지수 공간(토폴로지)

수학의 위상 및 관련 영역에서, 주어진 동등성 관계에 따른 위상학적 공간의 몫 공간은 원래 위상학적 공간의 몫 세트를 연속적인 표준 투영도(functio)를 만드는 가장 좋은 위상과 함께 부여하여 형성된 새로운 위상적 공간이다.지도는 동등성 등급을 가리킨다.즉, 표준 투영 지도 아래 그 프리이미지가 원래의 위상학적 공간에 열려 있는 경우에만 인용 공간의 부분집합이 열린다는 것이다.

직관적으로 말하면, 새로운 위상학적 공간을 형성하기 위해 각 동등성 등급의 포인트를 식별하거나 "함께 글레이징"한다.예를 들어, 동일한 직경에 속하는 구의 점을 식별하면 투영면이 지수 공간으로 생성된다.

정의

Let ${\displaystyle \left(X,\tau _{X}\right)}$ be a topological space, and let ${\displaystyle \,\sim \,}$ be an equivalence relation on ${\displaystyle X.}$ The quotient set, ${\displaystyle Y=X/\sim \,}$ is the set of equivalence classes of elements of ${\displaystyle X.}$$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in$ X$}$의 동등성 클래스는${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$. ${\displaystyle [x]$로 표시된다$$.$}$${\$과(와) 연관된 지수, 표준, 투영 지도는 다음과 같은 굴절적 지도를 가리킨다$$.

${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 부분 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ X${\displaystyle }$/${\displaystyle }$~ ${\$ X$/{\sim }}$의 경우($$따라서 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\subseteq$ X$\})$에는 다음이 유지된다.

The quotient space under ${\displaystyle \,\sim \,}$ is the quotient set ${\displaystyle Y}$ equipped with the quotient topology, which is the topology whose open sets are the subsets ${\displaystyle U\subseteq Y=X/{\sim }}$ such that ${\displaystyle \{x\in X:[x]\i$$n U\}=\cup _{u\in U}u}$ is an open subset of ${\displaystyle \left(X,\tau _{X}\right);}$ that is, ${\displaystyle U\subseteq X/{\sim }}$ is open in the quotient topology on ${\displaystyle X/{\sim }}$ if and only if ${\displaystyle \{x\in X:[x]\i$$n$ U$\}\in \tau _{X}}$ 따라서$$,

동등하게, 인지도 위상의 오픈 세트는 표준 $지도{\displaystyle }$q :${\displaystyle X}$ →${\displaystyle X}$ /${\displaystyle }$~ ${\$ X$/{\sim$ ${\displaystyle \}\}\}(<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; q:X\backslash to\; X/\{\backslash sim\; \}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/3f36db8b72af3952997e47fa7d53427efa699e39"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:13.551ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="629">q}$(x ) =$[\displaystyle$]})$$에 의해 정의된) 아래에 $열린{\displaystyle }$ 프리이미지가 있는$$ Y ${\\displaystystystystytylean Y}$의 하위 집합이다.Similarly, a subset ${\displaystyle S\subseteq X/{\sim }}$ is closed in ${\displaystyle X/{\sim }}$ if and only if ${\displaystyle \{x\in X:[x]\in S\}}$ is a closed subset of ${\displaystyle \left(X,\tau _{X}\right).$$}$

지수 위상은 지도 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ [${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$. ${\displaystyle x\mapsto [x]$와 관련하여, 지수 집합의 최종 위상이다.$}$

지수지도

지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$이(가) 돌출적인 경우 지수지도(때로는 식별지도라고 함)이며,${\displaystyle {}^{}}$f - ${\displaystyle 1^{}(V}$ ) ${\displaystyle V\subseteq$ $Y$$}$이($가)$ 열려 있는$$ 경우에만 부분집합 $V$가 열려 $.$Equivalently, a surjection ${\displaystyle f:X\to Y}$ is a quotient map if and only if for every subset ${\displaystyle D\subseteq Y,}$ ${\displaystyle D}$ is closed in ${\displaystyle Y}$ if and only if ${\displaystyle f^{-1}(D)}$ is closed in ${\displaystyle X.}$

