3소켓

3토러스 내부의 이미지.다지관의 빛이 닫힌 고리로 감싸기 때문에, 그 효과는 큐브가 모든 공간을 타일링하고 있다는 것입니다.이 공간은 부피가 한정되어 있고 경계가 없습니다.

수학에서, 3-매니폴드는 국소적으로 유클리드 3차원 공간처럼 보이는 공간이다.3개의 마니폴드는 우주의 가능한 형태라고 생각할 수 있다.작은 관측자에게는 구체가 평면처럼 보이듯이, 우리 우주가 작은 관측자에게 보이는 것처럼 보입니다.이것은 아래 정의에 더 정확하게 설명되어 있습니다.

서론

정의.

위상 공간 X는 두 번째 카운트 가능 하우스도르프 공간이고 X의 모든 점이 유클리드 3-공간과 동형인 근방을 갖는 경우 3-매니폴드이다.

삼매형 수학 이론

위상 범주, 부분 선형 범주 및 매끄러운 범주는 모두 3차원에서 동일하기 때문에 위상 3매니폴드 또는 매끄러운 3매니폴드를 다루고 있는지에 대해서는 거의 차이가 없습니다.

3차원의 현상은 다른 차원의 현상과 현저하게 다를 수 있기 때문에 3차원보다 큰 차원으로 일반화되지 않는 매우 전문적인 기술이 널리 보급되어 있습니다.이 특별한 역할은 매듭 이론, 기하학적 군 이론, 쌍곡 기하학, 수 이론, 테이크뮐러 이론, 위상 양자장 이론, 게이지 이론, 플로어 호몰로지, 그리고 편미분 방정식과 같은 다양한 분야와의 밀접한 연관성을 발견하게 했다.ensional topology 또는 기하학적 topology.

이 이론의 핵심 아이디어는 3매니폴드에 내장된 특별한 표면을 고려하여 연구하는 것이다.3매니폴드에 잘 배치되는 표면을 선택할 수 있어 비압축면 아이디어와 하켄다양체 이론으로 이어질 수 있고, 상보편을 최대한 좋게 선택할 수 있어 하켄이 아닌 경우에도 도움이 되는 헤가르드 분할 등의 구조로 이어질 수 있다.

이 이론에 대한 Thurston의 공헌은 많은 경우에 특정 Thurston 모델 기하학(그 중 8개가 있음)에 의해 주어진 추가 구조를 고려할 수 있게 해준다.가장 일반적인 기하학은 쌍곡 기하학이다.특수한 표면과 더불어 지오메트리를 사용하는 것은 많은 경우 도움이 됩니다.

3-매니폴드의 기본 그룹은 3-매니폴드에 속하는 기하학적 및 위상 정보를 강하게 반영한다.따라서, 그룹 이론과 위상 방법 사이에는 상호작용이 있다.

3-매니폴드를 설명하는 불변량

3차원 위상 불변성은 일반적으로 구조에 대한 많은 정보를 제공하기 때문에 3차원 위상학은 저차원 위상학의 흥미로운 특수한 경우이다.M $({displaystyle$ M $})$ 을 $M$ 3소켓, $=$ $\pi =\pi _{1}(M)$ 1 $\pi =\pi _{1}(M)$ ( $\pi =\pi _{1}(M)$ M $\pi =\pi _{1}(M)$ )({ $displaystyle \pi$ =\ $pi$ _ ${1$ }( $M))$ 을 $\pi =\pi _{1}(M)$ 기본 그룹으로 $하면$ 많은 정보를 얻을 수 있습니다.예를 들어 푸앵카레 이중성과 휴레비츠 정리를 사용하여 다음과 같은 호몰로지 그룹이 있습니다.

$디스플레이 스타일H_{0}(M)&=H^{3}(M)=&\mathbb {Z} \\H_{1}(M)&=H^{2}(M)=&\pi /[\pi,\pi]\\\mathbb {Z}\\\mathbbbbb}H_{2}(M)&=H^{1}(M)=&{\text{Hom}}(\pi,\mathbb {Z})\\H_{3}(M)&=H^{0}(M)=&\mathbb {Z} \end{aligned}}$

여기서 마지막 두 그룹은 각각 $§$ 의 그룹 호몰로지 및 코호몰로지(cohomology $\pi$ 와 동형이다. 즉,

$디스플레이 스타일H_{1}(\pi;\mathbb {Z})&\cong \pi /[\pi ,\pi ]\\\H^{1}(\pi;\mathbb {Z})&\context{Hom}}(\pi,\mathbb {Z})\end {aligned}}$

이 정보로부터 3-매니폴드의^[1] 기본적인 호모토피 이론 분류를 찾을 수 있다.포스트니코프 타워에서 본 표준 지도가 있습니다.

$q:M\to B\pi$

기본 클래스 $[M]\in H_{3}(M)$ [ $[M]\in H_{3}(M)$ $[M]\in H_{3}(M)$ ( $[M]\in H_{3}(M)$ M $[M]\in H_{3}(M)$ ) \ $displaystyle$ [ $M$ ]\ $in$ H_ ${3$ } ( $M)$ 을 $[M]\in H_{3}(M)$ $H_{3}(B\pi )$ $B$ $)$ 로 $H_{3}(B\pi )$ $H_{3}(B\pi )$ 포워드 하면 요소 $\zeta _{M}=q_{*}([M])$ $\zeta _{M}=q_{*}([M])$ $\zeta _{M}=q_{*}([M])$ q $B$ \ $pi$ $\zeta _{M}=q_{*}([M])$ \ $style$ _ m $eta$ _ tyle _ tyle 。 ${\({displaystyle$ \pi $})$ 과 $\pi$ 그룹 호몰로지 클래스 $\zeta _{M}\in H_{3}(\pi ,\mathbb {Z} )$ M $\zeta _{M}\in H_{3}(\pi ,\mathbb {Z} )$ H3 $\zeta _{M}\in H_{3}(\pi ,\mathbb {Z} )$ , $Z$ )({ $M}\in$ H_ ${3$ }(\ $pi ,\mathbb {Z})$ 는 $\zeta _{M}\in H_{3}(\pi ,\mathbb {Z} )$ M $(\displaystyle$ M $M$ 의 호모토피 타입에 대한 완전한 대수적 설명을 제공합니다.

연결합계

하나의 중요한 위상 연산은 두 개의 $M_{1}\#M_{2}$ $M_{1}\#M_{2}$ 1 # $2의 연결$ 합입니다 $M_{1}\#M_{2}$ $실제로$ 토폴로지의 일반 이론에서 우리는 연결 합 $M=M_{1}\#\cdots \#M_{n}$ $M=M_{1}\#\cdots \#M_{n}$ # $M=M_{1}\#\cdots \#M_{n}$ n $M=M_{1}\#\cdots \#M_{n}$ \ $display style$ $M=M_{1}\#\cdots \#M_{n}$ _ $1$ \ $CDOTs$ \ 。 $displaystyle$ M은 $M$ $($ displaystyle $M_{i$ 에서 계산할 수 있습니다.

