국소 볼록한 위상 벡터 공간

수학의 기능분석과 관련 영역에서 국소볼록 위상벡터공간(LCTVS)이나 국소볼록공간은 규범화된 공간을 일반화하는 위상벡터공간(TV)의 예다. 그것들은 균형 잡힌, 흡수성, 볼록한 세트의 번역에 의해 위상이 생성되는 위상학적 벡터 공간으로 정의될 수 있다. 또는 그것들은 세미노름 패밀리가 있는 벡터 공간으로 정의될 수 있고 위상은 그 패밀리의 관점에서 정의될 수 있다. 일반적으로 그러한 공간들이 반드시 규범화될 필요는 없지만, 영벡터용 볼록한 국부기반의 존재는 한-바나흐 정리가 보유할 수 있을 만큼 충분히 강하여 연속적인 선형함수의 충분히 풍부한 이론을 산출한다.

프리셰 공간은 완전히 메트릴 수 있는 (완전한 미터법을 선택할 수 있는) 국소적으로 볼록한 공간이다. 그것들은 바나흐 공간의 일반화로서, 규범에 의해 생성된 측정기준에 관한 완전한 벡터 공간이다.

역사

벡터 공간에 대한 메트리징 가능한 위상은 모리스 프레셰의 1902년 박사학위 논문 Sur quelques points du calcul fonctionnel(측정지표의 개념에서 처음 도입)에 소개된 이후부터 연구되어 왔다. 1914년 펠릭스 하우스도르프에 의해 일반적인 위상 공간의 개념이 정의된 후,^[1] 비록 국소적으로 볼록한 위상이 일부 수학자들에 의해 암묵적으로 사용되었지만, 1934년까지만 힐버트 공간의 약한 위상과 힐버트 공간의 운영자에 대한 강한 연산자 위상을 명시적으로 정의한 것으로 보인다.^[2][3] 마침내 1935년 폰 노이만은 지역적으로 볼록한 공간(그에 의해 볼록한 공간이라 불림)의 일반적인 정의를 소개했다.^[4][5]

일반적인 국소 볼록한 공간의 개발 및 보급(그물, 제품 위상, 타이코노프의 정리 등 다른 개념과 결과들 중 가장 중요한 것은 스테판 바나흐가 1932년 초 대각선 대각선으로 처음 수립한 바나흐-알라오글루 정리)이다. 분리 가능한 규범 공간의^[6] 경우에 대한 주장(이중 공의 단위 볼은 메트리징 가능).

정의

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$$}$이(가$)$ 복합 번호의 하위$$ 필드$($$일반적$으로 C ${\$ 자체$$ 또는 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 벡터 공간이라고 $가정$하십시오. 국소 볼록한 공간은 볼록한 집합 또는 세미몬의 측면에서 동등하게 정의된다.

볼록 세트를 통한 정의

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 부분 집합 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$을(를) 호출함

1. Convex if for all ${\displaystyle x,y\in C,}$ and ${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$ ${\displaystyle tx+(1-t)y\in C.}$ In other words, ${\displaystyle C}$ contains all line segments between points in ${\displaystyle C.$$}$
2. Circled if for all ${\displaystyle x\in C}$ and scalars ${\displaystyle s,}$ if ${\displaystyle s =1}$ then ${\displaystyle sx\in C.}$ If ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,}$ this means that ${\displaystyle C}$ is equal to its reflection through the origin. $K{\displaystyle \mathbb{}}$= ${\displaystyle C\mathbb{},}$ ${\displaystyle \mathb {K} =\mathb {C$${\displaystyle \},\}}$의 경우, ${\displaystyle X}$${$$$C, {\$displaystyle x\in$ C$,}$ $C$${\displaystyle }${\$displaystyle C}$은 원점에 있는$$ $x{\displaystyle ,}$ ${\$$displaystyle x$$}$을 통한 원을 $의미$한다$.$
3. Balanced if for all ${\displaystyle x\in C}$ and scalars ${\displaystyle s,}$ if ${\displaystyle s \leq 1}$ then ${\displaystyle sx\in C.}$ If ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,}$ this means that if ${\displaystyle x\in C,}$ then ${\displaysty$$le C}$ contains the line segment between ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle -x.}$ For ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} ,}$ it means for any in ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle C}$ contains the disk with ${\displaystyle x}$ on its boundary, centred on the origin, $x{\displaystyle }$. ${\displaystyle x.}$에 의해 생성된 1차원 복합 하위 공간에서 균형이 잡힌 집합은 원뿔이다.
4. 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle$ x$\in C}$ $및{\displaystyle \mathrm{}}$ 0$$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \le ,}$ ${\displaystyle 0\leq$ t$\leq ,}$ t ${\displaystyle \mathrm{x<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; 0\backslash leq\; t\backslash leq\; ,\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/54bff9f4e6628fb7ff8436312d594a174e9830ad"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:8.201ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="165">}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle tx\in.}$에 대해 원뿔(기본 필드가 정렬된 경우)
5. $모든{\displaystyle }$ x${\displaystyle \mathrm{absorbing}}$ X ,${\displaystyle x\in$ X$,}$에 대해 t${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K\mathbb{}}$ ${\$을를) 하는 r > ${\displaystyle r>0$$}$이(가) 존재하면 흡수되거나 흡수된다$.$ 설정된 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은(는) "큰" 값으로 스케일아웃하여 공간의 모든 포인트를 흡수할 수 있다$$.
   • 어느 TVS에서도, 기원의 모든 동네는 흡수성이 있다.^[7]
6. 균형이 잡히고 볼록한 경우 절대 볼록 또는 디스크. 이는 계수가 $\le {\displaystyle }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \leq$ 1$}$에 절대적으로 합치되는 선형 조합 하에서 닫히는 것과 같다$;$ 그러한 집합은 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$에 모두 포함되면 흡수성이 있다.

토폴로지 벡터 공간(TV)은 발원지가 볼록 집합으로 구성된 근린적 기반(즉, 국부적 근거지)을 가진 경우 국부적 볼록스라고 부른다.^[7]

사실, 모든 지역 볼록 TV는 절대 볼록 세트(즉, 디스크)로 구성되는 원점에 대한 근린 기반을 가지고 있으며, 여기서 이 근린 기반은 완전히 오픈 세트로 구성되거나 완전히 닫힌 세트로 구성되도록 추가로 선택할 수 있다.^[7] 모든 TVS는 균형 잡힌 세트로 구성된 원점에 근린 기반이 있지만, 지역적으로 볼록한 TVS만이 균형 잡힌 세트와 볼록한 세트로 구성된 원점에 근린 기반이 있다. TVS는 볼록하면서도 국지적으로 볼록하지 않은 일부 원점 지역을 가질 수 있다.

