step and the (r+1)th sheets of E and E' , respectively: $f_{r+1}(E_{r+1})\,=\,f_{r+1}(H(E_{r}))\,=\,H(f_{r}(E_{r}))$ $f_{r+1}(E_{r+1})\,=\,f_{r+1}(H(E_{r}))\,=\,H(f_{r}(E_{r}))$ . In the bigraded case, they should also respect the graduation: ${\displaystyle f_{r}(E_{r}^{p,q})\subset {E'_{r}}^{p,q}.$ $}$

승법구조

컵 제품은 코호몰로지 그룹에 링 구조를 주어 코호몰로지 링으로 변모시킨다. 따라서 고리 구조를 가진 스펙트럼 시퀀스도 고려하는 것이 당연하다. E $E_{r}^{p,q}$ $E_{r}^{p,q}$ , $E_{r}^{p,q}$ ${\$ 을(를) 코호몰로지 유형의 스펙트럼 시퀀스로 $E_{r}^{p,q}$ 한다. 우리는 (i) $E_{r}$ $E_{r}$ ${\$ 이 $E_{r}$ (가) 차등 등급의 알헤브라스이고 (ii) E $E_{r+1}$ + 1 ${\$ 의 곱셈이 코호몰로지 통로를 통해 E $E_{r}$ $E_{r}$ ${\$ 에 의해 유도되는 $E_{r+1}$ 경우 곱셈 구조를 가지고 있다고 말한다.

계수 그룹이 링 R일 때 진동 $F\to E\to B$ → $F\to E\to B$ → $F\to E\to B$ 에 $대한$ 공호학적 $Serre$ 스펙트럼 시퀀스가 대표적인 예다 $F\to E\to B$ $E_{2}$ $E_{2}$ ${\$ 페이지에 $E_{2}$ 섬유와 베이스의 컵 제품에 의해 유도되는 승화 구조를 가지고 있다.^[1] 그러나 일반적으로 제한 조건 $∞{\$ 은 H(E; R)에 대한 등급별 대수로서 이형성이 아니다 $E_{\infty }$ .^[2] 승법 구조는 시퀀스의 차이를 계산하는 데 매우 유용할 수 있다.^[3]

스펙트럼 시퀀스 구성

스펙트럼 시퀀스는 다양한 방법으로 구성할 수 있다. 대수학적 위상에서는 정확한 커플이 아마도 이 건축의 가장 일반적인 도구일 것이다. 대수 기하학에서 스펙트럼 시퀀스는 보통 코체인 복합체의 오차로 구성된다.

정확한 커플의 스펙트럼 시퀀스

스펙트럼 시퀀스를 구성하는 가장 강력한 기술은 윌리엄 매시의 정확한 커플링 방법이다. 정확한 커플은 특히 다른 구성이 알려져 있지 않은 스펙트럼 시퀀스가 많은 대수 위상에서 흔하다. 실제로 알려진 모든 스펙트럼 시퀀스는 정확한 커플링을 사용하여 구성할 수 있다.^{[citation needed]} 그럼에도 불구하고 대부분의 스펙트럼 시퀀스가 여과된 콤플렉스에서 나오는 추상 대수학에서는 인기가 없다.

정확한 커플을 정의하기 위해, 우리는 아벨의 범주로 다시 시작한다. 이전과 같이, 실제로 이것은 보통 링 위에 두 배로 등급이 매겨진 모듈들의 범주다. 정확한 커플은 한 쌍의 물체(A, C)이며, 이들 물체 사이에 세 개의 동형성(f : A → A, g : A → C, h : C → A)과 함께 다음과 같은 특정 정밀도 조건을 따른다.

이미지 f = 커널 g
이미지 g = 커널 h
이미지 h = 커널 f

우리는 이 데이터를 (A, C, f, g, h)로 줄인다. 정확한 커플은 보통 삼각형으로 묘사된다. 우리는 C가 스펙트럼 시퀀스의 E₀ 항에 해당하고 A가 어떤 보조 데이터인지 확인할 것이다.

스펙트럼 시퀀스의 다음 시트로 넘어가기 위해 우리는 파생된 커플을 형성할 것이다. 설정:

d = g o h
A' = f(A)
C' = Ker d / Im d
f' = f , f to A'의 제한
h' : C' → A'는 h에 의해 유도된다. h가 그런 지도를 유도하는 것을 보면 직설적이다.
g' : A' → C'는 다음과 같이 요소에 대해 정의된다. A의 각 a에 대해, A의 일부 b에 대해 a를 f(b)로 쓰십시오(a)의 일부 b는 c'의 g(b)의 이미지로 정의된다. 일반적으로 g'는 아벨리아 범주에 대한 내장 이론 중 하나를 사용하여 구성할 수 있다.

여기서부터 (A', C', f', g', h')가 정확한 부부인지 확인하는 것이 간단하다. C'는 스펙트럼 시퀀스의 E 항에₁ 해당한다. 우리는⁽ⁿ⁾⁽ⁿ⁾⁽ⁿ⁾⁽ⁿ⁾⁽ⁿ⁾ 정확한 커플을 얻기 위해 이 절차를 반복할 수 있다.

스펙트럼 시퀀스를 구성하기 위해 E를_n C로⁽ⁿ⁾ 하고_n d를⁽ⁿ⁾ go⁽ⁿ⁾ h로 한다.

이 방법으로 구성된 스펙트럼 시퀀스

세레 스펙트럼 시퀀스^[4] - 진동의 호몰로지 계산에 사용
아티야-히르제브루흐 스펙트럼 시퀀스 - K-이론과 같은 비범한 코호몰로지 이론의 동질학을 계산하는 데 사용된다.
박스테인 스펙트럼 시퀀스
여과된 복합체의 스펙트럼 시퀀스

여과된 복합체의 스펙트럼 시퀀스

매우 일반적인 유형의 스펙트럼 시퀀스는 여과된 코체인 콤플렉스에서 나온다. 그것은 자연스럽게 큰 띠를 가진 물체를 유도하기 때문이다. Consider a cochain complex $(C^{\bullet },d)$ together with a descending filtration, ${\textstyle ...$ $\supset \,F^{-2}C^{\bullet }\,\supset \,F^{-1}C^{\bullet }\supset F^{0}C^{\bullet }\,\supset \,F^{1}C^{\bullet }\,\supset \,F^{2}C^{\bullet }\,\supset \,F^{3}C^{\bullet }\,\supset ...\,}$ . We require that the boundary map is compatible with the filtration, i.e. ${\textstyle d(F^{p}C^{n})\subset F^{$ $p}C^{n+1}}$ , and that the filtration is exhaustive, that is, the union of the set of all ${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$ is the entire chain complex ${\textstyle C^{\bullet }}$ . Then there exsits a spectral sequence with ${\textstyle E_{0}^{$ P,q}=F^{p}C^{p+q}{p+1}C^{p+q}}와 E1p, q=Hp+q(Fp C∙/Fp+1C∙){\textstyle E_{1}(F^{p}C^{\bullet}/F^{p+1}C^{\bullet})}.[5]나중에, 우리는 또한 여과는 하우스 도르프거나 별거 중, 그것은, 모든 Fp C의 집합의 교차로 ∙을 짐작할 것이다{\textstyle. F^{ $p}C^{\bullet }}$ 은 ${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$ (는) 0이다.

여과법은 0에 가까운 정도를 측정하기 때문에 유용하다: p가 증가하면 ${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$ ${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$ ${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$ $∙{\$ 이(가) 점점 0에 가까워진다 ${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$ . 우리는 이 여과로부터 이후의 시트에 있는 코바이어와 코코클이 원래의 콤플렉스에 있는 코바이어와 코바이어에 점점 더 가까워지는 스펙트럼 시퀀스를 구성할 것이다. 이 스펙트럼 시퀀스는 여과도 p와 보완도 $q$ = $n$ - $p$ 에 의해 이중으로 등급이 매겨진다.

건설

$∙{\$ 은(는) 단 하나의 등급과 여과만 있으므로 $C^{\bullet }$ 우선 스펙트럼 시퀀스의 첫 페이지에 대해 이중 등급의 객체를 구성한다. 두 번째 등급을 받기 위해 여과와 관련하여 등급이 매겨진 관련 물체를 취한다. $E_{1}$ $E_{1}$ ${\$ } 단계에서 $E_{1}$ 정당화될 수 있는 특이한 방법으로 작성:

Z_{-1}^{p,q}=Z_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}}}

B_{0}^{p,q}=0

E_{0}^{p,q}={\frac {Z_{0}^{p,q}}{B_{0}^{p,q}+Z_{-1}^{p+1,q-1}}}={\frac {F^{p}C^{p+q}}{F^{p+1}C^{p+q}}}

E_{0}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z}}{0}^{p,q}}

경계도가 여과와 호환된다고 가정했기 때문에 E $E_{0}$ ${\$ 는 이중 등급의 객체로서 $E_{0}$ E 0 ${\$ 에 $d_{0}$ 자연적으로 이중 등급의 경계 맵 d $d_{0}$ ${\$ 이 있다 $E_{0}$ $E_{1}$ $E_{1}$ ${\$ }를 얻기 위해 $E_{1}$ $E_{0}$ 는 E $E_{0}$ 0 {\ $displaystyle E_{$ 0}의 호몰로리를 취한다 $E_{0}$

