개방형 및 폐쇄형 지도

수학에서, 보다 구체적으로 말하면, 오픈 맵은 오픈 세트를 오픈 세트에 매핑하는 두 개의 토폴로지 공간 사이의 함수다.^[1]^[2]^[3]That is, a function $f:X\to Y$ is open if for any open set $U$ in $X,$ the image $f(U)$ is open in $Y.$ Likewise, a closed map is a function that maps closed sets to closed sets.^[3]^[4]지도는 개방, 폐쇄, 둘 다 또는 둘 다일 수 있다.^[5] 특히, 개방된 지도를 닫을 필요가 없고, 그 반대의 경우도 마찬가지다.^[6]

열린^[7] 지도와 닫힌^[8] 지도가 반드시 연속되는 것은 아니다.^[4]또한 연속성은 일반 사례에서 개방성과 폐쇄성과는 무관하며 연속적인 기능은 둘 다 또는 둘 다 소유할 수도 있고 둘 다 소유할 수도 없다.^[3] 이러한 사실은 미터법 공간에 자신을 제한하더라도 그대로 유지된다.^[9]비록 그들의 정의가 더 자연스러워 보이지만, 열린 지도와 닫힌 지도는 연속적인 지도보다 훨씬 덜 중요하다. $Y$ 에 따라 $모든$ Y ${\$ $displaystyle$ $Y}$ 의 열린 세트의 사전 이미지가 $X$ . ${\displaystyle X$ $}$ 에 열려 있는 $Y$ 경우 f $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → Y ${\displaystyle$ $f:X\to Y}$ 함수가 연속적이라는 $f:X\to Y$ $Y$ 점을 기억하십시오. $X.$ ^[2]

오픈 맵에 대한 초기 연구는 시미온 스토일로우와 고든 토마스 와우번에 의해 개척되었다.^[10]

정의 및 특성화

$S$ $S$ 이 $S$ (가) 위상학적 공간의 하위 집합인 경우 ${\overline {S}}$ 의 ${\$ { $S}$ 및 ${\overline {S}}$ $\operatorname {Cl} S$ cl $\operatorname {Cl} S$ ${\displaysty \operatorname {Cl}S}($ resp)를 두십시오. $\operatorname {Int} S$ $\operatorname {Int} S$ S $\operatorname {Int$ S $\operatorname {Int} S$ 는 해당 $S$ 공간에서 $S$ $S$ 의 닫힘(resp. internal)을 나타낸다. $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ 을(를) 위상학적 공간 사이의 함수가 되도록 $f:X\to Y$ 한다. $S$ $S$ 이 $S$ ( $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ ) 설정된 경우 $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ ( S $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ ) $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ { $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ ( s $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ ) $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ : $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ ⁡ f $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ ${\$ $=\\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}}}}$ 은 $($ 는) f.{\ $displaystyle$ f $아래$ 에 $S$ 있는 $S$ ${\\displaystyle S}$ 의 이미지로 불린다 $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ . $}$

경쟁 정의

널리 사용되는 "오픈 맵"의 정의는 서로 다르지만 밀접하게 연관되어 있으며, 여기서 두 정의 모두 "오픈 세트로 오픈 세트를 보내는 맵"으로 요약할 수 있다.다음의 용어는 때때로 두 가지 정의를 구별하기 위해 사용된다.

지도 $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → Y ${\displaystyle f:X\to$ Y $}$ 라고 $f:X\to Y$ 한다.

$U$ $U$ 이 $U$ (가) $도메인$ X $X$ 의 $X$ 열린 부분 집합일 때마다 $f(U)$ $f(U)$ ${\displaystyle$ f $(U)}$ 이 $f$ 가) $f$ $Y$ 의 열린 부분 집합일 $f(U)$ 경우 "강력하게 열린 맵"
".mw-parser-output .vanchor&gt은 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}상대적으로 열린 지도"이 도메인 X를 가둘 때마다 U{U\displaystyle}은 개방되어 부분 집합{X\displaystyle} 다음 f(U){\displaystyle f(U)}은 f{\displaystyle f}의 이미지의 개방된 부분 집합이 나는 ⁡ f:=f(X),{\displaystyle \operatorna.나 f:평소처럼, 이것은 부분 공간 위를 타고나세트 =f(X),}{나는}. $f$ $f$ 의 $f$ 코도메인 $Y .$ {\ $displaystyle Y.}$ 에 의해 유도된 gology.

허탈적 지도는 그것이 강하게 열리는 경우에만 상대적으로 개방적이다. 따라서 이 중요한 특별한 경우에 있어서 정의는 동등하다.보다 일반적으로 지도 $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → Y ${\displaystyle f:$ $f:X\to \operatorname {Im} f$ $\to Y}$ 은(는) $f:X\to \operatorname {Im} f$ f $f:X\to \operatorname {Im} f$ : X $f:X\to \operatorname {Im} f$ → $f:X\to \operatorname {Im} f$ $f:X\to \operatorname {Im} f$ $f:X\to \operatorname {Im} f$ $f:X\to \operatorname {Im}f$ 이 $f:X\to \operatorname {Im} f$ (가) 강력하게 열린 지도일 경우에만 비교적 개방된 지도다 $f:X\to Y$ .

경고:많은 저자들이 "열린 지도"를 "상대적으로 열린 지도"(예: 수학 백과사전)를 의미하는 것으로 정의하고, 다른 저자들은 "열린 지도"를 "강력하게 열린 지도"를 의미하는 것으로 정의한다.일반적으로 이러한 정의는 동등하지 않기 때문에 작가가 사용하고 있는 "오픈 맵"의 정의는 항상 확인하는 것이 바람직하다.