$디스플레이 스타일H_{1}(M)&=H_{1}(M_{1})\oplus \cdots \oplus H_{1}(M_{n})\\H_{2}(M)&=H_{2}(M_{1})\oplus \cdots \oplus H_{2}(M_{n})\pi _{1}&=pi _{1}(M_{1})*\cdots *\pi_{1}(M_nend}\cdots\aligned$

또한, 두 개의 3매니폴드의 연결합이라고 할 수 없는 $3매니폴드$ M({ $displaystyle$ M})을 $M$ 프라임이라고 한다.

두 번째 호모토피 그룹

소수 3매니폴드의 연결합에 의해 주어지는 3매니폴드의 경우 $\mathbb {Z} [\pi ]$ 제2의 기본군을 $\mathbb {Z} [\pi ]$ [ $]]$ \ $display$ style \ $mathbb {Z}$ [\ $pi ]$ - ^[2]모듈로서 $\mathbb {Z} [\pi ]$ 잘 기술하고 있는 것이 판명되었다.각 $\pi _{1}(M_{i})$ 1 ( $\pi _{1}(M_{i})$ )를 갖는 특별한 경우({ $displaystyle \pi$ _ ${1$ } ( $M_{i})$ 는 $\pi _{1}(M_{i})$ 무한하지만 순환적이지 않음) 2-sphere의 기반 임베딩을 취한다면

$M$ $\sigma _{i}(S^{2})\subset M_{i}-\{B^{3}\}\subset M$ 서 $S^{2$ }\ $to$ M $\sigma _{i}:S^{2}\to M$ $\sigma _{i}(S^{2})\subset M_{i}-\{B^{3}\}\subset M$ $\sigma _{i}(S^{2})\subset M_{i}-\{B^{3}\}\subset M$ $\sigma _{i}(S^{2})\subset M_{i}-\{B^{3}\}\subset M$ ） $\sigma _{i}(S^{2})\subset M_{i}-\{B^{3}\}\subset M$ M $\sigma _{i}(S^{2})\subset M_{i}-\{B^{3}\}\subset M$ - { $\sigma _{i}(S^{2})\subset M_{i}-\{B^{3}\}\subset M$ 3 $}$ M { $displaystyle$ \ $sigma$ _ { i } ( $S$ ^ { $2$ ） \ $subset$ M _ { i } - \ { $B }$ \ $subset$ M $\sigma _{i}(S^{2})\subset M_{i}-\{B^{3}\}\subset M$ }

두 번째 기본 그룹이 프레젠테이션을 합니다.

$\displaystyle \pi _{2}(M)=pi frac {\mathbb {Z}[\pi]\{\dots_{1},\dots_{n}}}{\displaystyle_{1}+\cdots+\cdots_{n}}}}}}}$

이 그룹에 대한 간단한 계산을 제공합니다.

3-매니폴드의 중요한 예

유클리드 3공간

유클리드 3-공간은 3-매니폴드의 가장 중요한 예이며, 다른 모든 것들은 이와 관련하여 정의된다.이것은 실수에 대한 표준 3차원 벡터 공간입니다.

3구

초구체의 평행(빨간색), 경맥(파란색) 및 고경맥(녹색)의 입체 투영.이 투영법은 등각형이므로 곡선은 4D에서처럼 서로 직교(노란색 점)로 교차합니다.모든 곡선은 원입니다. <0,0,0,1>과 교차하는 곡선의 반지름은 무한합니다(= 직선).

3구체는 구의 더 높은 차원의 유사체이다.그것은 4차원 유클리드 공간의 고정된 중심점에서 등거리에 있는 점들의 집합으로 구성됩니다.일반 구(또는 2구)가 3차원으로 공의 경계를 형성하는 2차원 표면인 것처럼, 3구(球)는 4차원으로 공의 경계를 형성하는 3차원의 물체이다.3각형의 많은 예는 $\pi$ $S^{3}$ 그룹 ${\$ ${\$ $displaystyle$ S $^{3}$ 에서 $S^{3}$ $S^{3}$ $\pi \to {\text{SO}}(4)$ $\pi \to {\text{SO}}(4)$ $\pi \to {\text{SO}}(4)$ ( $\pi \to {\text{SO}}(4)$ 4 $\pi \to {\text{SO}}(4)$ ) \ $displaystyle \pi \text$ {\displaystyle \to $\$ text $\pi$ $}$ 에 자유롭게 작용하는 3각형의 지수를 취함으로써 구성할 수 있다. $SO}}(4$ $M=S^{3}/\pi$ M $M=S^{3}/\pi$ $M=S^{3}/\pi$ 3 / $M=S^{3}/\pi$ （ \ $displaystyle$ M = $S$ ^ {3 $}$ / \ $pi$ $M=S^{3}/\pi$ ^[3] 。

실제 투사형 3공간

실제 투영 3공간(RP³)은 R의⁴ 원점 0을 통과하는 선의 위상 공간입니다.이것은 치수 3의 콤팩트하고 매끄러운 다양체이며, 그래스만 공간의 특수한 경우 Gr(1, R⁴)이다.

RP는³ (SO (3)와 형상이 다르므로, 그룹 구조를 인정한다. 커버링³ 맵 S³ → RP는 그룹의 맵이며, 여기서 Spin(3)은 SO(3)의 범용 커버인 Lie 그룹이다.

3토러스

3차원 토러스는 3개의 원의 산물이다.즉, 다음과 같습니다.

\mathbf {T} ^{3}=S^{1}\times S^{1}

3-토러스, T는³ 임의의 좌표에서 적분 이동 하에서의 R의³ 몫으로 설명될 수 있다.즉, 3-토러스는 R 모듈로³ 정수 격자 Z의 작용(벡터 덧셈으로 작용)이다³.마찬가지로 3차원 입방체로부터 마주보는 면을 접착함으로써 3토러스를 얻을 수 있다.

이러한 의미에서 3토러스는 3차원 콤팩트 매니폴드의 한 예이다.이것은 또한 콤팩트 아벨리안 리 군의 한 예이다.이것은 단위 원이 콤팩트한 아벨리안 리 군이라는 사실에서 비롯된다(곱셈이 있는 단위 복소수와 동일할 때).토러스에서의 군 곱셈은 좌표 곱셈에 의해 정의된다.

쌍곡선 3공간

H의³ 12면체 테셀레이션의 투시 투영.
각 모서리에서 4개의 12면체가 만나고, E의³ 입방체 테셀레이션의 입방체처럼 각 꼭지점에서 8개가 만난다.

쌍곡선 공간은 일정한 음의 곡률로 특징지을 수 있는 균일한 공간입니다.그것은 쌍곡기하학의 모델이다.이것은 유클리드 기하학을 정의하는 곡률이 0인 유클리드 공간 및 일정한 양의 곡률을 갖는 타원 기하학 모형과 구별됩니다.(고차원의) 유클리드 공간에 포함되었을 때, 쌍곡 공간의 모든 점은 안장점이 됩니다.또 다른 특징적인 특성은 쌍곡선 3공간에서 3-볼로 덮인 공간의 양입니다. 즉, 다항식이 아닌 공의 반지름에 대해 기하급수적으로 증가합니다.