{\bar{Z}_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\오른쪽 화살표 E_{0}^{p,q+1}=\ker d_{0}^{p,q:F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}/{p+1}C^{p+q}}\오른쪽 화살표 F^{p}C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+1}{p+q+1}+1}:1}

{\bar}_{1}^{p,q}={\mbox{d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\오른쪽 화살표 E_{0}^{p,q}={\mbox{{d_{0}^{p,q-1:F^{p}C^{p+q-1}/F^{p+1}C^{p+1}{p+1}C^{p+q-1}\오른쪽 화살표 F^{p^{p+q}/F^{p+1}C^{p+1}{p+1}}}}}}{p+1}:{p+q}}}}}}}}}}}}}}

E_{1}^{p,q}={\frac {{\bar{Z}_{1}^{p,q}}{{\bar {{B}_{1}^{1}}}={\frac {\ker d_{0}^{p,q},q}:E_{0}^{p,q}\오른쪽 화살표 E_{0}^{p,q+1}:{p,q+1}:{{\mbox{{d_{0}^{p,q-1:E_{0}^{p,q-1}\오른쪽 화살표 E_{0}^{p,q}}}}}:{p,q}}}}}}}}

E_{1}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{1}^{p,q}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }{\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}

${\bar {Z}}_{1}^{p,q}$ 의 ${\bar {Z}}_{1}^{p,q}$ ${\bar {Z}}_{1}^{p,q}$ ${\$ ${\bar {B}}_{1}^{p,q}$ 의 $\bar{Z}_1^{p,q}$ ${\bar {B}}_{1}^{p,q}$ , ${\bar {B}}_{1}^{p,q}$ , q, q, q, ${\bar {B}}_{1}^{p,q}$ q, q, q, q, q, q, $\$ $displaystyle$ ${\bar$ $},$ }, $E_{0}^{p,q}$ , q, q, $q,$ $E_{0}^{p,q}$ , e 0p, q, $E_{0}^{p,q}$ q, {\p, 0 ${\bar {B}}_{1}^{p,q}$

Z_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q:F^{p}C^{p+q}\오른쪽 화살표 C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+1}{p+q+1}:{p+q+1}1}:{p+q+1}1}:{p+q+1}1}:{p+1}:{p^{p+q+1}:{p+1}:{p

B_{1}^{p,q}=({\mbox{im }}}}{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}\오른쪽 화살표 C^{p+q}\cap F^{p}C^{p+q}}

그리고 우리가 가지고 있는 것은

E_{1}^{p,q}={\frac {Z_{1}^{p,q}}{B_{1}^{p,q}+Z_{0}^{p+1,q-1}}}.

$Z_{1}^{p,q}$ $Z_{1}^{p,q}$ , $Z_{1}^{p,q}$ ${\$ 는 정확히 차분이 여과에서 한 단계 위로 밀어올리는 원소들이며 $Z_{1}^{p,q}$ , $B_{1}^{p,q}$ , $B_{1}^{p,q}$ ${\$ 는 $B_1^{p,q}$ 여과에서 차분이 제로 레벨을 밀어올리는 원소의 이미지인 것이다. 이것은 우리가 Z $Z_{r}^{p,q}$ $Z_{r}^{p,q}$ , $Z_{r}^{p,q}$ ${\$ $p,q}$ 을 $Z_r^{p,q}$ (를) 여과에서 차분이 r 레벨을 위로 밀어 올리는 요소로 선택해야 한다는 것을 시사한다. $B_{r}^{p,q}$ r $B_{r}^{p,q}$ $}는 여과$ 에서 차분이 r-1 레벨을 밀어 올리는 요소의 이미지로 선택해야 $B_{r}^{p,q}$ 한다. 즉, 스펙트럼 시퀀스가 만족해야 한다.

Z_{r}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q:F^{p}C^{p+q}\오른쪽 화살표 C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1}:{p+q+1}:{p+q+1}:{p+q+1}:{p^{p+q+1}:{p+2}

B_{r}^{p,q}=({\mbox{im }}}{0}^{p-r+1,q+r-2}:F^{p-r+1}C^{p+q-1}\오른쪽 화살표 C^{p+q}\cap F^{p}C^{p+q}}

E_{r}^{p,q}={\frac {Z_{r}^{p,q}}{B_{r}^{p,q}+Z_{r-1}^{p+1,q-1}}}}}}}}{p+1,q-1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

그리고 우리는 그 관계를 가져야 한다.

B_{r}^{p,q}=d_{0}^{p,q}(Z_{r-1}^{p-r+1,q+r-2})).

이를 이해하려면 각 $E_{r}$ r ${\$ 에서 $d_{r}$ $d_{r}$ d $d_{r}$ {\ $displaystyle d_{r}}$ 을(를) 찾아 $E_{r}$ 동질학 이형성을 $E_{r+1}$ $E_{r+1}$ + $E_{r+1}$ ${\$ 에 이르는지 확인해야 한다 $E_{r+1}$ 차동

{\displaystyle d_{r}^{p,q:E_{r}^{p,q}\오른쪽 화살표 E_{r}^{p+r,q-r+1}:{p+r.

$C^{p+q}$ $C^{p+q}$ + $C^{p+q}$ ${\$ 에 정의된 $d$ 원래 차동 ${\displaystyle$ C^{p+q}을(를) 하위 객체 $Z_{r}^{p,q}$ $Z_{r}^{p,q}$ $Z_{r}^{p,q}$ $Z_{r}^{p,q}$ ${\$ 로 $C^{p+q}$ 제한하여 정의된다 $Z_{r}^{p,q}$

이 차이에 대한 $E_{r}$ $E_{r}$ $E_{r}$ ${\$ 의 동질성이 $E_{r+1}$ $E_{r+1}$ + $E_{r+1}$ ${\$ 1}인지 $E_{r+1}$ 쉽게 확인할 수 있으므로 스펙트럼 시퀀스를 제공한다. 불행하게도, 그 차이는 그다지 명백하지 않다. 차이를 결정하거나 그 주변에서 작업하는 방법을 찾는 것은 스펙트럼 시퀀스를 성공적으로 적용하기 위한 주요 난제 중 하나이다.

이 방법으로 구성된 스펙트럼 시퀀스

호지-데 람 스펙트럼 시퀀스
이중 콤플렉스의 스펙트럼 시퀀스
혼합 호지 구조^[6] 구축에 사용할 수 있음

이중 콤플렉스의 스펙트럼 시퀀스

또 다른 일반적인 스펙트럼 시퀀스는 이중 콤플렉스의 스펙트럼 시퀀스다. 이중 콤플렉스는 모든 정수 i와 j에 대한 물체 C의_i,j 집합으로, d와 d. d는 감소 i를 가정하고 d는 감소 j를 가정한다. 더욱이, 우리는 d + d = 0으로 미분류가 반공산인 것으로 가정한다. 우리의 목표는 반복된 $H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))$ $H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))$ $H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))$ ( $H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))$ $H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))$ $H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))$ ( C $H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))$ ∙ $H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))$ $){\displaystyle H_{i}^{I}(H_{j$ }^){{displaystyle H_{i}}}}{j $}^{{}}}}}}{{}}}}}}}}{{{{}}}}}}}}}}}}}}$ $II}(C_{\bullet ,\bullet })$ 및 $H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))$ $H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))$ $H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))$ $H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))$ ( $H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))$ $H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))$ ( $H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))$ $H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))$ , $H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))$ ) $H_{j}^{{}}$ $II}(H_{i}^{I})(C_{\bullet,\bullet$ $H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))$ 우리는 우리의 이중 콤플렉스를 두 가지 다른 방법으로 여과하여 이것을 할 것이다. 여기 우리의 오물이 있다.

(C_{i,j}^I}_{p}={\begin{case}0&{\text{if{}i<p\\\C_{i,j}&{\text{if{}i\geq p\end{case}}}

(C_{i,j}^II}_{p}={\begin{case}0&{\text{if{}j<p\\\C_{i,j}&{\text{if{}j\geq p\end{case}}}

스펙트럼 시퀀스를 얻기 위해 우리는 이전 예시로 줄일 것이다. 우리는 총 복합체 T(C_•,•)를 복합체로 정의하는데, 이 복합체의 n번째 용어는 $\bigoplus _{i+j=n}C_{i,j}$ i $\bigoplus _{i+j=n}C_{i,j}$ + $\bigoplus _{i+j=n}C_{i,j}$ = n $\bigoplus _{i+j=n}C_{i,j}$ $\bigoplus _{i+j=n}C_{i,j}$ , $\bigoplus _{i+j=n}C_{i,j}$ ${\$ 이다. $C_{i,j}$ 이며 $\bigoplus_{i+j=n} C_{i,j}$ , 차등분은 d + d 입니다. 이것은 d와 d가 부동액이기 때문에 콤플렉스다. C에_i,j 대한 두 가지 오차는 총 복합체에 대해 두 가지 오차를 제공한다.

T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \op i>p-1}C_{i,j}

T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{II}=\bigoplus _{i+j=n \atop j>p-1}C_{i,j}

이러한 스펙트럼 시퀀스가 반복된 동어에 대한 정보를 제공한다는 것을 보여주기 위해, 우리는 T(C)에서_•,• I 여과물의 E, E, 그리고⁰¹ E 용어를 알아낼² 것이다. E⁰ 용어는 명확하다:

{}^{I}E_{p,q}^{0}=T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet }}_{p+1}^{p}{p}}}^{p}{p}}}^{p}I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}{\Big /}\bigoplus _{i+j=n \atop i>p_{i,j}=C_{p,q}

여기서 n = p + q.

