호모토피 리프팅 특성

수학에서 특히 대수 위상 내의 호모토피 이론에서 호모토피 리프팅 특성(우측 리프팅 특성 또는 커버 호모토피 공리의 예로도 알려져 있음)은 위상학적 공간 E에서 다른 호모토피 공리에 이르는 연속적인 함수에 관한 기술적 조건이다.B에서 일어나는 호모토피를 E로 "상층"으로 이동할 수 있도록 하여 E "상층"의 그림을 지지하도록 설계되었다.

예를 들어, 커버 맵은 주어진 시트에 대한 경로를 국부적으로 들어 올리는 고유한 특성을 가지고 있다. 독특한 점은 커버 맵의 섬유가 이산 공간이기 때문이다.호모토피 리프팅 특성은 독특한 리프팅 방법이 필요 없는 벡터 번들, 섬유 번들 또는 진동과 같은 많은 상황에서 유지될 것이다.

형식 정의

지금부터 모든 지도는 하나의 위상학적 공간에서 다른 위상학적 공간까지 연속적인 기능이라고 가정해 보자.Given a map ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$, and a space ${\displaystyle X\,}$, one says that ${\displaystyle (X,\pi )}$ has the homotopy lifting property,^[1][2] or that ${\displaystyle \pi \,}$ has the homotopy lifting property with respect to ${\displaystyle X}$, if:

• ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 호모토피 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$→ B ${\displaystyle f\colon X\time [0,1]\to B}$및
• for any map ${\displaystyle {\tilde {f}}_{0}\colon X\to E}$ lifting ${\displaystyle f_{0}=f _{X\times \{0\}}}$ (i.e., so that ${\displaystyle f_{0}=\pi \circ {\tilde {f}}_{0}}$),

there exists a homotopy ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\times [0,1]\to E}$ lifting ${\displaystyle f\,}$ (i.e., so that ${\displaystyle f=\pi \circ {\tilde {f}}}$) which also satisfies ${\displaystyle {\tilde {f}}_{0}=\left.$${\tilde{f}\오른쪽 _{X\time \{0$

다음 도표는 이 상황을 묘사하고 있다.

외부 사각형(점화살표 없음)은 리프팅 특성의 가설이 참인 경우에만 통근한다.리프팅 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$는 도표를 통근하는 점 화살표에 해당한다$$.이 다이어그램은 호모토피 확장 속성의 그것과 이중적이다. 이 이중성을 Eckmann-Hilton 이중성이라고 느슨하게 언급한다.

지도 $\pi {\displaystyle }$ ${\$이(가) 모든 공간 X에 대해 호모토피 리프팅 속성을 만족하는$$ $경우{\displaystyle }$, $\$ {\$displaystyle \pi \,}$을(를) 진동이라고 부르거나$$, 때로는 $단순히{\displaystyle }$ {$${\$displaysty \pi \}$이 호모피 리프팅 속성을 가지고$$ 있다고 말하기도 한다.

진동에 대한 더 약한 개념은 Serre fibration인데, 이 경우 호모토피 리프팅은 모든 CW 복합체 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에만 필요하다$.$

일반화 : 호모토피 리프팅 익스텐션 특성

호모토피 리프팅 특성과 호모토피 확장 특성의 공통 일반화가 있다.Given a pair of spaces ${\displaystyle X\supseteq Y}$, for simplicity we denote ${\displaystyle T\mathrel {:=} (X\times \{0\})\cup (Y\times [0,1])\subseteq X\times [0,1]}$. Given additionally a map ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$, one says that ${\displaystyle (X}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Y}$ ,${\displaystyle \pi }$) ${\displaystyle (X,Y,\pi )}$에 호모토피 리프팅 확장 속성이 있는 경우:

• ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 호모토피 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$→ B ${\displaystyle f\colon X\time [0,1]\to B$ 및
• For any lifting ${\displaystyle {\tilde {g}}\colon T\to E}$ of ${\displaystyle g=f _{T}}$, there exists a homotopy ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\times [0,1]\to E}$ which covers ${\displaystyle f}$ (i.e., such that ${\displaystyle \p$$i {\tilde {{f}=f}$)를 확장하고 g${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$$,$ f${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle T_{}}$= ${\displaystyle g\stackrel{}{}}$~ ${\$).${\tilde{f}}\오른쪽 _{T}={\tilde{g}}}.$

$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \pi }$) ${\displaystyle (X,\pi )}$의 호모토피 리프팅 특성은 $Y{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$ ${\displaystyle$ Y$=\emptyet }$을(를$)$ 취하여 얻으므로$$ 위의$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyty$ $T$$}$이(가) $X{\displaystyle }$×${\displaystyle }${ 0${\displaystyle \}}$ ${\time \0$

$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle (X,Y)}$의 호모토피 확장 속성은 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$을(를) 상수 지도로 가져와서$$ 얻으므로$$, E로의 모든 지도가 사소한 경우 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaysty \pi$$$$}$의 이미지 지점으로 상수 맵을 들어 올렸다는 점에서 무관하다$.$

참고 항목.

• 커버 공간
• 진동

메모들

참조

• Steenrod, Norman (1951). The Topology of Fibre Bundles. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6.
• Hu, Sze-Tsen (1959). Homotopy Theory (Third Printing, 1965 ed.). New York: Academic Press Inc. ISBN 0-12-358450-7.
• Husemoller, Dale (1994). Fibre Bundles (Third ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8.
• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.
• 장피에르 마르퀴스(2006) "수학의 인식론(Epistemology of Mathematics:호모토피 이론"은 수학의 건축, J. Ferriros & J.J. Gray, 편집자, 옥스퍼드 대학교 출판부 ISBN 978-0-19-856793-6페이지에 수록되어 있다.

외부 링크

• A.V. Chernavskii (2001) [1994], "Covering homotopy", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• nLab의 호모토피 리프팅 특성