국소 동형성

수학에서 보다 구체적으로 말하면 국부적 동형성은 국부적(반드시 글로벌한 것은 아니지만) 구조를 직관적으로 보존하는 위상학적 공간 사이의 함수다. $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → Y ${\displaystyle f:X\to$ Y $}$ 이 $f:X\to Y$ (가) 국부적 동형상이라면, $X$ $X$ 은 $X$ Y $.$ ${\displaystyle$ Y $.}$ 국부적 동형상학은 피복 연구에 $Y.$ 사용된다.지역적 동형성의 대표적인 예가 지도를 덮고 있다.

$위상학적$ 공간 $X$ ${\$ $displaystyle$ $X}$ 의 모든 지점이 $Y$ 의 열린 부분 집합에 대해 동형인 인접성을 갖는 $X$ 경우, 위상학적 공간 X {\ $displaystyle$ X $}$ 은 $X$ $국소적$ 으로 동형이다.예를 들어 $치수$ n $n$ 의 $n$ 다지관은 $\mathbb {R} ^{n}.$ . $\mathb {R} ^{n$ 에 대한 로컬 동형이다. $}$

$X$ $X$ 에서 $Y$ , $Y$ 에 $X$ 이르는 로컬 동형성이 $있는$ 경우 $Y,$ , X{\ $displaystyle X}$ 은(는) $Y,$ 로Y ,{\ $displaysty Y}$ 에 대한 동형이지만 $X$ 그 $Y,$ 반대가 항상 참인 것은 아니다.예를 $\mathbb {R} ^{2},$ 들어, 다지관으로서 2차원 구체는 평면 $\mathbb {R} ^{2},$ $\mathbb {R} ^{2},$ , ${\displaystyle \mathb {R}^{$ 2}에 $\mathbb {R} ^{2},$ 국소적으로 동형이지만 국소 동형체 S $S^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ → $S^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ $S^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ${\$ \mathb {R} $^{$ 2 $S^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$

형식 정의

$X$ $X$ 및 $Y$ $Y$ 을(를) 위상학적 공백으로 $Y$ 두십시오.A기능 f:XY→{\displaystyle f:X\to Y}지역 homeomorphism[1]모든 지점에 대해)∈ X{\displaystyle Xx\in} 개집합 U{U\displaystyle}x을 포함하는, 존재하{\displaystyle x}가 f(U){\displaystyle f(U)}Y{Y\displaystyle}과 제한에 열려 있는 자신의 이미지였다. ${\displaystyle$ $U\to f(U)}$ 은 $f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)$ (각각 하위 공간 토폴로지를 $U$ $U$ 및 $f(U)$ $f(U)$ ) $f(U)$ 에서 사용한다). $f(U)$

예제 및 충분한 조건

모든 동형태는 지역 동형이다.

$U$ $U$ 이 $U$ (가) 하위 공간 토폴로지가 장착된 $Y$ $Y$ $Y$ 의 열린 하위 집합인 경우 포함 맵 $i:U\to Y$ : $i:U\to Y$ → Y ${\displaystyle i:$ $U\to$ Y $}$ 은 $i:U\to Y$ (는) 지역적 동형상이다. $Y$ {\displaystyle Y $}$ 의 비개방 부분 집합의 포함 지도가 결코 $Y$ 국소 동형성을 산출하지 않기 때문에 여기서 $X$ ${\displaystyle X$ $}$ 에서 여는 부분 $U$ $집합$ U ${\displaystyle$ U $}$ 은 필수적이다 $X$ .

If $f:\mathbb {R} \to S^{1}$ is defined by $f(t)=e^{it},$ so that geometrically, this map wraps the real line around the circle, then $f:\mathbb {R} \to S^{1}$ is a local homeomorphism but not a homeomorphism. $f:S^{1}\to S^{1}$ : $f:S^{1}\to S^{1}$ $f:S^{1}\to S^{1}$ → $f:S^{1}\to S^{1}$ 1 ${\$ $S^{1}\to S^{1}}$ is the map with $f(z)=z^{n}$ that wraps the circle around itself $n$ times (i.e. has winding number $n$ ), then this is a local homeomorphism for all non-zero $n,$ but a homeomorphism only in the cases where it is bijec $tive$ , 즉 n $n$ 이 $n$ $1$ (가) 1 ${\displaystyle$ 1 $} 또는$ $-1.$ - 1 $-1.$ 인 경우