번역은 ("위상 벡터 공간"의 정의에 의해) 연속적이기 때문에, 모든 번역은 동형체이기 때문에, 기원의 이웃에 대한 모든 베이스는 주어진 벡터 주변의 베이스로 번역될 수 있다.

세미놈을 통한 정의

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 세미놈은 다음과$$ $같은{\displaystyle }$지도 ${\displaystyle p\mathbb{}}$: X →$$R {\$displaystyle p:X$\to $\mathb$ {R$}$이다.

1. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$이(가) 양수 또는 양수 세미데마인: $p{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle 0}$ 0$(\displaystyle p(x)\geq$ 0$\};$
2. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$은(는) 양의 동종 또는 양의 확장 가능: $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= s${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ $p$$(sx)$ = $s(x)}$ 모든$$ 스칼라 $s{\displaystyle }$.${\displaystyle$ s$.}$ 따라서$$, 특히 $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystystyle$ p$(0=0$
3. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$은(는) 하위 추가물이다. 삼각형 불평등: $p{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ + ${\displaystyle y}$)${\displaystyle p}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle p}$ (${\displaystyle y}$ )${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ p($x+y)\leq p(x)+p(y)$를 만족한다.$}$

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{양}}$의 정의도를 충족하면$$ $p{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ p$(x)=0}$이면 ${\displaystyle \mathrm{x}}$= 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle x=0,},$ p ${\displaystyle p}$이(가) 표준이라고 명시하는 경우. 일반적으로 세미노름들은 규범이 될 필요는 없지만, 아래에서 정의한 세미노름 가족의 분리성에 대한 이 기준의 아날로그가 있다.

If ${\displaystyle X}$ is a vector space and ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ is a family of seminorms on ${\displaystyle X}$ then a subset ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ of ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ is called a base of seminorms for ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ if for all ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P\mathcal{}}$ ${\$에는${\displaystyle q\mathcal{}}$ ${\$의 Q {\displaystyle $q}$과(와)의 $real$ r> ${\displaystystyleq rq.}$이 있다.

정의(두 번째 버전): 로컬 볼록한 공간은 $X{\displaystyle .}$ ${\displaystyle X}$에 있는 세미놈의 $P$ ${\$ {P$}과($와$$) 함께 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X}로 정의된다.

세미놈 위상

$X{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle X}$이(가) K${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathb {K}에$대한 벡터 공간이라고$$ 가정해 보십시오. $여기$서 K ${\$은(는) 실제 또는 복잡한 숫자 중 하나이고$$ $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$resp). B≤ r{\displaystyle B_{\leq r}});K다.{\displaystyle \mathbb{K}에 0{\displaystyle r>0} 반지름 r의 열린(resp.)공을 의미한다.}seminorms P{\displaystyle{{P\mathcal}의 가족}}벡터 공간 X{X\displaystyle}에서 X{\displ에 정준 벡터 공간 토폴로지를 유발한다.$아ystyle X}$는$$세미노름에 의해 유도된 초기 위상이라고 불리며 위상학적 벡터 공간(TV)으로 만들었다. $정의상{\displaystyle \mathcal{}}$ P ${\$의 모든 맵이 연속적인$$ X ${\displaystyle X}$에서 가장 강력한 위상이다.

이 위상에서 벡터 공간 연산이 연속적이라는 것은 위의 속성 2와 3에서 따온 것이다. 각각의 ${\displaystyle {UB}_{}}$, r${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle U_{B,r}(0)}}},$ 그리고 (후자의$$ 특성이 번역에 의해 보존되기 때문에) 위에서 주어진 첫 번째 정의의 의미에서 위상학적 벡터 공간이 "로컬하게 볼록"하다는 것을 쉽게 알 수 있다.

공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 국소 볼록 위상은$$ 규범 계열에 의해 $유도$되지만 X$${\$displaystyle X$}은 규범성이 없다(즉, 위상이 단일 규범에 의해 유도됨).

기본 및 하위 기준

는 P{\displaystyle{{P\mathcal}}}은 X야{X\displaystyle}에 seminorms의. 발신지에서 Asubbasis은 형태의 세트에 의해서 주어진다 X{X\displaystyle}에 국내에서 볼록 토폴로지τ{\displaystyle \tau}로 분화시키는 가족 p− 1(B<>r)){)∈ X:p())<>r}{\displays다고 가정해 보자.ptyle$^{-1}\왼쪽(B_{<r}\right)=\{x\in$ X$:p(x)<r\}}$에 $대한{\displaystyle }$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 범위는$$ $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle$ {$P}$ 및 r ${\displaysty r}$입니다. 출발지에서의 베이스는 그러한 서브베이스 세트의 가능한 모든 유한 교차점의 수집에 의해 주어진다.

TVS의 토폴로지가 변환 불변형이라는 점을 상기하십시오. 즉, $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{원점}}$을 $포함$하는 X ${\displaystyle X}$의 하위 집합인 $경우{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$+${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x+S}$이($가{\displaystyle }$$)$ 이웃인$$ 경우에만 해당 원점의 $인접함$ $x{\displaystyle }$ [\$displaystyle x$ 따라서 원점에서 위상을 정의하기에 충분하다. 이 토폴로지에$$ $대한{\displaystyle }$y {\$displaystyle$ y$}$의 인접 영역은 다음과 같은 방법으로 구한다: $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 모든 유한 부분 $집합{\displaystyle }$ F ${\displaystyle F}$ 및$$ r > $,$ {\$displaystyle$ r$>0,$ {\displaysty r>0, lets.

세미노름과 포화가족의 근거지

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 로컬 볼록스 공간이고 $P{\displaystyle }$ ${\${\$mathcal {P}$이(가) X ${\displaystyle X}$에 연속 세미놈의 집합에 대한 기반이 되면 P ${\$ {$P}$이($)$가 연속 세미놈의 베이스로 불린다$$$.$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ X$\}$^[8] 명시적으로, 이는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 연속 $세미노름{\displaystyle }$ p$${\$displaystyle$$$p$\}$에 대해${\displaystyle }$${\displaystyle q\mathcal{}}${\$displaystyleq {P}$과(와$)$ ${\displaystyle \mathrm{같은<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; q\backslash in\; \{\backslash mathcal\; \{P\}\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/0fbb05d89737331be5cfaaa30d21d2e4e3be6336"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:5.614ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="350">}}$${\displaystystyle$ $q$${\displaystyle \}}$이$있다는$ 것을 의미한다$.$

로q{\displaystyle q}P{\displaystyle{{P\mathcal}에}변화 연속 seminorms의 국내 180°보다 작은 터널 비전 시스템 X에 만약 P{\displaystyle{{P\mathcal}}} 야비한}}과 r를 혼동하다.{\d 형태{)∈ X:q())<>r}{\displaystyle\와 같이{x\in X:q())<, r\}의 모든 세트 그 다음에 가족{X\displaystyle}.isplay$스타일 r}$은(는) 양의 실제 숫자에 따라$$ $달라지며{\displaystyle }$,$$ X$${\$displaystyle$ X$}($단순히 하위 기준만 있는 것이 아니므로 이러한 집합의 유한한 교차점을 취할 필요가 없음)^[8]에 있는 원점 이웃의 기반이다.