최종 위상 정의

$또는{\displaystyle }$ $f{\displaystyle }$. {\$displaystyle f}$이(가) 위에 있고 Y ${\displaystyle Y}$이(가) $f{\displaystyle .}$ ${\displaystyle f$에 대한 최종 토폴로지를 갖추고 있다면$$ f ${\$displaystyle f}이(가) 몫의 지도가 된다$$$.$$}$

포화도 세트 및 지수 지도

A subset ${\displaystyle S}$ of ${\displaystyle X}$ is called saturated (with respect to ${\displaystyle f}$) if it is of the form ${\displaystyle S=f^{-1}(T)}$ for some set ${\displaystyle T,}$ which is true if and only if ${\displaystyle f^{-1}(f(S))=S}$ ($f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$( ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle }$)${\displaystyle \supseteq }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(S)\supseteq S})$는 항상$$ 모든 하위 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle$ S$\subseteq X,}$에 대해 유지되지만, 일반적으로 동등성이 보장되지 않으며, $f{\displaystyle }$ ${\displaysty f}$만 존재하지 않는다.The assignment ${\displaystyle T\mapsto f^{-1}(T)}$ establishes a one-to-one correspondence (whose inverse is ${\displaystyle S\mapsto f(S)}$) between subsets ${\displaystyle T}$ of ${\displaystyle Y=f(X)}$ and saturated subsets of ${\displaystyle X.}$ With this terminology, a surjection ${\displaystyle f:X\to Y}$ is a quotient map if and only if for every saturated subset ${\displaystyle S}$ of ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ is open in ${\displaystyle X}$ if and only if ${\displaystyle f(S)}$ is open in ${\displaystyle Y.}$ I특히 포화되지 않은 $X$ ${\displaystyle X}$의 오픈 하위 집합은 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$이(가) 지수 지도인지 여부에 영향을 미치지 않으며, 비포화 하위 집합은 연속성의 오픈 집합 정의와 무관하듯이($f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y) "쿼티지 맵"의 정의와 무관하다.$$$f{\displaystyle }$${\displaystyle (}$ ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle f(X)}$에서 열려$$ 있는 $모든{\displaystyle }$ 포화 부분 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$,}$ f${\displaystyle }$($) {\displaystyle f(X$)}에 $대해{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\style X}$에서 열려 있음을$$ 의미하는$$ 경우에만 ${\displaystystystylease$ s$}$이(으$$)가 연속적이다.

모든 지표가 연속적이지만 모든 지도가 지표가 되는 것은 아니다.A continuous surjection ${\displaystyle f:X\to Y}$ fails to be a quotient map if and only if ${\displaystyle X}$ has some saturated open subset ${\displaystyle S}$ such that ${\displaystyle f(S)}$ is not open in ${\displaystyle Y}$ (this statement remains true if both instances of the word "open"은 "폐쇄")로 대체된다.

섬유 특성화의 지수 공간

Given an equivalence relation ${\displaystyle \,\sim \,}$ on ${\displaystyle X,}$ the canonical map ${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ that sends ${\displaystyle x\in X}$ to its equivalence class ${\displaystyle [x]:$$=\{z\in X:z\sim$ x$\}}($즉, $q{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle :=}$ [${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle q(x):$$=[x]}$) is a quotient map that satisfies ${\displaystyle q(x)=q^{-1}(q(x))}$ for all ${\displaystyle x\in X}$; moreover, for all ${\displaystyle a,b\in X,}$ ${\displaystyle a\,\sim \,b}$ if and only if ${\displaystyle q(a)=q(b).$$}$

