약한 위상

수학에서 약한 위상은 특정 초기 위상에 대한 대체 용어로서, 예를 들어 힐버트 공간의 위상 벡터 공간이나 선형 연산자의 공간에 종종 사용된다.이 용어는 연속적인 이중성과 관련하여 위상학적 벡터 공간(규범화된 벡터 공간 등)의 초기 위상에 가장 일반적으로 사용된다.이 글의 나머지 부분은 기능 분석의 개념 중 하나인 이 경우를 다룰 것이다.

위상 벡터 공간의 하위 집합이 약한 위상에 대해 닫힌 경우(존중, 약소 등) 약하게 닫힌 경우(존중, 약소 등)를 호출할 수 있다.마찬가지로, 기능도 약한 위상에 관해서 연속(존중, 다르게, 다르게, 분석하는 등)이면 약한 연속성(존중, 약하게 다른 것, 약하게 분석하는 것 등)이라고 부르기도 한다.

역사

1900년대 초반부터 데이비드 힐버트와 마르셀 리에즈는 약한 융합을 광범위하게 이용했다.기능 분석의 초기 개척자들은 약한 수렴보다 표준 수렴을 높이지 않았고 종종 약한 수렴을 선호한다고 보았다.^[1]1929년에 바나흐는 규범화된 공간에 약한 정합성을 도입했고 유사한 약한-* 정합성을 도입했다.^[1]약한 위상은 토폴로지 파이블과 슈와체 토폴로지라고도 불린다.

약하고 강한 토폴로지

$K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(를) 위상학 필드, 즉 덧셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 위상이 연속적인 필드가 되도록$$ 한다.대부분의 애플리케이션에서 $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은(는) 복잡한 숫자의 필드 또는 익숙한 토폴로지를 가진 실제 숫자의 필드일 것이다$$.

페어링에 대한 약한 토폴로지

약한 위상 및 약한* 위상은 쌍을 위한 보다 일반적인 구조의 특별한 경우로서, 현재 우리가 기술하고 있다.이 보다 일반적인 구조의 이점은 어떤 정의나 결과가 약한 위상과 약한* 위상에 모두 적용되어 많은 정의, 정리 진술 및 증명에 대한 중복이 필요하다는 것이다.이것은 또한 약한* 위상 또한 "약한 위상"이라고도 자주 언급되는 이유다. 왜냐하면 그것은 더 일반적인 건설의 설정에서 약한 위상의 한 예에 불과하기 때문이다.

위상학 필드 $K{\displaystyle \mathbb{}}$ {\$displaystyle \mathb {K}}}}$에 대한 벡터 공간의 쌍이라고 가정하십시오(즉, $X$와 Y는$$K {\$displaysty$\$mathb$${K}},$ b : X × Y → $K}}$는 바이린 맵입니다$.$

표기법.모든 x ∈ X에 대해 b(x, •) : Y → $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$는 y b b(x, y)로 정의된 Y에 대한 선형 기능을 나타낸다$$.마찬가지로 모든 y ∈ Y에 대해 b(•, y) : X → $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {$K}}을($를) x ↦ b(x, y)로 정의하도록 한다$$.

정의.Y(및 b)가 유도한 X의 약한 위상은 X에서 가장 약한 위상으로서, ((X, Y, b) 또는 단순 ((X, Y)으로 표시되며, 모든 지도 b(•, Y) : $X{\displaystyle \mathbb{}}$ → K ${\$을(으)^[1]가 Y보다 범위만큼 연속적으로$$ 만든다.

Y의 약한 위상은 이제 기사 듀얼 시스템에 설명된 대로 자동으로 정의된다.하지만, 명확성을 위해, 우리는 지금 그것을 반복한다.

정의.X(및 b)에 의해 유도된 Y의 약한 위상은 Y에서 가장 약한 위상으로서, ((Y, X, b) 또는 단순히 ((Y, X)로 표시되며, 모든 지도 b(x, •) : Y → $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(를) X에 걸쳐서 연속적으로 만든다.^[1]

필드 $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이(가) 절대값 ⋅을 갖는 경우, X의 약한 위상 ,(X, Y, b)은 다음에_y 의해 정의된 세미노름 계열 p : X → $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 의해 유도된다$.$

p_y(x) := b(x, y)

모든 y ∈ Y 및 x ∈ X에 대해.이것은 약한 위상이 국소적으로 볼록하다는 것을 보여준다.