A family ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ of seminorms on a vector space ${\displaystyle X}$ is called saturated if for any ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle q}$ in ${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ the seminorm defined by ${\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),$$q(x)\}}$은(는) $P{\displaystyle \mathcal{}}$. ${\displaystyle {\mathcal {P}$에 속함$$.$}$

연속 seminorms의 p로 X{X\displaystyle}에 토폴로지는 그 양식{)∈ X:p())<>r}{\displaystyle\와 같이{x\in X:p())<, r\}의 모든 집합의 컬렉션}을 유발하는 만약 P{\displaystyle{{P\mathcal}}}은 포화 가족{p\displaystyle}P{\displaystyle{{P\mathcal}에 걸쳐 있다}}는nd $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ 범위는$$ 모든 양의 실수에 걸쳐 있으며 볼록한 오픈 세트로 구성된 원점에서 근린 기준을 형성한다.^[8] 이것은 단지 하위 기준보다는 원점에서 근거를 형성하여, 특히 그러한 집합의 유한한 교차점을 취할 필요가 없다.^[8]

규범의 기초

다음 정리는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 로컬 볼록 공간인 경우 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 연속규범 집합에 의해 $정의$될 수 있음을$$ 암시한다($$규범은 ${\displaystyle s}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= $(\displaystyle s=0)$은 $x{\displaystyle }$=$$을 암시하는$$ $세미노름$ s ${\$$displa$}이다.Ystyle x=0})과 경우에만 X에 최소한 하나의 연속적 규범{X\displaystyle}seminorms를 규범과 seminorm의 합은 노르마 만약 국내에서 볼록 공간은 가족 P{\displaystyle{{P\mathcal}에 의해}정의된다}.[9]이것은 존재한다면(각각은 지속적인입니다)그 다음에는 가족 P+.n${\displaystyle :=}${${\displaystyle p}$+ ${\displaystyle n}$: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P\mathcal{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}+n:=\p+n:p\in$ ${\$$mathcal {p}\$in {\$mathcal$ {p}\}}이$($가) 각 원소에 일정한$$ $연속성{\displaystyle }$ 규범을 추가하여 얻은 규범의 집합은 반드시 동일한 국소 볼록 $위상$일 것이다. 위상학적 벡터 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$에 연속적인 규범이 $존재$하는 경우,$$X {\$displaystyle$ X$}$은(현지 볼록 공간이나 프레셰트 공간은 아님) 반드시 하우스도르프지만 그 반전은 일반적으로 참이 아니다.

그물

Suppose that the topology of a locally convex space ${\displaystyle X}$ is induced by a family ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ of continuous seminorms on ${\displaystyle X}$. If ${\displaystyle x\in X}$ and if ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ is a net in ${\displaystyle X}$, then ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ in ${\displaystyle X}$ if and only if for all ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }-x\right)=\left(p\left(x_{i}\ri$if)X{X\displaystyle}에{\displaystyle x_{\bullet}}은 코시 ∙ Ght)-x\right)_{나는 i\in}\to 0입니다.}게다가, 그때는p()∙))(p()i))나는 ∈ ∈ P.{\displaystyle p\in{\mathcal 나는}모든 p에{\displaystyle p\left(x_{\bullet}\right)=\left(p\left(x_{나는}\right)\right)_{1세i\in}[11].{P}$}.}$^[11]

정의의 등가성

이웃의 기지에 대한 정의가 더 나은 기하학적 그림을 제공하지만, 세미몬에 대한 정의는 실제 작업에서 다루기 더 쉽다. 두 정의의 등가성은 민코프스키 기능 또는 민코프스키 게이지로 알려진 구조에서 나타난다. 그들의 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ -balls의 대류를 보장하는 세미노름의 주요 특징은 삼각형 불평등이다.

$흡수{\displaystyle }$ 세트 $C{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle C}$의 경우, $0{\displaystyle \mathrm{}t}$ t${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 0\leq$ t$\leq 1$마다 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ C ${\displaystyle tx\in C}$을$($를) 정의하여$$ $C$ ${\displaysty C}$의 Mintowsowsk 기능을 정의한다.

이 ${\displaystyle {정의}_{}}$에서 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle \mu _{C}$는 C {\$displaystyle C}$이(가설에 의해서도 흡수됨) 균형을 이루고 볼록하면 세미노름이라는$$ 것을 따른다. 반대로, 반달가슴곰의 가족을 보면, 그 집단은

볼록한 흡수 균형의 집합의 기초를 이루다

로컬 볼록 위상 정의 방법

추가 정의

• A family of seminorms ${\displaystyle \left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }}$ is called total or separated or is said to separate points if whenever ${\displaystyle p_{\alpha }(x)=0}$ holds for every ${\displaystyle \alpha }$ then ${\displaystyle x}$ is necessarily ${\displaysty$$르 0.}$ 국부적으로 볼록한 공간은$$ 세미노름의 분리된 가족이 있는 경우에만 하우스도르프다. 많은 저자들이 이 정의에서 하우스도르프 기준을 채택하고 있다.
• 유사 측정법은 $x{\displaystyle }$= y${\displaystyle }$. ${\displaystyle x=y$}일 ${\displaystyle 때}$만 $d{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle d(x,y)=0}$의 조건을 충족하지 않는 메트릭의 일반화다$.$$}}$ 국부적으로 볼록한$$ 공간은 유사측정학(pseudometrizzable)으로, 만약 계산 가능한 세미몬 계열이 있는 경우에만 위상이 유사측정학에서 발생한다는 것을 의미한다. 실제로 동일한 위상을 유도하는 가성계는 다음에 의해 주어진다.
  $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{n}^{{n}{{1}{2^{n}}{\frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}}}}}}}$$