In fact, let ${\displaystyle \pi :X\to Y}$ be a surjection between topological spaces (not yet assumed to be continuous or a quotient map) and declare for all ${\displaystyle a,b\in X}$ that ${\displaystyle a\,\sim \,b}$ if and only if ${\displaystyle \pi (a)=\pi (b).$$}$ Then ${\displaystyle \,\sim \,}$ is an equivalence relation on ${\displaystyle X}$ such that for every ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle [x]=\pi ^{-1}(\pi (x))}$ so that ${\displaystyle \pi ([x])=\{\,\pi (x)\,\}\subseteq Y}$ is a si$따라서{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 바이어스 ^${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ : ${\displaystyle X}$/${\displaystyle }$~${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }:X/{\sim }\;\;\to$\;;;;&gt;;;;;;;의 바이어스를 유도하는 ngleton 세트.$\pi$$$${\displaystyle \stackrel{}{^}}$(${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \pi }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle {\hat {\pi }}([x]):$$=\pi (x)}$ (this is well defined because ${\displaystyle \pi ([x])}$ is a singleton set and ${\displaystyle {\hat {\pi }}([x])}$ is just its unique element; that is, ${\displaystyle \pi ([x])=\{\,{\hat {\pi }}([x])\,\}}$ for every ${\displaystyle x}$). 지도 $q{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X}$/${\displaystyle }$~ ${\$ X$/{\sim }}}$을(를) 위와$$ 같이 정의하십시오(${\displaystyle q}$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle :=}$ [ x${\displaystyle }$]$${\$displaystyle q(x):$$=[x]}$) 및${\displaystyle }$$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$이($가{\displaystyle }$) 유도한$$ 지수 $위상$(q {\displaystyle $q}$을$($를$)$ 지수 맵으로 만든다${\displaystyle .}$$$이러한 지도는 다음과 같은 방법으로 연관된다.

From this and the fact that ${\displaystyle q:X\to X/\sim }$ is a quotient map, it follows that ${\displaystyle \pi :X\to Y}$ is continuous if and only if this is true of ${\displaystyle {\hat {\pi }}:X/\sim \;\;\to \;Y.}$ Furthermore, ${\displaystyle \pi :X\t$$o{\displaystyle \stackrel{}{}}$ $Y}$은(는) ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$^${\displaystyle }$:${\displaystyle X}$ / ~${\displaystyle }$→$$ {\$displaystyle {\hat${\$pi$}}:$X/\$sim \;\$to \;;;$의 경우에만 해당 지수를 나타낸다$$.$Y}$은(는) 동형상(또는 동등하게, 만약(또는 $\pi {\displaystyle \stackrel{}{}}$) ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$과 그 역이 모두 연속인 경우에만 해당)이다.

관련 정의

A.mw-parser-output .vanchor&gt은 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}hereditarily 지수 지도는 위로의. 지도 f:X가 속성에 Y→{\displaystyle f:X\to Y}은 모든 부분 집합 T⊆ Y, ff− 1(T):f− 1(T)→ T{\displaystyle f{\bi 제한{T\subseteq Y\displaystyle,}.G\vert}_ᆪ(T)}일:~f^ᆫ(T)\to T}도 지수 지도.유전적으로 지분이 없는 지도가 존재한다.

예

• 접착. 지질학자들은 접착점에 대해 함께 이야기한다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X}$이(가) 위상학적 공간인$$ 경우, $X{\displaystyle }$${\$$displaystyle$ $x}$ $및{\displaystyle }$ y$${\$displaystyle y}$을(를) 붙이는 것은${\displaystyle }a{\displaystyle }$ = ${\displaystyle b}$${\displaystyle }$= ${\displaystyle$$a$$=b$} ${\displaystyle \mathrm{또는<img\; alt="a=b"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/1956b03d1314c7071ac1f45ed7b1e29422dcfcc4"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:5.326ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="292">}}$a =${\displaystyle }$x = ${\displaystyle y)}$의 동등성 관계에서 얻은 $몫$을 고려한다는 것을 의미한다$$.${\displaystyle a=x,b=y}($또는 $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle b}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a=y,b=x})$
• 단위 사각형 ${\displaystyle {I\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]\times }$ [ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ I$^{2}=[0,1]\times [0,1]}}$ 및 모든$$ 경계점을 단일 동등성 등급으로 식별하는 요구조건에 의해 생성된 동등성 관계를 고려한다.그러면 $I{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$/${\displaystyle }$~ ${\displaystyle$ I$^{2}/\sim }$은(는) 구 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$에 대해 동형이다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ S$^{2}.}$

