수축 가능한 공간

Contractible space
일부 계약 가능 공간 및 비계약 공간 그림.A, B, C 공간은 수축할 수 있고 D, E, F 공간은 수축할 수 없다.

수학에서 위상학적 공간 X는 X의 식별 지도가 null-homotopic인 경우, 즉 일정한 지도에 동음이의어인 경우 수축할 수 있다.[1][2]직관적으로, 수축 가능한 공간은 그 공간 내의 한 지점까지 연속적으로 축소될 수 있는 공간이다.

특성.

계약 가능한 공간은 정확히 점의 호모토피 타입을 가진 공간이다.계약 가능한 공간의 모든 호모토피 집단은 사소한 것이라는 것이 뒤따른다.따라서 서로 다른 호모토피 그룹이 있는 공간은 수축할 수 없다.마찬가지로, 단일 호몰로지(homotophy invariant)는 호모토피 불변성(homotopy invariant)이기 때문에, 계약 가능한 공간의 축소된 호몰로지 집단은 모두 사소한 것이다

위상학적 공간 X의 경우, 다음은 모두 동일하다.

  • X는 계약 가능(즉, ID 맵은 null-homotopic)이다.
  • X는 1점 공간에 해당하는 호모토피다.
  • X 변형은 한 점으로 수축한다.(단, 한 지점까지 강하게 변형되지 않는 수축 가능한 공간이 존재한다.)
  • 모든 공간 Y에 대해, 두 개의 지도 f,g: Y → X는 동음이의어다.
  • 모든 공간 Y에 대해, 지도 f: Y → X는 null-homotopic이다.

X공간의 원뿔은 언제나 수축할 수 있다.따라서 어떤 공간도 계약 가능한 공간에 내장할 수 있다(또한 계약 가능한 공간의 하위 공간이 계약 가능하지 않아도 된다는 것을 보여준다).

더욱이 X의 원뿔에서 X까지의 수축이 존재하는 경우에만 X를 수축할 수 있다.

모든 계약 가능한 공간은 연결되고 간단하게 연결된다.더욱이, 상위 호모토피 집단은 모두 사라지기 때문에, 모든 n space 0에 대해 모든 계약 가능 공간은 n 연결된다.

로컬로 수축할 수 있는 공간

위상학적 공간 X는 한 지점에서 국소적으로 수축할 수 있다. 만약 모든 이웃인 x의 이웃 V가 U에 포함되어 있어서 V의 포함이 U에서는 nulhomotopic이다. 공간은 모든 지점에서 국소적으로 수축할 수 있다면 국소적으로 수축할 수 있다.이 정의는 종종 "기하학 위상학자의 국부적 계약 가능"으로 언급되지만 용어의 가장 일반적인 용어는 다음과 같다.Hatcher의 표준 대수적 토폴로지 텍스트에서 이 정의는 다른 용어가 있지만 "약하게 국소적으로 수축할 수 있다"고 언급된다.

만약 모든 지점이 계약 가능한 이웃들의 지역 기반을 가지고 있다면, 우리는 X가 지역적으로 강하게 계약할 수 있다고 말한다.계약 가능 공간은 반드시 국소적으로 계약할 수 있는 것이 아니며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.예를 들어, 빗 공간은 수축 가능하지만 국소적으로 수축할 수 없다(만약 그렇다면, 빗 공간은 국소적으로 연결되어 있지 않을 것이다).국소적으로 수축 가능한 공간은 모든 n≥ 0에 대해 국소적으로 n-연결된다.특히 국지적으로 단순하게 연결되고, 국지적으로 경로가 연결되며, 국지적으로 연결된다.그 서클은 국지적으로 수축할 수 있지만 수축할 수는 없다.

강한 국부적 계약성은 국부적 계약성보다 엄격히 강한 재산이다; 백범들은 정교하다. 첫 번째는 보르수크와 마주르키에비츠가 그들의 논문 Sur le rétractes absolus indécompositables, C.R.에서 제공한 것이다.아카드. 공상과학.파리 199호(1934년), 110-112호.

어떤 정의가 국부적 계약성의 "표준" 정의인지에 대해서는 일부 이견이 있다. 첫 번째 정의는 특히 역사적으로 기하학적 토폴로지에서 더 일반적으로 사용되는 반면, 두 번째 정의는 위상학적 특성에 관한 "로컬"이라는 용어의 일반적인 용어와 더 잘 들어맞는다.이러한 속성에 대한 결과를 해석할 때는 항상 정의에 주의해야 한다.

예제 및 counterexample

참고 항목

참조

  1. ^ Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
  2. ^ Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.