  
  ($1{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle {2n}^{}}$ ${\$을(를) 양의 합계 $시퀀스$로 대체할 수 있는$$ 경우 ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 이 유사 측정은 $d{\displaystyle (k}$ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle k}$ y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle k}$ d${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle d(kx,ky)\neq$ k $d(x,y)}$을 의미하므로$$ (seudo) 정규를 정의하지 않는다. 가성계는 세미노름 가족이 분리되어 있을 경우에만 정직한 척도인데, 이는 공간이 하우스도르프일 경우에만 그러하기 때문이다. 더 나아가 공간이 완성되면 그 공간을 프레셰트 공간이라고 부른다.
• 위상 벡터 공간과 마찬가지로 국소적으로 볼록한 공간도 균일한 공간이다. 그러므로 사람은 균일한 연속성, 균일한 수렴성, 그리고 코치 시퀀스를 말할 수 있다.
• 국내에서 볼록 공간의 코시 망은 순())은 ∈{\displaystyle \left(x_{}\right)_{Aa\in}} 같은 그들이 모든 r>0{\displaystyle r>0}과 모든 seminorm pα,{\displaystyle p_{\alpha},}관계가 일부 지수 c∈{\displaystyle c\in}등으로 지표들은, b≥. c${\displaystyle a,b\geq$ c$,}$ αa - ) . ${\displaystyle p_{\no }\왼쪽(x_{a}-x_{b}\right)<r.$$}$즉, 그물은 모든 세미노름에서 동시에 카우치여야 한다. 완전성의 정의는 더 친숙한 순서가 아니라 그물이라는 관점에서 주어진다. 왜냐하면, 측정 가능한 프레셰 공간과는 달리, 일반적인 공간은 헤아릴 수 없는 가성분류에 의해 정의될 수 있기 때문이다. 정의에 의해 셀 수 있는 시퀀스는 그러한 공간에서의 수렴을 특징짓는 것으로 충분할 수 없다. 모든 Cauchy net이 수렴되는 경우에만 국부적으로 볼록한 공간이 완성된다.
• A family of seminorms becomes a preordered set under the relation ${\displaystyle p_{\alpha }\leq p_{\beta }}$ if and only if there exists an ${\displaystyle M>0}$ such that for all ${\displaystyle x,}$${\displaystyle p_{\alpha }(x)\leq Mp_{\beta }(x).$$}$ One says it is a directed family of seminorms if the family is a directed set with addition as the join, in other words if for every ${\displaystyle \alpha }$ and ${\displaystyle \beta ,}$ there is a ${\displaystyle \gamma }$ such that ${\displaystyle p_{\alpha }+p_{\beta }\leq p_{\ga$$mma }}}.}$ 세미놈의 모든$$ 집단은 동일한 위상을 정의하는 동등한 지시된 집단을 가지고 있다. Indeed, given a family ${\displaystyle \left(p_{\alpha }(x)\right)_{\alpha \in I},}$ let ${\displaystyle \Phi }$ be the set of finite subsets of ${\displaystyle I}$ and then for every ${\displaystyle F\in \Phi }$ define
  $${\displaystyle q_{F}=\sum _{\alpha \in F}p_{\alpha }}$$

  
  $({\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {F_{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ∈ { ${\$F}\right)}을(를) 확인할 수 있다.$F\in \Phi }}$은(는) 등가 직계 가족이다.
• 만약 공간의 토폴로지가 하나의 세미몬에서 유도된다면, 그 공간은 세미몬이 될 수 있다. 한정된 부류의 세미몬을 가진 어떤 지역적으로 볼록한 공간도 반코믹할 수 있다. 더욱이 공간이 하우스도르프(가족이 분리되어 있다)라면, 세미노름의 합에 의해 주어지는 규범과 함께 그 공간은 규범성이 있다. 개방된 집합의 관점에서, 지역적으로 볼록한 위상학적 벡터 공간은 기원에 경계된 이웃이 있는 경우에만 반증할 수 있다.

충분한 조건

한-바나흐 확장 속성

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) TVS가 되도록$$ 하십시오. 만약 지속적인 선형 M{M\displaystyle}에 대한 실용적인 연속적인 선형 기능에 X{X\displaystyle}.[12]. X가{X\displaystyle}은 Hahn-Banach 확장 속성을(HBEP)에 있는 확장될 수 있다는 X{X\displaystyle}의 벡터 부분 공간 M{M\displaystyle}의 확장 속성이 있다. 만약 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 벡터 하위 공간에는 확장 속성이 있다$$.^[12]

한-바나흐 정리는 모든 하우스도르프 지역 볼록스 공간에 HBEP가 있음을 보장한다. 완전한 측정 가능한 TV의 경우 다음과 같은 역이 있다.

벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 마운트할 수 없는 치수를 가지고$$ 있고, 가장 훌륭한 벡터 위상(Vector Topology)을 제공한다면 이는 로컬 볼록이나 메트리징(metrizable)이 아닌 HBEP를 가진 TVS이다.^[12]

특성.

전체적으로 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 위상을 생성하는 연속 세미노름 계열이다$.$

위상학적 특성

• $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 실제 또는 복잡한 숫자에 대한 TVS(로컬 볼록 또는 하우스도르프일 필요는 없음)라고$$ 가정해 보십시오. 그리고 Y{Y\displaystyle}의 열린 볼록 하위 집합인지를 정확하게 그 폼의 있z+{y∈ Y:p(y)<1}){y∈ Y:p(− zy)<1}{\displaystyle z+\{Yy\in:p(y)<, 1\}=\{Yy\in:p(y-z)<, 1\}}어떤 z에 ∈ Y{\displaystyle z\in Y}과 일부 긍정적인 지속적인 선형적이기 때문 기능 p{\displaystyl.ep}에$Y {\displaystyle$ Y$\}.$^[13]
• 만약 S⊆ X{\displaystyle S\subseteq X}, 탭∈ X,{x\in X\displaystyle,}한 다음∈개 ⁡ S{\displaystylex\in \operatorname{개}S}만일 모든 r>에 0{\displaystyle r>0}과 모든 유한 컬렉션 p1,…,p n∈ P{\displaystyle p_{1},\ldots{{P\mathcal},p_{n}\in}}이 exi.sts 그렇게$me{\displaystyle }$ s${\displaystyle }$ s ${\displaystyle s\in S},$ 즉$$ i= - )< . ${\displaystyle \sum _{i=1}^{np_{i-s}<r.$$}$^[14]
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X}에서$${0$$$\}{\displaystyle }$ ${\displaystyle \{$${\displaystyle 0}$$\}}$의 닫힘은 $\bigcap {\displaystyle \underset{}{}}$ p ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle {\mathrm{p}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \bigcap _{p\in {p}}p^{-1}(0$)과 같다$$$.$$}$^[15]
• 모든 Hausdorff 지역 볼록한 TVS는 Banach 공간의 하위 공간과 동형이다.^[16]

