체흐 코호몰로지

수학, 특히 대수적 위상수학에서 체흐 코호몰로지(, )는 위상 공간의 열린 덮개의 교차 특성을 기반으로 하는 코호몰로지 이론입니다. 수학자 에두아르트 체흐(Eduard Chech)의 이름을 따서 붙여졌습니다.

동기

X를 위상 공간이라 하고, $U{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$를 X의 열린 덮개라고 합니다. $N{\displaystyle (U)}$ ${\displaystyle N({\mathcal {U}})}$이 피복의 신경을 나타낸다고$$ 합니다. 체흐 코호몰로지의 아이디어는 충분히 작은 열린 집합으로 구성된$$ 열린 $덮개{\displaystyle \mathcal{}}$ U ${\$에 대해, 결과적으로 단순한 복소수 $N$ ${\displaystyle$ N$({\mathcal {U}})$이 공간 X에 대한 좋은 조합 모델이 되어야$$ 한다는 것입니다. 이러한 덮개의 경우, X의 čch 코호몰로지는 신경의 단순 코호몰로지로 정의됩니다. 이 아이디어는 좋은 커버라는 개념으로 공식화될 수 있습니다. 그러나 더 일반적인 접근법은 정제에 의해 순서화된 X의 모든 가능한 열린 덮개의 시스템에 대한 신경의 코호몰로지 그룹의 직접적인 한계를 취하는 것입니다. 이것은 아래에서 채택된 접근 방식입니다.

시공

X를 위상 공간이라 하고, $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$를 X 위의 아벨 군들의 전단이라고 합니다$$. $U{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을 X의 열린 덮개라고 합니다.

심플렉스

U ${\displaystyle {\mathcal${U}}의 $q-simple$σ은 U ${\displaystyle {\mathcal$ $\{$U$}}$에서 $선택$된 q+1 집합의 순서 집합이므로 이 모든 집합의 교집합은 비어 있지 않습니다. 이 교차점을 σ의 지지대라고 하며, σ라고 합니다.

이제 σ =${\displaystyle {}_{}}$(Ui$) i$∈ {0, …, q} {\displaystyle \sigma = (U_{i})_{i\in \{0,\ldots,q\}}를 그러한 q- simplex라고 합니다. σ의 j번째 부분 경계는 σ에서 j번째 집합을 제거한 (q-1)-심플렉스로 정의됩니다. 즉,

${\displaystyle \partial_{j}\sigma :=(U_{i})_{i\in \{0,\ldots,q\}\setminus \{j\}}.$

σ의 경계는 부분 경계의 교대합으로 정의됩니다.

${\displaystyle \partial \sigma :=\sum _{j=0}^{q}(-1)^{j+1}\partial _{j}\sigma }$

$U{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 간결함에 걸쳐 있는 자유 아벨 군의 요소로 봅니다$.$

코체인

$F$ ${\displaystyle {\mathcal$${U}}$의 계수를 갖는 U ${\$displaystyle {\mathcal ${F}}$의 q-cochain은 각 q-simplex σ와 연관되는 맵입니다$.$ F${\displaystyle (}$σ$)${\$displaystyle${\mathcal${$F}}( \sigma )}, and we denote the set of all q-cochains of ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ with coefficients in ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ by ${\displaystyle C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$. ${\displaystyle C^{q}({\mathcal {U}},$${\mathcal {F}}$는 점별 덧셈에 의한 아벨 군입니다.

미분

The cochain groups can be made into a cochain complex ${\displaystyle (C^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}),\delta )}$ by defining the coboundary operator ${\displaystyle \delta _{q}:$$C$$^{q}({\mathcal {U}},$ {\$mathcal {F}})\to C^{q+1}({\mathcal {U},$ {\$mathcal {F})}:$

${\displaystyle \quad(\delta _{q}f)(\sigma):=\sum _{j=0}^{q+1}(-1)^{j}\mathrm {res}_{ \sigma }^{ \partial _{j}\sigma }f(\partial _{j}\sigma),}$

where ${\displaystyle \mathrm {res} _{ \sigma }^{ \partial _{j}\sigma }}$ is the restriction morphism from ${\displaystyle {\mathcal {F}}( \partial _{j}\sigma )}$ to ${\displaystyle {\mathcal {F}}( \sigma ).}$ (Notice that ∂_jσ ⊆ σ, 하지만 σ ⊆ ∂σ.)

