이산 공간

위상학에서 이산공간은 특히 토폴로지 공간 또는 유사한 구조의 단순한 예로서, 점들이 불연속적인 시퀀스를 형성하며, 특정한 의미에서 서로 격리되어 있다는 것을 의미한다.디스크리트 토폴로지는 세트로 제공할 수 있는 최고의 토폴로지입니다.각 서브셋은 이산 토폴로지로 오픈되므로 특히 모든 싱글톤 서브셋은 이산 토폴로지로 오픈셋이 됩니다.

정의들

$X$ 세트(\ $displaystyle$ X $X$

$X({$ displaystyle X})의 이산 $X$ 토폴로지는 X $({displaystyle$ X})의 $X$ 모든 서브셋을 열어(따라서 닫힘) 정의하며 $,$ $X$ ({ $displaystyle$ X})는 $X$ 이산 토폴로지가 장착된 경우 이산 토폴로지 공간이다.
X $(\displaystyle$ X $)$ 의 $X$ 이산 균일성은 X $(\displaystyle$ X $\times$ X)의 $X\times X$ $\{(x,x):x\in X\}$ 대각선 $\{(x,x):x\in X\}$ {( $\{(x,x):x\in X\}$ $\{(x,x):x\in X\}$ ) : $x$ X $\{(x,x):x\in X\}$ }(\ $displaystyle \{(x,x):x\in$ X\})의 $\{(x,x):x\in X\}$ 모든 슈퍼셋을 $X$ 으로 $하고$ X(\ $displaystyle$ X\tyle X $\$ type X)가 이산 균일성을 갖춘 이산 균일성을 갖춘 경우)로 $X$ 정의한다.
$X의$ 메트릭 $"\$ $displaystyle\$ $rho"$ 는 $\rho$ 다음과 같이 정의됩니다. $\rho (x,y)=cases}1&{\text{if}}\x\neq y,\0&{\text{if}}\x=y\end{cases}}$ $x,y\in X.$ 의 x $x,y\in X.$ $x,y\in X.$ X $.$ { $displaystyle$ x $,y\in$ X $.}$ $(X,\rho )$ 경우 $(X,\rho )$ ( $(X,\rho )$ $(X,\rho )$ { $displaystyle (X,\rho)}$ 은 $(X,\rho )$ 이산 메트릭 공간 또는 고립된 점의 공간이라고 불립니다.
특정 토폴로지 공간 $(Y,\tau )$ $))$ 의 이산 부분 공간({ $displaystyle$ $(Y,\tau)})$ $(Y,\tau )$ 은 $(Y,\tau )$ ( $(Y,\tau )$ $(Y,\tau )$ $),$ ), \ $tau$ $(Y,\tau )$ 의 $Y$ 토폴로지 부분 공간( $Y$ ), $))$ 을 $(Y,\tau )$ $나타냅니다.$ screte topology를 사용합니다.예를 $Y:=\mathbb {R}$ 들어, Y : $=$ $Y:=\mathbb {R}$ \ $displaystyle$ Y : = \ $mathbb {$ R } $}$ 、 $S=\left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}$ { $S=\left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}$ 2 , $S=\left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}$ , $S=\left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}$ 4 $S=\left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}$ $S=\left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}$ { $displaystyle$ S $S=\left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}$ = \ left \ { { \ $tfrac$ { $}$ { $}$ , { \ $tfrac$ } { $4$ } 。 $\mathbb {R}$ } $S\cup \{0\}$ S $S\cup \{0\}$ { 0 $S\cup \{0\}$ }({ $displaystyle S\cup \{$ \})은 없습니다 $.$
모든 x에 S,{\displaystyle x\in S,}∈에는 몇가지δ 의가 존재하는 집합 S{S\displaystyle}미터 법 우주(X, d)에서, S⊆ X에{\displaystyle(X,d),},{\displaystyle S\subseteq X,};0{\displaystyle \delta>0}(x에 따라{\displaystyle x})이 d(), y)을 그러한;δ 별개의 것이다. {\displ $aystyle$ d $(x,y)>\delta$ }( $y\in S\setminus \{x\}$ y $y\in S\setminus \{x\}$ { $y\in S\setminus \{x\}$ $}$ { $style$ y $\in$ S $\setminus$ \ { $x$ ).이러한 세트는 격리된 포인트로 구성됩니다.{\displaystyle S\subseteq X,}다면 ε 의가 존재하는 집합 S{S\displaystyle}는 균일하게 미터 법 우주(X, d)에서, S⊆ X에{\displaystyle(X,d),}, 별개의 0{\displaystyle \varepsilon>0}가에 대한 두개의 뚜렷한 x, y∈ S, d(), y)>ε.{\displaystyle x,y\in S,d(x, y)>, \varepsilo.n.}