볼록 부분 집합의 위상학적 특성

• TVS의 볼록한 부분집합의 내부와 폐쇄는 다시 볼록하다.^[17]
• 두 볼록 세트의 밍코스키 합은 볼록이고, 더욱이 볼록 세트의 스칼라 배수는 다시 볼록하다.^[17]
• $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이(가$)$ 비어 있지 않은 내부로 볼록 세트인 경우$$, $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ C$}$의 $닫힘$은 C ${\displaystyle C}$의 내부 닫힘과 동일하고$,$ $나아가{\displaystyle }$ C ${\$$displaystytle$ C$}$의 $내부$와${\displaystyle }$동일하다$.$$}$^[17][18]
  • $따라서{\displaystyle }$ 볼록 세트 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이(가) 비어 있지 않은 내부를 가진$$경우 C {\$displaystyle$ C$}$이(가) 일반 닫힘(resp. resp. resp. resp. resp. regular) 세트인 경우에만 닫힘(res. open) 세트가 된다$$.
• $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이(가) $TVS{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}($필수적으로 Hausdorff는 아님), x {\$displaystyle$ $x$$}$이(가$)$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 내부 및$$y ${\displaystystyle y$$}$이($가$$)$의 폐쇄에 속하는$$ 경우, 오픈 라인 $세그먼트$ x ${\$dgment x {\$displaystylease$d $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ y$}($ { +( 1- ) y: < t< ${\displaystyle \{tx+(1-t)y:0<t<1\}$)는 S ${\displaysty S}$의 내부에 속한다$.$^[18][19]
• If ${\displaystyle X}$ is a locally convex space (not necessarily Hausdorff), ${\displaystyle M}$ is a closed vector subspace of ${\displaystyle X}$, V is a convex neighborhood of the origin in ${\displaystyle M}$, and if ${\displaystyle z\in X}$ is a vector not in ${\displaystyle V,}$ then ther$e$는 V${\displaystyle }$= ${\displaystyle U}$$display$ M {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ V=$U\cap M}$ 및$$ $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \notin }$ ${\displaystyle U}$. ${\displaystyle z\not \in$ U$.}$에 0의 볼록한 근린 U.
• $X$ ${\displaystyle X}$과(와) 연속적인 이중 공간 사이의 $이중성$과 호환되는 X {\$displaystyle$ X$}$의 모든 로컬 볼록 Hausdorff TVS 위상에 대해 Hausdorff 로컬 볼록 TVS $X{\displaystyle }$ ${\displaysty$ X$}$의 볼록 부분 집합 닫힘은 동일하다$$.^[20]
• 국지적으로 볼록한 공간에서는 볼록한 선체와 완전히 경계된 세트의 원반형 선체가 완전히 경계를 이룬다.^[7]
• 완전한 국소 볼록한 공간에서는 볼록한 선체와 콤팩트한 세트의 원반형 선체가 모두 콤팩트하다.^[7]
  • 보다 일반적으로 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이(가) 국소 볼록한 공간의 콤팩트 부분 집합이라면$$ ${\displaystyle \mathrm{볼록한}}$ 선체 $\$ K {\$displaystyle \operatorname {co}K}($resp). 디스크형 선체 ${\displaystyle \mathrm{코발}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} K}$)는 완료한 경우에만 소형이다.^[7]
• 국부적으로 볼록한 공간에서 볼록한 세트의 선체가 경계를 이룬다. 일반적으로 TVS에는 해당되지 않는다.^[21]
• 프레셰트 공간에서는 컴팩트 세트의 닫힌 볼록한 선체가 콤팩트하다.^[22]
• 국부적으로 볼록한 공간에서는 완전히 경계된 집합의 어떤 선형 조합도 완전히 경계된다.^[21]

볼록형 선체의 특성

For any subset ${\displaystyle S}$ of a TVS ${\displaystyle X}$, the convex hull (resp. closed convex hull, balanced hull, resp. convex balanced hull) of ${\displaystyle S}$, denoted by ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ (resp. ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S,}$ ${\displaystyle \mathrm{bal}}$${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle \operatorname {bal}$ S$,}$ 코발 ${\displaystyle \mathrm{bal}}$$$${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal}$ S$})$은 $$$S{\displaystyle }$ .${\displaystyle$ S.}을$($를) 포함하는 X ${\displaystystyle$ X}의 가장 작은 부분 집합이다$.$