계산에 따르면 ${\displaystyle {}_{}}$ + 1${\displaystyle {}_{}}$δ는$q$= 0. {\displaystyle \delta _{q+1}\circ $\$delta _{q}= 0.}

코바운더 연산자는 De Rham cohomology의 외부 도함수와 유사하므로 코체인 복합체의 미분이라고 부르기도 합니다.

코사이클

q-co-chain이 δ ${\displaystyle \{\backslash }$displaystyle \delta }의$$커널에 있는 경우 q-coc사이클이라고 합니다. 따라서 Z q (U, F):= ker ⁡ (δ q) ⊆ C q (U, F) {\displaystyle Z^{q}({\mathcal {U}}, {\mathcal {F}}:$=$\$ker$(\$delta$_{q})\ $subseteq$ C^{q}({\mathcal {U}}, {\mathcal {F}})는 모든 q-$coc$리의 집합입니다.

따라서 모든$q-simples$$$σ {\$displaystyle$$$\sigma}에 대해 (q-1)-코체인 f {\displaystyle f$}$는 코사이클 조건입니다.

${\displaystyle \sum_{j=0}^{q}(-1)^{j}\mathrm {res}_{ \sigma }^{ \partial _{j}\sigma }f(\partial _{j}\sigma)=0}$

쥔다.

0-코사이클 $f$ ${\displaystyle f}$는 ${\mathcal$$${U}}의 모든 ${\displaystyle 교차}$ $A{\displaystyle ,}$ $B$∈ U ${\displaystyle$ A, B\에서 호환성 관계를 만족하는 F ${\displaystyle {F}$의 로컬 섹션 모음입니다.

${\displaystyle f(A) _{A\cap B}=f(B) _{A\cap B}}$

{\$displaystyle$f}$$coc$식은$ {\mathcal {U}}에서 A,$B,$C ∈ U${\$ A, B, C\displaystyle A, B, C\displaystyle A, B, C ∩을 갖는${\displaystyle A}$ ∩ C ${\displaystyle \{\backslash }$displaystyle$$${\displaystyle B}$\${\displaystyle cap}$ C$}$를 만족합니다.

${\displaystyle f(B\cap C) _{U}-f(A\cap C) _{U}+f(A\cap B) _{U}=0}$

코바운더리

$q-co-chain이$delta ${\$displaystyle \δ} 및 B q (U, F)의 이미지에 있으면 q-coboundary라고 합니다. = Im (δ q - 1) ⊆ C q (U, F) {\displaystyle B^{q}({\mathcal {U}}, {\mathcal {F}}:$=$\$mathrm${Im$}(\delta$ $_${q-1})\ $subset$eq C^{q}({\mathcal {U}}, {\mathcal {F}}는 모든 q-공계의 집합입니다.

예를 들어, ${\displaystyle$ f$}$는 교차하는 모든 $A{\displaystyle ,}$ $B$∈ U {\$displaystyle$ A, B\$in {\mathcal$ {U}}의 $0-cochain$ h$${\$displaystyle$h}가 존재하는 경우 1-coboundary입니다.

${\displaystyle f(A\cap B)=h(A) _{A\cap B}-h(B) _{A\cap B}}$

코호몰로지

$F$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}$의 값을 갖는 U ${\displaystyle {\mathcal {U}}$의 체흐 코호몰로지는 코체인 복합체$({\displaystyle C}$∙${\displaystyle (U,}$F$),$ δ) ${\displaystyle($C^{\$bullet})({\mathcal${$U},$ {\$mathcal${F}),\delta )}의 코호몰로지로 정의됩니다. 따라서 q번째 Chech 코호몰로지는 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle {\check {H}}^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}):$$=H^{q}((C^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}),\delta ))=Z^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})/B^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$.