푸앵카레 12면체 공간

푸앵카레 호몰로지 구(푸앵카레 12면체 공간이라고도 함)는 호몰로지 구체의 특별한 예이다.구형의 3-매니폴드로서, 유한한 기본 그룹을 가진 유일한 호몰로지 3-구체이다.기본군은 이원 20면체군으로 알려져 있으며 120차수를 가지고 있다.이것은 Poincaré 추측을 호몰로지 용어로만 말할 수 없다는 것을 보여준다.

2003년 WMAP 우주선이 1년 동안 관측한 우주 마이크로파 배경에서 가장 큰 규모(60도 이상)의 구조가 부족하여 파리 천문대의 장 피에르 루미네와 동료들이 우주의 모양이 푸앵카레 ^[4]^[5]구라는 제안을 하게 되었다.2008년, 천문학자들은 WMAP 우주선에 ^[6]의한 3년간의 관측을 통해 이 모델에 대한 최적의 방향을 찾아내고 이 모델의 예측 중 일부를 확인하였다.그러나 아직까지는 모델의 정확성에 대한 강력한 지원은 없습니다.

세이퍼트-베버 공간

수학에서, 세이퍼트-베버 공간(허버트 세이퍼트와 콘스탄틴 베버에 의해 소개됨)은 닫힌 쌍곡선 3개의 마니폴드이다.이것은 세이퍼트-베버 12면체 공간과 쌍곡선 12면체 공간으로도 알려져 있다.이것은 닫힌 쌍곡선 3매니폴드의 가장 먼저 발견된 예 중 하나입니다.

그것은 닫힌 3매니폴드를 생성하는 방식으로 12면체의 각 면을 반대편에 붙임으로써 구성됩니다.이 접착에는 3가지 방법이 있습니다.반대쪽 면은 1/10 회전만큼 잘못 정렬되어 있으므로 일치시키려면 1/10, 3/10 또는 5/10 회전해야 합니다. 3/10 회전은 세이퍼트-베버 공간을 제공합니다.1/10 회전은 Poincaré 호몰로지 구를, 5/10 회전은 3차원 실제 투영 공간을 제공합니다.

3/10턴 접착 패턴을 사용하면 원래 12면체의 가장자리가 5개씩 그룹으로 서로 접착됩니다.따라서 세이퍼트-베버 공간에서 각 가장자리는 5개의 오각형 면으로 둘러싸여 있으며, 이들 오각형 사이의 이면각은 72°이다.이것은 유클리드 공간의 정십이면체의 이면각 117°와 일치하지 않지만, 쌍곡 공간에는 60°와 117° 사이의 이면각을 가진 정십이면체가 존재하며, 이면각 72°를 가진 쌍곡 12면체는 세이퍼트-웨버 공간에 쌍곡 다양체로서의 기하학적 구조를 제공하기 위해 사용될 수 있다.이것은 5차 12면체 벌집의 몫 공간이며, 이 이면체 각도를 가진 12면체에 의한 쌍곡선 3차원 공간의 규칙적인 테셀레이션이다.

기제킹 다양체

수학에서, 기제킹 다양체(Gieseking manifold)는 부피가 유한한 구불구불한 쌍곡선의 3-매니폴드이다.방향성이 없고 부피가 약 1.01494161로 비콤팩트 쌍곡선 매니폴드 중 가장 작다.그것은 휴고 기제킹에 의해 발견되었다.

기제킹 다양체는 정점을 사면체에서 제거한 다음 아핀-선형 지도를 사용하여 면들을 쌍으로 붙여 구성할 수 있습니다.정점에 0, 1, 2, 3의 라벨을 붙입니다.정점 0, 1, 2로 면을 정점 3,1,0으로 순서대로 붙입니다.얼굴 0, 2, 3을 얼굴 3, 2, 1에 순서대로 붙입니다.기제킹 다양체의 쌍곡 구조에서, 이 이상적인 사면체는 데이비드 B의 표준 다면체 분해입니다. A. 엡스타인과 로버트 C.페너.^[7]또한 면의 각도는 $\pi /3$ / $(\displaystyle \pi /3$ 이며, 삼각측량은 1개의 사면체, 2개의 면, 1개의 모서리가 있고 정점이 없기 때문에 원래의 사면체의 모서리는 모두 접착되어 있습니다.

일부 중요한 등급의 3-매니폴드

쌍곡선 링크 보완

붕소 고리는 쌍곡선 링크입니다.

쌍곡선 링크는 일정한 음의 곡률의 완전한 리만 메트릭을 갖는 보완을 가진 3-구체의 링크입니다. 즉, 쌍곡선 지오메트리를 가집니다.쌍곡선 매듭은 하나의 성분이 있는 쌍곡선 링크입니다.

다음 예들은 특히 잘 알려져 있고 연구되고 있다.

클래스가 반드시 상호 배타적인 것은 아닙니다.

3-매니폴드의 일부 중요한 구조

접점 지오메트리

접점 기하학은 접선 다발의 초평면 분포에 의해 주어지고 단일 형태로 지정되는 매끄러운 다지관에 대한 기하학적 구조에 대한 연구로, 두 가지 모두 '완전한 비적분성'이라고 불리는 '최대 비퇴행성' 조건을 충족합니다.프로베니우스 정리로부터, 다지관상의 코디멘션 1의 편차에 의해 분포가 결정되는 조건의 반대('완전 적분성')로 조건을 인식한다.

접촉기하학은 여러 면에서 짝수차원 세계에 속하는 심플렉틱기하학의 홀수차원 대응물입니다.접촉기하학과 심플렉틱기하학 모두 고전역학의 수학적 형식주의에 의해 동기 부여되며, 기계 시스템의 짝수 차원 위상 공간 또는 시간 변수를 포함하는 홀수 차원 확장 위상 공간을 고려할 수 있습니다.

하켄 다양체

하켄 매니폴드는 충분히 큰 소형 P² 불가축 3-매니폴드로, 적절히 매립된 양면 비압축성 표면을 포함합니다.때로는 방향성이 있는 하켄 매니폴드만을 고려하기도 하는데, 이 경우 하켄 매니폴드는 방향성이 있고 압축할 수 없는 표면을 포함하는 작고 방향성이 있으며 축소할 수 없는 3-매니폴드이다.

하켄 다지관에 완전히 덮인 3마니폴드는 사실상 하켄이라고 한다.가상 하켄 추측은 무한 기본군을 가진 축소 불가능한 모든 3-매니폴드는 가상 하켄이라고 주장한다.

하켄 다양체는 볼프강 하켄에 의해 도입되었다.Haken은 Haken 매니폴드가 압축할 수 없는 표면을 따라 3개의 볼로 분할될 수 있는 계층 구조를 가지고 있음을 증명했다.하켄은 또한 3개의 매니폴드가 압축 불가능한 표면을 갖는다면 그 표면을 찾는 유한한 절차가 있다는 것을 보여주었다.Jaco와 Oertel은 3마니폴드가 Haken인지 아닌지를 결정하는 알고리즘을 주었다.