미터법 공간 $(E,d)$ d $)$ { $displaystyle(E, d$ )}은 $(E,d)$ 패킹 $x,y\in E,$ r $r>0$ > $0$ {{ $displaystyle$ r > 0 $}$ 이 $r > 0$ $x,y\in E,$ 존재하는 경우 x $x,y\in E,$ $=$ (\ $displaystyle x=$ $d(x,y)>r.$ ) $d(x,y)>r.$ y $d(x,y)>r.$ $display dy(x,$ y) displaystyle $d(x,y)>r.$ r> $x=y$ 인 $경우$ 균일하게 분리된다고 합니다 $.$ $d(x,y)>r.$ ^[1] 메트릭 공간의 기반이 되는 토폴로지는 메트릭이 균일하게 이산되지 않고 이산할 수 있습니다.예를 들어 세트 $\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.$ { $\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.$ $\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.$ : $\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.$ N $\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.$ . $\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.$ \ $displaystyle$ \ $left$ \ { 2 $\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.$ ^ { - $n$ : $n$ } .\ $in$ \ $mathbb$ { $N } _$ { $0 }$ . $}$

이산 공간이 반드시 균일하게 이산되어 있지 않다는 증거

${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ { ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ - ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ : n ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ 0 ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ { ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ , 1 ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ , ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ 4, ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ 8 , ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ , { \ $textstyle$ X = \ $left$ \ { $2$ ^ { - n } : $n$ \ $in$ \ $mathbb$ { $N } _$ { $0$ } = \ left \ { $1$ , { \ $frac }$ , { 1 } , { $frac$ } { $frac$ } } 。 $(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon ),$ X $({displaystyle$ X $})$ 는 $X$ $x_{n}=2^{-n}\in X,$ 개별 공간입니다. 각 점 $x_{n}=2^{-n}\in X,$ n $x_{n}=2^{-n}\in X,$ 2 - $x_{n}=2^{-n}\in X,$ X $x_{n}=2^{-n}\in X,$ , \ $displaystyle x$ $(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon ),$ { $n$ $(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon ),$ } = $2$ ^ { - $n$ } \ $in$ X , $(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon ),$ , \ $displaystyle$ ( $x _ n$ ) $(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon ),$ - $(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon ),$ 、 $(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon ),$ x $(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon ),$ + $(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon ),$ 、 \ $varepsilon$ , { $n$ } ) , { $n$ 。 $).$ } $\left(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon \right)\cap X$ x $\left(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon \right)\cap X$ - $\left(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon \right)\cap X$ $\left(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon \right)\cap X$ + $\left(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon \right)\cap X$ ) $x$ X $\left(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon \right)\cap X$ { $displaystyle \left$ ( x _ { n } - \ $varepsilon$ , x $_$ { n } + \ $varepsilon$ \ right $)$ 는 $\left(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon \right)\cap X$ $\{x_{n}\}.$ , 따라서, 실수의 집합이 개시된 이래 $\{x_{n}\}.$ 거의 $\{x_{n}\}.$ { $\{x_{n}\}.$ n $\{x_{n}\}.$ 입니다 $.{$ $\{x_{n}\}.$ displaystyle \ $x_n$ }it follows that $\{x_{n}\}$ is open so singletons are open and $X$ is a discrete space.