X의 Chech 코호몰로지는 열린 커버의 개선을 고려하여 정의됩니다. If ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ is a refinement of ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ then there is a map in cohomology ${\displaystyle {\check {H}}^{*}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})\to {\check {H}}^{*}({\mathcal {V}},{\mathcal {F}}).$$}$X의 열린$$ 덮개는 정교화 하에서 방향 집합을 형성하므로 위의 지도는 아벨 군들의 직접 체계로 이어집니다. $F$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}$의 값을 갖는 X의 Chech 코호몰로지는 직접 $한계$ H${\displaystyle }$ˇ${\displaystyle (}$X, F${\displaystyle \underset{}{):}}$= ${\displaystyle \stackrel{}{lim}}$ →${\displaystyle }$U ⁡ H ˇ$($U, F$)$ {\$displaystyle {\$check {H}}(X, {\mathcal {F}):이 $시스템$의 $=$\$varinjlim _{\mathcal${U$}}{\check {H}}({\mathcal$ {$U}}, {\mathcal$ {F$})}.$

The Čech cohomology of X with coefficients in a fixed abelian group A, denoted ${\displaystyle {\check {H}}(X;A)}$, is defined as ${\displaystyle {\check {H}}(X,{\mathcal {F}}_{A})}$ where ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{A}}$ is the constant sheaf on X determined by A.

numberable∣ ρChech cohomology라고 불리는 Chech cohomology의 변형은 위와 같이 정의됩니다. 단, 고려된 모든 열린 덮개가 numberable이어야 한다는 점을 제외하고는 다음과 같습니다. 즉, xρ i(x) > 0} ${\displaystyle$ \{x\mid \rho _{i}(x) > 0\}를 지원하는 통일성 {ρ}의 파티션이 덮개의 일부 요소에 포함되어 있습니다. X가 파라콤팩트이고 하우스도르프인 경우, 가짓수 č 코호몰로지는 일반적인 č 코호몰로지와 일치합니다.

다른 코호몰로지 이론과의 관계

X가 CW 복합체와 동치인 경우, ˇ ∗ 체흐 코호몰로지 $H$ ∗ ($;$ A) ${\$$displaystyle$ {\check {H}}^{*}(X; A)}는 자연스럽게 단일 코호몰로지 H ∗ (X; A) {\displaystyle H^{*}(X; A)\,}와 동치입니다. 만약 X가 미분 가능한 다양체라면, $그렇다면$ H${\displaystyle }$ˇ ∗(${\displaystyle X;}$ R) {\$displaystyle {\check {H}}^{*}(X;\mathbb${R})} 또한 자연스럽게 드 람 코호몰로지와 동형입니다. 드 람 코호몰로지에 대한 기사는 이 동형에 대한 간략한 검토를 제공합니다. 덜 잘 행동하는 공간의 경우, Chech 코호몰로지는 단일 코호몰로지와 다릅니다. 예를 들어 X가 닫힌 위상수학자의 사인 곡선인 경우 H${\displaystyle }$ˇ 1(${\displaystyle X;}$ Z) = Z, ${\displaystyle {\$$check$ {H$}}^{1$}(X$;\mathbb$ {Z}) =\mathbb {Z},}인 반면 H 1(X; Z) = 0.{\displaystyle H^{1}(X;\mathbb {Z}) = 0.$}$

X가 미분 가능한 다양체이고 X의 덮개 $U{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$가 "좋은 덮개"(즉, 모든 집합 U가_α 한 점으로 수축할 수 있고, $U{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 모든 집합의 유한 교차점이$$ 비어 있거나 한 점으로 수축할 수 있습니다), $그렇다면$ H${\displaystyle }$ˇ ∗ (${\displaystyle U;}$ R) {\$displaystyle {\check${$H}}^{*}({\mathcal {U}};\mathbb${R})}는 드 람 코호몰로지와 동형입니다.