E¹ 용어를 찾으려면 E에서⁰ d + d를 결정해야 한다. n에 대해 디퍼렌셜의 등급은 -1이어야 하므로 지도를 얻으십시오.

{\디스플레이 스타일 d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II:T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet }}}_{p+1}^{p}{p}}{p}}}^{p}}}I}=C_{p,q}\오른쪽 화살표 T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet }){p}^{I}/T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet }}}_{p+1}^{p+1}{p}}{p}}}^{p}I}=C_{p,q-1}

따라서 E의⁰ 차등분은 d+d가 유도하는 지도 C_p,q → C인데_p,q−1 d는 그러한 지도를 유도하는 정도가 잘못되어 E에서는⁰ 0이어야 한다. 즉, 차이가 정확히 d라는 뜻이고, 그래서 우리는

{}^{I}E_{p,q}^{1}=H_{q}^{II}(C_{p,\bullet }).

E를² 찾으려면

{\디스플레이 스타일 d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II:H_{q}^{II}(C_{p,\bullet }})\오른쪽 화살표 H_{q}^{{II}(C_{p+1,\bullet }})}

왜냐하면¹ E는 정확히 d에 대한 호몰로지였기 때문에, d는¹ E에 0이다. 결과적으로, 우리는

{}^{I}E_{p,q}^{2}=H_{p}^{I}(H_{q}^{{}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }).

다른 여과 장치를 사용하면 유사한 E항과² 함께 다른 스펙트럼 시퀀스를 얻을 수 있다.

{}^{II}E_{p,q}^{2}=H_{q}^{II}(H_{p}^{I})(C_{\bullet ,\bullet })).

남은 것은 이 두 스펙트럼 시퀀스 사이의 관계를 찾는 것이다. r이 증가함에 따라 두 시퀀스는 유용하게 비교할 수 있을 정도로 비슷해질 것이라는 사실이 밝혀질 것이다.

수렴, 퇴화 및 교대

사이클과 경계의 여과로 해석

E는_r say r = 1로 시작하는 스펙트럼 시퀀스가 되도록 한다. 그리고 하위 객체의 순서가 있다.

0=B_{0}\subset B_{1}\subset B_{2}\subset \dots \subset B_{r}\dots \subset Z_{2}\subset Z_{1}{0=E_}\1

such that $E_{r}\simeq Z_{r-1}/B_{r-1}$ ; indeed, recursively we let $Z_{0}=E_{1},B_{0}=0$ and let $Z_{r},B_{r}$ be so that ${\displaystyle Z$ $_{r}/B_{r-1},B_{r-1}/B_{r-1}$ 의 $Z_{r}/B_{{r-1}},B_{r}/B_{{r-1}}$ 커널이자 $E_{r}{\overset {d_{r}}{\to }}E_{r}.$ 인 $E_{r}{\overset {d_{r}}{\to }}E_{r}.$ r $E_{r}{\overset {d_{r}}{\to }}E_{r}.$ → d $E_{r}{\overset {d_{r}}{\to }}E_{r}.$ r . ${\d_{r}{\overset{d_{r}{{d_}}{{\}}{{}}}}}.$ $}$

그런 다음 $Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r}$ $Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r}$ = $Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r}$ $Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r}$ $Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r}$ $Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r}$ $Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r}$ $Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r}$ = $Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r}$ r $Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r}$ r ${\$ cupt }=\ $cupt _{r}B_{r}}},$ 그리고 $Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r}$ 나서 and $Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r}$ },

E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty }

E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty }

=

E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty }

E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty }

/

E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty }

E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty }

{\

E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty }

그것은 제한 용어라고 불린다. (물론 $E_{\infty }$ $E_{\infty }$ E $\$ {\ $displaystyle$ E_ ${\infit })$ 는 범주에 존재할 필요는 $E_{\infty }$ 없지만, 이는 예를 들어 그러한 제한이 존재하거나 실제로 스펙트럼 시퀀스에서는 퇴보하는 경향이 있기 때문에 일반적으로 문제가 되지 않는다. 즉, 시퀀스에 포함된 내용만 있다.ce 위).

수렴조건

We say a spectral sequence converges weakly if there is a graduated object $H^{\bullet }$ with a filtration $F^{\bullet }H^{n}$ for every $n$ , and for every $p$ there exists an isomorphism $E_{\infty }^{p,q}\cong F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}$ $E_{\infty }^{p,q}\cong F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}$ $E_{\infty }^{p,q}\cong F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}$ + 1 $E_{\infty }^{p,q}\cong F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}$ $E_{\infty }^{p,q}\cong F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}$ + $E_{\infty }^{p,q}\cong F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}$ ${\$ }H $^{p+q}/F^{p+1}H^{p+$ 1}{p+q $E_{\infty }^{p,q}\cong F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}$ It converges to $H^{\bullet }$ if the filtration $F^{\bullet }H^{n}$ is Hausdorff, i.e. $\cap _{p}F^{p}C^{\bullet }=0$ . 우리는 쓴다.

E_{r}^{p,q}\오른쪽 화살표 _{p}E_{\infit }^{n}}}}

to mean that whenever p + q = n, $E_{r}^{p,q}$ converges to $E_{\infty }^{p,q}$ . We say that a spectral sequence $E_{r}^{p,q}$ abuts to $E_{\infty }^{p,q}$ if for every ${\displaystyle p,$ $q}$ there is $r(p,q)$ such that for all $r\geq r(p,q)$ , $E_{r}^{p,q}=E_{r(p,q)}^{p,q}$ . Then $E_{r(p,q)}^{p,q}=E_{\infty }^{p,q}$ is the limiting term. The spectral sequence is regular or degenerates at $r_{0}$ if the differentials $d_{r}^{p,q}$ are zero for all $r\geq r_{0}$ . If in particular there is $r_{0}\geq 2$ , such that the ${\di$ $splaystyle r_{0}^{{th}}}}}}$ 시트가 $r_{0}^{th}$ 한 줄이나 한 열에 집중되면 우리는 그것이 붕괴된다고 말한다. 기호에는 다음과 같이 쓴다.

E_{r}^{p,q}\오른쪽 화살표 _{p}E_{\nupty }^{p,q}}

p는 여과지수를 나타낸다. 교대 왼쪽에 E 2 $E_{2}^{p,q}$ , $E_{2}^{p,q}$ ${\$ 용어를 $E_{2}^{p,q}$ 쓰는 것은 매우 흔한 일이며, 이는 대부분의 스펙트럼 시퀀스 중 가장 유용한 용어이기 때문이다. 여과되지 않은 체인 콤플렉스의 스펙트럼 시퀀스는 첫 번째 시트에서 변질된다(첫 번째 예 참조). 제로시트 이후 아무 일도 일어나지 않기 때문에 제한 시트 $∞{\$ 는 E $E_{1}$ ${\$ }와 동일하다 $E_{\infty }$ $E_{1}$

스펙트럼 시퀀스의 5항 정확한 순서는 특정 저도 항과 E_∞ 항과 관련이 있다.

변성의 예

여과된 복합체의 스펙트럼 시퀀스, 계속

일련의 포함 항목이 있다는 점에 유의하십시오.

Z_{0}^{p,q}\supseteq Z_{1}^{p,q}\supseteq Z_{2}^{p,q}\supseteq \cdots \supseteq B_{2}^{p,q}\supseteq B_{1}^{p,q}\supseteq B_{0}^{p,q}

우리가 정의하면 어떻게 되는지 물어볼 수 있다.

Z_{\infit }^{p,q}=\빅캡 _{r=0}^{\infit }Z_{r}^{p,q}

B_{\infit }^{p,q}=\빅컵 _{r=0}^{\infit }B_{r}^{p,q}

E_{\infit }^{p,q}={\frac {Z_{\inflit }^{p,q}}{b_{\inflit }^{p,q}+Z_{\infit }^{p+1,q-1}}.

$E_{\infty }^{p,q}$ $E_{\infty }^{p,q}$ $E_{\infty }^{p,q}$ , $E_{\infty }^{p,q}$ ${\$ 는 이 스펙트럼 시퀀스의 교정에 대한 자연적인 후보다 $E_{\infty }^{p,q}$ . 융합은 자동적인 것이 아니라 많은 경우에 일어난다. 특히 여과가 유한하고 정확히 r비례적인 단계로 구성되면 r번째 시트 이후 스펙트럼 시퀀스가 변질된다. 콤플렉스와 여과가 둘 다 위아래로 경계되거나 둘 다 경계인 경우에도 수렴이 발생한다.

스펙트럼 시퀀스의 교대를 더 자세히 설명하려면 다음 공식에 주목하십시오.

Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1})

{\dplaystyle B_{\infit }^{p,q}=\빅컵 _{r=0}^{r_{r}^{p,q}=\빅컵 _{r=0}{r=0}^{r=0}}{\mbox{}d^{},q-r:F^{p-r}C^{p+q-1}\오른쪽 화살표 C^{p+q}\cap F^{p}C^{p+q}}}

$Z_{\infty }^{p,q}$ 이 Z $Z_{\infty }^{p,q}$ $Z_{\infty }^{p,q}$ , $Z_{\infty }^{p,q}$ ${\$ 여과가 분리되었다고 가정했을 때 $Z_{\infty }^{p,q}$ 어떤 의미를 내포하고 있는지 살펴보기 위해. This implies that as r increases, the kernels shrink, until we are left with $Z_{\infty }^{p,q}=\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1})$ . For $B_{\infty }^{p,q}$ , recall that we assumed that the filtration was exhaustive. This implies that as r increases, the images grow until we reach $B_{\infty }^{p,q}={\text{im }}(C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}$ . 우리는 결론짓는다.