강력하게 열려 있는 모든 지도는 비교적 개방된 지도다.And because $X$ is always an open subset of $X,$ the image $f(X)=\operatorname {Im} f$ of a strongly open map $f:X\to Y$ must be an open subset of $Y.$ However, a relatively open map ${\d$ $isplaystyle f:X\to Y$ $}$ 은(는) 해당 $\operatorname {Im} f$ Im $\operatorname {Im} f$ {\ $displaystyle \operatorname {Im}$ 이(가) $코도메인$ Y. $Y$ 의 열린 부분 집합인 $\operatorname {Im} f$ 경우에만 강력하게 열린 맵입니다 $f:X\to Y$ . 요약하면 $Y.$ ,

지도가 비교적 개방되어 있고 그 이미지가 코도메인의 개방된 부분 집합인 경우에만 지도가 강하게 열린다.

이 특성화를 사용함으로써, 다른 정의와 관련된 상황에 "오픈 맵"의 이 두 정의 중 하나를 포함하는 결과를 적용하는 것이 종종 간단하다.위의 논의는 "open"이라는 단어의 각 인스턴스를 "closed"라는 단어로 대체하는 경우 닫힌 지도에도 적용된다.

지도 열기

지도 $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → Y $f:X\to Y$ 은 $f:X\to Y$ (는) 다음과 같은 동등한 조건 중 하나를 만족하는 경우 개방형 지도 또는 강력하게 열린 지도라고 불린다.

정의: $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → Y ${\displaystyle f:X\to$ Y $}$ 맵은 $f:X\to Y$ 해당 도메인의 하위 집합을 열기 위해 하위 집합을 열 수 있다 $.$ $즉$ , X ${\displaystyle X$ $f(U)$ ( $f(U)$ ) $f(U)$ {\ $displaystyle f(U)}$ 의 $U$ 모든 열린 하위 집합 $U$ {\ $displaystysty Y}$ 의 $f(U)$ 경우.
$f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ 은 $f:X\to Y$ (는) 비교적 열린 맵이며 그 이미지 $\operatorname {Im} f:=f(X)$ im f $\operatorname {Im} f:=f(X)$ ( $\operatorname {Im} f:=f(X)$ ) ${\displaysty \operatorname {Im}$ f $:=f(X)}$ 은(는) 코도메인 $Y$ .{\ $displaystysty$ Y $.}$ 의 열린 하위 집합이다 $\operatorname {Im} f:=f(X)$ .
$x\in X$ $x\in X$ $x\in X$ X ${\$ $displaystyle$ $x$ $\$ $in X}$ 및 $x$ $이웃$ N ${\$ $displaystyle$ $N$ $}($ $x$ 하지만 작음)에 $N$ 대해, $V\subseteq f(N).$ $f(x)$ $V\subseteq f(N).$ $V\subseteq f(N).$ ( $V\subseteq f(N).$ ) $V\subseteq f(N).$ . ${\displaystyle V\subseteq f(N$ $)}$ 의 $V$ $f(x)$ 인접 V ${\displaystystystyleyle V}$ 이 존재한다 $.$ $}$
- 이 성명에서 "이웃집"이라는 단어의 어느 한 예는 "열린 동네"로 대체될 수 있으며, 그 결과로 만들어진 문장은 여전히 강하게 열린 지도의 특성을 나타낼 것이다.
$f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {Int} _{Y}(f(A))$ for all subsets $A$ of $X,$ where $\operatorname {Int}$ denotes the topological interior of the set.
$C$ $C$ 이 $C$ (가) $X$ ${\$ $displaystyle$ $X}$ 의 닫힌 $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ 집합일 때마다 $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ { $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ Y $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ : $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ - $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ ( y $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ ) $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ } ${\$ Y $~:~f^{-1}(y)\subseteq C\rig}}}$ 집합은 $X$ Y $}$ 의 닫힌 부분 집합이다 $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ $.$
- 이는 ID $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ R $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ ) $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ = $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ { $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ : $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ - $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ ( $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ ) $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ ${\displaystyle f(X\setminus$ R $)=$ 의 결과물이다. $R\subseteq X.$ 하위 집합 $R\subseteq X.$ X . ${\displaystyle R\subseteq$ $X$ $.}$ 을 $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ (를) 유지하는 $Y:f^{-1(y)\subseteq$ $R$ $\right\}}.$

${\mathcal {B}}$ B ${\$ {\ $mathcal{B}}$ 이( $X$ )X {\ $displaystyle$ X $}$ 의 $X$ 기본이라면 다음 항목을 이 목록에 추가할 수 있다.

$f$ $f$ 은(는) $B\in {\mathcal {B}},$ 의 열린 집합에 기본 열린 집합을 매핑한다 $f$ (즉, 모든 기본 열린 집합 $B\in {\mathcal {B}},$ $B\in {\mathcal {B},$ $f(B)$ ( ${\$ $displaystyle f$ $(B$ $)}$ 은 $f(B)$ $Y$ 의 열린 부분 집합이다 $).$

닫힌 지도

A map $f:X\to Y$ is called a relatively closed map if whenever $C$ is a closed subset of the domain $X$ then $f(C)$ is a closed subset of $f$ 's image ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X$ $})}($ 일반적으로 $\operatorname {Im} f:=f(X),$ 이 집합에는 $f$ $f$ 의 $f$ 코드체인 $Y .$ $Y.$ 에 의해 유도된 하위 공간 토폴로지가 부여된다.

지도 $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → Y $f:X\to Y$ 은 $f:X\to Y$ (는) 다음과 같은 동등한 조건 중 하나를 만족하면 폐쇄 지도 또는 강력하게 폐쇄된 지도라고 한다.