• 부속 공간.보다 일반적으로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 공간이고$$ $A{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $A}$이${\displaystyle (}$가) $X$의 하위 공간이라고$$ 가정하면, A ${\displaystyle X}$의 모든 점을 단일 동등성 등급으로$$ 식별하고 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyty A}$의 외부 포인트를 자신과 동등한 수준으로 유지할$$ 수 있다.결과의 지수 공간은 ${\displaystyle X}$/ A${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$/A$로 표시된다$.$$}$ 그런 다음$$ 2-sphere는 닫힌 디스크와 동질적으로 결합되며, 경계가 단일 지점: D ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ D ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$. ${\displaystyle D^{2}/\partial {D^{2}}.$$}$
• 일반 위상에서의 R {\$displaystyle$\mathb {$R}$ 실제 숫자로 설정된$$ $R$을$$고려하고 x - y {\$displaystyle$ x-y}이$($) 정수인 경우에만 x${\displaystyle }$~ ${\displaystyle y}$ ${\$$displaysty$ $x\sim$ y$}$를 쓰십시오.그러면 지수 공간 $X{\displaystyle }$/ ~${\displaystyle$X/\$sim }$은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 등가 클래스를 exp${\displaystyle \exp }$ ( ${\displaystyle 2}$ i${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \expi ix$)에$$ 보내는 동형성을 통해$$ S ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 동형이다$.$$}$
• 앞의 예를 일반화하면 다음과 같다.위상학 그룹 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) $공간{\displaystyle }$ X에 대해 연속적으로 작용한다고 가정해 보십시오$.$$$X {\$displaystyle X}$에서 점은 동일한 궤도에 있는 경우에만 동등하다고 말해 $동등성$ 관계를 형성할 수 있다.이 관계에 따른 인용 공간은 $궤도{\displaystyle }$ ${\displaystyle 공간}$이라고 하며, X${\displaystyle }$/ G${\displaystyle }$. ${\displaystyle X/G.}$ 앞의 $예$에서${\displaystyle G\mathbb{}}$ = Z$${\$displaystyle$ G$=\mathb {Z}$은(는) R ${\$에 번역으로$$$$ 작용한다.궤도 공간 $R{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$은(는) S 1.${\displaystyle S^{1$}에 대한 동형이다$.$
  • 참고: $R{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$ 표기법은 다소 모호하다$$.$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이(가) 추가를 통해$$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 작용하는 그룹으로 이해되면$$, 그 몫은 원입니다.However, if ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ is thought of as a topological subspace of ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (that is identified as a single point) then the quotient ${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup \{\,\{r\}:r\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \}}$ (which is identifiable 세트${\displaystyle }${${\displaystyle Z\mathbb{}}$}${\displaystyle }$∪ ${\displaystyle (R\mathbb{}}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ) ${\displaystyle \{\mathb {Z} \cup (\mathb {R} \setminus \mathb {Z}$)는 단일 지점 $Z$에 결합된 원의 무한한 꽃다발이다$. {\displaysty \mathb {Z}}$
• This next example shows that it is in general not true that if ${\displaystyle q:X\to Y}$ is a quotient map then every convergent sequence (respectively, every convergentnet) in ${\displaystyle Y}$ has a lift (by ${\displaystyle q}$) to a convergent sequence (or convergent net) in ${\displaystyle X.}$ Let $$${\displaystyle X=[0,1]}$ and ${\displaystyle \,\sim ~=~\{\,\{0,1\}\,\}~\cup ~\left\{\{x\}:x\in (0,1)\,\right\}.$$}$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle X}$/${\displaystyle }$~ ${\$ Y$:=X/\\\\sim \,}$을(를) 다음으로 하고, $q{\displaystyle }$:${\displaystyle }$X → ${\displaystyle X}$/${\displaystyle }$~$${\$displaystyle q$${\displaystyle :}$$X\to$ X$/\sim \,}$을(를) 맵 $q{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$:=${\displaystyle }$[ x$]$ , {\$displaystyplaystytym q(x):$=$$${\displaystyle \mathrm{q}}$($0$${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=$$${\displaystyle \mathrm{q}}$ (${\displaystyle }$1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle q (0)=1=\{0,1\}$ 및$$${\displaystyle }q{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ x ${\displaystyle \}}$ ${\$ $q(x)=\{x$$\}}}.$매 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$($0,$1$)$에 대해$$$$ $q.$$}$ ${\displaystyle \mathrm{지도<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; x\backslash in\; (0,1).\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/412e245d56bc5aa6a0b206efd16de250c5f1d01d"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:9.985ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="437">}}$ $h{\displaystyle }$: X${\displaystyle }$/${\displaystyle }$~${\displaystyle }$→ S ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ C ${\$에 의해 $정의$된 h (${\displaystyle }$[${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle )=}$e ${\displaystyle {}^{}}$ i {\$displaystystyle h([x]):$$=e^{$${\displaystyle 2^{}}$$\pi$ ${\displaystyle {\mathrm{ix}}^{}}$$}$은(e$$ 2${\displaystyle {}^{}}$( i ( ${\displaystyle 0^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$= 1${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ i${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle 1^{}}$) ${\$1$)\}$와 동형성(eomorphism)이 잘 정의되어 있다.Let ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ and let ${\displaystyle a_{\bullet }:=\left(a_{i}\right)_{i\in I}{\text{ and }}b_{\bullet }:=\left(b_{i}\right)_{i\in I}}$ be any sequences (or more generally, any nets) valued in ${\displaystyle (0,$$1)$$X{\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {]}_{}}$의 ${\displaystyle {}_{}}$ → 0, ${\displaystyle b{}_{}}$ ∙ →$$1 {\$displaystyle a_{\bullet }\to 0,$ 1${\displaystyle ]}$ . ${\displaystyle$ X$=[0,1].$${}$ 그러면$$ 순서가
  $${\displaystyle y_{1}:=q\left(a_{1}\right),y_{2}:q\left(b_{1}\right),y_{3}=q\left(a_{2}\right),y_{4}=q\left(b_{2}\rig}\right),\dots}}}}$$