그러나 X $(\displaystyle$ X $)$ 는 $X$ 균일하게 분리될 수 없습니다.왜, 그곳에는 r을 존재한다고 가정해 보자가 d>r{\displaystyle d(x, y)>, r}(), y) 때마다)y≠{\displaystyle x\neq y.}이 최소한 두가지 점은clos 있X{X\displaystyle}){\displaystyle)}및 y{이\displaystyle}것을 보여 주기에 충분해;0{\displaystyle r>0}. 보러요.각에 어r $이외$ 의 $x_{n}$ ({ $displaystyle$ r $.})$ $x_{n}$ n $(\$ 1 $x_{n}$ $x_{n+1}$ })과 $x_{n+1}$ x $x_{n+1}$ + $1$ $displaystyle$ $x_{n+1})$ 사이의 거리가 2- $(n$ 1 $2^{-(n+1)},$ 이므로 이 부등식을 충족하는 n $(\displaystyle$ 2 $^{-(n+1})$ 을 $2^{-(n+1)},$ $n$ 찾아야 합니다.

{\displaystyle {displaystyle {n+1}2^{-(n+1)r\r^{-1}\r^{n+1}\\\log _{2}\left(r^{-1}\right)&<n+1\log _{2}(r)\log _+1-1\log

주어진 실수보다 큰 n $(디스플레이 스타일$ n $)$ 이 $n$ 항상 존재하므로 X $(디스플레이 스타일$ X $)$ 에는 $X$ 항상 $r,$ 의 r $(\display$ style $r,$ r)보다 서로 가까운 최소 2개의 $X$ 가 $존재$ 하므로 X(\display $style$ X $)$ 는 $X$ 균일하게 분리되지 않습니다.

특성.

이산 메트릭 공간의 기본 균일성은 이산 균일성이고 이산 균일한 공간의 기본 토폴로지는 이산 토폴로지입니다.따라서, 이산 공간에 대한 다른 개념들은 서로 양립할 수 있다.한편, 비균등 공간 또는 미터법의 기본 토폴로지는 이산적일 수 있다. 예를 들어, 미터법 $X=\{n^{-1}:n\in \mathbb {N} \}$ X $X=\{n^{-1}:n\in \mathbb {N} \}$ $d(x,y)=\left|x-y\right|$ { $X=\{n^{-1}:n\in \mathbb {N} \}$ $X=\{n^{-1}:n\in \mathbb {N} \}$ : n $X=\{n^{-1}:n\in \mathbb {N} \}$ N $}$ { $displaystyle$ X =\{ $n^{-1}:n\in \mathbb$ {N $}$ \} $X=\{n^{-1}:n\in \mathbb {N} \}$ ( $d(x,y)=\left|x-y\right|$ 라인에서 $d(x,y)=\left|x-y\right|$ 되어 d $d(x,y)=\left|x-y\right|$ (x , $d(x,y)=\left|x-y\right|$ y ) $-$ $style$ )이것은 이산 메트릭이 아닙니다.또, 이 공간은 완전하지 않기 때문에, 균일한 공간으로서 이산되지 않습니다.그럼에도 불구하고, 이것은 위상 공간으로서 이산적이다. $X는$ 위상적으로 이산적이지만 균일하게 이산적이거나 미터법으로 이산되지는 않습니다.

기타:

이산 공간의 위상 치수는 0입니다.
위상 공간은 해당 싱글톤이 열려 있는 경우에만 이산적입니다. 이는 축적점이 없는 경우에만 해당됩니다.
싱글톤은 이산 토폴로지의 기반이 됩니다.
균일한 $공간$ X $(\$ displaystyle X $)$ 는 $X$ 대각선 $\{(x,x):x\in X\}$ {( $\{(x,x):x\in X\}$ x ) : $\{(x,x):x\in X\}$ {\ $\{(x,x):x\in X\}$ }(\ $displaystyle \{(x,x):x$ \in X $\})$ 가 수행원인 경우에만 구분됩니다.
모든 이산 위상 공간은 각각의 분리 공리를 만족시킵니다. 특히, 모든 이산 공간은 하우스도르프, 즉 분리됩니다.
이산 공간은 유한한 경우에만 콤팩트합니다.
모든 이산 균일 또는 메트릭 공간이 완성됩니다.
위의 두 가지 사실을 결합하면, 모든 이산 균등 또는 미터법은 유한한 경우에만 완전히 경계된다.
모든 이산 메트릭 공간은 경계가 지정됩니다.
모든 이산 공간은 첫 번째로 셀 수 있습니다. 또한 셀 수 있는 경우에만 두 번째로 셀 수 있습니다.
모든 분리된 공간은 완전히 단절되어 있습니다.
비어 있지 않은 모든 이산 공간은 두 번째 범주입니다.
동일한 카디널리티를 가진 두 개의 이산 공간은 동형입니다.
모든 이산 공간은 ( 이산 메트릭에 의해) 측정 가능합니다.
유한 공간은 이산적인 경우에만 측정 가능합니다.
X $(\displaystyle$ X $)$ 가 $X$ $토폴로지$ 공간이고 Y(\ $displaystyle$ Y)가 $Y$ 이산 토폴로지를 포함하는 $X$ 인 $경우$ X(\ $displaystyle$ X)는 $X$ $X\times Y$ X(\ $displaystyle$ X\times Y $)$ 로 균등하게 커버됩니다(투영 맵이 대상).
실선의 부분 공간으로서의 정수의 부분 공간 위상은 이산 위상입니다.
이산 공간은 셀 수 있는 경우에만 분리할 수 있습니다.
$R$ \style \ $mathbb {R}$ (통상적인 유클리드 토폴로지와 함께)의 이산적인 위상 서브스페이스는 반드시 셀 ^[2]수 있다.

이산 위상공간에서 다른 위상공간으로의 함수는 연속적이며 이산 균일공간에서 다른 균일공간으로의 함수는 균일하게 연속된다.즉, 개별 $공간$ $X$ (\ $displaystyle$ X)는 $X$ 집합X(\ $displaystyle$ X $)$ 에서 위상 $X$ 공간 및 연속 지도 범주 또는 균일한 공간 및 균일 연속 지도 범주에서 자유롭다.이러한 사실은 이산 구조들이 보통 집합에서 자유롭다는 훨씬 더 광범위한 현상의 예입니다.

메트릭 공간에서는 모피즘에 대해 무엇을 선택하느냐에 따라 메트릭 공간에는 여러 범주가 있기 때문에 상황이 더 복잡합니다.확실히 형태소들이 모두 균일하게 연속된 지도이거나 모든 연속적인 지도일 때 이산적인 메트릭 공간은 자유롭지만, 이것은 메트릭 구조에 대해 흥미로운 것을 말해주지 않는다. 단지 균일하거나 위상적인 구조일 뿐이다.Morphism을 Lipschitz 연속 맵 또는 짧은 맵으로 제한하여 메트릭 구조와 더 관련된 범주를 찾을 수 있습니다. 그러나 이러한 범주에는 두 개 이상의 요소에 자유 객체가 없습니다.그러나 이산 메트릭 공간은 경계 메트릭 공간과 립시츠 연속 맵 범주에서 자유롭고, 1과 짧은 맵으로 경계 메트릭 공간 범주에서 자유롭다.즉, 이산 메트릭 공간에서 다른 경계 메트릭 공간으로의 함수는 Lipschitz 연속이며, 이산 메트릭 공간에서 다른 메트릭 공간으로의 함수는 1로 경계된 길이가 짧습니다.

반대로 위상 $공간$ Y에서 $Y$ 이산 $공간$ X $($ $디스플레이$ $스타일$ $X$ $)$ 로의 $f$ $X$ 함수 $f$ 는 Y $($ 디스플레이 스타일 Y $)$ 의 $Y$ 모든 점에 f $(디스플레이 스타일$ F $)$ 가 $f$ 일정하다는 의미에서 국소적으로 일정한 경우에만 연속적입니다.

빈 $X$ 의 모든 $X$ $U(\$ $displaystyle$ { $U})$ 는 ${\mathcal {U}}$ 빈 집합 X의모든 U $displaystyle \displaystyle$ \displaystyle ${U})\cup \left\{\varnothing \right\}\}\$ $cup$ \ $displaystyle$ X의 $S$ 속성과 $\tau ={\mathcal {U}}\cup \left\{\varnothing \right\}$ 할 수 있습니다 $.$ $(\displaystyle$ X $)$ 는 $X$ 열린 서브셋이거나 닫힌 서브셋이지만 둘 다일 수는 없습니다.이와 달리 모든 서브셋은 열림 또는 닫힘(즉, 개별 토폴로지와는 달리)이 모두 열림 및 닫힘(즉, clopen)인 서브셋은 ${\(\displaystyle \varnothing)$ 과 $\varnothing$ X(\ $displaystyle$ X $)$ 뿐입니다. 이에 비해 X $(\displaystyle$ X)의 $X$ 모든 서브셋은 모두 열림 및 닫힘입니다.