정의: $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → Y $f:X\to Y$ 도메인의 닫힌 부분 집합을 코도메인의 닫힌 부분 $C$ 에 매핑 $f:X\to Y$ $.$ 즉, X , {\ $displaystyle$ X $f(C)$ $X,$ $f(C)$ $,$ {\ $displaystyle$ f $(C)}$ 의 $C$ 모든 닫힌 부분 집합에 대해,{\ $displaysty$ y $}$ 의 닫힌 부분 집합이다 $f(C)$ .
$f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → Y $f:X\to Y$ 은 $f:X\to Y$ (는) 상대적으로 폐쇄된 지도이며 그 이미지 $\operatorname {Im} f:=f(X)$ f $\operatorname {Im} f:=f(X)$ := $\operatorname {Im} f:=f(X)$ ) $\operatorname {Im} f:=f(X)$ {\ $displaysty \operatorname {Im} f:=f(X)}$ 는 코도메인 $Y$ . ${\displaystysty Y.}$ 의 폐쇄된 하위 집합이다 $\operatorname {Im} f:=f(X)$ .
${\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)$ ( ${\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)$ 의 f ${\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)$ ( $){\$ 모든 ${\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)$ $A\subseteq X.$ 집합 $A\subseteq X.$ ${\displaystyle A.$ {\ $subseteq$ X $.}$
${\overline {f(C)}}\subseteq f(C)$ ( ${\overline {f(C)}}\subseteq f(C)$ ) ${\overline {f(C)}}\subseteq f(C)$ ${\overline {f(C)}}\subseteq f(C)$ ( ${\overline {f(C)}}\subseteq f(C)$ C ${\overline {f(C)}}\subseteq f(C)$ ) ${\overline{f(C)}}\subseteq f(C)$ 은(는) 모든 $C\subseteq X.$ 부분 집합 C $.$ X. {\ $displaystyle$ C\ $subseteq$ X $.}$ 에 ${\overline {f(C)}}\subseteq f(C)$ 대해.
${\overline {f(C)}}=f(C)$ ( ${\overline {f(C)}}=f(C)$ ) ${\overline {f(C)}}=f(C)$ = ${\overline {f(C)}}=f(C)$ ( ${\overline {f(C)}}=f(C)$ ) ${\displaystyle {\displaystyle {$ f $(C)}}=f(C)}$ 은(는) 모든 닫힌 부분 집합 $C\subseteq X.$ . $C\subseteq X.$ $C\subseteq X.$ . {\ $displaystyle C\subseteq$ X $.}$ 에 ${\overline {f(C)}}=f(C)$ 대해.
$U$ $U$ 이 $U$ (가) X ${\$ $displaystyle$ $X}$ 의 열린 부분 집합일 $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}$ 마다 $X$ $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}$ { y $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}$ $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}$ : f $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}$ - $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}$ ( $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}$ ) $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}$ $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}$ } ${\$ ~ $f^{-1}(y)\subseteq U\right}}$ 집합은 Y $}$ 의열린 $부분$ $집합이다$
If $x_{\bullet }$ is a net in $X$ and $y\in Y$ is a point such that $f\left(x_{\bullet }\right)\to y$ in $Y,$ then $x_{\bullet }$ converges in $X$ 설정 $f^{-1}(y).$ - $f^{-1}(y).$ ( $f^{-1}(y).$ ) $f^{-1}(y).$ . ${\displaystyle$ f $^{-11}(y).$ $}$
- The convergence $x_{\bullet }\to f^{-1}(y)$ means that every open subset of $X$ that contains $f^{-1}(y)$ will contain $x_{j}$ for all sufficiently large indices $j.$

굴절적 지도는 비교적 폐쇄된 경우에만 강력하게 폐쇄된다.그래서 이 중요한 특별한 경우에 있어서, 두 정의는 동등하다.정의상, $f:X\to \operatorname {Im} f$ $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ ${\displaystyle f:$ $f:X\to \operatorname {Im} f$ $\to Y}$ 은(는) 돌출 f $f:X\to \operatorname {Im} f$ : X $f:X\to \operatorname {Im} f$ → $f:X\to \operatorname {Im} f$ $f:X\to \operatorname {Im} f$ f $f:X\to \operatorname {Im}f$ 이 $f:X\to \operatorname {Im} f$ (가) 강력하게 닫힌 지도인 경우에만 상대적으로 닫힌 지도다 $f:X\to Y$ .

"연속 지도"("열린 세트의 모든 프리이미지가 열려 있다"라는 문구)의 오픈 세트 정의에서 "열림"이라는 단어의 두 인스턴스를 모두 "폐쇄"로 대체하면 결과 문("폐쇄된 세트의 프리이미지는 모두 닫힘")은 연속성과 동등하다.결과("폐쇄된 집합의 모든 이미지는 닫힌다")는 문장이 일반적으로 개방성과 동등하지 않은 "폐쇄된 지도"의 정의이기 때문에 "개방형 지도"("개방형 세트의 모든 이미지는 열려 있다")의 정의에서는 이런 일이 발생하지 않는다.닫히지 않은 개방형 지도가 존재하고, 열리지 않는 폐쇄형 지도도 존재한다.This difference between open/closed maps and continuous maps is ultimately due to the fact that for any set $S,$ only $f(X\setminus S)\supseteq f(X)\setminus f(S)$ is guaranteed in general, whereas for preimages, equality $f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)$ $f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)$ $f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)$ ( $f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)$ ) ${\displaystyle$ f $^{-1}(Y\setminus$ S $)=f^{-1}(Y$ )\ $setminus$ f $^{-1}(S)}$ 은(는) 항상 $f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)$ 유지된다.

예

$f(x)=x^{2}$ ) $f(x)=x^{2}$ = x $f(x)=x^{2}$ ${\$ ^{2}}에 의해 정의된 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ \ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${$ } \ $to$ \ $mathb$ {R} $f(x)=x^{2}$ $\to \mathb {R}$ \to $\$ to \computerstate f(x)=x^{2 $}$ 함수는 연속적이고 $f(x)=x^{2}$ 폐쇄적이며, 상대적으로 개방되지 않는다.This is because if $U=(a,b)$ is any open interval in $f$ 's domain $\mathbb {R}$ that does not contain $0$ then ${\displaystyle f(U)=(\min\{a^{2},b^{2}\},\max\{a^{2$ $}},b^{2}\}),$ 여기서 $f(U)=(\min\{a^{2},b^{2}\},\max\{a^{2},b^{2}\}),$ 이 열린 $\mathbb {R}$ 은 R $\mathbb {R}$ {\ $displaystyle \mathb {R}}$ 및 $\mathbb {R}$ $\operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).$ f $\operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).$ := $\operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).$ ) = $\operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).$ [ 0 $\operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).$ $\operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).$ ) $\operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).$ . ${\displaysty \operatorname {Im} f:=f(\mathb {R} )=[0, 덩치]$ 의 열린 부분 집합이다. $}$ However, if $U=(a,b)$ is any open interval in $\mathbb {R}$ that contains $0$ then $f(U)=[0,\max\{a^{2},b^{2}\}),$ which is not an open subset of $f$ 's codomain $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ but is an open subset of $\operatorname {Im} f=[0,\infty ).$ Because the set of all open intervals in $\mathbb {R}$ is a basis for the Euclidean topology on $\mathbb {R} ,$ this shows that ${\displa$ $ystyle f:\mathb {R} \to \mathb {R}}$ 은(는 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ) 상대적으로 열려 있지만(강력하게) 열려 있지 않다.