X가 콤팩트 하우스도르프인 경우, č체 코호몰로지(이산군의 계수를 갖는)는 알렉산더-스페인 코호몰로지와 동형입니다.

X의 전단 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 대해 $F{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$+ ${\$가 전단을 의미합니다$$. 그러면 자연 비교 지도가 있습니다.

${\displaystyle \chi :{\check {H}}^{*}(X,{\mathcal {F}})\to H^{*}(X,{\mathcal {F}}^{+})}$

체흐 코호몰로지에서 셰프 코호몰로지까지. 만약 X가 파라콤팩트 하우스도르프라면,$$χ${\textstyle \$chi}는 동형 사상입니다. 보다 일반적으로,$$χ {\textstyle$$\chi}는 양각화가 0인 X의 모든 사전 부분의 čch 코호몰로지가 사라질 때마다 동형입니다.

대수기하학에서

Chech 코호몰로지는 위상이 부여된 사이트 C의 객체에 대해 보다 일반적으로 정의할 수 있습니다. 예를 들어, 이것은 X 방식의 자리스키 사이트 또는 등거리 사이트에 적용됩니다. 일부 쉬프 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 값을 갖는 ech 코호몰로지는 다음과 같이 정의됩니다$$.

${\displaystyle {\check {H}}^{n}(X,{\mathcal {F}):=\varinjlim _{\mathcal {U}}{\check {H}}^{n}({\mathcal {U}}, {\mathcal {F})}$

여기서 콜리밋은 X의 모든 피복에 걸쳐 실행됩니다(선택한 토폴로지에 대해). 여기서 $H{\displaystyle }$ˇ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (}$U$,$ F) ${\displaystyle {\check${H}}^{$n}({\mathcal {$U}}, ${\mathcal {$F}}}은 위와 같이 정의됩니다. 단, 주변 위상 공간 내부의 열린 부분집합의 r-접힌 교차점이 r-접힌 섬유 곱으로 대체되는 것을 제외하고는

${\displaystyle {\mathcal {U}}^{\times _{X}^{r}}:={\mathcal {U}}\times _{X}\dots \times _{X}{\mathcal {U}}$

위상공간의 고전적 상황처럼 항상 지도가 존재합니다.

${\displaystyle {\check {H}}^{n}(X,{\mathcal {F}})\rightarrow H^{n}(X,{\mathcal {F})}$

체흐 코호몰로지에서 셰프 코호몰로지까지. 차수 n = 0 및 1에서는 항상 동형이지만 일반적으로 동형이 아닐 수 있습니다. 노에테리아 분리된 계획의 자리스키 위상에 대해 체흐와 셰프 코호몰로지는 모든 준간섭성 셰프에 대해 일치합니다. 에탈 위상의 경우, X의 임의의 유한한 점 집합이 열린 아핀 부분 체계에 포함되는 경우, 두 코호몰로지는 X 위의 임의의 에탈 양에 대하여 일치합니다. 이는 예를 들어 X가 아핀 스킴에 대해 준사영인 경우 만족됩니다.^[3]

Chech cohomology와 sheaf cohomology의 가능한 차이점은 초피복호화를 사용하는 동기입니다: 초피복호화는 Chech 신경보다 더 일반적인 물체입니다.