E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(C^{\bullet })

E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(C^{\bullet })

p ,

E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(C^{\bullet })

=

E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(C^{\bullet })

E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(C^{\bullet })

E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(C^{\bullet })

+

E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(C^{\bullet })

(

E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(C^{\bullet })

C

E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(C^{\bullet })

)

{\displaystyle E_{\\infit }^{p,q}={\mbox{gr}_{p}H^{p+q}(C^{\bullet }),

,

즉, 스펙트럼 시퀀스의 교대는 C의 (p+q)번째 호몰로지 중 (p+q)번째 등급 부분이다. 스펙트럼 시퀀스가 수렴되면 다음과 같이 결론짓는다.

E_{r}^{p,q}\오른쪽 화살표 _{p}H^{p+q}(C^{\bullet }})

긴 정확 시퀀스

여과된 콤플렉스의 스펙트럼 시퀀스를 이용하여 긴 정확한 시퀀스의 존재를 도출할 수 있다. 코체인 단지 0 → A^• → B^• → C^• → 0의 짧은 정확한 순서를 선택하고, 첫 번째 지도 f^• : A → B를^• 호출한다^•. 호몰로지 물체ⁿ H(A^•) → Hⁿ(B^•) → Hⁿ(C^•)의 자연지도를 얻는데, 이것이 정확히 중간에 있다는 것을 알고 있다. 우리는 여과된 콤플렉스의 스펙트럼 시퀀스를 이용하여 연결된 동형성을 찾고 결과 시퀀스가 정확하다는 것을 증명할 것이다. 시작하려면 B^•:

F^{0}B^{n}=B^{n}}

F^{1}B^{n}=A^{n}}

F^{2}B^{n}=0

이를 통해 얻을 수 있는 이점:

E_{0}^{p,q}={\frac {F^{p}B^{p+q}}{F^{p+1}B^{p+q}}}={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\C^{q}&{\text{if }}p=0\\A^{q+1}&{\text{if{}p=1\end{case}}

E_{1}^{p,q}={\begin{case}0&{\text{}}}}{{\if }p<0{\text{또는 }p>1\\\\H^{q}(C^{\bullet })&{\text{if{}p=0\\\\H^{q+1}(A^{\bullet }})&{\text{if{}p=1\end{case}}}

미분에는 바이더리스(1, 0)가 있으므로 d_0,q : H^q(C^•) → H^q+1(A^•)가 있다. 뱀 보조마에서 나온 연결 동형체인데, 지도 A^• → B^• → C와^• 함께 다음과 같은 순서를 제시한다.

\cdots \rightarrow H^{\bullet }\rightarrow H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{bullet })\rightarrow \cdots

이 순서가 A와 C 지점에서 정확하다는 것을 보여주기 위해 남아 있다. 이₂ 스펙트럼 시퀀스는 E 항에서 변성한다는 점에 유의하십시오. 미분류는 2차원(2, -1)을 가지기 때문이다. 따라서 E항은₂ E항과_∞ 동일하다.

E_{2}^{p,q}\cong {\text{gr}_{p}H^{p+q}(B^{\bullet }})={\begin}0&{\text}{}{}{p}text}}}}}}}}}}}}}}}}\\\H^{q}(B^{\bullet }}/H^{q})(A^{\bullet }})&{\text{{}{{p=0\\\\text{}}}}{{{{{{{{{{{{H^{q+1}f^{\bullet }}}:H^{q+1}(A^{\bullet })\오른쪽 화살표 H^{q+1}(B^{\bullet }})&{\text{}{}p=1\end{case}}}}

그러나 우리는 또한₂₁ E 용어에 대한 호몰로지로서 E 용어에 대한 직접적인 설명을 가지고 있다. 이 두 가지 설명은 이형성이어야 한다.

H^{q}(B^{\bullet })/H^{q}(A^{\bullet }}\cong \ker d_{0,q}^{1}1}1}:H^{q}(C^{\bullet }})\오른쪽 화살표 H^{q+1}(A^{\bullet })

{\text{im}H^{q+1}f^{\bullet }:H^{q+1}(A^{\bullet })\오른쪽 화살표 H^{q+1}(B^{\bullet }})\cong H^{q+1}(A^{\bullet }})/({\mbox{d_{0,q}^{1}^{1}:H^{q}(C^{\bullet }})\오른쪽 화살표 H^{q+1}(A^{\bullet })

전자는 C 지점에서 정확성을, 후자는 A 지점에서 정확성을 부여한다.

이중 콤플렉스의 스펙트럼 시퀀스, 계속

여과된 콤플렉스에 대한 교대를 사용하면 다음과 같은 것을 알 수 있다.

H_{p}^{I}(H_{q})^{{{}}}}II}(C_{\bullet ,\bullet }).\Rightarrow _{p}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet })

{\디스플레이 스타일 H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet })\Rightarrow _{q}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet })}

일반적으로^p+q H(T(C_•,•)의 두 가지 등급은 구별된다. 그럼에도 불구하고 이 두 스펙트럼 시퀀스로부터 유용한 정보를 얻을 수 있다.

토르의 공동체성

R을 링으로 하고, M을 오른쪽 R모듈로 하고, N을 왼쪽 R모듈로 한다. 텐서 제품의 파생 펑터가 Tor로 표시되어 있음을 상기하십시오. 토르는 첫 번째 인수의 투영적 분해능을 사용하여 정의된다. 그러나 $\operatorname {Tor} _{i}(M,N)=\operatorname {Tor} _{i}(N,M)$ $\operatorname {Tor} _{i}(M,N)=\operatorname {Tor} _{i}(N,M)$ $\operatorname {Tor} _{i}(M,N)=\operatorname {Tor} _{i}(N,M)$ ( $\operatorname {Tor} _{i}(M,N)=\operatorname {Tor} _{i}(N,M)$ , N $\operatorname {Tor} _{i}(M,N)=\operatorname {Tor} _{i}(N,M)$ ) $\operatorname {Tor} _{i}(M,N)=\operatorname {Tor} _{i}(N,M)$ = $\operatorname {Tor} _{i}(M,N)=\operatorname {Tor} _{i}(N,M)$ $\operatorname {Tor} _{i}(M,N)=\operatorname {Tor} _{i}(N,M)$ $\operatorname {Tor} _{i}(M,N)=\operatorname {Tor} _{i}(N,M)$ ( $\operatorname {Tor} _{i}(M,N)=\operatorname {Tor} _{i}(N,M)$ , M $\operatorname {Tor} _{i}(M,N)=\operatorname {Tor} _{i}(N,M)$ ) ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}(M,N)=\operatorname {Tor} _{i}(N,M$ 이 점은 스펙트럼 시퀀스 없이 검증할 수 있지만 스펙트럼 시퀀스로는 매우 쉽다.

투사 분해능 $Q_{\bullet }$ $P_{\bullet }$ $∙{\$ 과 $P_{\bullet }$ $Q_{\bullet }$ $Q_{\bullet }$ ${\$ 을 각각 선택한다. 이것들을 각각 d와 e의 차이를 갖는 음의 정도로 사라지는 콤플렉스로 간주한다. We can construct a double complex whose terms are $C_{i,j}=P_{i}\otimes Q_{j}$ and whose differentials are $d\otimes 1$ and $(-1)^{i}(1\otimes e)$ . (The factor of −1 is so that the differentials anticommute.) 투사형 모듈은 평탄하므로 투사형 모듈과 함께 텐서형 제품을 복용하는 것은 호몰로지를 복용하는 것으로 간주되므로, 다음과 같은 결과를 얻는다.

H_{p}^{I}(H_{q})^{{{}}}}II}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet })=H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes H_{q}^{{}}}II}(Q_{\bullet })}

{\디스플레이 스타일 H_{q}^{II}(H_{p}^{I})(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }})=H_{q}^{II}(H_{p}^{I})(P_{\bullet }}\otimes Q_{\bullet }}}}

두 단지는 결의안이기 때문에 동질성은 0도 밖에서 사라진다. 0도에서는, 우리에게는

H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes N)=\operatorname {Tor} _{p}(M,N)}

{\디스플레이 스타일 H_{q}^{II}(M\otimes Q_{\bullet }}=\operatorname {Tor} _{q}(N,M)}

특히 E $E_{p,q}^{2}$ , $E_{p,q}^{2}$ $E_{p,q}^{2}$ ${\$ 개 $E_{p,q}^{2}$ 항은 q = 0(I 스펙트럼 시퀀스의 경우) 및 p = 0(II 스펙트럼 시퀀스의 경우)을 따라 사라진다. 이는 두 번째 시트에서 스펙트럼 시퀀스가 변질되므로 E 항은^∞ E 항에² 대해 이형성이 있음을 의미한다.

\operatorname {Tor} _{p}(M,N)\cong E_{p}^{\infit }=H_{p}(T(C_{\bullet ,\bullet })}}

\operatorname {Tor} _{q}(N,M)\cong E_{q}^{\infit }=H_{q}(T(C_{\bullet ,\bullet })}}

마지막으로 p와 q가 같을 때 오른쪽 두 쪽이 같으며, 토르의 동시성이 따른다.