$Y$ $Y$ 에 이산 위상(즉, 모든 하위 집합이 개방 및 닫힘)이 있는 $Y$ 경우, 모든 $f:X\to Y$ f : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ {\ $displaystyle f:X\to$ Y $}$ 은(필수적으로 연속되지는 않음)과 $f:X\to Y$ 닫힘이다.예를 들어, $\mathbb {R}$ ${\$ 에서 $\mathbb {R}$ Z ${\$ 까지 바닥 함수는 열림과 닫힘이지만 $\mathbb {Z}$ 연속은 아니다.이 예는 개방된 지도나 폐쇄된 지도 아래 연결된 공간의 이미지를 연결할 필요가 없음을 보여준다.

위상학적 공간 $X=\prod X_{i},$ = $X=\prod X_{i},$ $X=\prod X_{i},$ i $X=\prod X_{i},$ , ${\displaystyle$ X $=\prod X_{i}}}$ 자연 $X=\prod X_{i},$ 투영 $p_{i}:X\to X_{i}$ : $p_{i}:X\to X_{i}$ → $p_{i}:X\to X_{i}$ i ${\$ $X\to X_{i}}$ 이 $p_{i}:X\to X_{i}$ (가) 열려^[12]^[13] 있음(연속적일 뿐 아니라)섬유다발 투영과 표지 지도는 국지적으로 자연적으로 투영된 제품이기 때문에, 이것들 또한 개방형 맵이다.그러나 투영을 닫을 필요는 없다.Consider for instance the projection $p_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ on the first component; then the set $A=\{(x,1/x):x\neq 0\}$ is closed in $\mathbb {R} ^{2},$ but ${\d$ $isplaystyle p_{1}(A)=\mathb {R} \setminus \{0$ $\}}$ 은(는) R $\mathbb {R} .$ ${\displaystyle$ $X\times Y\to X$ $mathb {R}$ 에서 닫히지 않지만 $p_{1}(A)=\mathbb {R} \setminus \{0\}$ $\mathbb {R} .$ , 소형 공간 Y의 $경우$ $,$ $투영$ X × Y → $X$ $X\times Y\to X$ {\ $displaystystyle X\time$ Y $\to$ X $}$ 은 $Y,$ 닫힌다 $X\times Y\to X$ .이것은 본질적으로 튜브 보조정리 입니다.

$단위$ 원의 모든 지점에 양극 x $x$ 축의 $x$ 각도를 점과 원점을 연결하는 레이와 연결할 수 있다.단위 원으로부터 반개방 간격[0,2π]까지의 이 기능은 비주사적이고 개방적이며 폐쇄적이지만 연속적이지 않다.그것은 열린 지도나 닫힌 지도 아래 콤팩트한 공간의 이미지가 콤팩트할 필요가 없음을 보여준다.또한 이것을 단위 원부터 실제 숫자에 이르는 함수로 간주하면, 개방적이지도 폐쇄적이지도 않다는 점에 유의한다.코도메인을 특정하는 것은 필수적이다.

충분한 조건

모든 동형질성은 개방적이고 폐쇄적이며 연속적이다.사실, 생물연속 지도는 개방된 경우에만, 또는 균등하게, 폐쇄된 경우에 한해서만 동형이다.

두 개의 (강력하게) 열린 지도의 구성은 열린 지도, 두 개의 (강력하게) 닫힌 지도의 구성은 닫힌 지도의 구성이다.^[14]^[15]그러나 비교적 개방된 두 지도 구성은 비교적 개방적일 필요가 없으며, 이와 유사하게 비교적 폐쇄된 두 지도 구성은 비교적 폐쇄적일 필요가 없다. $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ 이(가) 강하게 열려 있는 $f:X\to Y$ $g:Y\to Z$ 및 g $g:Y\to Z$ : $g:Y\to Z$ → Z ${\displaystyle g:$ $Y\to Z}$ 이 $g:Y\to Z$ (가) 상대적으로 열려 있고(존중, 상대적으로 닫혀 있음), g $g\circ f:X\to Z$ $g\circ f:X\to Z$ : $g\circ f:X\to Z$ → $g\circ f:X\to Z$ $g\circle f:X\to Z$ 이(가) 상대적으로 $g\circ f:X\to Z$ 열려 있음(가)

$f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ ${\displaystyle f:X\to$ Y $}$ 을(를) 지도로 한다 $f:X\to Y$ . $T\subseteq Y,$ $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ y $f:X\to Y$ $T\subseteq Y,$ , $T\subseteq Y,$ f : X → Y $f:X\to Y$ 이 $f:X\to Y$ (가) 비교적 열린(존중, 비교적 닫힌, 강하게 열린, 강하게 닫힌, 강하게 닫힌, 연속, 굴절적인) 지도라면 $T\subseteq Y,$ , 그 제한에 대해서도 동일하다.

f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T

f

f

- 포화

f

부분 집합

f^{-1}(T).

-

f^{-1}(T).

(

f^{-1}(T).

T

f^{-1}(T).

) .

{\displaystyle f^{-1

}(

T)

에 연결

.