앞의 두 예를 일반화하면, 모든 커버 맵은 국부적 동형상이다. 특히 유니버설 커버 p $p:C\to Y$ : $p:C\to Y$ → $p:C\to Y$ ${\displaystyle p:$ 공간 $Y$ {\ $displaystyle Y}$ 의 $p:C\to Y$ $C\to$ Y $}$ 은 $Y$ (는) 국소 동형상이다.어떤 상황에서는 그 반대가 진실이다.예를 들어, $p:X\to Y$ : $p:X\to Y$ → $p:X\to Y$ ${\displaystyle p:X\to$ Y $}$ 이 $p:X\to Y$ (가) 두 Hausdorff 공간 사이의 적절한 국부적 동형상이고, $Y$ {\ $displaystyle Y}$ 도 국소적으로 압축되어 있다면 $Y$ , $p$ {\ $displaystyle p}$ 은 커버 맵이다 $p$ .

$f:X\to Y$ 동형체 f $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ ${\displaystyle f:X\to$ Y $}$ 이(가) 존재하는데, 여기서 $Y$ $Y$ 은 $Y$ (는) 하우스도르프 공간이고 $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 은 $X$ (는) 공간이 아니다. $X=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim ,$ 를 $X=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim ,$ 들어 $X=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim ,$ 두 $X=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim ,$ 의 리얼의 분리 결합에서 $\sim$ 동등성 관계 $\sim$ ~ ${\displaystyle$ $X=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim ,$ X $=\left(\mathb {R}\sqcup$ \ $sqcup$ \ $mathb {R}$ $\sim$ \ $right)/\sim }$ 이(가 $)$ 첫 번째 복사본의 모든 음의 실제를 해당하는 음의 실제와 동일하다고 가정해 보십시오 $X=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim ,$ 두 번째 사본 $0$ $0$ 의 두 복사본은 식별되지 $0$ 않으며, 해체된 이웃이 없으므로 $X$ $X$ 은 하우스도르프가 아니다 $X$ .자연지도 $f:X\to \mathbb {R}$ : $f:X\to \mathbb {R}$ → $f:X\to \mathbb {R}$ ${\$ 이 $f:X\to \mathbb {R}$ (가) 국부적 동형상임을 쉽게 확인한다.만약 베≥ 0{\displaystyle y\geq 0}과 하나의 요소 만약 베<>f− 1({y}){\displaystyle f^{)}(){y\})}그 조직;0.{\displaystyle y<02의 원소가 있다.}마찬가지로, 하나의 지역 homeomorphisms f를 건설하기 위해:여기서 X{X\displaystyle}은 하우스 도르프, Y{년 XY→{\displaystyle f:X\to Y}가능하다. $displaystyle Y}$ is not: pick the natural map from $X=\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R}$ to $Y=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim$ with the same equivalence relation $\sim$ as above.

복합 분석에서는 복합 $f:U\to \mathbb {C}$ f : $f:U\to \mathbb {C}$ → C ${\$ f $:$ $U\to \mathbb {C} }$ (where $U$ is an open subset of the complex plane $\mathbb {C}$ ) is a local homeomorphism precisely when the derivative $f^{\prime }(z)$ is non-zero for all $z\in U.$ The function ${\displ$ $0$ $0$ 전후에 열린 디스크의 $f(x)=z^{n}$ $aystyle$ f $(x)=z^{n}$ 는 $0$ n $n\geq 2.$ 2. $n\geq 2.$ {\ $displaystyle n\geq$ 2 $.}$ 의 $0$ $n\geq 2.$ $경우$ 0 ${\displaystyle$ 0 $}$ 은 $0$ "ramification"(직관적으로 $n$ ${\displaystystyle n}$ 시트가 함께 $n$ 온다)의 지점이다.

역함수 정리를 사용하면 $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ 으로 다른 함수 $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ : U $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ → $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\$ $U\to \mathbb {R} ^{n}}$ (where $U$ is an open subset of $\mathbb {R} ^{n}$ ) is a local homeomorphism if the derivative $D_{x}f$ is an invertible linear map (invertible square matrix) for every $x\in U.$ (The converse is false, as로컬 동형상 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ : $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ → $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\$ $f(x)=x^{3}$ ) $f(x)=x^{3}$ = $f(x)=x^{3}$ $f(x)=x^{3}$ ${\$ 로 표시됨. $f(x)=x^{3}$ 유사한 조건은 서로 다른 다지관 사이의 지도에 대해 공식화될 수 있다.