연습된 예제

제1 사분원 시트

$p_{0}$ $q_{0}$ ${\$ $}^{p,q}}$ p ${\$ displaystyle $p}$ 보다 작은 $p$ 모든 $p$ ${\displaystyle$ p}에 $p_{0}$ 대해 $p_{0}$ $E_{r}^{p,q}$ , ${\$ $p_{$ $q_{0}$ $}$ 보다 $p_{0}$ 작은 $q$ 모든 $p$ ${\$ $displaystysty$ 에 대해 $E_{r}^{p,q}$ 소멸되는 스펙트럼 시퀀스를 고려한다. $yle q_{0}}}$ 을(를) 0으로 선택할 수 있으며 $q_{0}$ , 이를 1차 사분원 스펙트럼 시퀀스라고 한다. $r>p$ $E_{r+i}^{p,q}=E_{r}^{p,q}$ + $E_{r+i}^{p,q}=E_{r}^{p,q}$ p , $E_{r+i}^{p,q}=E_{r}^{p,q}$ = E $E_{r+i}^{p,q}=E_{r}^{p,q}$ $E_{r+i}^{p,q}=E_{r}^{p,q}$ , $E_{r+i}^{p,q}=E_{r}^{p,q}$ {\ $displaystyle E_{r+i}^{p,q}=E_{r}^{p,q$ $}}}$ r $r>p$ > $r>p$ > p ${\displaystyle r>p$ 및 $r>q+1$ > $r>q+1$ + $r>q+1$ + ${\displaystystyle rq+1}$ 이 $i\geq 0$ 모든 $i$ 에 대해 $E_{r+i}^{p,q}=E_{r}^{p,q}$ 유지되기 때문에 시퀀스가 아브된다 $r>q+1$ 이를 보려면 고려된 사례에 대해 도메인 또는 미분류의 코도메인이 0이라는 점에 유의하십시오. 시각적 측면에서 시트는 성장하는 직사각형에서 안정화된다(위 그림 참조). 그러나 차동 지도가 한 번에 모두 0이 아닐 수 있으므로 스펙트럼 시퀀스가 변질될 필요는 없다. 마찬가지로, E $E_{r}^{p,q}$ $E_{r}^{p,q}$ , $E_{r}^{p,q}$ ${\$ $displaystyle$ $E_{r}^{p,q}}$ 이(가) $p_{0}$ $p_{0}$ ${\$ ${0}$ 보다 $p$ $q$ 큰 $모든$ p ${\displaystyle$ p $}$ 에 $p_{0}$ 대해 $E_{r}^{p,q}$ 소멸되는 경우에도 $q_{0}$ 시퀀스가 $수렴$ 된다 $q_{0}$

0이 아닌 인접 열 2개

E $E_{p,q}^{r}$ , $E_{p,q}^{r}$ r ${\$ 을(를) 0, 1을 $E_{p,q}^{2}=0$ 한 $E_{{p,q}}^{2}=0$ 모든 p에 대해 $E_{p,q}^{2}=0$ , $E_{p,q}^{2}=0$ = $E_{p,q}^{2}=0$ {\ $displaystyle E_$ {p $,q}^{$ 2}= $0}$ 과 같은 호몰로지 스펙트럼 시퀀스로 한다 $E_{p,q}^{r}$ . 시각적으로 $E^{2}$ 은 $E^{2}$ 2 ${\$ E $^{2}}-$ 페이지의 $E^{2}$ 스펙트럼 시퀀스 입니다.

${\displaystyle{\begin{행렬}&, \vdots, \vdots &, \vdots &, \vdots &, \\\cdots &, 0&, &.E_{0.2}^{2}&.E_{1,2}^{2}&, 0&, \cdots \\\cdots &, 0&.E_{0,1}^{2}&.E_{1,1}^{2}&, 0&, \cdots \\\cdots &, 0&.E_{0,0}^{2}&.E_{1,0}^{2}&, 0&, \cdots \\\cdots &, 0&.E_{0,-1}^{2}&.E_{1,-1}^{2}&, 0&, \cdots, \vdots &, \vdots &, \vdots &, \vdots & \\&, \end{매트릭스}}}.$

두 번째 페이지의 차등에는 학위(-2, 1)가 있으므로 형식이다.

$d_{p,q}^{2}:E_{p,q}^{2}\to E_{p-2,q+1}^{2}$

이 지도들은 모두 0이다.

${\displaystyle d_{0,q}^{2}:$ $E_{0,q}^{2}\to 0$ $d_{1,q}^{2}:E_{1,q}^{2}\to 0$ 1, $d_{1,q}^{2}:E_{1,q}^{2}\to 0$ 2 $d_{1,q}^{2}:E_{1,q}^{2}\to 0$ : $d_{1,q}^{2}:E_{1,q}^{2}\to 0$ $d_{1,q}^{2}:E_{1,q}^{2}\to 0$ , $d_{1,q}^{2}:E_{1,q}^{2}\to 0$ 2 $d_{1,q}^{2}:E_{1,q}^{2}\to 0$ → 0 ${\displaystyle d_{1,q}^{2}:$ $E_{1,q}^{2}\to 0}$

따라서 스펙트럼 시퀀스는 다음과 같이 변한다. $E^{\infty }=E^{2}$ $E^{\infty }=E^{2}$ = $E^{\infty }=E^{2}$ $E^{\infty }=E^{2}$ ${\$ 말하자면 여과와 $H_{*}$ $H_{*}$ H ${{\$ 로 수렴된다.

${\displaystyle 0=F_{-1}H_{n}\subset F_{0}H_{n}\subset \dots \subset F_{n}H_{n}}=H_{n}}}}}}}}}}.$

그러한 $E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}$ $E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}$ , $E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}$ $E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}$ = F $E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}$ $E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}$ + $E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}$ / $E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}$ F $E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}$ - $E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}$ $E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}$ + $E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}$ + q ${\$ Then $F_{0}H_{n}=E_{0,n}^{2}$ , $F_{1}H_{n}/F_{0}H_{n}=E_{1,n-1}^{2}$ , $F_{2$ $H_{n}/F_{1}H_{n}=0$ F $F_{3}H_{n}/F_{2}H_{n}=0$ H $F_{3}H_{n}/F_{2}H_{n}=0$ / F $F_{3}H_{n}/F_{2}H_{n}=0$ $F_{3}H_{n}/F_{2}H_{n}=0$ = $F_{3}H_{n}/F_{2}H_{n}=0$ $F_{3$ $H_{n}/F_{2}H_{n}=0}$ 등 따라서 정확한 순서는 다음과 같다.^[7]

$0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0$ → $0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0$ $0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0$ $0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0$ $0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0$ → $0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0$ → $0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0$ → E $0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0$ , $0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0$ n $0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0$ - $0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0$ $0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0$ → $0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0$ ${\displaystyle 0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\$ to $E_{1,n-1}^{2}\to 0$

다음으로 E $E_{p,q}^{r}$ , $E_{p,q}^{r}$ r ${\$ }}{r $}}$ 을 두 줄 q = 0, 1로만 구성된 스펙트럼 시퀀스가 되도록 $E_{p,q}^{r}$ 한다. 이것은 두 번째 페이지에서 퇴보할 필요는 없지만, 세 번째 페이지에서는 여전히 퇴보한다. 그곳의 차이점들이 학위를 가지고 있기 때문이다. 참고 $E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})$ p $E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})$ , 0 $E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})$ = $E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})$ $E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})$ ( $E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})$ : $E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})$ $E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})$ , 0 $E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})$ → $E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})$ $E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})$ - $E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})$ , $E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})$ ) ${\displaystyle E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker}(d:$ $E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2}}$ 분모가 0이므로 . 마찬가지로 $E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})$ $E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})$ , $E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})$ $E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})$ = $E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})$ $E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})$ : $E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})$ $E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})$ + $E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})$ , $E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})$ $E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})$ → E $E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})$ $E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})$ ) ${\displaystyle E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker}(d:E_{p+2,0}^{p,1}^2})$ . 그러므로,

$0\to E_{p,0}^{\infty }\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to E_{p-2,1}^{\infty }\to 0$ .

자, 예를 들어, 스펙트럼 시퀀스는 앞의 예와 같이 여과 F와 함께 H로 수렴된다. Since $F_{p-2}H_{p}/F_{p-3}H_{p}=E_{p-2,2}^{\infty }=0$ , $F_{p-3}H_{p}/F_{p-4}H_{p}=0$ , etc., we have: ${\displaystyle 0\to E_$ ${p-1,1}^{\ft$ }\ $to H_{p}\to E_{p,0}^{\ft$ }{p,0}^{\ft $}to 0$ 모든 것을 종합하면 다음과 같은 결과를 얻는다.^[8]

$\cdots \to H_{p+1}\to E_{p+1,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-1,1}^{2}\to H_{p}\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to H_{p-1}\to \dots .$

왕서열

앞 절의 계산은 간단한 방법으로 일반화된다. 구체에 대한 진동 고려:

$F{\overset {i}{\}{\}}E{\overset {p}{p}{\}S^{n}}}}$

최소 2개로. 세레 스펙트럼 시퀀스는 다음과 같다.