}

오픈 맵 2개의 범주형 합계가 공개되거나 폐쇄 맵 2개가 폐쇄된다.^[15]오픈 맵 2개의 범주형 제품은 개방되어 있지만, 폐쇄형 맵 2개의 범주형 제품은 닫을 필요가 없다.^[14]^[15]

비주사 지도는 닫힌 경우에만 열린다.비주사적 연속 지도의 역은 비주사적 개방/폐쇄 지도(그 반대도)이다.처절하게 열린 지도가 꼭 닫힌 지도는 아니며, 마찬가지로 처절하게 닫힌 지도가 반드시 열린 지도는 아니다.다지관의 모든 좌표도와 모든 표지 지도를 포함한 모든 국소 동형체들은 개방형 지도들이다.

폐쇄형 지도 보조정리 - 콤팩트 공간 $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 에서 $f:X\to Y$ $X$ 하우스도르프 $공간$ Y ${\displaystyle$ $Y$ $}$ 까지의 모든 연속 함수 $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → Y $f:X\to Y$ 는 닫히고 적절하다 $Y$ (컴팩트 세트의 사전 이미지가 콤팩트하다는 의미).

폐쇄형 지도 보조정리 변종에는 국소적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간 사이의 연속적인 기능이 적절하다면 폐쇄도 된다고 명시되어 있다.

복잡한 분석에서 동일한 이름의 개방형 매핑 정리는 복잡한 평면의 연결된 개방형 서브셋에 정의된 모든 비정합성 홀로모르픽 함수를 개방형 맵이라고 명시한다.

영역 정리의 불변성은 두 $n$ 의 n{\ $displaystyle n}$ 차원 $n$ 위상학적 다지관 사이의 연속적이고 국소적인 주입 함수가 열려 있어야 한다고 명시한다.

도메인의 침입 - U ${\displaystyle$ U}이 $($ $\mathbb {R} ^{n}$ ) R n ${\$ {R $} ^{n}$ 및 $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ : $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ → $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\$ $U\to \mathbb {R} ^{n}}$ is an injective continuous map, then $V:=f(U)$ is open in $\mathbb {R} ^{n}$ and $f$ is a homeomorphism between $U$ and $V.$

기능분석에서 개방형 매핑 정리는 Banach 공간 사이의 모든 처절하고 연속적인 선형 연산자는 개방형 맵이라고 명시한다.이 정리는 바나흐만의 공간을 넘어 위상학적 벡터 공간으로 일반화되었다.

A surjective map $f:X\to Y$ is called an almost open map if for every $y\in Y$ there exists some $x\in f^{-1}(y)$ such that $x$ is a point of openness for $f,$ which by definition means that for eve $ry$ open countain $U$ $x,$ $f(U)$ $f(U)$ 은 $f(U)$ Y $Y$ 의 $f(x)$ $f(x)$ $f(U)$ ) ${\displaystystyle$ $f$ $(x)}$ 의 이웃이다( $Y$ 참고 $f(U)$ : $f(U)$ ${\displaysty$ f $($ U $}).$ 모든 절망적인 열린 지도는 거의 열린 지도지만 일반적으로 그 반대가 반드시 사실인 것은 아니다.If a surjection $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ is an almost open map then it will be an open map if it satisfies the following condition (a condition that does not depend in any way on $Y$ 's topology $\sigma$ ):

whenever

m,n\in X

belong to the same fiber of

f

(that is,

f(m)=f(n)

) then for every neighborhood

U\in \tau

of

m,

there exists some neighborhood

V\in \tau

of

n

F(V)\subseteq F(U).

F

F(V)\subseteq F(U).

)

F(V)\subseteq F(U).

F(U) .

{\displaystyle

F

(V)\subseteq F(U

)와

n

같은 n

{\displaystyle n

}.

}

지도가 연속적인 경우 지도를 열기 위해서도 위의 조건이 필요하다.즉, $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ 이(가) 연속적인 추리라면 $f:X\to Y$ , 만약 거의 열려 있고 위의 조건을 만족한다면 오픈 맵이다.

특성.

연속적으로 열린 지도 또는 닫힌 지도

$f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ 이(가) 열려 있거나 닫혀 있는 연속 지도인 $f:X\to Y$ 경우:

$만약 f가$ 추론이라면 $f$ , 그것은 지지도일 뿐 아니라 유전적으로 지지도일 것이다.
- A surjective map $f:X\to Y$ is called hereditarily quotient if for every subset $T\subseteq Y,$ the restriction $f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T$ is a quotient map.
$f$ $f$ 이(가) 주입이라면 $f$ 위상학적 내장이다.
$만약 f$ 가 편향이라면 $f$ 그것은 동형상이다.

처음 두 경우에서 개방적이거나 폐쇄적인 것은 다음의 결론을 내리기 위한 충분한 조건일 뿐이다.세 번째 경우 역시 필요하다.

연속 지도 열기

$f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ 이(가) 연속 (강력하게) 열린 지도인 $f:X\to Y$ 경우, $A\subseteq X,$ $S\subseteq Y,$ $A\subseteq X,$ ⊆ X $A\subseteq X,$ , ${\displaystyle A\subseteq$ X $,}$ 및 $A\subseteq X,$ $S\subseteq Y,$ $S\subseteq Y,$ $S\subseteq Y,$ , ${\displaysty S\subseteq Y,},}:$