• 준완전한 국소 볼록형 TVS에서 콤팩트 서브셋의 볼록형 선체의 폐쇄는 다시 콤팩트하게 된다.
• Hausdorff 로컬 볼록 TVS에서는 프리콤팩트 세트의 볼록한 선체가 다시 프리컴팩트된다.^[23] 결과적으로, 완전한 국소 볼록한 Hausdorff TVS에서, 소형 서브셋의 닫힌 볼록 선체는 다시 콤팩트하게 된다.^[24]
• 모든 TVS에서, 콤팩트 볼록 세트의 유한 결합의 볼록 선체는 소형(및 볼록)이다.^[7]
  • 이는 모든 Hausdorff TVS에서 콤팩트 볼록 세트의 유한한 결합의 볼록 선체가 닫힌다는 것을 의미한다. 특히 그러한 결합의 볼록 선체는 해당 결합의 닫힌 볼록 선체와 동일하다.
  • 일반적으로 콤팩트 세트의 닫힌 볼록 선체가 반드시 컴팩트하지는 않다.
  • 모든 비 하우스도르프 TVS에는 소형(따라서 완전함)이지만 닫히지 않는 하위 집합이 존재한다.
• 양극성 정리는 국소 볼록한 하우스도르프 TVS의 부분집합물의 양극성(즉 극지의 극성)이 그 집합의 닫힌 볼록 균형 선체와 동일하다고 명시하고 있다.^[25]
• 볼록세트의 균형 잡힌 선체가 반드시 볼록한 것은 아니다.
• If ${\displaystyle C}$ and ${\displaystyle D}$ are convex subsets of a topological vector space ${\displaystyle X}$ and if ${\displaystyle \operatorname {co} (C\cup D),}$ then there exist ${\displaystyle c\in C,}$ ${\displaystyle d\in D,}$ and a real number ${\display$$스타일{\displaystyle \mathrm{}}$ $r}$이(${\displaystyle 가}$) 0 ${\displaystyle \le }$ r ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$을(를$)$ 만족하여 $x{\displaystyle }$= r ${\displaystyle c}$+${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$- r${\displaystyle }$) ${\displaystyle d}$. ${\displaystyle$ x$=rc+(1-r)d$.$}$^[17]
• If ${\displaystyle M}$ is a vector subspace of a TVS ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle C}$ a convex subset of ${\displaystyle M}$, and ${\displaystyle D}$ a convex subset of ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle D\cap M\subseteq C,}$ then ${\d$$isplaystyle C=M\cap \operatorname {co}(C\컵 D).$$}$^[17]
• 세트 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $S$$}$을(를) 포함하는$$ X ${\displaystyle X}$의 가장 작은 균형 부분 집합은 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 균형$$ 잡힌 선체라고 하며$$$$, 발$$$bal{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$$.}$ ${\displaystyle$\$operatorname$${bal} S$$.}$으로$$표시된다는$점$을 상기하십시오. ${\displaystyle \mathrm{cobal}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle \operatorname {cobal} S$로 표시된$$$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은$($는) 볼록하고 균형 잡힌$$ S ${\displaystyle S}$을(를) 포함하는$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaysty X}$의 가장 작은 부분 집합이다$$.^[26] The convex balanced hull of ${\displaystyle S}$ is equal to the convex hull of the balanced hull of ${\displaystyle S}$ (i.e. ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S)}$), but the convex balanced hull of ${\displaystyle S}$ is not necessarily equal $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ 볼록 선체의 균형 잡힌 선체(즉, $$cobal${\displaystyle \mathrm{bal}}$ S ${\displaystyle \operatorname {co}$ $S}$이(가) ${\displaystyle 발}$ ⁡ ${\displaystyle (\mathrm{co}}$ S${\displaystyle }$) ${\displaysty \operatorname {bal}(\operatorname {co}S)})$과 반드시 같을(는 아님$$).$$^[26]
• If ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ are subsets of a TVS ${\displaystyle X}$ and if ${\displaystyle r}$ is a scalar then ${\displaystyle \operatorname {co} (A\cup B)=\operatorname {co} (A)\cup \operatorname {co} (B),}$ ${\displaystyle \op$$eratorname {co}(rA)=r$$\operatorname${$co}$ A$,}$ 및 ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{co}}(r}$ A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co}}}}}}}(rA)=r{\overline {\operatorname}}}}}}}(A$)}).$}$ Moreover, if ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A)}$ is compact then ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A+B)={\overline {\operatorname {co} }}(A)+{\overline {\operatorname {co} }}(B)}$ ^[27]
• If ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ are subsets of a TVS ${\displaystyle X}$ whose closed convex hulls are compact, then ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A\cup B)={\overline {\operatorname {co} }}\left({\overline {\operatorname {co}$$}}}(A)\컵 {\overline {\operatorname {co}}}}}(B)\오른쪽).$$}$^[27]
• If ${\displaystyle S}$ is a convex set in a complex vector space ${\displaystyle X}$ and there exists some ${\displaystyle z\in X}$ such that ${\displaystyle z,iz,-z,-iz\in S,}$ then ${\displaystyle rz+siz\in S}$ for all real ${\displaystyle r,s}$ such that ${\displaystyle r}$+ ${\displaystyle s\mathrm{}\le }$ 1. ${\displaystyle$ r + s$\leq$ 1$.}$ 특히$$$,$ ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $스칼라$에는 $z{\displaystyle s}$ $S${\$displaystyle$ $a$$}$ {\displaystyle$$$a$}이$($${\displaystyle 가}$) 2 $≤$ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ 2 .${\styleq {\frac {1}{$1}{2}을 표시하도록 $한다.$$}$

예제 및 비표본

국소 볼록 토폴로지의 최상 및 동상

동축 벡터 위상

사소한 위상(불분명한 위상이라고도 함)이 부여된$$ 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 로컬 볼록한 TVS이다(물론 그러한 위상 중 가장 강력한 위상이다). $이{\displaystyle }$ 토폴로지는 X${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$인 경우에만 Hausdorff입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ X$=\{0\}}$$$ 이 불분명한 위상은 어떤 벡터 공간도 완전히 유사하게 지역적으로 볼록한 TVS로 만든다.

이와는 대조적으로 $이산{\displaystyle }$ 위상은 X${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0\}}$ . ${\displaystyle X=\{0\}$만 있는 경우$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 벡터 위상(Vector topology)을 형성한다.$$ 이는 모든 위상 벡터 공간이 연결된 공간이라는 사실에서 비롯된다.

가장 미세한 국소 볼록 위상

If ${\displaystyle X}$ is a real or complex vector space and if ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ is the set of all seminorms on ${\displaystyle X}$ then the locally convex TVS topology, denoted by ${\displaystyle \tau _{\operatorname {lc} },}$ that ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ induces on [28]이 또한 토폴로지는 TVS-topology X에서{X\displaystyle}근처 기지로 발신지에서 모든 흡수 디스크 세트에 응력을 가지고 있는 것으로 설명할 수 있을 것 X{X\displaystyle};:X에서 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}finest 지역적으로 볼록 토폴로지{X\displaystyle}은 .mw-parser-output .vanchor&gt라고 불린다. X.{X\displaystyle}[28]는 국내 convex TVS-topology X에서{년.$displaystyle X}$은${\displaystyle {}_{}}$는) 반드시 $\tau {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{lc}}_{}}$. ${\displaystyle \tau _{\operatorname {lc}$ $\}.\}($${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{lc}}_{}}$ ${\${lc$}}}\rig$)^[15]의 하위 집합이다$.$ $({\displaystyle X}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{lc}}_{}}$) ${\$에서 다른 로컬 볼록한 TVS로 가는$$ 모든 선형 지도는 반드시 연속적이다.^[15] 특히, 모든 선형(X,τ lc){\displaystyle \left(X,\tau_{\operatorname{lc}}\right)}에서 연속인지 모르고, X{X\displaystyle}X{X\displaystyle}의 모든 벡터 부분 공간(X,τ lc){\displaystyle \left(X,\tau_{\operatorname{lc}}\right)}에;[15]따라서는 폐쇄적 기능. 는 무한 치수 그러면$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{lc}}_{}}$) ${\$은(따라서 미터링할 수 없음).^[28] 더욱이 $\tau {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{lc}}_{}}$ ${\$은 X$${\$displaystyle X}$의 유일한 Hausdorff 로컬 볼록 토폴로지로서, 이 토폴로지에서 Hausdorff 로컬 볼록 공간으로의 선형 지도가 연속이라는 특성을 가지고$$ 있다.^[29] 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{lc}}_{}}$) ${\$은 선천적인 공간이다.^[30]

국소 볼록한 공간의 예

모든 규범화된 공간은 하우스도르프 지역 볼록한 공간이며, 국소 볼록한 공간 이론의 상당 부분이 규범화된 공간 이론의 일부를 일반화한다. 세미노름의 집단은 하나의 규범이 될 수 있다. 모든 바나흐 공간은 완전한 하우스도르프 지역 볼록한 공간이며, 특히 p${\displaystyle }p{\displaystyle }$ ${\displaystyle 1}$ ${\$$displaystyle$ L$^{p}}$p spaces 1 {\$displaystyle p\geq 1}$의 공간이 국지적으로 볼록한$$ 공간이다.