가정.따라서 $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이(가) 실제 $숫자{\displaystyle \mathbb{}}$ R$${\$displaystyle \mathb$ {$R}$이거나 복합 $숫자{\displaystyle \mathbb{}}$ C ${\$인 것으로 가정해 봅시다$.$

표준 이중성

이제 우리는 Y가 X의 대수적 이중 공간(즉, X의 선형 함수의 벡터 공간)의 벡터 하위 공간인 특별한 경우를 고려한다.

There is a pairing, denoted by ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ or ${\displaystyle (X,Y)}$, called the canonical pairing whose bilinear map ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ is the canonical evaluation map, defined by ${\d$$isplaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x)}$ for all ${\displaystyle x\in X}$ and ${\displaystyle x'\in Y}$. Note in particular that ${\displaystyle \langle \cdot ,x'\rangle }$ is just another way of denoting ${\displaystyle x'}$ i.e.${\displaystyle ⟨,}$ ${\displaystyle {}^{}\prime }$ =${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ (${\displaystyle \cdot }$ ) ${\displaystyle \langle$\langle \$cdot,x'\rangle =x'(\cdot$ $)\}.$

가정.만약 Y가 X의 대수학적 이중 공간의 벡터 서브공간이라면, 우리는 그것들이 표준적인 페어링 ⟨X, Y⟩과 연관되어 있다고 가정할 것이다.

이 경우 X의 약한 위상(resp)이다.𝜎(X,Y)로 표시된 (resp. by ,(Y,X))의 약한 위상은 X(resp)의 약한 위상이다.표준 페어링 ⟨X, Y⟩에 관하여 (Y)

위상 σ(X,Y)은 Y에 관한 X의 초기 위상이다.

Y가 X에서 선형 함수의 벡터 공간인 경우 위상 σ(X,Y)에 대한 X의 연속 이중은 Y와 정확하게 동일하다(^[1]Rudin 1991년, Organization 3.10).

약자와 약자* 토폴로지

X는 $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$즉 X는 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈이 연속적으로 이루어지도록 위상이 장착된 $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$벡터$$ 공간이다.X가 원래의 위상, 시작 위상 또는 주어진 위상으로 시작하는 위상(독자는 이미 잘 알려진 의미를 가지고 있기 때문에 원래의 위상을 참조하기 위해 "초기 위상"과 "강력 위상"이라는 용어를 사용하는 것을 주의한다)이라고 부른다.X에서 $주어진{\displaystyle \mathbb{}}$ 위상에 대해 연속적인 기본 필드 K ${\$까지 모든 선형 함수로 구성된 $위상학적{\displaystyle {}^{}}$ 또는 연속적인 이중 공간 X$∗{\$을 사용하여 X에 가능한 다른 위상을 정의할 수 있다.

Recall that ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ is the canonical evaluation map defined by ${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x)}$ for all ${\displaystyle x\in X}$ and ${\displaystyle x'\in X^{*}}$, where in particular, ${\displaystyle ⟨\cdot ,x^{\prime }⟩=x^{\prime }(\cdot }$${\displaystyle )}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ =x$'(\cdot$)=$x$

정의.The weak topology on X is the weak topology on X with respect to the canonical pairing ${\displaystyle \langle X,X^{*}\rangle }$. That is, it is the weakest topology on X making all maps ${\displaystyle x'=\langle \cdot ,x'\rangle :X\to \mathbb {K} }$ continuous, as ${\displays$$tyle x'}$ 범위는$$ $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ X$^{*}}$ 입니다$.$^[1]

정의:The weak topology on ${\displaystyle X^{*}}$ is the weak topology on ${\displaystyle X^{*}}$ with respect to the canonical pairing ${\displaystyle \langle X,X^{*}\rangle }$. That is, it is the weakest topology on ${\displaystyle X^{*}}$ making all maps ${\displaystyle ⟨x,\cdot ⟩:X^{\ast }\to \mathbb{K}}$$\displaystyle$ ^[1]$\langle x,\cdot \angle :X^{*}\to$$\mathb {K}$ 연속$,$ X 이상의 범위.이 위상은 약한* 위상이라고도 불린다.