$f^{-1}\left(\operatorname {Bd} _{Y}S\right)=\operatorname {Bd} _{X}\left(f^{-1}(S)\right)$ where $\operatorname {Bd}$ denotes the boundary of a set.
${\$ $={\overline{f^{-1}}}},$ 여기서 $f^{-1}\left({\overline {S}}\right)={\overline {f^{-1}(S)}}$ ${\overline {S}}$ 의 ${\$ 은(는) 집합의 폐쇄를 의미한다 ${\overline {S}}$ .
${\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},$ 의 ${\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},$ = ${\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},$ X ${\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},$ ⁡ ${\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},$ 의 ${\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},$ ${\displaystyle {\overline{A}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A},$ 여기서 ${\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},$ $\operatorname {Int}$ ${\displaysty \operatorname {Int}은($ 는 $\operatorname {Int}$ ) 집합의 내부를 나타내는 경우 ${\overline {\operatorname {Int} _{Y}f(A)}}}={\overline {f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}}}={\overline {f\left({\overline {\operatorname {Int} _{X}A}\오른쪽)}}$ 여기서 이 세트 ${\overline {f(A)}}$ ( ${\overline {f(A)}}$ 의 ${\overline {f(A)}}$ {\ $displaystyle {f(A)}}$ 또한 반드시 일반 폐쇄 세트 ${\overline {f(A)}}$ ( $Y$ ${\displaystyle Y})$ ^{[note 1]}이다.In particular, if $A$ is a regular closed set then so is ${\overline {f(A)}}.$ And if $A$ is a regular open set then so is ${\displaystyle Y\setminus {\overline {f(X\setminus A)}}.$ $}$
만약은 지속적인 개방 지도 f:XY→{\displaystyle f:X\to Y}또한 Int X⁡ f− 위로의. 1(S))f− 1(Int Y⁡ S){\displaystyle \operatorname{Int}_ᆯf^ᆰ(S)=f^ᆱ\left(\operatorname{Int}_{Y}S\right)}, S{S\displaystyle}이 정기적으로 열린(resp요. 일반 문을 닫)는 경우에는 노트 1.]부분 집합 $f^{-1}(S)$ - 1 ( $f^{-1}(S)$ ) $f^{-1}(S)$ 이 $f^{-1}(S)$ (가) $X$ . $X.$ 의 정기적인 열린 부분(resp. resp. closed $)$ 인 경우에만 Y {\ $displaystyle$ Y $}$ 의 하위 집합이 된다.
If a net $y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i\in I}$ converges in $Y$ to a point $y\in Y$ and if the continuous open map $f:X\to Y$ is surjective, then for any ${\displaystyle x\in f^{-1$ $}(y)}$ there exists a net $x_{\bullet }=\left(y_{a}\right)_{a\in A}$ in $X$ (indexed by some directed set $A$ ) such that $x_{\bullet }\to x$ in $X$ and $f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}$ ${\$ $=\좌(f\put(x_{a}\오른쪽)_{a\in A}}}$ 의 $y_{\bullet }.$ 은 $f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}$ $y_{\bullet }.$ y $y_{\bullet }.$ {\ $displaystyle y_{\bullet }}}}$ 게다가 $y_{\bullet }.$ $A$ 인덱싱 세트 $A$ 는 $A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}$ $A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}$ $A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}$ $A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}$ $A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}$ $×$ {\ $displaystystyle A:$ $=$ ${\mathcal {N}}_{x}$ ${\mathcal {N}}_{x}$ ${\$ N} $_{x$ }} 제품 순서와 $A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}$ 함께 I $\time {\mathcal$ {\mathcal {\}}{x}}은(는) $\,\supseteq .\,$ $directed$ $\,\supseteq .\,$ ${\$ 이( $으)$ 이(으)에 의해 지시된 $x$ x ${\)$ 의 인접 기반이다 ${\mathcal {N}}_{x}$ .

참고 항목

거의 열린 지도 – 열린 지도와 유사한 조건을 만족하는 지도.
닫힌 그래프 – 제품 공간에서 닫힌 지도 그래프
닫힌 선형 연산자
국소 동형상 – 각 점 근처에서 수학적 함수 되돌리기 가능
준열림 지도 – 비열림 세트를 코도메인 내부에 비어 있지 않은 세트에 매핑하는 기능
지수지도
완벽한 지도 – 각 섬유도 콤팩트한 세트인 연속 폐쇄형 추체형 지도
적절한 지도 – 위상학적 공간과 모든 콤팩트한 프리이미지가 콤팩트한 특성 사이의 지도
시퀀스 커버링 맵

메모들

^ ^a ^b A subset $S\subseteq X$ is called a regular closed set if ${\overline {\operatorname {Int} S}}=S$ or equivalently, if $\operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,$ where ${\displayst$ $yle \operatorname {Bd}$ S $}($ resp). $\operatorname {Int} S,$ ${\overline {S}}$ ) denotes the topological boundary (resp. interior, closure) of $S$ in $X.$ The set $S$ is called a regular open set if ${\displaystyle \opera$ $토르네임 {Int} \왼쪽({\overline {S}\오른쪽)$ $=S}$ or equivalently, if $\operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.$ The interior (taken in $X$ ) of a closed subset of $X$ is always a regular open subset of $X.$ The closure (taken in ${\$ $X$ $X$ 의 열린 부분 집합 중 $displaystyle X}$ $X$ 는 $X$ $항상$ X. {\ $displaystyle$ X $.}$ 의 정기적인 닫힌 부분 집합이다.
^ 명시적으로 $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ ( I $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ , $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ ) $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ N $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ , ${\displaystyle a:=(i,U)\in A:$ $=I\times {\mathcal {N}}_{x},}$ pick any $h_{a}\in I$ such that $i\leq h_{a}{\text{ and }}y_{h_{a}}\in f(U)$ and then let $x_{a}\in U\cap f^{-1}\left(y_{h_{a}}\right)$ be arbitrary.할당 $a\mapsto h_{a}$ $a\mapsto h_{a}$ $a\mapsto h_{a}$ $a\mapsto h_{a}$ ${\$ 는 순서 $a\mapsto h_{a}$ 형태론 $h:A\to I$ : $h:A\to I$ → I ${\displaystyle h:$ $h(A)$ ( A $h(A)$ ) $h(A)$ 이 $h:A\to I$ ( $h(A)$ $)$ $I;$ ${\displaystyle$ I $;}$ 의 $I;$ 공동 최종 하위 집합이므로 $h(A)$ $f\left(x_{\bullet }\right)$ ( x $f\left(x_{\bullet }\right)$ ) ${\$ 는 $f\left(x_{\bullet }\right)$ $y_{\bullet }.$ $y_{\bullet }.$ . ${\displaysty y_{\bullet }$ 의 Willard-subnet이다.