예와 용도

이산 구조는 다른 자연 위상, 균일성 또는 메트릭을 포함하지 않는 집합에서 "기본 구조"로 사용되는 경우가 많습니다. 이산 구조는 특정 가정을 테스트하기 위한 "극단" 예로 사용될 수 있습니다.예를 들어, 임의의 그룹은 이산 토폴로지를 제공함으로써 토폴로지 그룹으로 간주할 수 있으며, 이는 토폴로지 그룹에 대한 이론이 모든 그룹에 적용됨을 의미한다.실제로, 분석가들은 대수학자들이 연구한 일반적인 비위상군을 "이산군"이라고 부를 수 있다. 어떤 경우에는, 예를 들어 폰트랴긴 이중성과 함께 유용하게 적용될 수 있다.0차원 다양체(또는 미분 가능 또는 분석 가능 다양체)는 이산적이고 계산 가능한 위상 공간일 뿐이다(산출 불가능한 이산 공간은 두 번째로 계산할 수 없음).따라서 우리는 모든 이산적인 계산 가능 그룹을 0차원 거짓말 그룹으로 볼 수 있다.

자연수의 이산공간의 무한복사의 곱은 연속분수팽창에 의해 주어지는 동형사상에 의해 비합리수의 공간과 동형사상이 된다.이산 공간 $\{0,1\}$ { $\{0,1\}$ $}({displaystyle \{0,1\})$ 의 $\{0,1\}$ 무한 복사본의 곱은 칸토어 세트와 동형이며, 실제로 제품 균일성을 사용할 경우 칸토어 세트와 균일하게 동형입니다.이러한 동형사상은 숫자의 삼원 표기법을 사용하여 주어진다.(칸토어 공간 참조).로컬 주입 함수의 모든 파이버는 반드시 해당 도메인의 개별 서브스페이스입니다.

수학의 기초에서 { $\{0,1\}$ $}({displaystyle \{0,1\})$ 의 $\{0,1\}$ $\{0,1\}$ 곱의 콤팩트성 특성에 대한 연구는 선택 공리의 약한 형태인 울트라필터 보조정리에 대한 위상학적 접근의 중심이다.

내부 공간

어떤 면에서는 디스크리트토폴로지의 반대는 오픈세트가 가장 적은 트리뷰티 토폴로지(비어있는 토폴로지라고도 불립니다)입니다(빈 세트와 공간 자체만).이산형 토폴로지가 초기형 또는 자유형인 경우, 비논리형 토폴로지는 최종형 또는 공동형입니다.토폴로지 공간에서 비논리형 공간에 이르는 모든 함수는 연속형 등입니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Pleasants, Peter A.B. (2000). "Designer quasicrystals: Cut-and-project sets with pre-assigned properties". In Baake, Michael (ed.). Directions in mathematical quasicrystals. CRM Monograph Series. Vol. 13. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 95–141. ISBN 0-8218-2629-8. Zbl 0982.52018.
^ Wilansky 2008, 페이지 35. sfn 오류: 대상 없음: CITREF Wilansky 2008 (도움말)

Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Counterexamples in Topology (2nd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-90312-7. MR 0507446. Zbl 0386.54001.
Wilansky, Albert (17 October 2008) [1970]. Topology for Analysis. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899.

[1] Pleasants, Peter A.B. (2000). "Designer quasicrystals: Cut-and-project sets with pre-assigned properties". In Baake, Michael (ed.). Directions in mathematical quasicrystals. CRM Monograph Series. Vol. 13. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 95–141. ISBN 0-8218-2629-8. Zbl 0982.52018.

[FOOTNOTEWilansky200835-2] Wilansky 2008, 페이지 35. sfn 오류: 대상 없음: CITREF Wilansky 2008 (도움말)

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