우리는 아래에 대체 정의를 제시한다.

연속 이중 공간에 의해 유도되는 약한 위상

또는 TVS X의 약한 위상은 X${\displaystyle {}^{}}family{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ X$^{*}$ 계열에 관한 초기 위상이다$.$ 즉, $X{\displaystyle {}^{}}$∗ ${\$의 각 요소가 연속적인 함수로 유지되도록 X에서 가장 강력한 위상이다.

A subbase for the weak topology is the collection of sets of the form ${\displaystyle \phi ^{-1}(U)}$ where ${\displaystyle \phi \in X^{*}}$ and U is an open subset of the base field ${\displaystyle \mathbb {K} }$. In other words, a subset of X is open in the weak topology if and only if it can be w(아마도 무한히 많은) 집합의 조합으로 리튼(ritten)으로, 각각의 $집합$은 ${\displaystyle {-}^{}}$ - ${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle U}$) ${\displaystyle \phi$^{-$1}(U)}$ 형식의 여러 집합의 교차점이다$.$

이러한 관점에서 약한 위상은 가장 강력한 극지 위상이다. 자세한 내용은 약한 위상(극지 위상)을 참조하라.

약한 수렴

The weak topology is characterized by the following condition: a net ${\displaystyle (x_{\lambda })}$ in X converges in the weak topology to the element x of X if and only if ${\displaystyle \phi (x_{\lambda })}$ converges to ${\displaystyle \phi (x)}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o$모든{\displaystyle \mathbb{}}$ $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ {\$displaystyle \mathb$ {$C}}$에 대한$$ R ${\$ X$^\{*\}\}.$

특히 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이(가) X의 ${\displaystyle {시퀀스}_{}}$라면$$x n {\$displaystyle$ x_${n}$은(는) x에 약하게 수렴된다.

${\displaystyle \varphi(x_{n})\varphi(x)}에$

모든 ${\displaystyle {}^{}}$ X ${\displaystyle {\infty }^{}}$ ${\$ X$^{*}}$에 대해 n → ∞로 표기하는 것이 관례다$.$

${\displaystyle x_{n}{\overset {\mathrm {w}{}{\longrightarrow }x}$

아니면, 가끔은

${\displaystyle x_{n}\rightharpoonup x.}$

기타 속성

X에 약한 위상이 장착되어 있다면 덧셈과 스칼라 곱셈은 연속적인 연산을 유지하며, X는 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간이다.

X가 정규화된 공간이라면 이중 $공간{\displaystyle {}^{}}$ X$∗{\$ X$^{*}}$은(는) 그 자체로 정규화된 벡터 공간이다$$.

${\displaystyle \phi \ =\sup _{\ x\ \leq 1} \phi (x) .}$

이 규범은 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$에 강위상이라고 하는 위상이 생기게 한다$.$ 이것이 균일한 수렴의 위상이다.균일하고 강한 위상은 일반적으로 선형 지도의 다른 공간에 대해 다르다. 아래를 참조하십시오.

취약-* 위상

약한* 위상은 극지 위상의 중요한 예다.

스페이스 X는 더블 듀얼 X**에 삽입할 수 있다.

$[*\displaystyle x\mapsto {\reases}T_{x}:X^{*}\to \mathb {K}\\\\\\\t_{x}(\phi )=\phi(x)\case}}}}$

따라서 $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ X$^{**}}$은(이 표준 임베딩이 반드시 과부하적인 공간은) 반드시 과부하적인 것은 아니지만 주입식 선형 매핑이다$$.The weak-* topology on ${\displaystyle X^{*}}$ is the weak topology induced by the image of ${\displaystyle T:T(X)\subset X^{**}}$. In other words, it is the coarsest topology such that the maps T_x, defined by ${\displaystyle T_{x}(\phi )=\phi (x)}$ from ${\displ$$기본{\displaystyle \mathbb{}}$ $필드$ R {\$displaystyle \mathb {R}$ 또는$$ $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {$C}$에 대한 aystyle X$^{*}$는 연속적으로 유지됨$$

약한* 수렴

$∗{\$의 순 ${\$은(는) 다음과 같이 포인트로 수렴되는 경우 약한-* 토폴로지에서$$ $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaysty \pi }$에 수렴된다.