더 일반적으로, 모든 프레셰트 공간은 국소적으로 볼록하다. 프레셰트 공간은 셈할 수 있는 세미노름 가족이 분리된 완전한 지역 볼록한 공간이라고 정의할 수 있다.

공간 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$이(가) 제공한 세미노름 계열의 실제 가치 시퀀스

국소적으로 볼록하다. 셈할 수 있는 세미노름 가문은 완전하고 분리가 가능하기 때문에 이곳은 프레셰트 공간인데, 이것은 규범성이 없다. 이것은 또한 무한히 많은 $0$으로 유한 시퀀스를 완료함으로써 자연적으로 $R$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$mathb$ {$R} ^{\omega }}$에 $내장$된 R${\displaystyle {}^{}}$n$$, {\displaystyle \$mathb$ {R} ^{\$displaystyle$ 0$.}$의 한계 위상이다${\displaystyle \mathrm{.}}$

벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$과 그 위에 선형 함수의 $집합$ F ${\$$displaystyle$ $F}$이(가) 있는 경우, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X}$은(는) F {\displaysty $F}$의 모든 선형 함수를 연속적으로 만드는 가장 약한 위상으로서 국소적으로 볼록 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다$$. 이것은 약한 위상 또는 $F{\displaystyle .}$ ${\displaystyle F.}$ 집합$$ $F{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle F}$ 또는 $다른$ 집합의 대수적 이중일 수 있다$$$.$ $이$ 경우 세미노름 패밀리는 $F{\displaystyle }$. ${\displaystyle F$$}$의 모든 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$f}에$$ 대해 ${\displaystyle p_{}}$ f${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x)}$ =$(x) }$에 의해 주어진다$.$$}$

서로 다른 기능의 공간은 다른 비표준적인 예를 제공한다. Consider the space of smooth functions ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ such that ${\displaystyle \sup _{x}\left x^{a}D_{b}f\right <\infty ,}$ where ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle B}$ are multiindices. $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$, ${\displaystyle b_{}}$( ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{sup}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$ ${\displaystyle x\underset{}{}{}^{}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle D_{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}{}_{}}$ ( x${\displaystyle }$) $displaystyle p_{a,b}(f)=\sup_{x}\좌측 x^{a_{b}f(x)\right}}}}}$이(가) 정의되어 있으며$$, 공간이 완전하므로 이 메트리체 공간은 Fréchetchet 공간이다. 슈워츠 공간, 즉 급격한 감소 기능의 공간으로 알려져 있으며 이중 공간은 강화분포의 공간이다.

An important function space in functional analysis is the space ${\displaystyle D(U)}$ of smooth functions with compact support in ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$ A more detailed construction is needed for the topology of this space because the space ${\displaystyle C_{0}^{\$$큰 }(U)}$은(는) 균일한 표준에서 완전하지$$ 않다. The topology on ${\displaystyle D(U)}$ is defined as follows: for any fixed compact set ${\displaystyle K\subseteq U,}$ the space ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(K)}$ of functions ${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }}$ with ${\displaystyle \operatorname$${supp} (f)\subseteq K}$ is a Fréchet space with countable family of seminorms ${\displaystyle \ f\ _{m}=\sup _{k\leq m}\sup _{x}\left D^{k}f(x)\right }$ (these are actually norms, and the completion of the space ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(K)}$ with the $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$ 표준은$$ Banach space D ${\displaystyle m^{}}$( ${\displaystyle K}$) ${\displaystyle$ D$^{m}(K)}$이다.$$ Given any collection ${\displaystyle \left(K_{a}\right)_{a\in A}}$ of compact sets, directed by inclusion and such that their union equal ${\displaystyle U,}$ the ${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)}$ form a direct system, and ${\displaystyle D(U)}$$$ 이 시스템의 한계로 정의된다. 이러한 프리셰트 공간의 한계는 LF공간으로 알려져 있다. More concretely, ${\displaystyle D(U)}$ is the union of all the ${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)}$ with the strongest locally convex topology which makes each inclusion map ${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)\hookrightarrow D(U)}$ 연속의 이 공간은 국소적으로 볼록하고 완전하다. 그러나, 그것은 메트리가 가능하지 않고, 그래서 프레셰트 공간은 아니다. $D{\displaystyle ({\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\$의 이중 공간은 ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathb {R} ^{n}$에 대한 분포 공간이다$$.$}$

좀 더 추상적으로, $위상학적{\displaystyle }$공간 X , ${\displaystyle$ X$}$에 대한 $공간{\displaystyle }$C ( ${\displaystyle X}$)$${\$displaystyle$ C$(X)}$의 X ${\displaystyle X}$에 대한 연속(필수 경계가 아닌) 함수를 지정할 수 있다$$. 이 위상은 준규범 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle K_{}}$( f${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 최대}${ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \varphi _{K}(f)=\max\{f(x) :x\in$ K$\}}$에 의해 정의된다($$$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K$$}$는 X$}$의 모든 콤팩트 하위 집합에 따라 달라짐$$). When ${\displaystyle X}$ is locally compact (for example, an open set in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) the Stone–Weierstrass theorem applies—in the case of real-valued functions, any subalgebra of ${\displaystyle C(X)}$ that separates points and contains the constant functions (for example, the subalgebra 다항식)은 밀도가 높다.

국부적 볼록성이 결여된 공간의 예

많은 위상 벡터 공간은 국소적으로 볼록하다. 국부적 볼록성이 결여된 공간의 예는 다음과 같다.