에센셜 라미네이션

필수적층이란 모든 잎이 압축할 수 없고 끝부분이 압축할 수 없는 적층이며, 그 상보적인 영역이 환원할 수 없는 경우 및 구면상의 잎이 없는 경우 적층이다.

필수 라미네이션은 하켄 매니폴드에서 볼 수 있는 압축 불가능한 표면을 일반화합니다.

헤가르드 분할

Heegaard 분할은 콤팩트 지향의 3-매니폴드를 두 개의 핸들바디로 분할하여 얻은 분해입니다.

모든 폐쇄형 방향성 3매니폴드는 Moise로 인한 3매니폴드의 삼각취약성에 대한 깊은 결과로부터 얻을 수 있다.이것은 매끄럽거나 부분적인 선형 구조를 수용할 필요가 없는 고차원 다지관과 강한 대조를 이룬다.평활성을 가정할 때 헤가르드 분할의 존재는 또한 모르스 이론의 핸들 분해에 관한 스메일의 연구에서 비롯된다.

동엽화

동엽은 모든 잎과 교차하는 단일 횡원이 있다는 특성을 가진 3-매니폴드의 코디멘션 1의 동엽이다.가로 원은 항상 편파의 접선 장과 교차하는 닫힌 루프를 의미합니다.마찬가지로, Dennis Sullivan의 결과에 의해, 각 잎을 최소 표면으로 만드는 리만 측정이 존재하는 경우, 코디멘션 1의 편차는 팽팽해진다.

윌리엄 서스턴과 데이비드 가바이의 업적에 의해 두각을 나타냈다.

기본 결과

어떤 결과는 역사적 유물의 결과로 추측으로 명명된다.

우선 토폴로지부터 시작합니다.

모이스 정리

기하학적 위상학에서 모이스의 정리는 에드윈 E에 의해 증명되었다. Moise in은 모든 위상 3-매니폴드가 본질적으로 독특한 조각-선형 구조와 매끄러운 구조를 가지고 있다고 말합니다.

결과적으로 모든 콤팩트한 3-매니폴드는 헤가드 분할이 있습니다.

소수 분해 정리

3-매니폴드에 대한 기본 분해 정리는 모든 작고 방향성 있는 3-매니폴드는 소수 3-매니폴드의 고유한 (동형사상까지) 집합의 연결된 합이라고 말한다.

다지관은 둘 이상의 다지관의 연결된 합으로 나타낼 수 없는 경우 프라임이며, 그 중 어느 것도 같은 차원의 구가 아닙니다.

크네세르-하켄 미세도

Kneser-Haken 미세도는 각 3-매니폴드에 대해 C보다 큰 카디널리티 표면의 집합이 반드시 병렬 원소를 포함하도록 상수 C가 존재한다고 말합니다.

루프 및 구 정리

루프 정리는 덴의 법칙의 일반화이며 더 적절하게 "디스크 정리"라고 불려야 한다.그것은 1956년 Christos Papakyriakopoulos에 의해 Dehn의 보조정리와 함께 처음 증명되었다.

루프 정리의 간단하고 유용한 버전은 만약 지도가 존재한다면 다음과 같이 기술한다.

\displaystyle f\colon (D^{2},\partial D^{2})\to (M,\partial M),}

f $f|\partial D^{2}$ $f|\partial D^{2}$ ( \ $displaystyle$ f \ $partial$ D^ { $f|\partial D^{2}$ } )가 $f|\partial D^{2}$ $\partial M$ M \ $displaystyle$ \ $partial$ M $\partial M$ , null homotopic이 아닌 경우 동일한 속성을 가진 매립이 있습니다.

파파키리아코풀로스(1957)의 구 정리는 3매니폴드의 두 번째 호모토피 그룹의 요소가 내장된 구에 의해 표현될 수 있는 조건을 제공한다.

예를 들어 다음과 같습니다.

$§$ $\pi _{2}(M)$ ( $\pi _{2}(M)$ ) \ $displaystyle$ $\pi$ _ { $2}$ ( $M$ )가 $\pi _{2}(M)$ 단순한 그룹이 아니도록 M { $displaystyle$ M}을 $M$ 방향성 있는 3-매니폴드라고 $합니다$ . $S^{2}\to M$ 으로 삽입 $S^{2}\to M$ $S^{2}\to M$ $(\displaystyle$ $\pi _{2}(M)$ S $^{2}\to$ M $S^{2}\to M$ 인 대표자를 갖는 $M)$ 의 $\pi _{2}(M)$ 비제로 원소가 존재한다.

고리와 토러스 정리

고리정리는 3개의 다지관 경계에 있는 한 쌍의 분리된 단순 닫힌 곡선이 자유자재로 균일한 경우 적절하게 내장된 고리형 공결합을 한다는 것을 말한다.이것은 같은 이름의 고차원 정리와 혼동해서는 안 된다.

토러스 정리는 다음과 같다.M을 경계가 비어 있지 않은 콤팩트하고 환원 불가능한 3-매니폴드라고 하자.만약 M이 토러스의 필수 맵을 인정한다면, M은 토러스 또는 고리의^[8] 필수 매립을 인정한다.

JSJ 분해

토랄 분해라고도 하는 JSJ 분해는 다음과 같은 정리에 의해 주어지는 위상 구조입니다.

불가축성 배향성 폐쇄형(즉, 콤팩트하고 경계가 없는) 3-매니폴드는 토리를 따라 절단하여 얻은 3-매니폴드의 각 성분이 아토로이드 또는 세이퍼트 파이버 중 하나가 되도록 (최대 아이소토피까지) 분리된 매립형 비압축성 토리의 최소 집합을 가진다.

약자 JSJ는 윌리엄 자코, 피터 샬렌, 클라우스 요한슨을 뜻한다.처음 두 사람은 함께 일했고, 세 번째는 독립적으로 ^[9]^[10]일했습니다.

스콧 코어 정리

스콧 코어 정리는 피터 ^[11]스콧에 의한 3-매니폴드의 기본 그룹의 유한한 제시 가능성에 대한 정리이다.정확한 문장은 다음과 같습니다.

최종적으로 생성된 기본 그룹을 가진 3차원 서브매니폴드(꼭 콤팩트할 필요는 없다)가 주어지면, 콤팩트 코어 또는 스콧 코어라고 불리는 콤팩트한 3차원 서브매니폴드가 존재하며, 그 포함 맵이 기본 그룹에 동형성을 유도한다.특히 최종 생성된 3-매니폴드 그룹이 최종 제시될 수 있음을 의미한다.