인용구

^ Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
^ ^a ^b Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (Third ed.). Dover. p. 89. ISBN 0-486-66352-3. It is important to remember that Theorem 5.3 says that a function $f$ is continuous if and only if the inverse image of each open set is open. This characterization of continuity should not be confused with another property that a function may or may not possess, the property that the image of each open set is an open set (such functions are called open mappings).
^ ^a ^b ^c Lee, John M. (2003). Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218. Springer Science & Business Media. p. 550. ISBN 9780387954486. A map $F:X\to Y$ (continuous or not) is said to be an open map if for every closed subset $U\subseteq X,$ $F(U)$ is open in $Y,$ and a closed map if for every closed subset $K\subseteq U,$ $F(K)$ is closed in $Y.$ Continuous maps may be open, closed, both, or neither, as can be seen by examining simple examples involving subsets of the plane.
^ ^a ^b Ludu, Andrei (15 January 2012). Nonlinear Waves and Solitons on Contours and Closed Surfaces. Springer Series in Synergetics. p. 15. ISBN 9783642228940. An open map is a function between two topological spaces which maps open sets to open sets. Likewise, a closed map is a function which maps closed sets to closed sets. The open or closed maps are not necessarily continuous.
^ Sohrab, Houshang H.(2003년).Basic의 경우 레알 분석.스프링거 과학&비즈니스 매체이다. 페이지의 주 203입니다.아이 에스비엔 9780817642112.이제 우리는 기능을 보장하거나 닫혀 공개되는 것 없어도 닫히지 않고 개방할 수 있음을 보여 주는 우리의 예들을 위해 준비했다.또한, 함수는 동시에거나 말하는 것도 아니고 개방도 폐쇄 개방할 수 있다.(에서에는 간단한 성명 미터 공간의 컨텍스트에 위상 공간 계량 공간의 일반화로 발생하게 이 성명서가 잘 보유하고 있다.).
^ Naber, Gregory L. (2012). Topological Methods in Euclidean Spaces. Dover Books on Mathematics (reprint ed.). Courier Corporation. p. 18. ISBN 9780486153445. Exercise 1-19. Show that the projection map $\pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ π₁:X₁ × ··· × X_k → X_i is an open map, but need not be a closed map. Hint: The projection of R² onto $\mathbb {R}$ is not closed. Similarly, a closed map need not be open since any constant map is closed. For maps that are one-to-one and onto, however, the concepts of 'open' and 'closed' are equivalent.
^ Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (Third ed.). Dover. p. 89. ISBN 0-486-66352-3. There are many situations in which a function $f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)$ has the property that for each open subset $A$ of $X,$ the set $f(A)$ is an open subset of $Y,$ and yet $f$ is not continuous.
^ Boos, Johann (2000). Classical and Modern Methods in Summability. Oxford University Press. p. 332. ISBN 0-19-850165-X. Now, the question arises whether the last statement is true in general, that is whether closed maps are continuous. That fails in general as the following example proves.
^ Kubrusly, Carlos S. (2011). The Elements of Operator Theory. Springer Science & Business Media. p. 115. ISBN 9780817649982. In general, a map $F:X\to Y$ of a metric space $X$ into a metric space $Y$ may possess any combination of the attributes 'continuous', 'open', and 'closed' (that is, these are independent concepts).
^ Hart, K. P.; Nagata, J.; Vaughan, J. E., eds. (2004). Encyclopedia of General Topology. Elsevier. p. 86. ISBN 0-444-50355-2. It seems that the study of open (interior) maps began with papers [13,14] by S. Stoïlow. Clearly, openness of maps was first studied extensively by G.T. Whyburn [19,20].
^ 나리치 & 베켄슈타인 2011, 225-273페이지.
^ Willard, Stephen (1970). General Topology. Addison-Wesley. ISBN 0486131785.
^ Lee, John M. (2012). Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218 (Second ed.). p. 606. doi:10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9982-5. Exercise A.32. Suppose $X_{1},\ldots ,X_{k}$ are topological spaces. Show that each projection $\pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ is an open map.
^ ^a ^b Baues, Hans-Joachim; Quintero, Antonio (2001). Infinite Homotopy Theory. K-Monographs in Mathematics. Vol. 6. p. 53. ISBN 9780792369820. A composite of open maps is open and a composite of closed maps is closed. Also, a product of open maps is open. In contrast, a product of closed maps is not necessarily closed,...
^ ^a ^b ^c James, I. M. (1984). General Topology and Homotopy Theory. Springer-Verlag. p. 49. ISBN 9781461382836. ...let us recall that the composition of open maps is open and the composition of closed maps is closed. Also that the sum of open maps is open and the sum of closed maps is closed. However, the product of closed maps is not necessarily closed, although the product of open maps is open.

참조

Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

[DefOfRegularOpenClosed-16] A subset $S\subseteq X$ is called a regular closed set if ${\overline {\operatorname {Int} S}}=S$ or equivalently, if $\operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,$ where ${\displayst$ $yle \operatorname {Bd}$ S $}($ resp). $\operatorname {Int} S,$ ${\overline {S}}$ ) denotes the topological boundary (resp. interior, closure) of $S$ in $X.$ The set $S$ is called a regular open set if ${\displaystyle \opera$ $토르네임 {Int} \왼쪽({\overline {S}\오른쪽)$ $=S}$ or equivalently, if $\operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.$ The interior (taken in $X$ ) of a closed subset of $X$ is always a regular open subset of $X.$ The closure (taken in ${\$ $X$ $X$ 의 열린 부분 집합 중 $displaystyle X}$ $X$ 는 $X$ $항상$ X. {\ $displaystyle$ X $.}$ 의 정기적인 닫힌 부분 집합이다.