${\displaystyle N_{X}{\mathcal {U}}:\dots \ to {\mathcal {U}}\times _{X}{\mathcal {U}}\times _{X}\times _{X}\times _{\mathcal {U}\times _{X}\times {\mathcal {U}}\times \to {\mathcal {U}}}$

X의 하이퍼커버링 K는_∗ C의 특정 단순 객체, 즉 경계 및 축퇴 맵과 함께 객체 K의_n 집합입니다. Applying a sheaf ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ to K_∗ yields a simplicial abelian group ${\textstyle {\mathcal {F}}(K_{\ast })}$ whose n-th cohomology group is denoted ${\textstyle H^{n}({\mathcal {F}}(K_{\ast }))}$. (This group is the same as ${\displaystyle {\check{H}}^n(\mathcal{U},}$${\displaystyle \mathcal{F})}$K가_∗ ${\displaystyle {}_{}\mathcal{}}$ ${\$인 경우$$ $displaystyle {H}^{n}({\mathcal {U}})}$$$ 그렇다면 정준 동형이 존재함을 알 수 있습니다.

${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})\cong \varinjlim _{K_{*}}H^{n}({\mathcal {F}}(K_{*}),}$

이제 모든 하이퍼커버링에 콜라이밋이 실행되는 곳입니다.^[4]

예

체흐 코호몰로지의 가장 기본적인 예는 전단 $F$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}$가 상수 전단인 경우에 의해 주어집니다. $예$를 들어 F = ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\$mathcal {F}}=\mathbb {R}$$}. 이러한 경우, 각 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ -cochain$$ $f{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $f}$ -simplex$$ 모든 $q{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $q}$ -simplex를 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 매핑하는 함수입니다$.$ 예를 들어, 저희는 단위 원 $X$ = ${\displaystyle S^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ X$$= S^{1}의 R ${\$displaystyle $\mathbb {R}}$ 값을 가진 첫 번째 Chech 코호몰로지를 계산합니다. X {\displaystyle X}를 세 개의 호로 나누고 충분히 작은 열린 이웃을 선택하면${\displaystyle }$열린 덮개 U = { U 0, U 1,${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {$U${\displaystyle {\}}_{}}$}=\{$U_{0},U_{1},U_{2}\}$ 여기서 ${\displaystyle U}$${\displaystyle i_{}}$ $U$${\displaystyle {\mathrm{j\; \ne }}_{}}$ ϕ ${\displaystyle U_{i$}\cap U_{j}\n$eq \phi}$이지만 ${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $∩$ ${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle 1}$ $∩$ U$2$ $=$ $ϕ$${\displaystyle$ U_{0}\cap U_{1}\cap U_{2}$=$\phi}입니다.

Given any 1-cocycle ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle \delta f}$ is a 2-cochain which takes inputs of the form ${\displaystyle (U_{i},U_{i},U_{i}),(U_{i},U_{i},U_{j}),(U_{j},U_{i},U_{i}),$$(U_{i},U_{j},U_{i})}$ 여기서 $i$는 j {\$displaystyle$ i\${\displaystyle n}$을 $≠$합니다.$eq j}$ (since ${\displaystyle U_{0}\cap U_{1}\cap U_{2}=\phi }$ and hence ${\displaystyle (U_{i},U_{j},U_{k})}$ is not a 2-simplex for any permutation ${\displaystyle \{i,j,$$k$\}$=$\{$1,2,3\}).$ 처음 세 입력은 $f{\displaystyle ({Ui}_{}}$ ${\displaystyle {Ui}_{}}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$f(U_{i}, U_{i}) = 0}을 제공하며, 네 번째 입력은 다음을 제공합니다.

${\displaystyle \delta f(U_{i},U_{j},U_{i})=f(U_{j},U_{i})-f(U_{i},U_{i})+f(U_{i},U_{j})=0\implies f(U_{j},U_{i})=-f(U_{i},U_{j}).}$

이러한 함수는 $f{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ U ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}),}$ f${\displaystyle ({U\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ U ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}),}$ ${\displaystyle f({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle$ f$(U_{0}, U_{1}), f(U_{0}, U_{2}), f(U_{1}, U_{2})$의 값에 의해 완전히 결정됩니다$.$ 따라서,

${\displaystyle Z^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} )=\{f\in C^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} ):f(U_{i},U_{i})=0,f(U_{j},U_{i})=-f(U_{i},U_{j})\}\cong \mathbb {R} ^{3}.}$