$f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ ${\displaystyle f:X\to$ Y $}$ 은(는) Baire 공간이고 $X$ $Y$ $Y$ 은(는) 정상 공간인 $Y$ 두 개의 Hausdorff 두 번째 계산 가능한 공간 사이의 연속적인 열린 추론이라고 $f:X\to Y$ 가정하십시오.If every fiber of $f$ is a discrete subspace of $X$ (which is a necessary condition for $f:X\to Y$ to be a local homeomorphism) then $f$ is a $Y$ -valued local homeomorphism on a dense open subset of ${\displaysty$ $O=O_{f}$ $X.}$ 이 문장의 결론을 명확히 하기 위해 $X.$ O $f{\big \vert }_{O}:O\to Y$ = $O=O_{f}$ $f{\big \vert }_{O}:O\to Y$ ${\$ ${f$ $}}}$ 을(를) $f{\big \vert }_{O}:O\to Y$ $X$ 의 $X$ ( $유일한$ ) 가장 큰 오픈 서브셋이 되도록 $O=O_{f}$ 한다 $.$ $O\to$ Y $}$ 은 $f{\big \vert }_{O}:O\to Y$ (는) 지역적 동형상이다.^{[note 1]}If every fiber of $f$ is a discrete subspace of $X$ then this open set $O$ is necessarily a dense subset of $X$ (which then implies, in particular, that $O\neq \varnothing$ when $X\neq \varnothing$ $X\neq \varnothing$ . 특히 이산 섬유가 있는 완전히 메트리징 가능한 두 번째 계산 가능 공간 사이의 $f$ 모든 연속 개방 $돌출$ f $f$ 은 국소 동형( $O_{f}$ {\ $O_{f}$ O_ ${f}})$ 이다 $O_f$ (위상호학적 의미에서 Of ${\$ {f}는 그 영역의 밀도 높은 개방 부분 집합이다.For example, if the continuous open surjection $f:\mathbb {R} \to [0,\infty )$ is defined by the polynomial $f(x)=x^{2}$ then the maximal open subset $O=O_{f}$ from this theorem is ${\displaystyle O=\mathbb {R$ $} \setminus \{0\};}$ 이 예는 $O=\mathbb {R} \setminus \{0\};$ O $O$ 이 $O$ $f$ 가 $)$ f {\ $displaystyle f}$ 의 도메인의 적절한 밀도 하위 집합일 수도 있음을 보여준다.모든 비정규 다항식의 섬유는 유한하기 때문에(따라서 이산형, 심지어 콤팩트형 아공간까지), 이 예는 그것이 유도한 매핑이 오픈맵일 때마다 그러한 다항식에 일반화된다. 그리고 만약 그것이 오픈맵이 아니라면, 그럼에도 불구하고 doma를 선택하여 정리(아마도 여러 번)를 적용하는 것은 여전히 간단하다.지도에 대한 현지 최소값/최대값의 적절한 고려에 기초하여.

특성.

모든 지역적 동형상주의는 연속적이고 개방적인 지도다.그러므로 편향적인 지역적 동형주의는 동형상이다.

로컬 동형상주의 $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ ${\displaystyle f:X\to$ Y $}$ 의 모든 섬유는 도메인 $X$ . $X.$ 의 개별 하위 공간이다 $f:X\to Y$ .

$f$ $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ 이 $f:X\to Y$ $($ 가) 로컬 동형상이고 U ${\displaystyle$ X $,}$ 의 열린 부분 집합인 $U$ 경우 제한 $X,$ $f{\big \vert }_{U}:U\to Y$ : $f{\big \vert }_{U}:U\to Y$ → $f{\big \vert }_{U}:U\to Y$ ${\displaystyle$ f ${\big$ \ $vert}{U}:$ $U\to Y}$ 도 $f{\big \vert }_{U}:U\to Y$ 국부적 동형상이다.

두 국소 동형성의 구성은 국소 동형상( $f:X\to Y$ : X $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ ${\displaystyle f:X$ 및 g $g:Y\to Z$ : $g:Y\to Z$ → $g:Y\to Z$ ${\displaystyle g:$ $Y\to Z}$ 은 $g:Y\to Z$ 국부적 동형상이다. $g\circ f:X\to Z$ 구성 $g\circ f:X\to Z$ $g\circ f:X\to Z$ f $g\circ f:X\to Z$ : X $g\circ f:X\to Z$ $g\circ f:X\to Z$ $g\circ f:X\to Z$ 도 $g\circ f:X\to Z$ 국부적 동형상이다.