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=$ $H_{p}(S^{n};$ $H_{q}(F)$ $\Rightarrow H_{p+q}(E)}$ ;

that is to say, $E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}(E)/F_{p-1}H_{p+q}(E)$ with some filtration $F_{\bullet }$ . Since $H_{p}(S^{n})$ is nonzero only when p is zero or n and equal to Z 이 경우, $E_{p,q}^{2}$ p $E_{p,q}^{2}$ , $E_{p,q}^{2}$ 2 $E_{p,q}^{2}$ {\ $displaystyle E_{p,q}^{2}}:$ $p=0,n$ = $p=0,n$ $p=0,n$ {\ $displaystyle p=0,n}$ 두 줄로만 구성되므로 $E_{p,q}^{2}$ E $E^{2}$ ${\$ E $^{2}$ -page는 $E^{2}$ 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle{\begin{행렬}&, \vdots, \vdots &, \vdots &,&\vdots &, \vdots &, \vdots &, \\\cdots &, 0&, &.E_{0.2}^{2}&, 0&, \cdots &, 0&.E_{n,2}^{2}&, 0&, \cdots \\\cdots &, 0&.E_{0,1}^{2}&, 0&, \cdots &, 0&.E_{n,1}^{2}&, 0&, \cdots \\\cdots &, 0&.E_{0,0}^{2}&, 0&, \cdots &, 0&.E_{n,0}^{2}&, 0&, \cdots \\\end{매트릭스}}}$

더구나 그 이후로는

$E_{p,q}^{2}=H_{p}(S^{n};H_{q}(F)=H_{q}(F)$

$p=0,n$ 계수 정리 기준 $p=0,n$ $p=0,n$ = $p=0,n$ , n {\ $displaystyle$ p=0 $,n}$ 의 경우, $E^{2}$ 2 $E^{2}$ {\ $displaystyle E^{2$ }} 페이지는 $E^{2}$ 다음과 같이 보인다.

$vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\cdots &\\cdots &0&########################################H_{2}(F)&0&\cdots &0&#0&#0&#0 H_{2}(F)&#\cdots \\\cdots \\\cdots &0&H_{1}(F) &0&#0&H_{1}(F)&#0&\cdots \\\cdots &0&#0&#0&#0>H_{0}(F)&0&\cdots &0&#0&#0&#0 H_{0}(F)&0&\cdots \\\end{matrix}}}$

0이 아닌 차동만 $E^{n}$ ${\$ -page에 $E^{n}$ 있으므로 -page에서 다음을 참조하십시오.

$d_{n,q}^{n:E_{n,q}^{n}^{n}\to E_{0,q+n-1}^{n}}}}$

어느 것이

$d_{n,q}^{n:H_{q}(F)\to H_{q+n-1}(F)$

스펙트럼 시퀀스는 $E^{n+1}=E^{\infty }$ + $E^{n+1}=E^{\infty }$ = $E^{n+1}=E^{\infty }$ $E^{n+1}=E^{\infty }$ ${\$ E $^{n+1}=E^{\inflt$ $E^{n+1}=E^{\infty }$ $E^{n+1}$ + $E^{n+1}$ ${\$ 을 계산하면 정확한 $E^{n+1}$ 시퀀스를 얻을 수 있다.

$0\to E_{n,q-n}^{\put }\to E_{n,q-n}^{n}{d}{{0,q-1}^{n}}\overset {d}{d}{{0,q-1}^{n}\put }to.$

그리고 호몰로지 그룹들을 이용해서, 이것은

$0\to E_{n,q-n}^{\put }\{q-n}(F){d}{{d}{\\\{d}{}{{q-1}(F)\to E_{0,q-1}^{\put }.$

To establish what the two $E^{\infty }$ -terms are, write $H=H(E)$ , and since $F_{1}H_{q}/F_{0}H_{q}=E_{1,q-1}^{\infty }=0$ , etc., we have: $E_{n,q-n}^{\infty }=F_{n}H_{q}/F_{0}H_{q}$ $E_{n,q-n}^{\\infit }=F_{n$ $H_{q}/F_{0}H_{q}}}.$ 따라서 $E_{n,q-n}^{\infty }=F_{n}H_{q}/F_{0}H_{q}$ $F_{n}H_{q}=H_{q}$ n $F_{n}H_{q}=H_{q}$ $F_{n}H_{q}=H_{q}$ = $F_{n}H_{q}=H_{q}$ $F_{n}H_{q}=H_{q}$ = H $F_{n}H_{q}=H_{q}$ q = {\ $displaystyle F_{n}H_{q}=H_{q$

$0\to E_{0,q}^{\nt}\to H_{q}\to 0.$

이것이 정확한 순서다.

$0\to H_{q}(F)\to H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to 0.$

모든 계산을 종합하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.^[9]

$\dots \to H_{q}(F){\overset {i_{*}}{\to }}H_{q}(E)\to H_{q-n}(F){\overset {d}{\to }}H_{q-1}(F){\overset {i_{*}}{\to }}H_{q-1}(E)\to H_{q-n-1}(F)\to \dots$

(기신 순서는 비슷한 방법으로 얻는다.)

저급 용어

명백한 공칭적 변화로, 이전 예에서 계산한 유형도 코호몰로지 스펙트럼 시퀀스에 대해 수행할 수 있다. E $E_{r}^{p,q}$ $E_{r}^{p,q}$ , $E_{r}^{p,q}$ ${\$ 을(를) H로 수렴하는 1 사분원 스펙트럼 시퀀스가 되도록 $E_{r}^{p,q}$ 한다.

0=F^{n+1}H^{n}\subset F^{n}{n}}\subset \dots \dots \subset F^{0}H^{n}=H^{n}}}}}

so that $E_{\infty }^{p,q}=F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}.$ Since $E_{2}^{p,q}$ is zero if p or q is negative, we have:

0\to E_{\infit }^{0,1}^{0,1}{0,1}{{d}{\\\\}{2}^{2,0}\to E_{\infty }^{2,0}\to.}{{0}}}}}}}

$E_{\infty }^{1,0}=E_{2}^{1,0}$ $E_{\infty }^{1,0}=E_{2}^{1,0}$ $E_{\infty }^{1,0}=E_{2}^{1,0}$ , $E_{\infty }^{1,0}=E_{2}^{1,0}$ = $E_{\infty }^{1,0}=E_{2}^{1,0}$ 2 $E_{\infty }^{1,0}=E_{2}^{1,0}$ , $E_{\infty }^{1,0}=E_{2}^{1,0}$ 0 ${\$ 이(가) 같은 이유로 $E_{\infty }^{1,0}=E_{2}^{1,0}$ , $F^{2}H^{1}=0,$ $F^{2}H^{1}=0,$ $F^{2}H^{1}=0,$ H $F^{2}H^{1}=0,$ = $F^{2}H^{1}=0,$ {\ $displaystyle F^{2}H^{1}=0,}$ 이(가) 이후로,}

0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{\infty }^{0,1}\to 0

→

0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{\infty }^{0,1}\to 0

2

0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{\infty }^{0,1}\to 0

,

0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{\infty }^{0,1}\to 0

0

0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{\infty }^{0,1}\to 0

→

0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{\infty }^{0,1}\to 0

0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{\infty }^{0,1}\to 0

→

0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{\infty }^{0,1}\to 0

0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{\infty }^{0,1}\to 0

0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{\infty }^{0,1}\to 0

0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{\infty }^{0,1}\to 0

→

0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{\infty }^{0,1}\to 0

{\displaystyle 0\to E_{2}^{1}\to

H

^{1}\to E_{\inforty }^{0,1}\to 0

$F^{3}H^{2}=0$ $F^{3}H^{2}=0$ $F^{3}H^{2}=0$ $F^{3}H^{2}=0$ = 0 ${\displaystyle$ F $^{3}$ 이후 $H^{2}=0$ $E_{\infty }^{2,0}\subset H^{2}$ $E_{\infty }^{2,0}\subset H^{2}$ 2, $E_{\infty }^{2,0}\subset H^{2}$ $E_{\infty }^{2,0}\subset H^{2}$ $E_{\infty }^{2,0}\subset H^{2}$ $E_{\infty }^{2,0}\subset H^{2}$ ${\$ 시퀀스를 함께 쌓으면 소위 5개월의 정확한 시퀀스가 나온다.

0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{2}^{0,1}{0,1}{\coverset{d}{{d}{}{}{}}{{}}}}{{}}}}}}{{}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

에지 맵 및 위반

동질 스펙트럼 시퀀스

$E_{p,q}^{r}$ $E_{p,q}^{r}$ , $E_{p,q}^{r}$ r ${\$ 을(를) 스펙트럼 시퀀스로 한다 $E_{p,q}^{r}$ . 만일 매 $E_{p,q}^{r}=0$ < 0에 $E_{p,q}^{r}=0$ E $E_{p,q}^{r}=0$ , $E_{p,q}^{r}=0$ r $E_{p,q}^{r}=0$ = 0 {\ $displaystyle$ E_{p,q}^{ $r}=0}$ 이면 $E_{{p,q}}^{r}=0$ , r ≥ 2에 대해 다음과 같아야 한다.

E_{p,0}^{r+1}=\operatorname {ker}(d:E_{p,0}^{r}^\to E_{p-r,r-1}^{r}}

분모가 0이기 때문에. 따라서 다음과 같은 단형성의 순서가 있다.