반면, 임의의 1 공변계 $f$ =$$δ$$g {\displaystyle f =\delta g}가 주어졌을 때, 우리는

${\displaystyle {\begin{cases}f(U_{i},U_{i})=g(U_{i})-g(U_{i})=0&(i=0,1,2);\\f(U_{i},U_{j})=g(U_{j})-g(U_{i})=-f(U_{j},U_{i})&(i\neqj)\end{case}}$

However, upon closer inspection we see that ${\displaystyle f(U_{0},U_{1})+f(U_{1},U_{2})=f(U_{0},U_{2})}$ and hence each 1-coboundary ${\displaystyle f}$ is uniquely determined by ${\displaystyle f(U_{0},$$U_{1}}$ 및$$ $f{\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle f(U_{1}, U_{2$ 이를 통해 1-공계 집합을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}B^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} )=\{f\in C^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} ):\ &f(U_{i},U_{i})=0,f(U_{j},U_{i})=-f(U_{i},U_{j}),\\&f(U_{0},U_{2})=f(U_{0},U_{1})+f(U_{1},U_{2})\}\cong \mathbb {R} ^{2}.\end{align}}}$

$따라서$, ${\displaystyle H}$ˇ 1${\displaystyle }$(U, R)${\displaystyle {}^{}}$= Z$1$($,$ R ) / B 1 (U, R) ≅ R {\displaystyle {\check {H}}^{1}({\mathcal {U},\mathbb {R}) = Z^{1}({\mathcal {U},\mathbb {R})/B^{1}({\mathcal {U},\mathbb {R})\cong \mathbb {R}}. $U$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}$는 $X$ ${\displaystyle X}$의 좋은 커버이므로$,$ 우리는 ${\displaystyle Leray}$의 정리로${\displaystyle H}$≅ 1 ($X,$ R$)$ˇ$$R {\$displaystyle {\check${$H}^{1}(X$,\$mathbb${R})\cong \mathbb {R}을 갖는다$.$

${\displaystyle {또한}^{}}$ω체 복합체를 사용하여 $투영$ $PC$ 1 ${\displaystyle \Omega$$^{$1}}의 일관된 두공 상동성을 계산할 수 있습니다$.$ 커버 사용하기

${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{1}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [y]),U_{2}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [y^{-1}])\}}$

코탄젠트 쉬프에서 다음과 같은 모듈이 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Omega ^{1}(U_{1})=\mathbb {C} [y]dy\&\Omega ^{1}(U_{2})=\mathbb {C} \left[y^{-1}\right]dy^{-1}\end{aligned}}$

${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ =${\displaystyle }$-$$(1 / y 2) dy {\displaystyle dy^{-1} = - (1 / y^{2) dy}라는 규칙을 취하면 č체흐 복합체를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} [y]dy\opplus \mathbb {C} \left[y^{-1}\right]dy^{-1}{\xright 화살표 {d^{0}}\mathbb {C} \left[y,y^{-1}\right]dy\to 0}$

$d{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$ d$^{0}}$은 주입식이고 $d{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 이미지에 없는 유일한 요소는 $y{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle \mathrm{1일}}$ ${\displaystyle y^{-1}dy}$이므로 다음과$$ 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&H^{1}(\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1},\Omega ^{1})\cong \mathbb {C} \\&H^{k}(\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1},\Omega ^{1})\cong 0{\text{ for }}k\neq 1\end{aligned}}}$

참고문헌

인용각주

일반 참고문헌

• Bott, Raoul; Loring Tu (1982). Differential Forms in Algebraic Topology. Springer. ISBN 0-387-90613-4.
• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology (PDF). Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
• Wells, Raymond (1980). "2. Sheaf Theory: Appendix A. Cech Cohomology with Coefficients in a Sheaf". Differential Analysis on Complex Manifolds. Springer. pp. 63–64. doi:10.1007/978-1-4757-3946-6_2. ISBN 978-3-540-90419-9.