간단한 증명서가 ^[12]제시되고 보다 강력한 고유성 진술이 제시됩니다.^[13]

리코리쉬-왈라스 정리

Rickorish-Wallace 정리에 따르면 폐쇄형, 방향성, 연결된 3-매니폴드는 ± $(\displaystyle \pm$ 1) 수술 $\pm 1$ 계수를 사용하여 $\pm 1$ 3-구체의 프레임 링크에 대해 Dehn 수술을 수행함으로써 얻을 수 있습니다.또, 링크의 각 컴포넌트는, 노트 되어 있지 않은 것으로 간주할 수 있다.

발트하우젠의 위상 강성 이론

위상 강성에 대한 Friedhelm Baldhausen의 이론은 경계를 존중하는 기본 그룹의 동형성이 존재한다면 특정 3-매니폴드(비압축 표면을 가진 것 등)는 동형이라고 말한다.

헤가르트 분할에 대한 발트하우젠 추측

발트하우젠은 모든 닫힌 방향성의 3-마니폴드는 주어진 어떤 속에도 확실히 많은 헤가르드 분할만을 가지고 있다고 추측했다.

스미스 추측

Smith 추측(현재는 증명됨)은 f가 유한 차수의 3구체의 미분 동형이라면 f의 고정점 집합은 중요하지 않은 매듭이 될 수 없다고 말한다.

주기적 수술 정리

주기적 수술 정리에 따르면, 경계가 토러스 T인 작고 연결성, 방향성, 환원 불가능한 3매니폴드 M의 경우, M이 세이퍼트 섬유 공간이 아니며 r, s가 T 위의 기울기이므로 Dehn 충전재가 주기적 기본 그룹을 가지면 r과 s 사이의 거리(단순 곡선 두 개의 최소 횟수)가 된다.t에서 r과 s는 교차해야 한다)는 최대 1이다.따라서 순환기초기를 가진 M의 Dehn 충전재는 최대 3개이다.

Thurston의 쌍곡선 Dehn 수술 정리 및 Yörgensen-서스턴 정리

Thurston의 쌍곡선 Dehn 수술 정리에는 다음과 같이 기술되어 있습니다 $M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ $M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ ( $M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ 1, $M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ 2, $M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ … $M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ , $M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ n ) { $display$ style $M$ ( $u$ _ { $1}$ , $u_{2$ } , \ dots , u_ ${n$ $}$ } } $M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ $is$ 、 hyperb - - - usp-- thur $usp$ uspusp thur thur thur thur thur thur thur thurusp hyperb thur e e e e e e e e thur thur e e e e e e of of of e e e e e e e e $E_{i}$ of of of of of of of of of of of of of $E_{i}$ of $M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ M $M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ ( $M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ 1, $M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ 2, $M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ , $M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ n $){$ $displaystyle$ M ( $u_{1},u_{2},\dots,u_{n})$ 은 모든 $p_{i}/q_{i}$ $p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\rightarrow \infty$ + $p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\rightarrow \infty$ $p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\rightarrow \infty$ （ \ $displaystyle p_{i}^{2}+q_{i}^2\rightarrow\infty$ } p/ $p_{i}/q_{i}$ 로서 $p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\rightarrow \infty$ H의 M으로 수렴됩니다 $M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ $.$ $laystyle u_{i$ 입니다.

이 정리는 윌리엄 서스턴에 기인하며 쌍곡선 3-매니폴드 이론의 기초가 된다.이는 H에 중요하지 않은 제한이 있음을 나타냅니다.Troels Jorgensen의 기하학적 위상 연구는 모든 중요하지 않은 한계가 정리와 같이 Dehn 채우기에 의해 발생한다는 것을 추가로 보여준다.

Thurston에 의한 또 다른 중요한 결과는 쌍곡선 Dehn 충전 하에서 부피가 감소한다는 것입니다.사실, 이 정리는 위상적인 덴 충전 하에서 부피가 감소한다고 말하고 있는데, 덴 충전 다지관은 물론 쌍곡선이라고 가정합니다.증거는 그로모프 규범의 기본적인 특성에 의존한다.

또한 예르겐센은 이 공간의 부피 함수가 연속적이고 적절한 함수임을 보여주었다.따라서 이전 결과에 따르면 H의 중요하지 않은 한계는 볼륨 집합에서 중요하지 않은 한도로 간주됩니다.실제로, 서스턴과 마찬가지로, 유한 체적 쌍곡선 3-매니폴드의 부피 집합이 서수형 $\omega ^{\omega }$ (\ $displaystyle \obega ^{\obega$ 를 갖는다는 결론을 내릴 수 있다. 이 결과를 서스턴-요르겐센 정리라고 한다.이 세트를 특징짓는 추가 작업은 그로모프에 의해 수행되었습니다.

또한 Gabai, Meyerhoff 및 Milley는 Weeks 다양체가 닫힌 방향성 쌍곡선 3-매니폴드 중 가장 작은 부피를 가지고 있음을 보여주었다.

하켄 다양체에 대한 서스턴의 이중화 정리

서스턴 기하학 정리의 한 가지 형태는 다음과 같다.만약 M이 경계가 0 오일러 특성을 갖는 축소할 수 없는 아토로이덜 하켄 다양체라면, M의 내부는 유한 부피의 완전한 쌍곡 구조를 가진다.

Mostow 강성 정리는 최소 3차원의 다양체가 유한 부피의 쌍곡 구조를 가지고 있다면 본질적으로 유일하다는 것을 암시한다.

쌍곡선 다양체는 이러한 특성을 가지기 때문에 매니폴드 M은 축소할 수 없고 아토로이덜이어야 하는 조건이 필요합니다.그러나 다지관이 하켄이라는 조건은 불필요하게 강하다.Thurston의 이중화 추측은 무한 기본군을 가진 닫힌 환원 불가능한 아토로이덜 3-매니폴드가 쌍곡선이며, 이것은 Thurston 기하학 추측에 대한 Perelman의 증명에서 비롯된다.

마르덴 추측 또는 길들여진 끝 추측이라고도 불리는 타미니스 추측

변조성 정리는 최종적으로 생성된 기본 그룹을 가진 모든 완전한 쌍곡선 3-매니폴드는 위상적으로 길들여져 있으며, 다시 말해 콤팩트 3-매니폴드의 내부와 동질성이 있다는 것이다.

Marden은 타만성 정리를 추측했다.그것은 아골과 대니 칼레가리와 데이비드 가바이에 의해 독립적으로 증명되었다.클라이니아 군 밀도 정리 및 끝 적층 정리와 함께 기하학적으로 무한한 쌍곡선 3차원 마니폴드의 기본 특성 중 하나이다.이것은 또한 알포르족이 추측을 측정한다는 것을 암시한다.