E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}

E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}

0

E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}

→

E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}

E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}

E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}

E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}

- 1

E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}

→

E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}

→

E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}

E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}

0

E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}

→ E

E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}

0

E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}

{\

p,0}^{

r-1}\dots \to E_{p,0}^{p,0}^{3

}^{2

E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}

그것들은 가장자리 지도라고 불린다. $E_{p,q}^{r}=0$ 로, $E_{p,q}^{r}=0$ p < 0>에 대해 E p $E_{p,q}^{r}=0$ , $E_{p,q}^{r}=0$ r = $E_{p,q}^{r}=0$ {\ $displaystyle E_{p,q}^{r}=0}$ 이 $E_{{p,q}}^{r}=0$ (가) 있는 경우, 다음과 같은 경구순서가 있다(에지 맵이라고도 함).

E_{0,q}^{2}\to E_{0,q}^{3}\to \dots \to E_{0,q}^{r-1}\to E_{0,q}^{r}

E_{0,q}^{2}\to E_{0,q}^{3}\to \dots \to E_{0,q}^{r-1}\to E_{0,q}^{r}

E_{0,q}^{2}\to E_{0,q}^{3}\to \dots \to E_{0,q}^{r-1}\to E_{0,q}^{r}

E_{0,q}^{2}\to E_{0,q}^{3}\to \dots \to E_{0,q}^{r-1}\to E_{0,q}^{r}

→

E_{0,q}^{2}\to E_{0,q}^{3}\to \dots \to E_{0,q}^{r-1}\to E_{0,q}^{r}

0

E_{0,q}^{2}\to E_{0,q}^{3}\to \dots \to E_{0,q}^{r-1}\to E_{0,q}^{r}

→

E_{0,q}^{2}\to E_{0,q}^{3}\to \dots \to E_{0,q}^{r-1}\to E_{0,q}^{r}

3 →

E_{0,q}^{2}\to E_{0,q}^{3}\to \dots \to E_{0,q}^{r-1}\to E_{0,q}^{r}

→

E_{0,q}^{2}\to E_{0,q}^{3}\to \dots \to E_{0,q}^{r-1}\to E_{0,q}^{r}

E_{0,q}^{2}\to E_{0,q}^{3}\to \dots \to E_{0,q}^{r-1}\to E_{0,q}^{r}

E_{0,q}^{2}\to E_{0,q}^{3}\to \dots \to E_{0,q}^{r-1}\to E_{0,q}^{r}

-

E_{0,q}^{2}\to E_{0,q}^{3}\to \dots \to E_{0,q}^{r-1}\to E_{0,q}^{r}

→ q 0,

E_{0,q}^{2}\to E_{0,q}^{3}\to \dots \to E_{0,q}^{r-1}\to E_{0,q}^{r}

r - 1,

E_{0,q}^{2}\to E_{0,q}^{3}\to \dots \to E_{0,q}^{r-1}\to E_{0,q}^{r}

r {

0,q}^{

2}\

to E_{0,q}^{3}\dotto

\to

E_{0,q}^{0

,q

}^{0,q

위반은 부분적으로 정의된 지도(더 정확히 말하면, 하위 객체에서 지수로의 지도)이다.

[\displaystyle \tau:E_{p,0}^{2}\to E_{0,p-1}^{2}}

given as a composition $E_{p,0}^{2}\to E_{p,0}^{p}{\overset {d}{\to }}E_{0,p-1}^{p}\to E_{0,p-1}^{2}$ , the first and last maps being the inverses of the edge maps.^[10]

코호몰로지 스펙트럼 시퀀스

코호몰로지 유형의 스펙트럼 $E_{r}^{p,q}$ 시퀀스 $E_{r}^{p,q}$ $E_{r}^{p,q}$ $E_{r}^{p,q}$ , $E_{r}^{p,q}$ ${\$ 의 경우 유사한 문장은 유지된다. $E_{r}^{p,q}=0$ Q < $E_{r}^{p,q}=0$ 에 대해 $E_{r}^{p,q}=0$ E r $E_{r}^{p,q}=0$ , $q$ = 0 {\ $displaystyle E_{r$ }^{p,q}= $0}$ 이(가) 나타나면 일련의 경시 현상이 나타난다.

E_{2}^{p,0}\to E_{3}^{p,0}\to \dots \to E_{r-1}^{p,0}\to E_{r}^{p,0}

E_{2}^{p,0}\to E_{3}^{p,0}\to \dots \to E_{r-1}^{p,0}\to E_{r}^{p,0}

E_{2}^{p,0}\to E_{3}^{p,0}\to \dots \to E_{r-1}^{p,0}\to E_{r}^{p,0}

0

E_{2}^{p,0}\to E_{3}^{p,0}\to \dots \to E_{r-1}^{p,0}\to E_{r}^{p,0}

→ E

E_{2}^{p,0}\to E_{3}^{p,0}\to \dots \to E_{r-1}^{p,0}\to E_{r}^{p,0}

E_{2}^{p,0}\to E_{3}^{p,0}\to \dots \to E_{r-1}^{p,0}\to E_{r}^{p,0}

E_{2}^{p,0}\to E_{3}^{p,0}\to \dots \to E_{r-1}^{p,0}\to E_{r}^{p,0}

→

E_{2}^{p,0}\to E_{3}^{p,0}\to \dots \to E_{r-1}^{p,0}\to E_{r}^{p,0}

→

E_{2}^{p,0}\to E_{3}^{p,0}\to \dots \to E_{r-1}^{p,0}\to E_{r}^{p,0}

- 1

E_{2}^{p,0}\to E_{3}^{p,0}\to \dots \to E_{r-1}^{p,0}\to E_{r}^{p,0}

E_{2}^{p,0}\to E_{3}^{p,0}\to \dots \to E_{r-1}^{p,0}\to E_{r}^{p,0}

→ E

E_{2}^{p,0}\to E_{3}^{p,0}\to \dots \to E_{r-1}^{p,0}\to E_{r}^{p,0}

E_{2}^{p,0}\to E_{3}^{p,0}\to \dots \to E_{r-1}^{p,0}\to E_{r}^{p,0}

E_{2}^{p,0}\to E_{3}^{p,0}\to \dots \to E_{r-1}^{p,0}\to E_{r}^{p,0}

{\

\

to E_{r-1

}^{

p,0}^{r}}^{r},0

그리고 $E_{r}^{p,q}=0$ 매 $E_{r}^{p,q}=0$ < $E_{r}^{p,q}=0$ 에 대해 $E_{r}^{p,q}=0$ E $E_{r}^{p,q}=0$ p $,$ q = 0 {\ $displaystyle E_{$ r}^{p, $q}=0}$ 이(가) 있다면, 다음과 같은 단모형의 순서가 있다.

E_{r}^{0,q}\to E_{r-1}^{0,q}\to \dots \to E_{3}^{0,q}\to E_{2}^{0,q}

E_{r}^{0,q}\to E_{r-1}^{0,q}\to \dots \to E_{3}^{0,q}\to E_{2}^{0,q}

E_{r}^{0,q}\to E_{r-1}^{0,q}\to \dots \to E_{3}^{0,q}\to E_{2}^{0,q}

→

E_{r}^{0,q}\to E_{r-1}^{0,q}\to \dots \to E_{3}^{0,q}\to E_{2}^{0,q}

→

E_{r}^{0,q}\to E_{r-1}^{0,q}\to \dots \to E_{3}^{0,q}\to E_{2}^{0,q}

→

E_{r}^{0,q}\to E_{r-1}^{0,q}\to \dots \to E_{3}^{0,q}\to E_{2}^{0,q}

→ E

E_{r}^{0,q}\to E_{r-1}^{0,q}\to \dots \to E_{3}^{0,q}\to E_{2}^{0,q}

0

E_{r}^{0,q}\to E_{r-1}^{0,q}\to \dots \to E_{3}^{0,q}\to E_{2}^{0,q}

→

E_{r}^{0,q}\to E_{r-1}^{0,q}\to \dots \to E_{3}^{0,q}\to E_{2}^{0,q}

,

E_{r}^{0,q}\to E_{r-1}^{0,q}\to \dots \to E_{3}^{0,q}\to E_{2}^{0,q}

,

E_{r}^{0,q}\to E_{r-1}^{0,q}\to \dots \to E_{3}^{0,q}\to E_{2}^{0,q}

q,

q

, q, q, q.},

\dots \to E_{3}^{0,q},

\

to

\to E_

{3

}^{0

,q}^{2

},

q

위반은 반드시 잘 정의된 지도는 아니다.

[\displaystyle \tau:E_{2}^{0,q-1}\to E_{2}^{q,0}}}

$d:E_{q}^{0,q-1}\to E_{q}^{q,0}$ : $d:E_{q}^{0,q-1}\to E_{q}^{q,0}$ $d:E_{q}^{0,q-1}\to E_{q}^{q,0}$ $d:E_{q}^{0,q-1}\to E_{q}^{q,0}$ , $d:E_{q}^{0,q-1}\to E_{q}^{q,0}$ - 1 $d:E_{q}^{0,q-1}\to E_{q}^{q,0}$ → $d:E_{q}^{0,q-1}\to E_{q}^{q,0}$ $d:E_{q}^{0,q-1}\to E_{q}^{q,0}$ , 0 ${\$ $E_{q}^{0,q-1}\to E_{q}^{q,0$ .

적용

이러한 지도를 결정하는 것은 세레 스펙트럼 시퀀스의 많은 차이를 계산하는 데 기본적이다. 예를 들어, 통과 지도가 차등을^[11] 결정한다.