• << $>$의 L ${\displaystyle p^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ])}$ ${\$$displaystyle$ $L^{p}([0,$$1])}$ 공간에는 F-orm이 장착되어 있다$.$
  $${\displaystyle \ f\ _{p}^{p}=\int _{0}^{1}f(x) ^{p}\,dx.}$$

  
  0의 유일한 볼록한 동네는 전체 공간이기 때문에 이 지역 볼록한 볼록한 볼록한 것이 아니다. 보다 일반적으로 무원자 유한 측정 $[\displaystyle$ \$mu$ } 및$$ < $[\$displaystyle \mu$}}$이$(가$) 있는 $공간{\displaystyle {}^{}}$ $L$p ($){\$$displaystyle$ L$^{p}(\mu$ )은 국소적으로 볼록하지 않다.
• 단위 간격의 측정 가능한 함수의 공간${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ [$0,1]}($거의 거의 모든 곳에서 동일한 두 함수를 식별함수)은 변환-상변량 메트릭에 의해 정의된 벡터 공간 토폴로지를 가지고 있다(측정 가능한 함수의 측정값의 수렴을 유도하며, 무작위 변수의 경우 측정값의 수렴은 동일함수).확률의 nverance:
  $${\displaystyle d(f,g)=\int _{0}^{1}{\frac {f(x)-g(x)}{1+ f(x)-g(x)}}}}}}}{1+ f(x)-g(x)}}}}}\,dx.}$$

  
  이 공간은 $종종{\displaystyle {}_{}}$ L ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle L_{0}$로 표시된다.$}$

두 예 모두 실수에 대한 모든 연속 선형 지도가 $0{\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystyle 0.}$이라는 속성을 가지고 있다. 특히$$, 이중 공간은 사소한 것, 즉 0 기능만 포함하고 있다.

• 시퀀스 공간 $\ell {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$( ${\displaystyle N\mathbb{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathb${$}),}$ 0<<1, {\$displaystyle 0 <p<$1,})}은(는) 로컬 볼록이 아니다.

연속 매핑

국소 볼록 공간은 벡터 공간뿐 아니라 위상학적 공간이기 때문에 두 국소 볼록 공간 사이에서 고려해야 할 자연적 함수는 연속 선형 지도다. 세미노름(semonorms)을 사용하면 Banach 공간에 대해 발견된 보다 친숙한 경계 조건과 매우 유사한 선형 지도의 연속성을 위한 필요하고도 충분한 기준을 제시할 수 있다.

Given locally convex spaces ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ with families of seminorms ${\displaystyle \left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }}$ and ${\displaystyle \left(q_{\beta }\right)_{\beta }}$ respectively, a linear map ${\displaystyle T:X\to Y}$ is co모든 $\beta {\displaystyle }$, ${\displaystyle \beta ,}$에 대해 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {\alpha n}_{}}$ ${\$ ${n}$ M> 0 ${\$$displaystyle M>$$0}$이 있는 경우에만 해당되며, 모든 $,$.

즉, $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ 범위의 각 세미놈은 도메인 내의 일부 한정된 양의 세미놈에 의해 위에서 경계된다. 패밀리$({\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\alpha }_{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이(가) 지시된 패밀리이며$$, 위에서 설명한 대로 항상 지시하도록 선택할 수 있다면, 공식은 더욱 간단해지고 친숙해진다.

국소적으로 볼록한 모든 위상학적 벡터 공간의 등급은 형태론으로서 연속적인 선형 지도를 가진 범주를 형성한다.

선형 함수

만일 fp≤.{우편\displaystyle f\leq}만약 f만약 X{X\displaystyle}이나 복잡한 진정한 벡터 공간, f{\displaystyle f}선형 X{X\displaystyle}에, 및 X{X\displaystyle}에 p{p\displaystyle}은 seminorm 기능을 한 다음[32]≤ p{\displaystyle f\leq p}f {\dIsplaystyle f}는non-0 선형 진정한 벡터 공간 X{X\displaystyle}에 및 X{X\displaystyle}에 만약 p{p\displaystyle}은 seminorm 만일 f− 1(1)∩{)∈ X:p())<1})∅.{\displaystyle f^{)}(1)\cap \{x\in X:p())<, 1\}=\varnot, 그때≤ p{\displaystyle f\leq p}f 기능적이다.hing.$}$^[15]

다중선 지도

Let ${\displaystyle n\geq 1}$ be an integer, ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ be TVSs (not necessarily locally convex), let ${\displaystyle Y}$ be a locally convex TVS whose topology is determined by a family ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ of continuous seminorms, and let ${\displaystyle M:\prod _{}^{}}$${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \mathrm{1n}}$ ${\displaystyle X_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$→ Y ${\displaystyle M:\prod _{i=1}^{n}X_{i$}\$to$ Y$}$는$$각 n {\$displaystyn}$ 좌표에서$$ 선형인 다중 선 연산자임. 다음은 이에 해당한다.

1. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$은(는) 연속형입니다.
2. For every ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}},}$ there exist continuous seminorms ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ on ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$ respectively, such that ${\displaystyle q(M(x$$))\leq p_{1}\left(x_{1}\right)\cdots p_{n}\left(x_{n}\right)}$ for all ${\displaystyle x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \prod _{i=1}^{n}X_{i}.$$}$^[15]
3. $q{\displaystyle q\mathcal{}}$ , ${\displaystyle$ $q$$\in {\mathcal {Q},}}$에 대해${\displaystyle \underset{q}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle =}$${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle X_{}}$ i ${\$에 원본의 근방이 있으며, ${\displaystyle q}$ M {\displaysty q$\circircircircircircirline q}$이 이에 한정되어$$$$ 있다$$.^[15]

참고 항목

• 볼록 세트 – 기하학에서 모든 선을 단일 선 세그먼트로 교차하는 세트
• 크레인-밀만 정리 – 극한 지점의 닫힌 볼록 선체와 공간이 동일한 경우
• 선형 형태 – 벡터 공간에서 스칼라 영역까지의 선형 지도
• 국부 볼록 벡터 격자
• 민코스키 기능
• 세미놈
• 하위선형 기능
• 위상학 그룹 – 연속적인 그룹 액션이 있는 위상학 공간인 그룹
• 위상 벡터 공간 – 근거리 개념의 벡터 공간
• 벡터 공간 – 선형대수의 기본 대수 구조

메모들

참조

• Berberian, Sterling K. (1974). Lectures in Functional Analysis and Operator Theory. Graduate Texts in Mathematics. 15. New York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401.
• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur certains espaces vectoriels topologiques [Topological Vector Spaces: Chapters 1–5]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. 2. Translated by Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
• Conway, John (1990). A course in functional analysis. Graduate Texts in Mathematics. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
• Dunford, Nelson (1988). Linear operators (in Romanian). New York: Interscience Publishers. ISBN 0-471-60848-3. OCLC 18412261.
• Edwards, Robert E. (1995). Functional Analysis: Theory and Applications. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.
• Grothendieck, Alexander (1973). Topological Vector Spaces. Translated by Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topological Vector Spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159. Translated by Garling, D.J.H. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Swartz, Charles (1992). An introduction to Functional Analysis. New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.