$f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ 이(가) 연속인 $f:X\to Y$ 경우 $g:Y\to Z$ : $g:Y\to Z$ → Z ${\displaystyle g:$ $Y\to Z}$ 은 $g:Y\to Z$ $g\circ f:X\to Z$ 동형이며, $g\circ f:X\to Z$ $g\circ f:X\to Z$ f $g\circ f:X\to Z$ : X $g\circ f:X\to Z$ → $g\circ f:X\to Z$ $g\circ f:X\to Z$ 은 $g\circ f:X\to Z$ 국부적 동형성, 그렇다면 f {\ $displaystyf f}$ 도 $f$ 국부적 동형성이다 $.$

국소 동형상 $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ 은(는) "로컬" 위상학적 특성을 양방향으로 전송한다 $f:X\to Y$ .

$f(X)$ $X$ 이(가) f $f(X)$ ( $f(X)$ $f(X)$ 인 $f(X)$ 경우에만 로컬로 연결됨 $X$ ;
$f(X)$ $X$ 은(는) f $f(X)$ ( $f(X)$ ) $f(X)$ 인 $f(X)$ 경우에만 로컬 경로로 연결됨 $X$ ;
$f(X)$ $X$ 은(는) f $f(X)$ ( $f(X)$ ) $f(X)$ 인 $f(X)$ 경우에만 로컬로 압축됨 $X$ ;
$X$ $X$ 은(는) $f(X)$ ( $f(X)$ ) $f(X)$ 인 $f(X)$ 경우에만 먼저 카운트할 수 있다 $X$ .

위에서 지적한 바와 같이 하우스도르프 속성은 이런 의미에서 국부적인 것이 아니며 국부적인 동질성에 의해 보존될 필요가 없다.

코도메인 $Y$ $Y$ 이(가) 있는 국소 동형체는 $Y;$ ${\displaystyle$ Y $;}$ 에 있는 집합 집합과 일대일 자연적으로 일치한다 $Y$ . 이 대응은 $Y;$ 사실상 범주의 동등하다.또한 코도메인 $Y$ ${\displaystyle$ Y $}$ 이(가) 있는 모든 연속 지도는 코도메인 $Y$ ${\displaystyle$ Y $}$ 이(가) 자연적으로 정의된 $Y$ 지역적 동형성을 발생시킨다 $Y$ .이 모든 것이 셰이브에 관한 기사에 자세히 설명되어 있다.

일반화 및 유사 개념

국소적 동형상주의 사상은 위상학적 공간의 그것과는 다른 기하학적 설정으로 공식화될 수 있다.차별화 가능한 다지관의 경우, 우리는 국부적인 차이점형식을 얻는다; 체계상의 경우, 우리는 형식적인 에탄 형태형과 에탄 형태형을 가지고 있다; 그리고 상상의 경우, 우리는 에탄 기하학적 형태형을 얻는다.

참고 항목

동형성 – 위상에서의 이형성(수학)
국소차동형성

메모들

^ $f$ $f$ 에 대한 가정은 $f{\big \vert }_{U}:U\to Y$ $O=O_{f}$ = $O=O_{f}$ $O=O_{f}$ ${\$ 이 $O=O_{f}$ (가) $f{\big \vert }_{U}:U\to Y$ : $f{\big \vert }_{U}:U\to Y$ → Y $f{\big \vert }_{U}:U\to Y$ {\ $displaystyle$ f{\ $big \vert }{U}$ 의 $X$ $모든$ 개방형서브셋 U {\ $displaystystyle$ X}의 $U$ 과같다는 것을 의미한다 $f$ . $U\to Y}$ 는 $f{\big \vert }_{U}:U\to Y$ 주입식 맵이다.Also, the set $O$ is potentially empty without the assumption that $f$ 's fibers are discrete, as this example shows: Consider the continuous open surjection $f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ defined by ${\displaystyle$ $f(x,y)=x.}$ $f(x,y)=x.$ The set $O=O_{f}$ for this map is the empty set; that is, there does not exist any non-empty open subset $U$ of $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ for which the restriction ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:$ $U\to \mathb {R}은($ 는) 주입식 맵이다 $f{\big \vert }_{U}:U\to \mathbb {R}$ .