$d_{n}:E_{n,0}^{n}^{n}\to E_{0,n-1}^{n}}}}$

동질 스펙트럼 시퀀스의 경우, 따라서 $F\to E\to B$ F → $F\to E\to B$ → $F\to E\to B$ $F\to E\to B$ 에 대한 Serre 스펙트럼 시퀀스에서 지도를 제공한다 $F\to E\to B$ .

$d_{n}:H_{n}(B)\to H_{n-1}(F)$

추가 예

주목할 만한 스펙트럼 시퀀스는 다음과 같다.

위상 및 기하학

아티야-히르제브루흐 스펙트럼 시퀀스(이상한 코호몰로지 이론)
그룹의 분류 공간에 대한 호몰로리에 대한 막대 스펙트럼 시퀀스.
모드 p 계수와 호몰로지 및 감소된 호몰로지(homology)와 관련된 복스테인 스펙트럼 시퀀스
Cartan-Leray 스펙트럼 시퀀스가 지수 공간의 호몰로 수렴된다.
진동의 풀백에 대한 단일한 코호몰로지 에일렌버그-모어 스펙트럼 시퀀스
진동의 세레 스펙트럼 시퀀스

호모토피 이론

안정적인 호모토피 이론에서의 아담스 스펙트럼 시퀀스
아담스-노비코프 스펙트럼 시퀀스, 비범한 코호몰로지 이론에 대한 일반화.
공진동의 초기 공간의 호모토피에 수렴하는 Barratt 스펙트럼 시퀀스.
부스필드-칸 스펙트럼 시퀀스가 펑터의 호모토피 콜리밋으로 수렴된다.
아담스-노비코프 스펙트럼 시퀀스의 초기 항을 계산하기 위한 색도 스펙트럼 시퀀스 .
코바 스펙트럼 시퀀스
안정적인 구군 호모토피 그룹으로 수렴되는 EHP 스펙트럼 시퀀스
기능 공간의 호모토피 그룹으로 수렴되는 페더러 스펙트럼 시퀀스
호모토피 고정점 스펙트럼 시퀀스^[12]
후레위츠 스펙트럼 시퀀스는 호모토피에서 공간의 동질성을 계산하기 위한 것이다.
밀러 스펙트럼 시퀀스는 공간의 안정적인 동질성으로 수렴된다.
Milnor 스펙트럼 시퀀스는 막대 스펙트럼 시퀀스의 다른 이름이다.
무어 스펙트럼 시퀀스는 막대 스펙트럼 시퀀스의 다른 이름이다.
단순 그룹의 호모토피 계산을 위한 퀼렌 스펙트럼 시퀀스.
Rotenberg-Steenrod 스펙트럼 시퀀스는 막대 스펙트럼 시퀀스의 다른 이름이다.
공간 쐐기의 호모토피를 계산하기 위한 반 캄펜 스펙트럼 시퀀스.

대수학

체흐에서 유래된 펑터 스펙트럼 시퀀스(Chech cohomology)에서 셰프 코호몰로지(Seaf cohomology)까지.
모듈의 Tor 및 Ext 그룹을 계산하기 위한 링 스펙트럼 시퀀스 변경.
대수의 주기적 호몰로 수렴되는 콘스펙트럼 시퀀스.
게르스텐-Witt 스펙트럼 시퀀스
코즐 코호몰로지 그린의 스펙트럼 시퀀스
파생 펑커 작성을 위한 그로텐디크 스펙트럼 시퀀스
하이퍼호몰로지 계산을 위한 하이퍼호몰로지 스펙트럼 시퀀스.
차동 알헤브라의 텐서 생산물의 동질성을 계산하기 위한 귄네스 스펙트럼 시퀀스.
리라이 스펙트럼 시퀀스가 피복의 코호몰로지(cohomology)로 수렴된다.
국지-지구적 Ext 스펙트럼 시퀀스
그룹 (co)호몰로지에서의 린든-호치차일드-세레 스펙트럼 시퀀스
대수의 Tor 또는 Ext 그룹을 계산하기 위한 스펙트럼 시퀀스가 있을 수 있다.
차동 필터링 그룹의 스펙트럼 시퀀스: 이 문서에 설명되어 있다.
이중 콤플렉스의 스펙트럼 시퀀스: 이 글에 설명되어 있다.
정확한 커플의 스펙트럼 시퀀스: 이 글에 설명되어 있다.
범용계수 스펙트럼 시퀀스
상대적 Lie 대수학 코호몰로지(cohomology)에 수렴하는 van Est 스펙트럼 시퀀스.

복합 기하학 및 대수 기하학

아놀드의 특이성 이론의 스펙트럼 시퀀스
블록-리히텐바움 스펙트럼 시퀀스가 한 장의 대수 K 이론으로 수렴된다.
돌베오트 코호몰로지로부터 시작하여 다양한 종류의 대수학 de Rham 코호몰로지까지 수렴하는 프롤리처 스펙트럼 시퀀스.
Hodge-de Rham 스펙트럼 시퀀스는 다양한 종류의 대수학 de Rham cohomology에 수렴한다.
동기 대 K 이론 스펙트럼 시퀀스

메모들

^ 맥클러리 2001, 페이지.
^ 해처, 사례 1.17.
^ 해처, 사례 1.18.
^ 5월.
^ Serge Lang (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 (in German) (Überarbeitete 3. ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 038795385X
^ Elzein, Fouad; Trang, Lê Dung (2013-02-23). "Mixed Hodge Structures". pp. 40, 4.0.2. arXiv:1302.5811 [math.AG].
^ Weibel 1994, 연습 5.2.1; 적어도 1994년 판에는 정확한 순서에 오타가 있다.
^ Weibel 1994, 연습 5.2.2.
^ Weibel 1994, 애플리케이션 5.3.5.
^ 5월, § 1.
^ 해처, 540쪽, 564쪽
^ Bruner, Robert R.; Rognes, John (2005). "Differentials in the homological homotopy fixed point spectral sequence". Algebr. Geom. Topol. 5 (2): 653–690. arXiv:math/0406081. doi:10.2140/agt.2005.5.653.

참조

소개

Fomenko, Anatoly; Fuchs, Dmitry, Homotopical Topology
Hatcher, Allen. "Spectral Sequences in Algebraic Topology" (PDF).

참조

Leray, Jean (1946a), "L'anneau d'homologie d'une représentation", Les Comptes rendus de l'Académie des sciences, 222: 1366–1368
Leray, Jean (1946b), "Structure de l'anneau d'homologie d'une représentation", Les Comptes rendus de l'Académie des sciences, 222: 1419–1422
Koszul, Jean-Louis (1947). "Sur les opérateurs de dérivation dans un anneau". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 225: 217–219.
Massey, William S. (1952). "Exact couples in algebraic topology. I, II". Annals of Mathematics. Second Series. Annals of Mathematics. 56 (2): 363–396. doi:10.2307/1969805. JSTOR 1969805.
Massey, William S. (1953). "Exact couples in algebraic topology. III, IV, V". Annals of Mathematics. Second Series. Annals of Mathematics. 57 (2): 248–286. doi:10.2307/1969858. JSTOR 1969858.
May, J. Peter. "A primer on spectral sequences" (PDF). Archived (PDF) from the original on 21 Jun 2020. Retrieved 21 Jun 2020.
McCleary, John (2001). A User's Guide to Spectral Sequences. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 58 (2nd ed.). Cambridge University Press. doi:10.2277/0521567599. ISBN 978-0-521-56759-6. MR 1793722.
Mosher, Robert; Tangora, Martin (1968), Cohomology Operations and Applications in Homotopy Theory, Harper and Row, ISBN 978-0-06-044627-7
Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324. OCLC 36131259.

추가 읽기

Chow, Timothy Y. (2006). "You Could Have Invented Spectral Sequences" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 53: 15–19.

외부 링크

[FOOTNOTEMcCleary2001[[Category:Wikipedia_articles_needing_page_number_citations_from_August_2021]]<sup_class="noprint_Inline-Template_"_style="white-space:nowrap;">&#91;<i>[[Wikipedia:Citing_sources|<span_title="This_citation_requires_a_reference_to_the_specific_page_or_range_of_pages_in_which_the_material_appears.&#32;(August_2021)">page&nbsp;needed</span>]]</i>&#93;</sup>-1] 맥클러리 2001, 페이지.

[FOOTNOTEHatcherExample_1.17-2] 해처, 사례 1.17.

[FOOTNOTEHatcherExample_1.18-3] 해처, 사례 1.18.

[FOOTNOTEMay-4] 5월.

[5] Serge Lang (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 (in German) (Überarbeitete 3. ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 038795385X

[6] Elzein, Fouad; Trang, Lê Dung (2013-02-23). "Mixed Hodge Structures". pp. 40, 4.0.2. arXiv:1302.5811 [math.AG].

[7] Weibel 1994, 연습 5.2.1; 적어도 1994년 판에는 정확한 순서에 오타가 있다.

[8] Weibel 1994, 연습 5.2.2.

[9] Weibel 1994, 애플리케이션 5.3.5.

[FOOTNOTEMay§_1-10] 5월, § 1.

[FOOTNOTEHatcher540,_564-11] 해처, 540쪽, 564쪽

[12] Bruner, Robert R.; Rognes, John (2005). "Differentials in the homological homotopy fixed point spectral sequence". Algebr. Geom. Topol. 5 (2): 653–690. arXiv:math/0406081. doi:10.2140/agt.2005.5.653.

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