  
  converges to ${\displaystyle [0]=[1]}$ in ${\displaystyle X/\sim \,}$ but there does not exist any convergent lift of this sequence by the quotient map ${\displaystyle q}$ (that is, there is no sequence ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$ in $$${\displaystyle X}$ ${\$$displaystyle x\in X}$에 모두 수렴하여$$ $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I}$에 대해$$ ${\displaystyle y_{}}$= ${\displaystyle q}$(${\displaystyle {}_{}{s}_{}}$ ) ${\$}\right$)$를 만족하는 X {\displaystystystyledown i}$$$이{\displaystyle }$ counterexample은${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (A,\leq )}$을(를) 지시된 집합으로 하고 I ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \times }${ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle I:$로 만들어 그물에 일반화할 수 있다.$=A\times \{1,2\}}$ into a net by declaring that for any ${\displaystyle (a,m),(b,n)\in I,}$${\displaystyle (m,a)\;\leq \;(n,b)}$ holds if and only if both (1) ${\displaystyle a\leq b,}$ and (2) if ${\displaystyle a=b{\text{ then }}m\leq n;}$then the ${\displaystyle A}$-indexed net defined by letting ${\displaystyle y_{(a,m)}}$ equal ${\displaystyle a_{i}{\text{ if }}m=1}$ and equal to ${\displaystyle b_{i}{\text{ if }}m=2}$ has no lift (by ${\displaystyle q}$) to a convergent ${\displays$$tyle A}$ - $X{\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$. ${\displaystyle$ X$=[0,1]$의 색인화된$$ 네트.$}$

특성.

$지수{\displaystyle }$ 지도 ${\displaystyle q}$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle q:X\to Y}$은(는) 상이한 공간과 $f$ : ${\displaystyle Y}$→ Z ${\displaystyle f:$$Y\to Z}$은(는) 임의의 함수로서, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle$ f$\circuleq}$이(가) 연속적인 경우에만 f$${\$displaystyle$ $f$$}$이(가) 연속적이다.

The quotient space ${\displaystyle X/\sim }$ together with the quotient map ${\displaystyle q:X\to X/\sim }$ is characterized by the following universal property: if ${\displaystyle g:X\to Z}$ is a continuous map such that ${\displaystyle a\sim b}$ implies ${\dis$${\displaystyle \mathrm{모든}}a{\displaystyle }$ , b style X , $displaystyle a,b\in X}$에 대해 $playstyle g(a)=g(b)}$이(가) 존재하며, $다음$과 같은 고유한 연속 지도 $f{\displaystyle }$ : ${\displaystyle X}$/${\displaystyle }$${\displaystyle ~\to }$ Z ${\$$displaystystyle f$$X$$/\sim$ $\$$to$ $Z$$}$이(가)가 존재하며$,$ ${\displaystyle 즉}$, 다음 도표:

$하나$는 g ${\displaystyle g}$이(가) 이것을 표현하기 위한 지수로 내려간다는 것, 즉 지수를 통해 인수를 고려한다는 것이다.$따라서{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$/${\displaystyle }$~ ${\displaystyle X/\sim }$에 정의된 연속 지도는 동등성 관계를 존중하는$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 정의된 연속 지도에서 발생하는 지도(동일한 이미지에 동등한 요소를 보낸다는 의미)이다$$.이 기준은 인용 부문을 공부할 때 많이 사용된다.

연속 투사 $Q{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle q:X\to Y}$을(를) 주어진다면, $q{\displaystyle }${\$displaystyle q}$이(가) 지수 지도인지 판단할 수 있는 기준을 갖는 것이 유용하다.두 가지 충분한 기준은 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$을(를) 열거나 닫는 것이다.이러한 조건은 충분할 뿐, 필요하지 않다는 점에 유의하십시오.개방적이지도 폐쇄적이지도 않은 지도의 예를 쉽게 구성할 수 있다.위상학 그룹의 경우, 지수 지도가 열려 있다.

다른 위상학적 개념과의 호환성

분리

• 일반적으로, 지분의 공간은 분리 공리에 관한 잘못된 행동이다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 분리 속성은 $X{\displaystyle }$/${\displaystyle }$~${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ X$/\sim ,}$이(가) 상속할 필요가$$ 없으며, $X$ /${\displaystyle }$~ ${\displaystyle$ X$/\sim }$이(가) X에 의해 공유되지 않는 분리 $속성$을 가질 수 $있다$ ${\$displaystyle X$.$
• ${\displaystyle X}$/${\displaystyle }$~ ${\displaystyle$ X$/\sim }$은${\displaystyle (}$는) ~ ${\$의 모든 동등 클래스가 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X.}$에서 닫힌$$ 경우에만 T1 공간이다.
• 지수 지도가 열려 있는 $경우{\displaystyle ,}$X /$$~ {\$displaystyle$X/\$sim }$은(는) 제품 $공간{\displaystyle }$ X${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle X}$ .$${\$displaystyle$ X$\times$ X$.}$의 닫힌 부분 집합인 경우에만 Hausdorff 공간이다.

연결성

• 공간이 연결되어 있거나 경로가 연결되어 있다면, 그 모든 지분의 공간도 마찬가지다.
• 단순하게 연결되거나 수축 가능한 공간의 지수 공간은 그러한 특성을 공유할 필요가 없다.

콤팩트

• 공간이 작으면 그 모든 지분의 공간도 작다.
• 지역적으로 좁은 공간의 지분의 공간은 지역적으로 좁을 필요가 없다.

치수

• 지수 공간의 위상학적 치수는 원래 공간의 치수보다 더 많을 수도 있고 더 적을 수도 있다. 공간을 채우는 곡선은 그러한 예를 제공한다.

참고 항목

위상

• 분리 결합(토폴로지)
• 최종 위상 – 일부 기능을 연속적으로 만드는 가장 우수한 위상
• 매핑 원뿔(토폴로지)
• 제품 공간
• 하위 공간(토폴로지)
• 위상학적 공간 – 친밀도 개념의 수학 공간
• 커버 공간 – 다른 공간과 매핑되는 토폴로지 공간, 로컬에서 별도의 복사본처럼 보이는 공간

대수학

• 매핑 콘(동양대수) – 동질대수의 도구
• 지수분류
• 지수군
• 지수 공간(선형 대수) – 아핀 서브스페이스로 구성된 벡터 공간

참조

• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. General Topology: Chapters 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
• Bourbaki, Nicolas (1989) [1967]. General Topology 2: Chapters 5–10 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Vol. 4. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063.
• Dixmier, Jacques (1984). General Topology. Undergraduate Texts in Mathematics. Translated by Berberian, S. K. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303.
• Dugundji, James (1966). Topology. Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
• Kelley, John L. (1975). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 27. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 338047.
• Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology (First ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.
• Willard, Stephen (1970). General Topology. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.