${\displaystyle \phi _{\putda }(x)\to \phi(x)}$

모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in$ X$}$에 대해$.$ 특히 ${\displaystyle {provided}_{}}$$$ $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ {${$ \$pi _{n$}\$in$ X$^{*}}}}}$의 시퀀스는 { ${\displaystyle \pi }$에 수렴된다$$.

${\displaystyle \phi _{n}(x)\phi(x)}에$

모든 x x x x에 대해.이 경우 글씨를 쓴다.

${\displaystyle \phi _{n}{\overset {w^{*}}{\\to }}\phi }$

n → ∞로

약한* 수렴을 단순 수렴 또는 점근 수렴이라고 부르기도 한다.실제로, 그것은 선형 함수의 점적 융합과 일치한다.

특성.

X가 분리 가능한(즉, 계산 가능한 밀도 부분 집합) 지역 볼록 공간이고 H가 연속적인 이중 공간의 표준 경계 부분 집합인 경우, 약한*(하위 공간) 위상이 부여된 H는 측정 가능한 위상 공간이다.^[1]X가 분리 가능한 메트리즈블 로컬 볼록 공간인 경우 X의 연속 이중 공간에 있는 약한* 위상은 분리할 수 있다.^[1]

정규화된 공간에 대한 속성

By definition, the weak* topology is weaker than the weak topology on ${\displaystyle X^{*}}$. An important fact about the weak* topology is the Banach–Alaoglu theorem: if X is normed, then the closed unit ball in ${\displaystyle X^{*}}$ is weak*-compact (more generally, the polar in ${\displaystyle X^{*}}$X에서 0인 근방의 경우 약함*-compact).더욱이 규범화된 공간 X의 닫힌 단위 공은 X가 반사적일 경우에만 약한 위상에서는 콤팩트하다.

좀 더 일반적으로 F를 국소적으로 콤팩트하게 평가된 필드(예: reals, complex number 또는 p-adic number system)로 한다.X는 F의 절대값과 호환되는 F에 대한 표준 위상 벡터 공간이 되도록 한다.그런 다음 $X{\displaystyle {}^{}}$ $∗{\$에 있는 연속 F 값 선형 함수의 위상학적 이중 공간 X에서 모든 노르말 닫힘 볼은 약한-* 위상에서는 콤팩트하게 된다.

X가 정규화된 공간인 경우, 연속적인 이중의 부분집합은 약한 공간인 경우에만 약* 콤팩트한 공간이다* 닫히고 정규 경계인 경우.^[1]이는 특히 X가 무한정 규범된 공간일 때 X의 이중 공간에서 원점에 있는 닫힌 유닛 볼이 0이라는 약한* 근방을 포함하지 않음을 의미한다.^[1]

만약 X는normed 공간 만일 X의 밀폐된 유닛 볼({\displaystyle X^{*}}에weak-* 위상 수학 인 경우weak* 토폴로지 X의norm-bounded 하위 집합(}{\displaystyle X^{*}에 계량화 가능은 metrizable,[1]은 만약normed 공간 X에 존경(과 분리된 이중 공간이 그 후에 X. 분리되다.(따라서 X는 반드시 분리할 수 있다.^[1]X가 Banach 공간인 경우, X가 유한한 크기가 아닌$$ 한, X $*$ {\$displaystyle$ X$^{*}$의 모든 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$에서 약* 위상도를 계산할 수 없다.^[2]

예

힐베르트 공간

예를 들어 Hilbert 공간² L(${\displaystyle {}^{}}$n {\$displaystyle \mathb{R}$^{$n})$에서 함수의 강한 수렴과 약한 수렴 간의 차이를 생각해 보십시오$.$시퀀스 ${\displaystyle {\psi }_{}}$ k${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}^{}}$L 2 ( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)$${\$displaystyle \psi _{k$}\$in$ L$^{$2}(\$mathb {R}$ ^{n$})$를 요소 ψ에 강하게$$ 수렴한다는 것은 다음을 의미한다.

${\displaystyle \int_{\mathbb{R}^{n}}}\mu 0}일 경우\,\to _{k}-\psi ^{2}\,{\rm{d}\psi.$

k→ ∞. 여기 융합의 개념은 L2에 규범에 해당합니다.