[17] 명시적으로 $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ ( I $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ , $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ ) $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ N $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ , ${\displaystyle a:=(i,U)\in A:$ $=I\times {\mathcal {N}}_{x},}$ pick any $h_{a}\in I$ such that $i\leq h_{a}{\text{ and }}y_{h_{a}}\in f(U)$ and then let $x_{a}\in U\cap f^{-1}\left(y_{h_{a}}\right)$ be arbitrary.할당 $a\mapsto h_{a}$ $a\mapsto h_{a}$ $a\mapsto h_{a}$ $a\mapsto h_{a}$ ${\$ 는 순서 $a\mapsto h_{a}$ 형태론 $h:A\to I$ : $h:A\to I$ → I ${\displaystyle h:$ $h(A)$ ( A $h(A)$ ) $h(A)$ 이 $h:A\to I$ ( $h(A)$ $)$ $I;$ ${\displaystyle$ I $;}$ 의 $I;$ 공동 최종 하위 집합이므로 $h(A)$ $f\left(x_{\bullet }\right)$ ( x $f\left(x_{\bullet }\right)$ ) ${\$ 는 $f\left(x_{\bullet }\right)$ $y_{\bullet }.$ $y_{\bullet }.$ . ${\displaysty y_{\bullet }$ 의 Willard-subnet이다.

[1] Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

[mendelson-2] Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (Third ed.). Dover. p. 89. ISBN 0-486-66352-3. It is important to remember that Theorem 5.3 says that a function $f$ is continuous if and only if the inverse image of each open set is open. This characterization of continuity should not be confused with another property that a function may or may not possess, the property that the image of each open set is an open set (such functions are called open mappings).

[lee550-3] Lee, John M. (2003). Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218. Springer Science & Business Media. p. 550. ISBN 9780387954486. A map $F:X\to Y$ (continuous or not) is said to be an open map if for every closed subset $U\subseteq X,$ $F(U)$ is open in $Y,$ and a closed map if for every closed subset $K\subseteq U,$ $F(K)$ is closed in $Y.$ Continuous maps may be open, closed, both, or neither, as can be seen by examining simple examples involving subsets of the plane.

[ludu15-4] Ludu, Andrei (15 January 2012). Nonlinear Waves and Solitons on Contours and Closed Surfaces. Springer Series in Synergetics. p. 15. ISBN 9783642228940. An open map is a function between two topological spaces which maps open sets to open sets. Likewise, a closed map is a function which maps closed sets to closed sets. The open or closed maps are not necessarily continuous.

[5] Sohrab, Houshang H.(2003년).Basic의 경우 레알 분석.스프링거 과학&비즈니스 매체이다. 페이지의 주 203입니다.아이 에스비엔 9780817642112.이제 우리는 기능을 보장하거나 닫혀 공개되는 것 없어도 닫히지 않고 개방할 수 있음을 보여 주는 우리의 예들을 위해 준비했다.또한, 함수는 동시에거나 말하는 것도 아니고 개방도 폐쇄 개방할 수 있다.(에서에는 간단한 성명 미터 공간의 컨텍스트에 위상 공간 계량 공간의 일반화로 발생하게 이 성명서가 잘 보유하고 있다.).

[6] Naber, Gregory L. (2012). Topological Methods in Euclidean Spaces. Dover Books on Mathematics (reprint ed.). Courier Corporation. p. 18. ISBN 9780486153445. Exercise 1-19. Show that the projection map $\pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ π₁:X₁ × ··· × X_k → X_i is an open map, but need not be a closed map. Hint: The projection of R² onto $\mathbb {R}$ is not closed. Similarly, a closed map need not be open since any constant map is closed. For maps that are one-to-one and onto, however, the concepts of 'open' and 'closed' are equivalent.

[mendelson2-7] Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (Third ed.). Dover. p. 89. ISBN 0-486-66352-3. There are many situations in which a function $f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)$ has the property that for each open subset $A$ of $X,$ the set $f(A)$ is an open subset of $Y,$ and yet $f$ is not continuous.

[8] Boos, Johann (2000). Classical and Modern Methods in Summability. Oxford University Press. p. 332. ISBN 0-19-850165-X. Now, the question arises whether the last statement is true in general, that is whether closed maps are continuous. That fails in general as the following example proves.

[9] Kubrusly, Carlos S. (2011). The Elements of Operator Theory. Springer Science & Business Media. p. 115. ISBN 9780817649982. In general, a map $F:X\to Y$ of a metric space $X$ into a metric space $Y$ may possess any combination of the attributes 'continuous', 'open', and 'closed' (that is, these are independent concepts).

[10] Hart, K. P.; Nagata, J.; Vaughan, J. E., eds. (2004). Encyclopedia of General Topology. Elsevier. p. 86. ISBN 0-444-50355-2. It seems that the study of open (interior) maps began with papers [13,14] by S. Stoïlow. Clearly, openness of maps was first studied extensively by G.T. Whyburn [19,20].

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011225–273-11] 나리치 & 베켄슈타인 2011, 225-273페이지.

[12] Willard, Stephen (1970). General Topology. Addison-Wesley. ISBN 0486131785.

[13] Lee, John M. (2012). Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218 (Second ed.). p. 606. doi:10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9982-5. Exercise A.32. Suppose $X_{1},\ldots ,X_{k}$ are topological spaces. Show that each projection $\pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ is an open map.

[baues55-14] Baues, Hans-Joachim; Quintero, Antonio (2001). Infinite Homotopy Theory. K-Monographs in Mathematics. Vol. 6. p. 53. ISBN 9780792369820. A composite of open maps is open and a composite of closed maps is closed. Also, a product of open maps is open. In contrast, a product of closed maps is not necessarily closed,...

[james49-15] James, I. M. (1984). General Topology and Homotopy Theory. Springer-Verlag. p. 49. ISBN 9781461382836. ...let us recall that the composition of open maps is open and the composition of closed maps is closed. Also that the sum of open maps is open and the sum of closed maps is closed. However, the product of closed maps is not necessarily closed, although the product of open maps is open.

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[13]

[14]

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