라미네이션 추측 종료

원래 윌리엄 서스턴에 의해 추측되었고 나중에 제프리 브록, 리처드 카나리, 그리고 야 민스키에 의해 증명된 끝 적층 정리는 완전히 생성된 기본 그룹을 가진 쌍곡선 3-마니폴드는 보의 일부 표면에서 측지학적 적층인 특정 "끝 불변량"과 함께 위상에 의해 결정된다고 말한다.다지관의 언다이어리

푸앵카레 추측

3-sphere는 Poincaré 추측이 입증되었기 때문에 특히 중요한 3-매니폴드입니다.원래 앙리 푸앵카레가 추측한 이 정리는 국소적으로 일반적인 3차원 공간처럼 보이지만 연결되어 있고 크기가 유한하며 경계가 없는 공간에 관한 것이다.푸앵카레 추측은 만약 그러한 공간이 공간의 각 루프를 한 점까지 연속적으로 조일 수 있는 추가적인 특성을 가지고 있다면, 그것은 반드시 3차원 구라고 주장한다.비슷한 결과가 한동안 더 높은 차원으로 알려져 왔다.

수학자들의 거의 한 세기 동안의 노력 끝에 그리고리 페렐만은 arXiv에서 2002년과 2003년에 이용 가능한 세 편의 논문을 통해 추측의 증거를 제시했다.리처드 S.의 프로그램에서 그 증거가 이어졌다. 해밀턴은 리치 플로우를 사용하여 문제를 공격합니다.Perelman은 Ricci flow라고 불리는 표준 Ricci flow의 수정을 도입했는데, Ricci flow는 Ricci flow가 발달함에 따라 단일 영역을 제어된 방식으로 체계적으로 절제하는 수술입니다.몇몇 수학자들은 Perelman의 증거가 정확하다는 것을 증명했다.

서스턴의 기하학 추측

Thurston의 기하학적 추측은 특정한 3차원 위상 공간은 각각 그것들과 연관될 수 있는 독특한 기하학적 구조를 가지고 있다고 말한다.이것은 단순히 연결된 모든 리만 표면이 세 가지 기하학 중 하나(유클리드, 구형 또는 쌍곡선)가 주어질 수 있다는 것을 나타내는 2차원 표면에 대한 균일화 정리의 아날로그입니다.3차원에서는 하나의 형상을 전체 위상 공간에 지정할 수 없습니다.대신, 기하학적 추측은 모든 닫힌 3-매니폴드는 각각 8가지 기하학적 구조 중 하나를 가진 조각으로 표준적인 방법으로 분해될 수 있다고 말한다.이 추측은 윌리엄 서스턴(1982)에 의해 제안되었으며, 푸앵카레 추측과 서스턴의 타원화 추측과 같은 몇 가지 다른 추측을 암시한다.

서스턴의 이중화 정리는 하켄 다양체가 기하학 추측을 만족시킨다는 것을 암시한다.Thurston은 1980년대에 증거를 발표했고 그 이후로 몇 가지 완전한 증거가 인쇄되었다.

그리고리 페렐만은 2003년에 리치 플로우를 수술과 함께 사용하여 완전한 기하학 추측의 증거를 스케치했다.증빙에 대한 자세한 내용이 포함된 여러 개의 다른 원고(아래 참조)가 있습니다.푸앵카레 추측과 구면 공간 형태 추측은 기하학적 추측으로 이어지지 않는 전자의 짧은 증명들이 있지만 기하학적 추측의 결과이다.

가상 조작 추측과 가상 하켄 추측

미국의 수학자 윌리엄 서스턴에 의해 공식화된 사실상 섬유화된 추측은 무한 기본 그룹을 가진 모든 닫힌, 환원 불가능한 아토로이덜 3개의 마니폴드는 원 위의 표면 다발인 유한한 덮개를 가지고 있다고 말합니다.

사실상 하켄 추측은 무한 기본군을 가진 모든 작고, 방향성 있고, 축소할 수 없는 3차원 다양체는 사실상 하켄이라고 말한다.즉, 하켄 다양체인 유한 피복(유한 대 1 피복 맵의 피복 공간)을 가진다.

2009년 ^[14]8월 25일 ArXiv에 투고된 글에서 다니엘 와이즈는 (당시 공개되지 않은 더 긴 원고를 참조함으로써) 3개의 매니폴드가 닫혀 있고, 쌍곡선이고, 하켄인 경우에 대해 사실상 조작된 추측을 증명했음을 암시했다.그 뒤를 이어 수리과학의 ^[15]전자연구 발표에 대한 조사 기사가 나왔다.앞서 언급한 와이즈의 ^[17]더 긴 원고를 포함하여 몇 개의 프리프린트가^[16] 뒤따랐다.2012년 3월 파리의 앙리 푸앵카레에서 열린 회의에서 Ian Agol은 닫힌 쌍곡선 3매니폴드에 대한 ^[18]사실상 하켄 추측을 증명할 수 있다고 발표했다.칸과 마르코비치의^[19]^[20] 표면 부분군 추측 증명 결과와 와이즈의 부정규격 특수분수^[17] 정리를 증명한 결과 그리고 ^[14]버제론과 와이즈의 군집합 결과를 바탕으로 한 증명입니다.Wise의 결과와 함께, 이것은 모든 닫힌 쌍곡선 3-매니폴드에 대한 사실상 섬유화된 추측을 암시합니다.

단순 루프 추측

f $f\colon S\rightarrow T$ : $f\colon S\rightarrow T$ $f\colon S\rightarrow T$ { $displaystyle$ f $\rightarrow$ S\rightarrow T $}$ 가 $f\colon S\rightarrow T$ f $f_{\star }\colon \pi _{1}(S)\rightarrow \pi _{1}(T)$ : $f_{\star }\colon \pi _{1}(S)\rightarrow \pi _{1}(T)$ 1 ( $f_{\star }\colon \pi _{1}(S)\rightarrow \pi _{1}(T)$ ) $f_{\star }\colon \pi _{1}(S)\rightarrow \pi _{1}(T)$ $f_{\star }\colon \pi _{1}(S)\rightarrow \pi _{1}(T)$ 1 ( $f_{\star }\colon \pi _{1}(S)\rightarrow \pi _{1}(T)$ ) \ $displaystyle f_{\star$ }\ $display$ \ pi _ { $1}$ ( S)\ $rightarrow$ \ $pi$ _ { $1}$ ( $T)$ 와 $f_{\star }\colon \pi _{1}(S)\rightarrow \pi _{1}(T)$ $f_{\star }\colon \pi _{1}(S)\rightarrow \pi _{1}(T)$ 연결된 닫힌 표면의 맵인 $f\colon S\rightarrow T$ 주입은 존재하지 않습니다. $f_{a}는$ 호모토픽적으로 사소하다는 $f|_{a}$ 을 알 수 있습니다.이 추측은 데이비드 가바이에 의해 증명되었다.

표면 부분군 추측

Friedhelm Baldhausen의 표면 부분군 추측은 무한 기본군을 가진 모든 닫힌, 환원 불가능한 3-매니폴드의 기본 그룹이 표면 부분군을 가지고 있다고 말한다."표면 부분군"이란 2-구체가 아닌 닫힌 표면의 기본 그룹을 의미합니다.이 문제는 Robion Kirby의 문제 ^[21]목록에 "Problem 3.75"로 표시되어 있습니다.

