단위 접선 번들

이 글에는 참고문헌, 관련 독서 또는 외부 링크 목록이 수록되어 있으나 인라인 인용구가 부족하여 출처가 불분명하다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2020년 9월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

리만 기하학에서 TM¹, UT(M) 또는 단순 UTM이 가리키는 리만 매니폴드(M, g)의 단위 접선다발은 접선다발 T(M)의 단위 구면다발이다. M 위의 섬유 묶음이며, 각 점의 섬유는 접선 번들의 단위 구이다.

${\displaystyle \mathrm {UT}(M):=\coprod _{x\in M}\left\{v\in \mathrm {T}_{x}\left g_{x}(v,v)=1\right.\right\}}$

여기서 T_x(M)는 x에서 M에 대한 접선 공간을 나타낸다. 따라서 UT(M)의 요소는 쌍(x, v)이며, 여기서 x는 다지관의 일부 지점이고 v는 x에서 다지관의 일부 접선 방향(단위 길이)이다. 유닛 접선 번들에는 자연 투영 장치가 장착되어 있다.

${\displaystyle \pi :\mathrm {UT}(M)\to M,}$

${\displaystyle \pi :(x,v)\mapsto x,}$

보따리의 각 지점을 기준점으로 가져가는 겁니다. 각 지점 x ∈ M에 대한 섬유⁻¹ ((x)는 (n-1)-sphereⁿ⁻¹ S이고, 여기서 n은 M의 치수다. 따라서 유닛 접선 번들은 섬유 S와ⁿ⁻¹ 함께 M 위에 있는 구체 번들이다.

유닛 스피어 번들의 정의는 핀슬러 다지관도 쉽게 수용할 수 있다. 구체적으로, M이 핀슬러 미터법 F : TM → R이 장착된 다지관이라면, 단위 구획 번들은 x에 있는 섬유들이 F:의 지시체인 접선 번들의 하위 번들이다.

${\displaystyle \mathrm {UT} _{x}(M)=\left\{v\in \mathrm {T} _{x}(M)\왼쪽 F(v)=1\right.\right\}}$

만일 M이 무한 차원 다지관(예: 바나흐, 프레셰트 또는 힐버트 다지관)이라면 UT(M)는 여전히 접선다발 T(M)의 단위 구다발로 생각할 수 있지만, x 이상의 섬유 π⁻¹(x)는 접선공간에서 무한 차원 단위 구이다.

구조물들

유닛 접선다발은 다양한 미분 기하학적 구조를 가지고 있다. M의 측정기준은 UTM의 접촉구조를 유도한다. 이것은 UTM의 지점 u(M의 단위 접선 벡터)에서 정의한 tautological 1-form의 관점에서 주어진다.

${\displaystyle \theta _{u}(v)=g(u,\pi _{*}v)\,}$

여기서 ${\$는 벡터 v ∈ TUTM의_u π을 따라가는 푸시포워드다.

기하학적으로 이 접촉 구조는 단위 벡터 u에서 M의 접선 공간에 있는 u의 직교보완물의 풀백인 (2n-2)-플레인의 분포로 간주할 수 있다. 이것은 접촉 구조로 UTM의 섬유는 분명히 일체형 다지관(수직 다발이 kernel의 알맹이 어디에나 있고, UTM의 섬유를 위로 이동시켜 나머지 접선 방향을 채운다. 따라서 θ의 최대 적분 다지관은 (개방형) M 그 자체다.

핀슬러 다지관에서 접촉 형태는 유사한 공식으로 정의된다.

${\displaystyle \theta _{u}(v)=g_{u}(u,\pi _{*v)\,}$

여기서 g는_u 기본 텐서(핀슬러 측정 기준의 허시안)이다. 기하학적으로 u ∈ UTM_x 지점에서의 하이퍼플레인의 관련 분포는 u에서 TM의_x 단위 구체에 대한 접선 하이퍼플레인의 π에_* 따른 역 영상이다.

볼륨 형식 dθdθ은ⁿ⁻¹ M의 지오데틱 흐름 하에서는 불변하는 M에 대한 척도, 즉 리우빌 척도를 정의한다. 라돈 측정으로, 키네마틱 측정 μ는 UTM에 의해 압축적으로 지원되는 연속 기능에 대해 정의된다.

${\displaystyle \int _{UTM}f\,d\mu =\int _{M}dV(p)\int _{{{M}dV(p)\int _{{UT_{p}M}\왼쪽.f\right _{UT_{p}M}\,d\mu _{p}}$

여기서 dV는 M의 체적 요소이며, μ는_p 유클리드 구체 UTM에_p 대한 표준 회전-내변 보렐 측정값이다.

M의 Levi-Civita 연결은 접선 번들의 갈라짐을 발생시킨다.

${\displaystyle T(UTM)=H\oplus V}$

수직 공간 V = 연석_* 및 수평 공간 H로, UTM의 각 지점에서 π은_* 선형 이형성이다. 이 분할은 직교 직교 합으로 선언하고 풀백에 의해 H에 대한 메트릭을 정의함으로써 UTM에 대한 메트릭스를 유도한다.

${\displaystyle g_{H}(v,w)=g(v,w),\quad v,w\in H}$

그리고 유클리드 공간 TM에_x 섬유 UTM을_x 내장함으로써 유도된 측정지표로 V의 측정지표를 정의한다. 이 미터법과 접촉 양식을 갖춘 UTM은 사사키 다지관이 된다.

참고 문헌 목록

• 제프리 M. Lee: 다지관과 미분 기하학. 수학 대학원 연구 107권, 미국 수학 협회, 프로비던스(2009) ISBN978-0-8218-4815-9
• 위르겐 조스트: 리만 지오메트리와 기하학적 분석, (2002) 베를린 스프링거-베를라크. ISBN 3-540-42627-2
• Ralph Abraham und Jerrold E. 마스덴: Mechanics의 기초, (1978) 런던의 벤자민 쿠밍스. ISBN 0-8053-0102-X