대조적으로 약한 수렴만 그 것을 요구한다.

${\displaystyle \int_{\mathbb{R}^{n}}{\bar{\psi}}_{k}f\,\mathrm{d}\mu \to \int _{\mathbb{R}^{n}}{\bar{\psi}}f\,\mathrm{d}\mu}.$

모든 기능은∈ L2(L2의 시험 기능의 공간 같은 울창한 부분 집합 또는 에 보다 일반적으로는 모든 f, 시퀀스에{ψk}을 다스릴 수 있는)다면.기존 시험 기능은 통합의 관련 개념은 위상 C{\displaystyle \mathbb{C}에서 사용되는}해당합니다.

예를 들어, 힐베르트 공간에서 L2(0,π), 기능의 순서.

${\displaystyle \psi_{k}())={\sqrt{2/\pi}}\sin(kx)}.$

형태는 정규직 교기.특히ψ k의( 강한)제한{\displaystyle \psi_{k}}로가 → ∞이 존재하지 않습니다.반면 Riemann–Lebesgue 부명제로 약한 제한이 존재하며 0이다.

분포

어느 보통 시험 기능의(Rn에 간결하게 지지했다 원활한 기능{\displaystyle \mathbb{R}^{n}} 같은)은 공간의 강한 이중 형성해 분포 공간을 득한다.그러한 공간의 대안 공사에서는 시험 기능의 L2와 같은 힐베르트 공간 안에 있는 공간이 약한 이중이 걸릴 수 있다.이리하여를 부정 조작된 힐베르트 공간의 생각을 고려해 보게 유도.

대수학적 이중화에 의해 유도된 약한 위상

예를 들어 X가 있는 벡터 공간 및 X(모든 선형 functionals의 X에서 벡터 공간 즉)의 X)는 대수적 이중 공간이다.만약 X가 약한 토폴로지 X#에 의해 유도를 타고난 다음 X의 지속적인 이중 공간은 X#, X의 모든 한정적 부분 집합 X의 유한 차원의. 벡터 부분 공간에 담겨 있다., X의 모든 벡터 부분 공간관 위상적인 보완이 금지되어 있다.[3]

연산자 위상

X와 Y가 위상 벡터 공간인 경우, 연속 선형 연산자 f : X → Y의 공간 L(X,Y)은 다양한 가능한 위상들을 포함할 수 있다.이러한 위상의 명칭은 목표 공간 Y에서 연산자 수렴을 정의하기 위해 사용하고 있는 위상의 종류에 따라 달라진다(Yosida 1980, IV.7 Topology of linear maps).일반적으로 L(X,Y)에는 이름이 완전히 직관적이지 않은 광범위한 연산자 토폴로지가 있다.

예를 들어 L(X,Y)의 강력한 연산자 위상은 점성 수렴의 위상이다.예를 들어 Y가 정규화된 공간인 경우, 이 위상은 x ∈ X에 의해 지수화된 세미놈에 의해 정의된다.

$\displaystyle f\mapsto \f(x)\ _{Y}.}$

보다 일반적으로, 만약 세미노름 Q 계열이 Y의 위상을 정의한다면, 강한 위상을 정의하는 L(X,Y)의 세미노름 p는_{q, x} 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle p_{q,x}f\mapsto q(f(x)),}$

q ∈ Q 및 x ∈ X에 의해 색인화된다.

특히 약한 운영자 위상 및 약한* 운영자 위상을 참조하십시오.

참고 항목

• 약한 위상에서의 콤팩트 세트인 에벌린 콤팩트
• 약한 수렴(힐버트 공간)
• 약성 연산자 위상
• 약한 대책 수렴
• 선형 지도 공간의 토폴로지
• Hilbert 공간의 연산자 집합에 대한 토폴로지
• 모호한 위상

참조

참고 문헌 목록

• Conway, John B. (1994), A Course in Functional Analysis (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97245-5
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Pedersen, Gert (1989), Analysis Now, Springer, ISBN 0-387-96788-5
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Willard, Stephen (February 2004). General Topology. Courier Dover Publications. ISBN 9780486434797.
• Yosida, Kosaku (1980), Functional analysis (6th ed.), Springer, ISBN 978-3-540-58654-8