기하학 추측을 가정할 때 유일하게 열린 경우는 닫힌 쌍곡선 3-매니폴드의 경우였다.이 사례의 증거는 2009년 여름 Jeremy Kahn과 Vladimir Markovic에 의해 발표되었으며, 2009년 8월 4일 유타 대학교 주최의 FRG(Focus Research Group) 컨퍼런스에서 개략적으로 설명되었습니다.2009년 ^[22]10월에 arxiv에 프리프린트가 표시되었습니다.그들의 논문은 2012년 ^[23]수학 연보에 발표되었습니다.2012년 6월,^[24] 칸과 마코비치는 옥스포드에서 열린 시상식에서 클레이 수학 연구소로부터 클레이 연구상을 받았다.

중요한 추측

케이블 접속에 관한 추측

케이블 접속 추측에 따르면 3구체의 매듭에서 Dehn 수술로 환원 가능한 3매니폴드를 얻을 수 있다면 그 매듭은 $(p,q)$ ( $(p,q)$ q $)\displaystyle (p,q)\$ displaystyle (p,q)\cable이며 $(p,q)$ 수술은 반드시 $slope$ $displaystyle pq$ 를 사용하여 수행되어야 합니다.

루보츠키-사르나크 추측

어떤 유한 부피 쌍곡선 n-매니폴드의 기본 그룹은 속성 θ를 가지지 않는다.

레퍼런스

^ Swarup, G. Ananda (1974). "On a Theorem of C. B. Thomas". Journal of the London Mathematical Society. s2-8 (1): 13–21. doi:10.1112/jlms/s2-8.1.13. ISSN 1469-7750.
^ Swarup, G. Ananda (1973-06-01). "On embedded spheres in 3-manifolds". Mathematische Annalen. 203 (2): 89–102. doi:10.1007/BF01431437. ISSN 1432-1807. S2CID 120672504.
^ Zimmermann, Bruno. On the Classification of Finite Groups Acting on Homology 3-Spheres. CiteSeerX 10.1.1.218.102.
^ "우주는 12면체인가?"라고 물리세계의 기사입니다.
^ Luminet, Jean-Pierre; Weeks, Jeffrey; Riazuelo, Alain; Lehoucq, Roland; Uzan, Jean-Phillipe (2003-10-09). "Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background". Nature. 425 (6958): 593–595. arXiv:astro-ph/0310253. Bibcode:2003Natur.425..593L. doi:10.1038/nature01944. PMID 14534579. S2CID 4380713.
^ Roukema, Boudewijn; Zbigniew Buliński; Agnieszka Szaniewska; Nicolas E. Gaudin (2008). "A test of the Poincare dodecahedral space topology hypothesis with the WMAP CMB data". Astronomy and Astrophysics. 482 (3): 747–753. arXiv:0801.0006. Bibcode:2008A&A...482..747L. doi:10.1051/0004-6361:20078777. S2CID 1616362.
^ Epstein, David B.A.; Penner, Robert C. (1988). "Euclidean decompositions of noncompact hyperbolic manifolds". Journal of Differential Geometry. 27 (1): 67–80. doi:10.4310/jdg/1214441650. MR 0918457.
^ Feustel, Charles D (1976). "On the torus theorem and its applications". Transactions of the American Mathematical Society. 217: 1–43. doi:10.1090/s0002-9947-1976-0394666-3.
^ 제이코, 윌리엄, 샬런, 피터 B충분히 큰 3-매니폴드에 대한 새로운 분해 정리.대수적 및 기하학적 위상(Proc).심포지엄.순수 수학, 스탠포드 대학교, 캘리포니아 스탠포드, 1976년), 파트 2, 페이지 71-84, Proc.심포지엄.순수 수학, XXXII, Amer.1978년, 프로비던스, R.I., 수학.
^ Johannson, Klaus, Homotopy 등가 3개의 매니폴드와 경계를 가진 동등성.수학 강의 노트, 761. 스프링거, 1979.ISBN 3-540-09714-7
^ Scott, G. Peter (1973), "Compact submanifolds of 3-manifolds", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 7 (2): 246–250, doi:10.1112/jlms/s2-7.2.246, MR 0326737
^ Rubinstein, J. Hyam; Swarup, Gadde A. (1990), "On Scott's core theorem", Bulletin of the London Mathematical Society, 22 (5): 495–498, doi:10.1112/blms/22.5.495, MR 1082023
^ Harris, Luke; Scott, G. Peter (1996), "The uniqueness of compact cores for 3-manifolds", Pacific Journal of Mathematics, 172 (1): 139–150, doi:10.2140/pjm.1996.172.139, MR 1379290
^ ^a ^b Bergeron, Nicolas; Wise, Daniel T. (2009). "A boundary criterion for cubulation". arXiv:0908.3609 [math.GT].
^ Wise, Daniel T. (2009-10-29), "Research announcement: The structure of groups with a quasiconvex hierarchy", Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences, 16: 44–55, doi:10.3934/era.2009.16.44, MR 2558631
^ 특수 입방체 복합체에 대한 결합 정리인 Haglund와 Wise,
흐루스카와 와이즈, 큐브 그룹의 미세성 특성
슈와 와이즈는 비정상적인 아말감들을 큐브화했고
http://comet.lehman.cuny.edu/behrstock/cbms/program.html
^ ^a ^b 다니엘 T.Wise, 준벡스 계층을 가진 그룹의 구조, https://docs.google.com/file/d/0B45cNx80t5-2NTU0ZTdhMmItZTIxOS00ZGUyLWE0YzItNTEyYWFiMjczZmIz/edit?pli=1
^ Agol, Ian; Groves, Daniel; Manning, Jason (2012). "The virtual Haken conjecture". arXiv:1204.2810 [math.GT].
^ Kahn, Jeremy; Markovic, Vladimir (2009). "Immersing almost geodesic surfaces in a closed hyperbolic three manifold". arXiv:0910.5501 [math.GT].
^ Kahn, Jeremy; Markovic, Vladimir (2010). "Counting Essential Surfaces in a Closed Hyperbolic 3-Manifold". arXiv:1012.2828 [math.GT].
^ Robion Kirby, 저차원 토폴로지의 문제
^ Kahn, Jeremy; Markovic, Vladimir (2009). "Immersing almost geodesic surfaces in a closed hyperbolic three manifold". arXiv:0910.5501 [math.GT].
^ Kahn, Jeremy; Markovic, Vladimir (2012), "Immersing almost geodesic surfaces in a closed hyperbolic three manifold", Annals of Mathematics, 175 (3): 1127–1190, arXiv:0910.5501, doi:10.4007/annals.2012.175.3.4, S2CID 32593851
^ "2012 Clay Research Conference". Archived from the original on June 4, 2012. Retrieved Apr 30, 2020.

추가 정보

Hempel, John (2004), 3-manifolds, Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/chel/349, ISBN 0-8218-3695-1, MR 2098385
Jaco, William H. (1980), Lectures on three-manifold topology, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1693-4, MR 0565450
Rolfsen, Dale (1976), Knots and Links, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-914098-16-0, MR 1277811
Thurston, William P. (1997), Three-dimensional geometry and topology, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 0-691-08304-5, MR 1435975
Adams, Colin Conrad (2004), The Knot Book. An elementary introduction to the mathematical theory of knots. Revised reprint of the 1994 original., Providence, RI: American Mathematical Society, pp. xiv+307, ISBN 0-8050-7380-9, MR 2079925
Bing, R. H. (1983), The Geometric Topology of 3-Manifolds, Colloquium Publications, vol. 40, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. x+238, ISBN 0-8218-1040-5, MR 0928227
Thurston, William P. (1982). "Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry". Bulletin of the American Mathematical Society. 6 (3): 357–382. doi:10.1090/s0273-0979-1982-15003-0. ISSN 0273-0979.
Papakyriakopoulos, Christos D. (1957-01-15). "On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots". Proceedings of the National Academy of Sciences. 43 (1): 169–172. Bibcode:1957PNAS...43..169P. doi:10.1073/pnas.43.1.169. ISSN 0027-8424. PMC 528404. PMID 16589993.
"Topologische Fragen der Differentialgeometrie 43. Gewebe und Gruppen [31–32h]", Gesammelte Abhandlungen / Collected Papers, DE GRUYTER, 2005, doi:10.1515/9783110894516.239, ISBN 978-3-11-089451-6

외부 링크

Hatcher, Allen, Notes on basic 3-manifold topology, Cornell University
Strickland, Neil, 위상물체 소장

[1] Swarup, G. Ananda (1974). "On a Theorem of C. B. Thomas". Journal of the London Mathematical Society. s2-8 (1): 13–21. doi:10.1112/jlms/s2-8.1.13. ISSN 1469-7750.

[2] Swarup, G. Ananda (1973-06-01). "On embedded spheres in 3-manifolds". Mathematische Annalen. 203 (2): 89–102. doi:10.1007/BF01431437. ISSN 1432-1807. S2CID 120672504.

[3] Zimmermann, Bruno. On the Classification of Finite Groups Acting on Homology 3-Spheres. CiteSeerX 10.1.1.218.102.

[physwebLum03-4] "우주는 12면체인가?"라고 물리세계의 기사입니다.

[Nat03-5] Luminet, Jean-Pierre; Weeks, Jeffrey; Riazuelo, Alain; Lehoucq, Roland; Uzan, Jean-Phillipe (2003-10-09). "Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background". Nature. 425 (6958): 593–595. arXiv:astro-ph/0310253. Bibcode:2003Natur.425..593L. doi:10.1038/nature01944. PMID 14534579. S2CID 4380713.

[RBSG08-6] Roukema, Boudewijn; Zbigniew Buliński; Agnieszka Szaniewska; Nicolas E. Gaudin (2008). "A test of the Poincare dodecahedral space topology hypothesis with the WMAP CMB data". Astronomy and Astrophysics. 482 (3): 747–753. arXiv:0801.0006. Bibcode:2008A&A...482..747L. doi:10.1051/0004-6361:20078777. S2CID 1616362.

[7] Epstein, David B.A.; Penner, Robert C. (1988). "Euclidean decompositions of noncompact hyperbolic manifolds". Journal of Differential Geometry. 27 (1): 67–80. doi:10.4310/jdg/1214441650. MR 0918457.

[8] Feustel, Charles D (1976). "On the torus theorem and its applications". Transactions of the American Mathematical Society. 217: 1–43. doi:10.1090/s0002-9947-1976-0394666-3.

[9] 제이코, 윌리엄, 샬런, 피터 B충분히 큰 3-매니폴드에 대한 새로운 분해 정리.대수적 및 기하학적 위상(Proc).심포지엄.순수 수학, 스탠포드 대학교, 캘리포니아 스탠포드, 1976년), 파트 2, 페이지 71-84, Proc.심포지엄.순수 수학, XXXII, Amer.1978년, 프로비던스, R.I., 수학.

[10] Johannson, Klaus, Homotopy 등가 3개의 매니폴드와 경계를 가진 동등성.수학 강의 노트, 761. 스프링거, 1979.ISBN 3-540-09714-7

[11] Scott, G. Peter (1973), "Compact submanifolds of 3-manifolds", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 7 (2): 246–250, doi:10.1112/jlms/s2-7.2.246, MR 0326737

[12] Rubinstein, J. Hyam; Swarup, Gadde A. (1990), "On Scott's core theorem", Bulletin of the London Mathematical Society, 22 (5): 495–498, doi:10.1112/blms/22.5.495, MR 1082023

[13] Harris, Luke; Scott, G. Peter (1996), "The uniqueness of compact cores for 3-manifolds", Pacific Journal of Mathematics, 172 (1): 139–150, doi:10.2140/pjm.1996.172.139, MR 1379290

[arxiv.org-14] Bergeron, Nicolas; Wise, Daniel T. (2009). "A boundary criterion for cubulation". arXiv:0908.3609 [math.GT].

[15] Wise, Daniel T. (2009-10-29), "Research announcement: The structure of groups with a quasiconvex hierarchy", Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences, 16: 44–55, doi:10.3934/era.2009.16.44, MR 2558631

[16] 특수 입방체 복합체에 대한 결합 정리인 Haglund와 Wise,
흐루스카와 와이즈, 큐브 그룹의 미세성 특성
슈와 와이즈는 비정상적인 아말감들을 큐브화했고
http://comet.lehman.cuny.edu/behrstock/cbms/program.html

[docs.google.com-17] 다니엘 T.Wise, 준벡스 계층을 가진 그룹의 구조, https://docs.google.com/file/d/0B45cNx80t5-2NTU0ZTdhMmItZTIxOS00ZGUyLWE0YzItNTEyYWFiMjczZmIz/edit?pli=1

[18] Agol, Ian; Groves, Daniel; Manning, Jason (2012). "The virtual Haken conjecture". arXiv:1204.2810 [math.GT].

[19] Kahn, Jeremy; Markovic, Vladimir (2009). "Immersing almost geodesic surfaces in a closed hyperbolic three manifold". arXiv:0910.5501 [math.GT].

[20] Kahn, Jeremy; Markovic, Vladimir (2010). "Counting Essential Surfaces in a Closed Hyperbolic 3-Manifold". arXiv:1012.2828 [math.GT].

[21] Robion Kirby, 저차원 토폴로지의 문제

[22] Kahn, Jeremy; Markovic, Vladimir (2009). "Immersing almost geodesic surfaces in a closed hyperbolic three manifold". arXiv:0910.5501 [math.GT].

[23] Kahn, Jeremy; Markovic, Vladimir (2012), "Immersing almost geodesic surfaces in a closed hyperbolic three manifold", Annals of Mathematics, 175 (3): 1127–1190, arXiv:0910.5501, doi:10.4007/annals.2012.175.3.4, S2CID 32593851

[24] "2012 Clay Research Conference". Archived from the original on June 4, 2012. Retrieved Apr 30, 2020.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[17]

[16]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

Search

3소켓

서론

정의.